Abstract Internationally, mathematical modelling has been gaining an important space in educational curricula, this is why the teaching of this process has been included in educational programmes for mathematics teachers. Due to this importance, in this study, an educational experience on modelling for practising secondary education mathematics teachers from the Panamanian school system is reported, whose objective is to analyse the solving procedures of these teachers to modelling problems and classify these solving procedures. The context is the Diploma Course in Mathematics Education Applied to Secondary Education, taught by the University of Panama, which included a submodule on modelling. The “modelling cycle from a cognitive perspective”, which was taught in the submodule, was used to analyse the solving procedures for three problems posed to the participating teachers, through the written productions that they uploaded to the virtual platform of the diploma course. Four solving procedures could be identified in the 40 productions analysed, which varied from not totally understanding the wording of the problems to developing a whole modelling cycle. With these results, it is intended to provide a first overview of the teaching and learning of modelling in the Panamanian context and to lay the foundations for possible curricular adaptations to mathematics teaching.

Resumen A nivel internacional, la modelización matemática ha ido ganando un espacio importante en los currículos educativos, razón por la cual la enseñanza de este proceso ha sido incluida en los programas de formación de profesores de matemática. Dada esta importancia, este estudio reporta una experiencia educativa sobre modelización para profesores de matemática de educación secundaria en servicio del sistema escolar panameño, cuyo objetivo es analizar los procedimientos de resolución de estos profesores a problemas de modelización y clasificar dichas resoluciones. El contexto es el Diplomado en Educación Matemática Aplicada a Secundaria, impartido por la Universidad de Panamá, el cual incluyó un submódulo sobre modelización. El “ciclo de modelización desde una perspectiva cognitiva” que se impartió en el submódulo, se utilizó para analizar los procedimientos de resolución a tres problemas planteados a los profesores participantes, mediante las producciones escritas que cargaron a la plataforma virtual del diplomado. Se pudieron identificar cuatro procedimientos de resolución en las 40 producciones analizadas, que fluctuaban desde no comprender totalmente el enunciado de los problemas hasta desarrollar un ciclo completo de modelización. Con estos resultados, se pretende aportar una primera visión general sobre la enseñanza y el aprendizaje de la modelización en el contexto panameño, y sentar las bases para posibles adaptaciones curriculares a la enseñanza de la matemática.

Abstract (Objective) This article presents the results of research on the teaching and learning of the criterion ''implement a representative sample of the complexity of the mathematical object to be taught,''which was carried out with high school mathematics teachers from Ecuador in a master's degree program in continuing education. (Methodology) After a discussion of the instructional process which was used when teaching this criterion, a qualitative analysis of the responses to one of the tasks proposed for the students in this master's degree program is presented: creating tasks for whose resolution the students had to apply a certain partial meaning of the Pythagorean theorem (geometric or arithmetic-algebraic), as a demonstration of the learning that they had achieved. (Results) The results show that some students in the master's degree program proposed tasks to work on the Pythagorean theorem, but did not specify or justify whether the tasks they designed were related to arithmetic-algebraic meaning, to geometric meaning or to both; other students did not propose any task to work on arithmetic-algebraic meaning; and one participant in the master's program did not propose any task to work on geometric meaning. It was also observed that some students created tasks that did not correspond to either of these meanings. (Conclusions) It was concluded that teachers have difficulties in creating a task and indicating the type of meaning of the Pythagorean theorem that should be used to solve it, and that geometric meaning was most related to the tasks that they proposed.

Resumen (Objetivo) El objetivo de este artículo es presentar resultados de una investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje del criterio ''implementar una muestra representativa de la complejidad del objeto matemático que se quiere enseñar”, implementado con profesorado de secundaria de matemáticas de Ecuador enun máster de formación continua. (Metodología) Después de explicar el proceso de instrucción en elque se enseñó este criterio, se presenta el análisis cualitativo de las respuestas a una de las tareas quese propuso al alumnado de este máster: crear tareas en las que, para su resolución, se tenía que aplicarun determinado significado parcial del teorema de Pitágoras (el geométrico o el aritmético-algebraico),como ejemplo de evidencia del aprendizaje conseguido. (Resultados) Los resultados muestran que algunos alumnos del máster proponen tareas para trabajar el teorema de Pitágoras, pero no especifican ni justifican si las tareas diseñadas por ellos están relacionadas con el significado aritmético-algebraico, con el geométrico o con ambos; otros no propusieron ninguna tarea para trabajar el significado aritméticoalgebraico y un participante del máster no propuso ninguna tarea para trabajar el significado geométrico. También se observa que algunos crearon tareas que no se corresponden con el significado que señalan. (Conclusiones) Se concluye que los profesores tienen dificultades para crear una tarea y señalar el tipo del significado del teorema de Pitágoras que se debe usar para resolverla y que el significado geométrico es el que mejor relacionan con la tarea que proponen.

Resumo (Objetivo) O objetivo deste artigo é apresentar os resultados de uma pesquisa sobre o ensino e a aprendizagem do critério ''implementar uma amostra representativa da complexidade do objeto matemático a ser ensinado”, executado com professores de matemática do Ensino Médio do Equador em um mestrado de educação continuada. (Metodologia) Depois de explicar o processo instrucional no qual este critério foi ensinado, apresentou-se a análise qualitativa das respostas a uma das tarefas propostas aos alunos deste mestrado: criar tarefas nas quais, para sua resolução, eles tinham que aplicar um determinado significado parcial do teorema de Pitágoras (geométrico ou aritmético e algébrico), como um exemplo de evidência da aprendizagem alcançada. (Resultados) Os resultados mostram que alguns alunos de mestrado propuseram tarefas para trabalhar o teorema de Pitágoras, mas não especificaram ou justificaram se as tarefas projetadas por eles estão relacionadas ao significado aritmético e algébrico, ao significado geométrico ou a ambos; outros não propuseram nenhuma tarefa para trabalhar o significado aritmético e algébrico e um participante do mestrado não propôs nenhuma tarefa para trabalhar o significado geométrico. Observa-se, também, que alguns deles criaram tarefas que não correspondem ao significado que indicam. (Conclusões) Conclui-se que os professores têm dificuldade em criar uma tarefa e apontar o tipo de significado do teorema de Pitágoras que deve ser usado para resolvê-la e que o significado geométrico é aquele que eles relacionam melhor com a tarefa que propõem.

Resumen El presente estudio tiene como objetivo inferir los criterios que orientan la práctica del profesor universitario para explicar matemáticas en un curso de ciencias básicas en carreras de ingeniería y, en concreto, para explicar derivadas. Se trata de una investigación cualitativa de estudio de caso múltiple que busca comprender la enseñanza del cálculo diferencial a través del análisis de las prácticas de un grupo de siete docentes, y de la reflexión sobre dichas prácticas, cuando implementan sus clases en facultades de ingeniería de universidades públicas y privadas en Lima. Se videograbaron las clases de cada profesor y se infirieron los criterios que siguen en el diseño e implementación de estas mismas, tomando como referente los criterios de idoneidad didáctica, los cuales también se usaron para diseñar el cuestionario de la entrevista semiestructurada; luego, se hizo la triangulación entre lo que señala cada docente y lo que se ha observado que hace. Se encontró que los profesores de matemáticas de las carreras de ingeniería están completamente condicionados por el programa de la asignatura al momento de desarrollar sus clases de derivadas; así como también, por los medios y recursos de enseñanza y la disponibilidad de tiempo para sus clases de cálculo diferencial. Se concluye, pues, que el grupo de profesores participantes tiene como criterio prioritario el cumplimiento del currículo en el tiempo planificado. Por otra parte, dan más importancia a realizar una adecuada gestión de la interacción en el grupo, que a enseñar unas matemáticas de calidad que sean aprendidas de manera significativa por los estudiantes.

Resumo Este estudo tem como objetivo inferir os critérios que orientam a prática do professor universitário para explicar a matemática em um curso de ciências básicas em carreiras de engenharia e, em particular, explicar derivadas. Trata-se de uma pesquisa qualitativa de estudo de casos múltiplos que busca compreender o ensino de cálculo diferencial por meio da análise das práticas de um grupo de sete professores, e análise sobre essas práticas, quando implementam suas aulas em faculdades de engenharia de universidades públicas e privadas em Lima. As aulas de cada professor foram filmadas e os seguintes critérios foram inferidos no delineamento e implementação das mesmas, tomando como referência os critérios de adequação didática, que também foram utilizados para elaborar o questionário para a entrevista semiestruturada; em seguida, a triangulação foi feita entre o que cada professor indica e o que foi observado fazer. Verificou-se que os professores de matemática dos cursos de engenharia estão completamente condicionados pelo programa da matéria ao desenvolver suas aulas de derivadas; bem como pelos meios e recursos de ensino e pela disponibilidade de tempo para suas aulas de cálculo diferencial. Conclui-se, portanto, que o grupo de professores participantes tem como critério prioritário o cumprimento do currículo no tempo planejado. Por outro lado, atribuem mais importância à gestão adequada da interação no grupo do que ao ensino de matemática de qualidade aprendidas de forma significativa pelos alunos.

Abstract The study aims to infer the criteria that guide the practice of professors to explain mathematics, specifically derivatives, in a basic science course in the engineering program. This qualitative research of a multiple case study seeks to understand the teaching of differential calculus through the analysis of the practices of a group of seven professors, and the reflection on these practices when they implement their classes in engineering faculties of public and private universities in Lima, Peru. Each professor’s class was recorded. The criteria they follow to design and implement the classes were inferred, taking the didactic suitability criteria as a reference, which were also used to design the semi-structured interview questionnaire. Triangulation was done between what professors say and what they have been observed to do. It was noted that mathematics professors in engineering programs are completely conditioned by the subject syllabus when developing their derivative classes, as well as by the means and teaching resources and the availability of time for their differential calculus classes. Therefore, it is concluded that the priority criterion of the group of participating professors is meeting the curriculum in the time scheduled. On the other hand, they give more importance to adequately managing group interaction than teaching quality mathematics to be learned in a significant manner by students.

Resumen Este estudio tiene por objetivo analizar las prácticas que realiza un profesor con sus estudiantes para resolver un problema de medida de superficies en las que intervienen aspectos de carácter metacognitivo. Se diseñó una propuesta didáctica, basada en una metodología de enseñanza por diagnóstico, en la que el profesor propone una tarea para hacer aflorar diferentes significados personales acerca de las magnitudes longitud y superficie, utilizando el tangram de Fletcher. La instrucción fue llevada a cabo en una clase de 26 estudiantes de 14 años que cursaban 2º año de la Educación Secundaria Obligatoria en España. Para el análisis se tomaron, como referente teórico, constructos de metacognición y del Enfoque Ontosemiótico. Entre las conclusiones está que cognición y metacognición pueden ser mejoradas con una instrucción bien planeada y responsablemente ejecutada.

Résumé L'objectif de cette étude est d'analyser les pratiques qu'un enseignant met en œuvre avec ses élèves pour résoudre un problème de mesure de surface dans lequel interviennent des aspects de nature métacognitive. Une proposition didactique a été conçue, basée sur une méthodologie d'enseignement diagnostique, dans laquelle l'enseignant propose une tâche pour faire ressortir différentes significations personnelles sur les grandeurs de longueur et de surface, en utilisant le tangram de Fletcher. L'instruction a été réalisée dans une classe de 26 élèves de 14 ans qui étaient en 2e année de l'enseignement secondaire obligatoire en Espagne. Pour l'analyse, les constructions de la métacognition et l'approche ontosémiotique ont été prises comme référence théorique. Parmi les conclusions, il y a que la cognition et la métacognition peuvent être améliorées avec un enseignement bien planifié et exécuté de manière responsable.

Abstract The objective of this study is to analyze the practices that a teacher carries out with his students to solve a surface measurement problem in which aspects of a metacognitive nature intervene. A didactic proposal was designed, based on a diagnostic teaching methodology, in which the teacher proposes a task to bring out different personal meanings about the length and surface magnitudes, using Fletcher's tangram. The instruction was carried out in a class of 26 14-year-old students who were in the 2nd year of Compulsory Secondary Education in Spain. For the analysis, constructs of metacognition and the Ontosemiotic Approach were taken as theoretical reference. Among the conclusions is that cognition and metacognition can be improved with well planned and responsibly executed instruction.

Resumo O objetivo deste estudo é analisar as práticas que um professor realiza com seus alunos para resolver um problema de medida de superfície em que intervêm aspectos de natureza metacognitiva. Foi elaborada uma proposta didática, baseada em uma metodologia de ensino por diagnóstico, na qual o professor propõe uma tarefa para trazer à tona diferentes significados pessoais sobre as grandezas de comprimento e superfície, utilizando o tangram de Fletcher. A instrução foi realizada em uma turma de 26 alunos de 14 anos do 2º ano correspondente ao Ensino Fundamental II, na Espanha. Para a análise, tomaram-se como referencial teórico os construtos da metacognição e do Enfoque Ontossemiótico. Entre as conclusões está que a cognição e a metacognição podem ser melhoradas com uma instrução bem planejada e executada com responsabilidade.

Resumen El objetivo de este trabajo es identificar los criterios de idoneidad didáctica usados por un grupo de profesores en un proceso de instrucción de una clase -diseño, implementación y reflexión/rediseño-, realizado en el marco de una experiencia de estudio de clases. Se utiliza la herramienta idoneidad didáctica para el análisis cualitativo. Se concluye que el grupo de profesores utiliza, de manera implícita, algunos de los componentes e indicadores de los criterios de idoneidad didáctica. En particular, se utilizan de manera más completa los criterios interaccional y cognitivo y, de forma menos detallada, los criterios epistémico y emocional. Por otra parte, los criterios de medios y ecológico son poco utilizados en la reflexión del grupo.

Abstract This study seeks to identify the didactic suitability criteria used by a group of teachers in a training process of a class-design, implementation, and reflection/redesign-carried out under an experience of lesson study. The didactic suitability tool is used for qualitative analysis. It is concluded that the group of teachers implicitly uses some of the components and indicators of didactic suitability. In particular, the interactional and cognitive criteria are used in a more comprehensive way and, in a less detailed manner, the epistemic and emotional criteria. Furthermore, the means and ecological criteria are rarely used in the group's reflection.

Resumo O objetivo deste trabalho é identificar os critérios de idoneidade didática usados por um grupo de professores num processo de instrução de uma classe - desenho, implementação e reflexão/redesenho - realizado no marco de uma experiência de estudo de classes. Utiliza-se a ferramenta idoneidade didática para a análise qualitativa. Conclui-se que o grupo de professores utiliza, de maneira implícita, alguns dos componentes e indicadores dos critérios de idoneidade didática. Em particular, utilizam-se de maneira mais completa os critérios interacional e cognitivo e, de forma menos detalhada, os critérios epistémico e emocional. Por outra parte, os critérios de meios e ecológico são pouco utilizados na reflexão do grupo.

Abstract The aim of this study was to identify the criteria assumed by in-service teachers when they argue about the development of creativity in the mathematical teaching and learning processes. To do so, we analyzed the discourse of 35 teachers who were taking master's degrees in Mathematics Education in three Chilean universities. Using a mixed methodological approach, data was collected through a questionnaire including closed and open questions. The closed questions focused on four topics: 1) mathematical creativity and creative processes; 2) creativity in the professional environment; 3) creativity in mathematics; and 4) enhancement of creativity in teaching and learning of mathematics. To analyze the open questions, whose purpose was that the teachers presented an example of creative mathematical activity and highlighted which of its characteristics made the activity creative, we considered the Didactic Suitability Criteria (DSC) proposed by the Onto-semiotic Approach (OSA) to Mathematical Instruction and Cognition as categories of analysis. Results show, among other aspects, that the teachers have a dual view of mathematical creativity (on the one hand, it is innate and, on the other hand, it can be taught) and they implicitly use epistemic, mediational, emotional, and ecological criteria when arguing about mathematical creativity.

Resumen El propósito de este estudio fue identificar cuáles son los criterios asumidos por profesores en ejercicio cuando argumentan sobre el desarrollo de la creatividad en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para ello, se analizó el discurso de 35 profesores estudiantes de másters en Educación Matemática de tres universidades chilenas. Los datos, con enfoque metodológico mixto, se recogieron a partir de un cuestionario de preguntas cerradas y abiertas. Las preguntas cerradas se enfocaron en cuatro ámbitos: 1) creatividad matemática y procesos creativos; 2) creatividad en el ámbito profesional; 3) creatividad en las matemáticas; y 4) promoción de la creatividad en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Para el análisis de preguntas abiertas, donde los profesores presentaron un ejemplo de actividad matemática creativa y destacaron lo creativo de ella, se consideraron como categorías de análisis los Criterios de Idoneidad Didáctica (CI) propuestos en el Enfoque Ontosemiótico de la Instrucción y Cognición matemática (EOS). Los resultados muestran, entre otros aspectos, que los profesores tienen una visión dual respecto a la creatividad matemática (por una parte, es innata y, por otra parte, puede ser enseñada) y que, cuando argumentan sobre ella, utilizan de manera implícita criterios epistémicos, mediacionales, emocionales y ecológicos.

Abstract Evaluation of teaching practice is a necessary task to improve the teaching and learning processes. The purpose of this study is to analyze the assessments made by a Mathematics in-service teacher when she observed a video recording of a class in which she taught students about the logarithmic function in the fourth year of Secondary Education. To do so, a case study with non-participant observation was carried out. The research design is a case study using an Onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction. Two research protocols were applied: 1) an expert analysis based on this approach to determine mathematical practices, processes and objects, and 2) an evaluation of didactic suitability. The assessments made were classified using the criteria, components and indicators of didactic suitability proposed in the Didactic-Mathematical Knowledge and Competencies (DMKC) model. The results show that the teacher’s evaluations emphasize epistemic and interactional criteria and that such evaluations can be classified and organized using didactic suitability criteria, and their components and indicators. In addition, the methodology applied is useful for teachers who wish to evaluate the mathematical instruction they provide, and can allow them to recognize elements and topics for improvement in their educational practice.

Resumen Valorar la práctica docente es una tarea necesaria para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje. El propósito de este estudio es analizar las valoraciones que realiza una docente de Matemáticas en servicio al observar en video la clase que implementó al enseñar el tema de función logarítmica en cuarto año de Educación Secundaria. Para esto, se realizó un estudio de casos con observación no participante. El diseño de investigación responde a un estudio de caso enmarcado en el Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos. Dos protocolos de investigación fueron aplicados: 1) un análisis experto basado en el enfoque indicado para determinar prácticas, procesos y objetos matemáticos, y 2) una valoración de idoneidad didáctica. Las valoraciones realizadas fueron clasificadas a través de los criterios, componentes e indicadores de idoneidad didáctica propuestos por el modelo de Competencias y Conocimientos Didáctico-Matemáticos. Los análisis realizados muestran que las valoraciones de la docente enfatizan los criterios epistémico e interaccional y que tales valoraciones pueden ser clasificadas y organizadas mediante los criterios de idoneidad didáctica, sus componentes e indicadores. Además, la metodología empleada ofrece un aporte para los profesores que deseen reflexionar sobre la instrucción matemática que realizan y puede permitirle reconocer elementos y temas de mejora en su práctica educativa.

This research is based on the notion of didactic suitability criteria proposed by the Ontosemiótic Approach (OSA) of Mathematical Knowledge and Instruction (Godino, Batanero, and Font, 2007). It is aimed at describing the components and indicators for each of these criteria. Theoretical framework systematization and case study were used as fundamental methods; the latter was used to compare the proposed descriptors to the indicators of successful performance used by an in-service teacher to describe his teaching practice in his master degree dissertation. The components and indicators corresponding to each of the suitability criteria and its correspondence to teachers' qualification description referred to in the case study are offered as a scientific result

Esta investigación da continuidad a estudios anteriores relacionados con la noción de criterios de idoneidad didáctica propuesta por el Enfoque Ontosemiótico (EOS) del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (Godino, Batanero y Font, 2007) y tiene como objetivo central la presentación de los componentes e indicadores para cada uno de estos criterios. Se emplearon como métodos fundamentales la sistematización del marco teórico y el estudio de caso, este último se usó para comparar los descriptores propuestos con los indicadores de desempeño exitoso que emplea un docente en ejercicio en su trabajo de fin de máster para describir su práctica docente. Se ofrece como resultado científico los componentes e indicadores correspondientes a cada uno de los criterios de idoneidad y su triangulación con la descripción del desempeño referida en el estudio de caso

Abstract In various investigations, the following phenomenon has been observed: the didactical suitability criteria proposed by the Ontosemiotic Approach function as regularities in teachers’ speech when they justify that their didactic proposals represent an improvement, without having been taught the use of this tool to guide their reflection. This article explains this phenomenon by placing the didactical suitability construct in the problematic on the role of assessments and normative principles in teacher practice. More generally, there is a theoretical development of the didactical suitability construct: how it originated, what leads to us and how it can affect the teacher's practice.

Resumen En diversas investigaciones se ha observado el siguiente fenómeno: los criterios de idoneidad didáctica propuestos por el Enfoque Ontosemiótico funcionan como regularidades en el discurso de los profesores cuando justifican que sus propuestas didácticas representan una mejora, sin habérseles enseñado el uso de esta herramienta para guiar su reflexión. En este artículo se explica dicho fenómeno, situando el constructo idoneidad didáctica en la problemática del papel que deben jugar las valoraciones y los principios normativos en la práctica del profesor. Más en general, se realiza un trabajo de desarrollo teórico del constructo idoneidad didáctica: cómo se originó, hacia qué nos conduce y cómo puede afectar a la práctica del profesor.

Resumo Este artigo tem como objetivo analisar as potencialidades e limites de tarefas matemáticas, elaboradas com base nos critérios de idoneidade didática, para favorecer o desenvolvimento da percepção de espaço na criança da Educação Infantil. Os critérios de idoneidade didática, ferramentas teóricas do enfoque ontosemiótico, servem para análise e avaliação de processos de ensino e de aprendizagem. Este estudo, de abordagem qualitativa, foi desenvolvido com as crianças do Grupo 3 da Creche da Universidade Federal da Bahia, por meio da implementação de sequências de tarefas. Os resultados revelaram que, de modo global, as sequências de tarefas tiveram um nível de idoneidade didática de médio a alto, contribuindo com um percurso favorável de aproximação das crianças com noções importantes para o desenvolvimento da percepção de espaço, mostrando, em seu conjunto, o potencial das tarefas desenhadas e, portanto, o caráter idôneo da proposta. De modo específico, o critério mediacional, que diz respeito, por exemplo, aos recursos sobretudo materiais, acabou funcionando como um limitante da aprendizagem, uma vez que foi um distrator, desviando a atenção das crianças para outros objetivos de aprendizagem.

Abstract This article aims to analyze the potentialities and limits of mathematical tasks, elaborated based on the didactic suitability criteria, to favor the development of space perception in children of Early Childhood Education. The criteria of didactic suitability, theoretical tools of the ontosemiotic approach, serve for analysis and evaluation of teaching and learning processes. This qualitative study was developed with the children of Group 3 in the Federal University of Bahia day-care center, through the implementation of task sequences. The results showed that, overall, the task's sequences had a level of didactic suitability from medium-high to high and, although they did not reach a high level of suitability, they played a coherent interrelationship, contributing with a favorable course of approach for the children, with important notions for the development of space perception, showing, as a whole, the potential of the designed tasks and, therefore, the suitable character of the proposal. Specifically, the mediational criterion, which concerns, for example, material resources, ended up functioning as a learning boundary, since it was a distractor, diverting children's attention to other learning objectives.

Abstract Mathematical optimization is an essential concept to manage everyday problems. In the Pre-University Spanish Curriculum, the tools for Mathematical Analysis are used to solve optimization problems. It is exactly in this process where the main teaching difficulties appear. In this article, we present the results of an epistemological study in the evolution of optimization throughout the history of the notion, aiming at fixing the meanings of reference. Then, the notion of optimization is presented in three textbooks, being developed in order to obtain the meaning of this notion in the classroom as well as the potential difficulties the students may find in the concept.

Resumen La optimización matemática es un concepto matemático esencial para abordar problemas de la vida cotidiana. En el Currículo del Bachillerato español se emplean las herramientas del Análisis Matemático para solucionar los problemas de optimización, siendo aquí donde aparecen las principales dificultades de aprendizaje de la noción. En este trabajo, en primer lugar, se presentan los resultados de un estudio epistemológico de la evolución de la optimización a lo largo de la historia, con el objetivo de fijar los significados de referencia. Posteriormente, se muestra cómo se desarrolla esta noción en tres libros de texto del citado nivel educativo, todo ello con el fin de poder detectar el significado que se pretende abordar en el aula, así como las dificultades potenciales que los alumnos pueden encontrar en torno a este concepto.

Abstract Several theoretical frameworks propose different systems of mathematical knowledge for teaching that help describe teaching practices and develop plans for teacher training. This article describes one of these systems, which includes both knowledge and the competencies of a mathematics teacher, and it is based on the onto-semiotic approach of mathematical knowledge and instruction. The notions of this practices' system, onto-semiotic configuration, didactical configuration, normative dimension, and didactical suitability, are introduced in this theoretical system as analytical tools of mathematical and didactical practices. These tools are used as a basis to define five sub-competencies within the mathematics' teacher general competence of didactic analysis and intervention. Investigations are being carried out with this theoretical framework that articulates knowledge and competencies, and support the relevance and possibility that the teacher knows, understands and is able to apply the tools of analysis. Finally, it also includes a concise description on training actions for developing the didactical-mathematical knowledge, and the competence of analysis and didactical intervention for mathematics teachers.

Resumen Diversos marcos teóricos proponen sistemas de categorías del conocimiento matemático para la enseñanza que ayudan a describir la práctica docente y a elaborar planes de formación de profesores. En este artículo se describe uno de estos sistemas, que incluye tanto los conocimientos como las competencias del profesor de matemáticas y está basado en el Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos. Las nociones de sistema de prácticas, configuración ontosemiótica, configuración didáctica, dimensión normativa e idoneidad didáctica, introducidas en dicho sistema teórico, son consideradas como herramientas de análisis de las prácticas matemáticas y didácticas. Se utilizan estas nociones como base para delimitar sub-competencias de la competencia general de análisis e intervención didáctica, propia del profesor de matemáticas. Las investigaciones que se vienen realizando usando este modelo teórico de articulación de los conocimientos y las competencias, apoyan la pertinencia y posibilidad de que el profesor conozca, comprenda y esté capacitado para aplicar las herramientas de análisis propuestas en su propia práctica profesional. Se incluye también la descripción sucinta de acciones formativas para lograr el desarrollo de los conocimientos didáctico-matemáticos y la competencia de análisis e intervención didáctica de los profesores de matemáticas.

Abstract: The main objective of this investigation is to develop didactic reflection in future primary school mathematics teachers regarding what makes a good problem. The sample consisted of 36 university students from the class on the Didactics of Geometry for Primary School Education. Surveys, expert article readings, group discussions, problem solving and didactic analysis of problems were designed and implemented. Written instruments were used for data collection. In conclusion, in order to effectively adopt the list of criteria for a good problem a teacher must use good techniques for analytical and didactic approaches to mathematics, as well as problem solving competencies.

Resumen: El objetivo principal de esta investigación es desarrollar la reflexión didáctica en futuros profesores de matemáticas de primaria sobre lo que es un buen problema. La muestra fue de 36 alumnos universitarios de la asignatura de Didáctica de la Geometría para Educación Primaria. Para ello se diseñaron e implementaron cuestionarios, lecturas de expertos, discusiones en grupo, resolución de problemas y análisis didácticos de los mismos. Los instrumentos para recoger la información fueron de registro escrito. Se concluye que para aplicar la lista de criterios de un buen problema de manera efectiva se debe de tener una buena técnica en análisis didáctico de la actividad matemática y también competencia en la resolución de problemas.

Résumé: L'objectif de la recherche est d'exprimer comment le procédé de construction d'une séquence des tâches professionnelles réalisées par des formateurs de futurs professeurs de mathématique influence dans le développement de leur compétence de l'analyse didactique. Ce développement est vérifié, entre autres indicateurs, dès que les formateurs de futurs professeurs incorporent et utilisent correctement des outils pour la description, explication, évaluation et amélioration des procédés d'enseignement, dirigés à la formation mathématique de futurs professeurs d'école secondaire. Une des preuves les plus importantes de cette évolution est que les séquences de tâches que les participants ont été conçus et mis en œuvre en accord avec les lignes directrices du programme et significativement différent de celui mis en place avant le cours.

Resumo: O objetivo da investigação é explicar como o processo de construção de uma sequência de tarefas profissionais, realizadas por formadores de futuros professores de Matemática, influencia no desenvolvimento de sua competência de análise didática. Constata-se esse desenvolvimento, entre outros indicadores, enquanto os formadores de futuros professores incorporam e usam adequadamente ferramentas para a descrição, explicação, avaliação e melhora de processos de ensino, dirigidos à formação matemática de futuros professores de secundária. Uma das provas mais significativa desse desenvolvimento é que as sequências de tarefas que os participantes foram concebidas e implementadas de acordo com as diretrizes curriculares e significativamente diferente daquele implementado antes do curso.

Abstract: The aim of this research is to explain how the process of task sequence design made by teacher trainers of future Mathematics teachers influences the development of their competence in didactic analysis. This is achieved, among other indicators, when teacher trainers adequately incorporate and use tools for description, explanation, evaluation and improvement of teaching processes, aimed to future mathematics teachers training. One of the most significant evidence of this development is that the designed and implemented sequences were consistent with the curriculum guidelines and were significantly different from those implemented before attending the course.

Resumen: El objetivo de la investigación es explicar cómo el proceso de construcción de una secuencia de tareas profesionales, realizadas por formadores de futuros profesores de Matemáticas, influye en el desarrollo de su competencia en análisis didáctico. Dicho desarrollo se constata, entre otros indicadores, en cuanto los formadores de futuros profesores incorporan y usan adecuadamente herramientas para la descripción, explicación, valoración y mejora de procesos de enseñanza, dirigidos a la formación matemática de futuros profesores de secundaria. Una de las evidencias más significativa de este desarrollo es que las secuencias de tareas que los participantes diseñaron e implementaron eran coherentes con las orientaciones curriculares y significativamente diferentes a las que implementaban antes de realizar el curso.