Abstract We study the dynamics of the center of mass (CM) of a set of particles when the number of particles in the system varies during a short interval of time, or when the value of the mass of one of the particles depends on time. We show that in both situations, while the population or mass of the system varies, the linear momentum of the CM differs from the total linear momentum of the system. During this time interval, the dynamics of the CM is driven by the external forces that act on the system plus transient forces that depend on the position and velocity of the CM. This dynamics is applied to study the time evolution of the vector position of the CM of a system of free particles moving on an air rail in which the mass of one the particles varies in a short time interval. We want to show it to students that with the knowledge and tools they have at an elementary Mechanics course they can formulate and answer questions which are not in the textbooks.

Apresentamos o método espectral de Galerkin como uma ferramenta para a quantização de sistemas hamiltonianos. Este método pode ser introduzido como um tópico em uma disciplina de introdução à mecânica quântica em um curso de graduação em física. Comparado ao método de diferenças finitas, o método espectral possibilita precisão muito maior, além de fornecer expressões analíticas aproximadas para as autofunções de energia, e é suficientemente simples para ser exposto em cerca de quatro horas-aula. No presente trabalho, apresentamos o método em detalhe, aplicando-o à equação de Schrödinger para o oscilador harmônico simples e para o oscilador harmônico quártico. A precisão dos resultados é comparada aos fornecidos pelo método de diferenças finitas.

We present the Galerkin spectral method as a tool for the quantization of hamiltonian systems. This method can be introduced as a topic in an undergraduate introductory Physics course on Quantum Mechanics. Compared to the finite differences method, the spectral method allows greater precision, in addition to providing analytical expressions for the energy eigenfunctions, as well as being sufficiently simple to be exposed in about four hours. In the present work, we present the method in detail, applying it to the Schrödinger equation for the simple harmonic oscillator and for the quartic oscillator. The precision of results is compared to those yielded by the method of finite differences.

Propomos a introdução do método de diferenças finitas como tópico a ser abordado na disciplina de mecânica quântica de um curso de graduação em física. O método é suficientemente simples para ser introduzido e exemplificado em seis horas de aula, permitindo a obten cão de resultados tanto qualitativamente corretos como de alta precisão quantitativa. Devido a sua grande aplicabilidade, seu entendimento por parte dos alunos de graduação em física, futuros pesquisadores, é essencial para a formação acadêmica destes. No presente trabalho, apresentamos o método em detalhes. Sua precisão é verificada calculando o espectro de energia para o oscilador harmônico e comparando-os com os resultados analí ticos conhecidos. Em seguida aplicamos o método a dois outros sistemas, o oscilador anarmônico quártico e o potencial linear. Para cada um destes sistemas, calculamos os dez ní veis de energia mais baixos, bem como seus respectivos auto-estados.

We propose the introduction of the finite differences method as one topic to be inserted in the discipline of quantum mechanics in a physics undergraduate course. The method is simple enough to be introduced and exemplified in about six hours of class allowing both qualitatively correct and high-precision quantitative results. Due to the great applicability of the method, it is essential that the undergraduate students, future researchers, learn it. In the present work, we show the method in detail and verify its precision initially by calculating the energy spectrum of the harmonic oscillator and comparing it to its well-known analytical results. Then we apply it to two other systems, the anharmonic oscillator and the one with linear potential. For each of those systems We compute, for both systems, the ten lowest energy eigenvalues are calculated, as well as their corresponding eigenfunctions.

We calculate the thermodynamics of the one-dimensional spin-1/2 Ising model in the presence of a constant skew magnetic field. We obtain the high-temperature expansion of its Helmholtz free energy (HFE), for the ferromagnetic and antiferromagnetic cases, up to order beta7. This expansion permits us to obtain the behaviour of the model for $ |J| \beta \stackrel {<}{_\sim}} 1 $, when it cannot be described by its classical version. Among the calculated thermodynamical functions of the model, we have the diagonal elements of the magnetic susceptibility tensor for the transverse and logitudinal Ising models, obtained by taking the limits h z -> 0 and h y -> 0, respectively, of the beta-expansion of the HFE. The y-component of the magnetization and the chiyy component of the magnetic susceptibility tensor are almost the same for the antiferro- and ferromagnetic models, at least for $ |J| \beta \stackrel {<}{_\sim}} 1 $; and, <FONT FACE=Symbol>c yy</FONT> is practically independent of the direction of the external magnetic. We also show that, in this region of temperature, the thermodynamics of the Ising model with skew magnetic field and that of an XXZ model with longitudinal magnetic field are not similar.

Neste segundo artigo sobre sistemas hamiltonianos, apresentamos o método da explosão (blow-up) para a determinação da natureza de pontos fixos (pontos de equilíbrio) degenerados. Aplicamos o método a dois modelos hamiltonianos com um e dois graus de liberdade, respectivamente. Primeiramente, analisamos um sistema formado por um pêndulo simples submetido a um torque externo constante. Em seguida, consideramos um sistema formado por um pêndulo duplo com segmentos de comprimentos e massas iguais, também submetidos a torques externos constantes e não nulos. A presença de pontos de equilíbrio degenerados nos casos dos pêndulos simples e duplo ocorre para certos valores dos torques externos.

In this second article on hamiltonian systems, we present the blow-up method for the determination of the nature of degenerate fixed points (equilibrium points). We apply the method to two hamiltonian models with one and two degrees of freedom respectively. Firstly we study a system formed by a simple pendulum subjected to a constant external torque. Then we consider a system formed by a double pendulum of segments with equal lengths and masses, also subjected to nonvanishing constant external torques. The presence of degenerate equilibrium points in both cases of simple and double pendulums occurs for some values of the external torques.

Um pêndulo duplo submetido a torques externos é usado para introduzir alguns fundamentos da teoria de Sistemas Dinâmicos para os cursos de graduação em Física, logo após o aluno ter cursado a disciplina de mecânica analítica. Este sistema mostra-se um bom exemplo para a introdução de tais técnicas. As equações de movimento de Hamilton indicam a existência de soluções estacionárias (pontos de equilíbrio) no espaço de fase do modelo. A identificação da natureza desses pontos de equilíbrio permite a descrição da dinâmica do sistema na vizinhança linear destes. Além disso, os resultados obtidos na vizinhança linear de um ponto de equilíbrio não são alterados pela introdução de torques externos constantes não-nulos. Neste trabalho enfatiza-se a análise da vizinhança linear dos pontos de equilíbrio.

A double pendulum submitted to external torques is employed to introduce some basic fundamentals of dynamical systems theory to physics undergraduate courses, soon after the student takes the analytical mechanics discipline. This system is a good example for the introduction of such techniques. Hamilton's equations of motion indicate the existence of stationary solutions (equilibrium points) in the phase space of the model. The identification of the nature of these points allows the description of the system dynamics around their linear neighborhood. Moreover, qualitative results obtained in the linear neighborhood of a fixed point are not changed by the introduction of non-vanishing constant external torques. This work emphasizes the analysis of the linear neighborhood of the equilibrium points.

The Heisenberg XXZ model is a chain model with nearest-neighbor interactions. Its thermodynamics is exactly obtained via Bethe ansatz. Recently, we developed a method to derive the high-temperature expansion of the grand potential per site of translationally invariant chain models, with periodic boundary conditions. Here we apply this approach to the XXZ model with periodic boundary conditions for the Ising limit case (t = 0) and the free fermion case (delta = 0 and h = 0), obtaining results in agreement with the literature. In this new way of obtaining the coefficients of the high-temperature expansion of the grand potential, the coefficients are derived from an auxiliary function written only in terms of open connected sub-chains.