Abstract: The application of results of scientific and technological research to the teaching practice is conflictive, due to its descriptive, explanatory, and predictive nature and the demands of avoiding subjective value judgements in scientific and technological research. Educational practice requires, however, making decisions about the type of actions to be taken to improve teaching and learning processes, which implies the adoption of value judgements. The way in which this dilemma is approached depends on how Didactics is conceived, the theoretical frameworks used in research and the different research paradigms on which they are based. In this paper, I reflect on this problematic by discussing the role of value judgements in basic and applied science, as well as the notions of praxeology and didactic paradigm of reference introduced in the Anthropological Theory of Didactics. I also suggest the need to establish an interface between scientific-technological research and the reflective practice by identifying criteria of suitability that synthesise and structure the results of such research, as proposed by the Onto-semiotic Approach in mathematics education.

Resumen: La aplicación de los resultados de las investigaciones científicas y tecnológicas a la práctica de la enseñanza es conflictiva por su carácter descriptivo, explicativo y predictivo y la exigencia de evitar los juicios de valor subjetivos en el desarrollo de las mismas. La práctica educativa requiere, sin embargo, tomar decisiones sobre las acciones que se deben realizar para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje, lo que implica la adopción de juicios de valor. La manera en que se aborda este dilema depende de cómo se concibe la Didáctica, de los marcos teóricos que se usan en la investigación y de los diferentes paradigmas de investigación en que se apoyan. En este trabajo analizamos esta problemática discutiendo el papel de los juicios de valor en las ciencias básicas y aplicadas, así como las nociones de praxeología y paradigma didáctico de referencia introducidas en la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Se justifica, además, la necesidad de establecer una interfaz entre la investigación científico-tecnológica y la práctica reflexiva mediante la cual se identifiquen criterios de idoneidad, que sinteticen y estructuren los resultados de dichas investigaciones, con la mirada puesta en su aplicación para producir cambios fundamentados, según propone el Enfoque Ontosemiótico en educación matemática.

Abstract A textbook lesson can be considered as a potential or planned instructional process proposed by the author’s book, which can help the teacher to design and implement an effective instructional process. This permits the application of didactical analysis tools of the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction in order to assess the didactical suitability of the instructional process, identify possible conflicts of meaning and potential improvements. In this article, we describe the process of developing a Mathematics Textbook Lesson Analysis Guide using the didactical suitability theory and its operational breakdown into components, subcomponents and indicators. The formulation of the suitability criteria, as rules that permit to guide an informed assessment of the suitability of a teaching and learning process, has led us to carry out a content analysis of the key research on textbook analysis and the consensus adopted in the research community regarding the suitability criteria. Assuming that a mathematics teacher has decided to use a textbook lesson as a resource to help the teaching and learning process of some mathematical content, the analysis guide is presented as a tool that allows the teacher to assess the didactical suitability and facilitate the making of informed decisions about the lesson use in the classroom.

Resumen Una lección de un libro de texto puede ser considerada como un proceso de instrucción potencial o planificado por el autor del libro, que sirve de apoyo al docente para diseñar e implementar un proceso de instrucción efectivo. Esto permite aplicar las herramientas de análisis didáctico del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, para valorar la idoneidad didáctica de dicho proceso, identificar posibles conflictos de significado y decidir potenciales mejoras. En este artículo se describe el proceso de elaboración de una Guía de Análisis de Lecciones de Libros de Texto de Matemáticas utilizando la teoría de la idoneidad didáctica y su desglose operativo en componentes, subcomponentes e indicadores. La formulación de los criterios de idoneidad, en tanto reglas que permitan orientar de manera fundamentada la evaluación de la pertinencia de un proceso de enseñanza y aprendizaje, nos ha llevado a realizar un análisis de contenido de las investigaciones clave con relación al análisis de libros de texto y a los consensos adoptados en la comunidad científica. Suponiendo que un profesor de matemáticas ha decidido utilizar una lección de un libro de texto como recurso para apoyar el proceso de enseñanza y aprendizaje de algún contenido matemático, la guía de análisis le puede servir de apoyo para valorar la idoneidad didáctica de la misma y apoyar la toma de decisiones fundamentadas sobre su uso en el aula.

Abstract: In this paper the design and results of a training intervention aimed to promote prospective high school mathematics teachers´ competence for analyzing the didactic suitability analysis of a textbook proportionality lesson is described. The methodological approach adopted corresponds to didactic engineering. Furthermore, content analysis was used to evaluate the written reports produced by 14 work teams on the lesson cognitive-affective and instructional-ecological suitability. These teams make up a sample of 30 prospective high school mathematics teachers, who were enrolled in a Master’s Degree in Compulsory and Post-compulsory Secondary Education. Most of the work teams’ assessment reports were adequate, according to the a priori analysis agreed upon by the research team. The prospective teachers pointed out to shortcomings and positive aspects of the lesson and made suggestions regarding the management of the textbook’s use. We conclude that the experience allowed the future teachers to reflect and acquire knowledge and necessary competences, not only for the analysis of textbook lessons but also for their critical management.

Resumen: Se describe el diseño y resultados de una intervención formativa con futuros profesores de matemáticas orientada a promover la competencia de análisis de la idoneidad didáctica de una lección de libro de texto sobre proporcionalidad. El enfoque metodológico adoptado corresponde a la ingeniería didáctica. Además, se sigue una metodología de análisis de contenido para la evaluación de los informes escritos producidos por 14 equipos de trabajo sobre la idoneidad cognitiva-afectiva e instruccional-ecológica de la lección. Dichos equipos conforman una muestra de 30 futuros profesores de matemáticas de secundaria, estudiantes de un Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato. Tomando como base el análisis a priori consensuado por el equipo investigador, se detecta que la mayoría de las valoraciones realizadas por los equipos de trabajo son adecuadas. Los futuros profesores identifican carencias y aspectos positivos de la lección y plantean sugerencias en cuanto a la gestión de uso del libro de texto. Se concluye que la experiencia permite a los futuros profesores reflexionar y adquirir conocimientos y competencias necesarias, no solo en el análisis de lecciones de libros de texto, sino en la gestión crítica de estas.

Resumen La integral definida es un concepto central en las aplicaciones del cálculo a las ciencias experimentales e ingeniería por lo que es un tema de investigación didáctica relevante. En este trabajo se analizan los diversos significados de la integral definida aplicando herramientas teóricas del Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, en particular, la interpretación del significado en términos de sistemas de prácticas operativas y discursivas relativas a la resolución de tipos de problemas y el modelo de niveles de algebrización de la actividad matemática. Se identifican tipos de situaciones-problemas y configuraciones de prácticas, objetos y procesos que permiten caracterizar y articular los diversos significados parciales de la integral definida (geométrico-intuitivo, como límite de sumas de Riemann y función acumulativa) así como de sus extensiones al caso de integral dobles (como caso particular de las múltiples) y de línea, desde los más intuitivos a los más formales. El análisis permite identificar los grados de generalidad de los objetos del cálculo integral y el papel del álgebra en la caracterización de los significados de la integral definida, que deben considerarse en la planificación y gestión de los procesos de enseñanza y aprendizaje del cálculo integral en las carreras de ingeniería.

Résumé L'intégrale définie est un concept central dans les applications du calcul aux sciences expérimentales et à l'ingénierie, ce qui en fait un sujet de recherche didactique pertinent. Cet article analyse les différentes significations de l'intégrale définie en appliquant les outils théoriques de l'approche ontosémiotique de la connaissance et de l'enseignement des mathématiques, en particulier l'interprétation de la signification en termes de systèmes de pratiques opérationnelles et discursives liées à la résolution de types de problèmes et le modèle des niveaux d'algèbre de l'activité mathématique. On identifie des types de situations-problèmes et des configurations de pratiques, d'objets et de processus qui permettent de caractériser et d'articuler les différentes significations partielles de l'intégrale définie (géométrique-intuitive, comme limite des sommes de Riemann et fonction cumulative) ainsi que ses extensions au cas de l'intégrale double (comme cas particulier du multiple) et de la ligne, du plus intuitif au plus formel. L'analyse nous permet d'identifier les degrés de généralité des objets du calcul intégral et le rôle de l'algèbre dans la caractérisation des significations de l'intégrale définie, ce qui doit être pris en compte dans la planification et la gestion des processus d'enseignement et d'apprentissage du calcul intégral dans les diplômes d'ingénieur.

Abstract The definite integral is a central concept in the applications of calculus to experimental sciences and engineering, and consequently, a relevant didactic research topic. This paper analyses the different meanings of the definite integral by applying theoretical tools of the ontosemiotic approach to mathematical knowledge and instruction, particularly, the interpretation of meaning in terms of systems of operational and discursive practices related to the resolution of types of problems and the algebraization levels model of mathematical activity. Types of problem-situations and configurations of practices, objects, and processes are identified that allow us to characterize and articulate the various partial meanings of the definite integral (geometric-intuitive, as a limit of Riemann sums and cumulative function) as well as its extensions to the case of the double integral (as a particular case of the multiple) and the line, from the most intuitive to the most formal. The analysis allows us to identify the generality degrees of the objects of integral calculus and the role of algebra in the characterization of the meanings of the definite integral, which must be considered in the planning and management of the processes of teaching and learning of integral calculus in engineering degrees.

Resumo A integral definida é um conceito central nas aplicações de cálculo para as ciências experimentais e engenharia, tornando-o um tópico relevante de pesquisa didática. Este trabalho analisa os diferentes significados do integral definido aplicando ferramentas teóricas da abordagem ontosemiótica ao conhecimento e à instrução matemática, em particular a interpretação do significado em termos de sistemas de práticas operacionais e discursivas relacionadas com a resolução de tipos de problemas e o modelo de níveis de algebrização da atividade matemática. São identificados tipos de situações problemáticas e configurações de práticas, objectos e processos que nos permitem caracterizar e articular os vários significados parciais da integral definida (geométrico-intuitiva, como limite das somas de Riemann e função cumulativa), bem como as suas extensões ao caso da integral dupla (como caso particular do múltiplo) e da linha, desde a mais intuitiva até à mais formal. A análise permite-nos identificar os graus de generalidade dos objectos de cálculo integral e o papel da álgebra na caracterização dos significados da integral definida, que devem ser tidos em conta no planeamento e gestão dos processos de ensino e aprendizagem do cálculo integral nos graus de engenharia.

Abstract The textbook is a widely used resource in the practice of teaching and, consequently, is a subject of educational research considered from various theoretical perspectives. In this paper, we apply the theoretical tools from the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction to perform the didactical analysis of a lesson on proportionality for elementary school (sixth grade; 11-12 years old). The selected lesson allows us to reflect on the instructional process planned by the textbook authors as a means to achieve the students’ learning. The following questions guide the textbook analysis: 1) What is the degree of didactical suitability of the planned instructional process? 2) How should we manage the use of the textbook to increase the process suitability? The method of analysis implemented allows us to obtain the didactic-mathematical knowledge that may help the teacher in making decisions about the textbook possibilities and limitations, when assuming the sociocultural postulates for mathematical learning.

Resumen El libro de texto es un recurso ampliamente usado en la práctica de la enseñanza y, en consecuencia, es objeto de investigación educativa, aplicando diversas perspectivas teóricas. En este trabajo se ejemplifica el uso de las herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos para realizar el análisis didáctico de una lección sobre proporcionalidad de sexto curso de primaria (11-12 años de edad). Se considera que una lección refleja el proceso de instrucción planificado por el autor como medio para lograr el aprendizaje del contenido por parte de los estudiantes potenciales del mismo. En consecuencia, se plantean las siguientes cuestiones que guían el análisis: 1) ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica del proceso de instrucción planificado? 2) ¿Cómo gestionar el uso del texto para incrementar la idoneidad del proceso? El método de análisis implementado permite obtener conocimientos didáctico-matemáticos que pueden ayudar al profesor a tomar decisiones sobre las posibilidades y limitaciones de los libros de texto cuando se asumen los postulados socioculturales sobre el aprendizaje matemático.

Abstract Although there is a fairly generalized consensus in mathematics education in favour of constructivist-type instructional models, their pertinence is controversial. Between the extreme centered models, either on the student or on the teacher, we find other mixed type models, where both educational process agents play a leading role, depending on the intended content and the students’ previous knowledge. In this article, we describe and base the implementation of a three stages mixed-type instructional model: In a first phase, the teacher acquires the leading role by introducing the theme; in a second phase of collaborative work between teacher and students, they jointly solve a situation-problem, and in a third phase the students work autonomously. This model has been experimented with 5th grade primary school students, with the objective of creating a first encounter with direct proportionality problems. Although this is a case study that does not allow the generalization of results, the evaluation of the learning achieved serves to formulate hypotheses about the influence of the instructional mixed model on student learning, which can be tested in new research cycles on this subject and in similar contexts.

Resumen Aunque suele haber un consenso bastante generalizado en educación matemática a favor de los modelos de instrucción de tipo constructivista, la cuestión de su pertinencia no deja de ser controvertida. Entre los modelos extremos centrados, bien en el estudiante o en el profesor, se pueden encontrar otros modelos de tipo mixto en los que ambos agentes del proceso educativo tienen papel protagonista, dependiendo del contenido cuyo aprendizaje se pretende y de los conocimientos previos de los estudiantes. En este trabajo se describe y fundamenta la implementación de un modelo instruccional de tipo mixto, que contempla una primera fase en la que el profesor adquiere el papel protagonista introduciendo el tema, una segunda fase de trabajo colaborativo entre profesor y alumnos, en la que resuelven conjuntamente una situación-problema, seguida de una tercera fase en la que los alumnos trabajan de manera autónoma. Este modelo ha sido experimentado con alumnos de 5° curso de primaria, siendo su objetivo crearles un primer encuentro con los problemas de proporcionalidad directa. Aunque se trata de un estudio de caso que no permite generalizar los resultados, la evaluación de los aprendizajes logrados permite formular hipótesis sobre la influencia del modelo mixto de instrucción en los aprendizajes de los alumnos, las cuales se pueden contrastar en nuevos ciclos de investigación sobre este tema y en contextos similares.

Abstract: Proportional reasoning is often considered as an access route to early algebraic reasoning. In this paper, we show the analysis of the answers of a group of fifth grade students, who are faced for the first time with proportionality tasks, analyzing in detail the developed procedures, representations, arguments and evidences obtained about their generalization capacity. We also include the tasks used as a first encounter with proportionality applying a mixed instructional and investigative model. As a result of this study we recognize features of proto-algebraic reasoning in the activity developed by students in tasks of this type.

Resumen: El razonamiento proporcional se considera frecuentemente como ruta de acceso al razonamiento algebraico temprano. En este trabajo mostramos el análisis de las respuestas de un grupo de estudiantes de quinto curso de primaria, que se enfrentan por primera vez a tareas de proporcionalidad, analizando con detalle los procedimientos desarrollados, representaciones, argumentos y evidencias obtenidas sobre la capacidad de generalización. Se incluyen también las tareas usadas como un primer encuentro con la proporcionalidad siguiendo un modelo didáctico mixto de tipo instructivo-investigativo. Como resultado de este estudio reconocemos rasgos de razonamiento proto-algebraico en la actividad desarrollada por los alumnos en tareas de este tipo.

ABSTRACT: In this paper we analyze and evaluate a training process on basic statistics and probability, conducted with a sample of 58 future teachers of primary school teachers. Applying theoretical tools from the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction the three data analysis projects used, as well as the implemented didactic trajectory are analyzed. The significant didactical facts identified allow assessing the didactical suitability of the process, taking into account the epistemic, ecological, cognitive, emotional, interactional and mediational dimensions. The results suggest that the use of situations - problems, optimizes the learning of statistics, in making sense of the mathematical techniques and theories; however, the management of the study process requires the teacher to revisit the background knowledge needed at different phases of the study process and to finally systematize the intended knowledge.

RESUMEN: El objetivo de este trabajo es analizar y evaluar un proceso formativo, sobre nociones básicas de estadística y probabilidad, llevado a cabo con una muestra de 58 futuros profesores de educación primaria. Aplicando herramientas teóricas del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos se analizan los tres proyectos de análisis de datos utilizados y la trayectoria didáctica implementada. Los hechos didácticos significativos identificados permiten evaluar la idoneidad didáctica del proceso, teniendo en cuenta las dimensiones epistémica, ecológica, cognitiva, afectiva, interaccional y mediacional. Se muestra cómo el uso de situaciones-problemas, optimiza el aprendizaje de la estadística, al dar sentido a las técnicas y teorías matemáticas, aunque la gestión del proceso de estudio requiere que el profesor recuerde los conocimientos previos necesarios en distintos momentos del proceso de estudio y sistematice finalmente los conocimientos pretendidos.

Abstract This paper introduces the development of a didactic suitability assessment guide (DSAG) for probability studies in secondary education. The objective is to have an instrument that promotes teacher reflection about teaching and learning experiences within a specific content. The starting point which the research method takes is the systematic review of the didactic-mathematical knowledge of each of the facets in which an educational process is decomposed: epistemic-ecological, cognitive-affective, and instructional (interactional and use of technological means). Subsequently, the DSAG is applied to an educational experience with students of secondary education. The results of this application reveal this tool’s potential to streamline the reflection on the practice itself, to establish relationships between the different facets, and to identify possible improvements in the design in successive cycles.

Resumen En este artículo se presenta la elaboración de una guía de valoración de la idoneidad didáctica (GVID) para el estudio de la probabilidad en educación secundaria. El objetivo que se persigue es disponer de un instrumento que promueva la reflexión docente en torno a experiencias de enseñanza-aprendizaje de un contenido concreto. El método de investigación toma como punto de partida la revisión sistemática de los conocimientos didáctico-matemáticos de cada una de las facetas en las que se descompone un proceso educativo: epistémica-ecológica, cognitiva-afectiva e instructional (interactional y uso de medios tecnológicos). Posteriormente, se aplica la GVID elaborada a una experiencia didáctica con alumnos de educación secundaria. Los resultados de dicha aplicación revelan el potencial de esta herramienta para facilitar la reflexión sobre la propia práctica, establecer relaciones entre las distintas facetas e identificar posibles mejoras en el diseño en ciclos sucesivos.

Abstract: This study describes the results of implementing a data analysis project to develop statistical knowledge in prospective primary school teachers. The project was applied to a group of 70 students distributed in 16 groups. From the reports prepared, we analyzed the competition achieved, the type of responses and the errors manifested. The analysis clearly shows certain achievements of the constructivist approach applied, and also some limitations on the learning levels. Although students prepare some answers with a degree of autonomy, their justifications are based on aspects of common statistical content knowledge without actually applying more advanced thinking, required by the problem posed. This suggests that the constructivist didactic approach should be complemented with moments of knowledge transmission to overcome blocking situations generated by the lack of previous knowledge.

Resumen: Este estudio describe los resultados de la aplicación de un proyecto de análisis de datos para desarrollar el conocimiento estadístico en futuros profesores de educación primaria. El proyecto fue aplicado a un curso de 70 estudiantes distribuidos en 16 grupos. A partir de los informes elaborados analizamos la competencia alcanzada, el tipo de respuestas y los errores manifestados. Los resultados obtenidos dejan en evidencia ciertos logros del enfoque constructivista aplicado, y también algunas limitaciones en los aprendizajes logrados. Se observa que si bien los participantes elaboran algunas respuestas con cierta autonomía, sus justificaciones están basadas en aspectos del conocimiento matemático-estadístico común del contenido, sin llegar a aplicar reflexiones más avanzadas, requeridas por el problema planteado. Esta situación sugiere que un enfoque didáctico de tipo constructivista debería ser complementado con momentos basados en la transmisión de conocimientos, para superar situaciones de bloqueo generadas por la falta de conocimientos previos.

Abstract In this article we describe analyse and evaluate the implementation of an educational design to develop the prospective mathematics teacher’s didactical analysis and reflection competence. Planning of the experience, its implementation, and evaluation are based on the application of theoretical tools of the onto-semiotic approach. In several studies supported within this theoretical framework, the notion of didactical suitability as a tool of reflection on a study process has been developed and applied. In this sense, the main objective of the learning processes described here is that prospective teachers know and be competent in the application of this tool. The research scenario is a Master course for Secondary education mathematics teachers in which 27 students participated. The information gathered is based on the analysis of: observer-researcher and teacher-researcher’s annotations on the debate in the classroom, audio recordings and the participants’ responses throughout the design cycle. The a priori analysis of the educational situation reveals a high epistemic and ecological suitability; nevertheless, time constraints have conditioned an adequate learning achievement. Finally, the analysis of class episodes, using the tools described in this article, is revealed as an ideal educational strategy, but it should be complemented with situations focused on the development of other didactical competencies.

Resumen En este artículo se describe, analiza y evalúa la implementación de un diseño formativo para iniciar el desarrollo de la competencia de análisis y reflexión didáctica de futuros profesores de matemáticas de educación secundaria. La planificación de la experiencia, su implementación y evaluación, están basados en la aplicación de herramientas teóricas del enfoque ontosemiótico. En diversas investigaciones apoyadas en este marco se ha desarrollado y aplicado la noción de idoneidad didáctica como una herramienta de reflexión sobre un proceso de estudio. En este sentido, el objetivo principal de la acción formativa que aquí se describe es que los futuros profesores conozcan y sean competentes en la aplicación de dicha herramienta. El escenario de investigación es un curso de máster de formación de profesores de matemáticas de secundaria, en el cual participaron veintisiete estudiantes. La recogida de información se basa en el análisis de: las anotaciones del observador-investigador y profesor-investigador sobre el debate en clase, las grabaciones en audio y las respuestas entregadas por los participantes durante todo el ciclo de diseño. El análisis a priori de la situación didáctica propuesta revela una alta idoneidad epistémica y ecológica; no obstante, las limitaciones del tiempo asignado han condicionado el logro de un nivel de aprendizaje adecuado. Finalmente, el análisis de episodios de clase, usando las herramientas descritas en este artículo, se revela como una estrategia formativa idónea de profesores de matemáticas, aunque debe ser complementada con situaciones focalizadas en el desarrollo de otras competencias didácticas.

Abstract This paper describes the design and implementation of a training process about proportional reasoning with students of a Master’s Degree in Secondary Education in Spain. The main objective of the experiment is to explore their initial knowledge and to evaluate how competent the participants on analysing relevant aspects of the epistemic facet of the didactic-mathematical knowledge, which are concretized in the recognition of algebrization levels through different solutions to proportionality problems, are. The participants in the experience have been 33 students, with diverse background education profiles, of the course Initiation to the Teaching Innovation and Investigation in Mathematics Education. Among the results, we highlight the students’ limitations and difficulties to identify propositions and procedures and their related arguments. Likewise, the assignment of algebrization levels has also been a complex and difficult task for the participants. Besides, some students have shown deficiencies in the common knowledge of proportionality, which serves as a basis for the didactic-mathematical knowledge of the content. It is concluded that an improvement of the results requires, among other actions, to increase the time allocated to the formative intervention, which will allow extending the number and variety of situations-problems posed, their solutions and discussions.

Resumen En este trabajo se describe el diseño e implementación de una acción formativa con estudiantes de un máster de profesorado de Educación Secundaria en España sobre el tema de proporcionalidad. El objetivo principal de la experiencia es explorar sus conocimientos iniciales y evaluar el grado de desarrollo de aspectos relevantes de la faceta epistémica del conocimiento didáctico-matemático de dicho contenido, en particular, el reconocimiento de niveles de algebrización involucrados en distintas soluciones a problemas de proporcionalidad. En la experiencia han participado 33 estudiantes con titulaciones de grado diversas y se ha realizado en el marco de la asignatura de Iniciación a la Innovación Docente e Investigación en Educación Matemática. Entre los resultados obtenidos destacamos las limitaciones en la competencia de análisis epistémico lograda, en particular, la identificación de proposiciones y procedimientos y sus correspondientes argumentaciones. En algunos casos, los estudiantes han mostrado carencias en el conocimiento común del contenido, el cual sirve de base para el conocimiento didáctico-matemático de este. Se concluye que la mejora de los resultados requiere, entre otras acciones, incrementar el tiempo asignado a la intervención formativa, lo cual permitirá incrementar el número y variedad de situaciones-problema planteadas, su solución y discusión.

Abstract Several theoretical frameworks propose different systems of mathematical knowledge for teaching that help describe teaching practices and develop plans for teacher training. This article describes one of these systems, which includes both knowledge and the competencies of a mathematics teacher, and it is based on the onto-semiotic approach of mathematical knowledge and instruction. The notions of this practices' system, onto-semiotic configuration, didactical configuration, normative dimension, and didactical suitability, are introduced in this theoretical system as analytical tools of mathematical and didactical practices. These tools are used as a basis to define five sub-competencies within the mathematics' teacher general competence of didactic analysis and intervention. Investigations are being carried out with this theoretical framework that articulates knowledge and competencies, and support the relevance and possibility that the teacher knows, understands and is able to apply the tools of analysis. Finally, it also includes a concise description on training actions for developing the didactical-mathematical knowledge, and the competence of analysis and didactical intervention for mathematics teachers.

Resumen Diversos marcos teóricos proponen sistemas de categorías del conocimiento matemático para la enseñanza que ayudan a describir la práctica docente y a elaborar planes de formación de profesores. En este artículo se describe uno de estos sistemas, que incluye tanto los conocimientos como las competencias del profesor de matemáticas y está basado en el Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos. Las nociones de sistema de prácticas, configuración ontosemiótica, configuración didáctica, dimensión normativa e idoneidad didáctica, introducidas en dicho sistema teórico, son consideradas como herramientas de análisis de las prácticas matemáticas y didácticas. Se utilizan estas nociones como base para delimitar sub-competencias de la competencia general de análisis e intervención didáctica, propia del profesor de matemáticas. Las investigaciones que se vienen realizando usando este modelo teórico de articulación de los conocimientos y las competencias, apoyan la pertinencia y posibilidad de que el profesor conozca, comprenda y esté capacitado para aplicar las herramientas de análisis propuestas en su propia práctica profesional. Se incluye también la descripción sucinta de acciones formativas para lograr el desarrollo de los conocimientos didáctico-matemáticos y la competencia de análisis e intervención didáctica de los profesores de matemáticas.

Abstract In this article, we present the results of a first approach to the mathematical practices of two Mapuche students of public schools with and without Bilingual Intercultural Education (EIB). These results are part of a research project in development on the linking of mathematical practices of Mapuche culture and school mathematics. We present an epistemic-cognitive analysis that seeks to show possible semiotic conflicts and identity in the Mapuche students at the start of learning numeration in compulsory education. The results of the analysis of mathematical practices show the need for research that addresses the epistemic articulation of the Mapuche and school mathematics, to promote the Mapuche student’ s cognitive and identity development.

Resumen En este artículo presentamos resultados de un primer acercamiento a las prácticas matemáticas de dos estudiantes mapuches de escuelas públicas con y sin Educación Intercultural Bilingüe (EIB). Estos resultados son parte de una investigación en desarrollo sobre la articulación de las prácticas matemáticas propias de la cultura mapuche y la matemática escolar. Presentamos un análisis epistémico-cognitivo para identificar conflictos semióticos e identitarios en los estudiantes mapuches al iniciar la educación obligatoria en el campo de numeración. Los resultados del análisis de los sistemas de prácticas matemáticas, tanto institucionales como personales, muestran la necesidad de realizar investigaciones que aborden la articulación epistémica de la matemática mapuche y la matemática escolar, para favorecer el desarrollo cognitivo e identitario del estudiante mapuche.

In this paper, we present results obtained from the analysis of prospective high school teachers' mathematical practices about two tasks on derivatives. This analysis exemplifies the use and scopes of the notions of mathematical practices and configurations of objects and processes, provided by the Onto-Semiotic Approach (OSA) of mathematical knowledge, to characterize the knowledge of mathematics teachers. The analysis of the students' responses show both a disconnection between the different partial meanings of the derivative as well as the need to enhance the content knowledge through activities that encourage the use and identification of mathematical objects, their meanings, and the processes involved in the solution of mathematical tasks.

En el presente trabajo se informa de los resultados obtenidos al analizar las prácticas matemáticas de una muestra de futuros profesores de secundaria/bachillerato a propósito de dos tareas sobre derivadas. Este análisis ejemplifica el uso y alcances de las nociones prácticasmatemáticas y configuración de objetos y procesos, proporcionadas por el Enfoque Onto-Semiótico (EOS) del conocimiento matemático, para la caracterización de los conocimientos del profesorado de matemáticas. Los resultados del análisis evidencian tanto una desconexión entre los distintos significados parciales de la derivada como la necesidad de potenciar el conocimiento del contenido. Este aprendizaje puede hacerse mediante actividades que favorezcan el uso e identificación de objetos matemáticos, sus significados y los procesos involucrados en la solución de tareas matemáticas.