RESUMO Neste artigo, uma abordagem para investigar o sistema chaveado afim por meio de desigualdades matriciais é apresentado. Particularmente, uma extensão do princípio de invariância de LaSalle para esta classe de sistemas sob sinal chaveamento dwell-time arbitrário é apresentado. Os resultados propostos empregam uma função escalar auxiliar comum e também múltiplas funções escalares auxiliares para estudar o comportamento assintótico das soluções chaveadas e estimar seus atratores para qualquer sinal de chaveamento dwell-time. Uma característica especifica destes resultados é que a derivada das funções escalares auxiliares podem assumir valores positivos em alguns conjuntos limitados. Além disso, um problema de otimização restrita é formulado para determinar numericamente as funções escalares auxiliares e minimizar o volume do atrator estimado. Exemplos numéricos mostram o potencial dos resultados teóricos em fornecer informações sobre o comportamento assintótico das soluções do sistema chaveado afim sob sinais de chaveamento dwell-time arbitrários.

ABSTRACT In this paper, an approach to investigate switched affine system via matrix inequalities is presented. Particularly, an extension of LaSalle’s invariance principle for this class of systems under arbitrary dwell-time switching signal is presented. The proposed results employ a common auxiliary scalar function and also multiple auxiliary scalar functions to study the asymptotic behavior of switched solutions and estimate their attractors for any dwell-time switching signal. A specific feature of these results is that the derivative of the auxiliary scalar functions can assume positive values in some bounded sets. Moreover, a problem of constrained optimization is formulated to numerically determine the auxiliary scalar functions and minimize the volume of the estimated attractor. Numerical examples show the potential of the theoretical results in providing information on the asymptotic behavior of solutions of the switched affine systems under arbitrary dwell-time switching signals.

RESUMO Uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade de umaclasse de sistemas dinâmicos autônomos não lineares é desenvolvida admitindo a existência de pontos de equilíbrio não-hiperbólicos do tipo Hopf Subcríticos na fronteira da região de estabilidade. A caracterização da região de estabilidade neste trabalho é uma extensão da caracterização já desenvolvida na literatura, que consideram somente ponto de equilíbrio hiperbólico. Sob a condição de transversalidade, mostra-se que a fronteira da região de estabilidade é composta pelas variedades estáveis de todos os pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade, incluindo as variedades estáveis dos pontos de equilíbrio Hopf Subcríticos do tipo k, com 0 ≤ k ≤ n - 2, que pertencem à fronteira da região de estabilidade.

ABSTRACT A complete characterization of the boundary of the stability region of a class of nonlinear autonomous dynamical systems is developed admitting the existence of Subcritical Hopf nonhyperbolic equilibrium points on the boundary of the stability region. The characterization of the stability region developed in this paper is an extension of the characterization already developed in the literature, which considers only hyperbolic equilibrium point. Under the transversality condition, it is shown the boundary of the stability region is comprised of the stable manifolds of all equilibrium points on the boundary of the stability region, including the stable manifolds of the subcritical Hopf equilibrium points of type k, with 0 ≤ k ≤ n - 2, which belong to the boundary of the stability region.

RESUMO. O comportamento da região de estabilidade de sistemas dinâmicos sujeitos a variação de parâmetros é estudado neste artigo. O comportamento da região de estabilidade e de sua fronteira quando o sistema vai de encontro a uma bifurcação sela-nó do tipo-k, com k≥0 na fronteira da região de estabilidade é investigado. Uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um valor de bifurcação sela-nó do tipo-k, com k≥0 é apresentado neste artigo.

ABSTRACT. The behavior of the stability region of dynamic systems subject to parameter variation is studied in this paper. The behavior of the stability region and its boundary when the system undergoes a type-k saddle-node bifurcation, with k≥0 on the stability boundary is investigated. A complete characterization of the stability boundary in the neighborhood of a type-k saddle-node bifurcation value, with k≥0 is presented in this paper.

Uma caracterização dinâmica da fronteira da região de estabilidade para uma ampla classe de sistemas dinâmicos autônomos é desenvolvida neste artigo. Essa caracterização generaliza os resultados existentes na medida em que permite a existência de pontos de equilíbrio sela-nó na fronteira da região de estabilidade. Mostra-se que a fronteira da região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável consiste das variedades estáveis dos pontos de equilíbrio hiperbólicos na fronteira da região de estabilidade e das variedades estáveis, centro-estáveis e centrais dos pontos de equilíbrio sela-nó na fronteira da região de estabilidade.

A dynamical characterization of the stability boundary for a fairly large class of nonlinear autonomous dynamical systems is developed in this paper. This characterization generalizes the existing results by allowing the existence of saddle-node equilibrium points on the stability boundary. The stability boundary of an asymptotically stable equilibrium point is shown to consist of the stable manifolds of the hyperbolic equilibrium points on the stability boundary and the stable, stable center and center manifolds of the saddle-node equilibrium points on the stability boundary.