Abstract This study seeks to perceive how students understand problem solving, identifying their solving strategies. It tries to answer the following questions: What strategies do students use to solve problems? How can problem-solving skills be promoted? What difficulties do students reveal in problem solving? The participants were 1st-graders (n=22), aged 6 to 7 years old, from Braga, Portugal. A qualitative case study approach was carried out, in the context of mathematics classes. Ten problem-solving tasks were used. The results suggest that the students felt comfortable with strategies such as the construction of schemes and tables, starting at the end, induction attempts, pattern identification, among others. Regarding the promotion of skills in the context of problem solving, the importance of students’ active involvement in discovering procedures and strategies is highlighted, as well as teacher’s role as a mediator of learning and promoter of tasks that favour the emergence of mathematically relevant strategies. The role of creativity and mathematical communication in this process is also important. Concerning problem-solving difficulties, several were identified regarding the interpretation of statements, lack of experience and previous contact with similar problems, in planning, in organizing and simplifying processes, and in solving arithmetic operations.

Resumo Este estudo procura perceber como os alunos compreendem a resolução de problemas, identificando as suas estratégias de resolução. Procura dar resposta às seguintes questões: Quais as estratégias utilizadas pelos alunos para a resolução de problemas? Como podem ser promovidas competências de resolução de problemas? Que dificuldades manifestam os alunos na resolução de problemas? Participa no estudo uma turma do 1º ano de escolaridade, com idades dos 6 aos 7 anos (n=22), de Braga, Portugal. Recorreu-se a uma metodologia qualitativa de estudo de caso, em contexto de aula de matemática, tendo-se aplicado 10 tarefas de resolução de problemas. Os resultados sugerem que os alunos, ao longo do estudo, se sentiram confortáveis com estratégias como construção de esquemas e tabelas, resolução do fim para o princípio, tentativa com indução, identificação de padrões, entre outras. No que se refere à promoção de competências no âmbito da resolução de problemas, destaca-se a importância do envolvimento ativo dos alunos na descoberta de procedimentos e estratégias, realçando o papel do professor como mediador de aprendizagens e promotor de tarefas que favoreçam o aparecimento de estratégias matematicamente relevantes. Também é relevante o papel da criatividade e da comunicação matemática nesse processo. Foram identificadas dificuldades na resolução de problemas no que se refere à interpretação de enunciados, ao contato prévio com problemas semelhantes, no planejamento, organização e simplificação de processos e na resolução de operações aritméticas.

Abstract A teacher’s knowledge determines the quality of his or her practices. However, a teacher is not always able to put her or his ideas into practice. Concerning rational numbers, it is recognized that this is an important topic, a difficult one to teach, though. Often, we see a misalignment between teachers’ ideas about fractions and their ideas about how to teach this topic. This paper analyses elementary teachers’ conceptions and ideas about practices regarding fractions, whose goal is to answer the following questions: 1) What ideas do teachers have about fractions? 2) How do they understand their teaching should be? For this purpose, thirty-one (31) Portuguese elementary teachers from public schools, with several years of teaching experience, were interviewed. An individual semi-structured interview was conducted, seeking to explore concepts and properties of fractions as well as problem-solving involving fractions. The results obtained revealed teachers’ weaknesses in mathematical knowledge associated with the concept of fraction, namely, in the domain of the different meanings of fraction, as well as in the interpretation of the different ways of representing fractions. Regarding problem-solving related to fractions, teachers’ weaknesses were also identified, particularly in situations involving discrete quantities and in marking fractional numbers on the number line. These results seem to appeal to an ideal of teacher training capable of continuously supporting and updating teaching practices.

Resumo O saber do professor determina a qualidade das suas práticas. Porém, nem sempre o professor consegue colocar em prática as suas ideias. No caso particular dos números racionais, reconhece-se que esse é um tópico importante, mas também difícil de ensinar. Mais vezes do que o desejado, assistimos a um desalinhamento entre as ideias dos professores sobre as frações e as suas ideias para o ensino desses números. Este artigo analisa as concepções e ideias sobre as práticas dos professores do 1º. ciclo do ensino básico (anos iniciais do ensino fundamental) relativamente às frações, procurando responder às seguintes questões: 1) Que ideias têm os professores sobre as frações? 2) Como entendem que deve ser o seu ensino? Para o efeito, foram entrevistados 31 professores do ensino público português, com diversos anos de experiência no ensino. Foi conduzida uma entrevista individual semiestruturada, que procurou explorar conceitos e propriedades dos números racionais, em particular das frações, e a resolução de problemas envolvendo esses números. Os resultados obtidos evidenciam fragilidades dos docentes no conhecimento matemático sobre o conceito de fração, nomeadamente no domínio dos diferentes significados de fração, e na tradução dos diferentes modos de representação de frações. Na resolução de problemas envolvendo frações para a sala de aula, identificaram-se dificuldades, particularmente em situações que envolviam quantidades discretas e na marcação de números fracionários na reta numérica. Esses resultados parecem apelar a um ideal de formação contínua de professores que possa ir apoiando e atualizando as suas práticas letivas.

Abstract Creativity is a component that has been increasingly valued in the mathematical experience. As the relationship between mathematics and creativity is recognized in the academic community, the transposition of this reality to the school environment is still infrequent. Students should also have opportunities to experience and develop tasks that stimulate their mathematical creativity. Problem formulation can be understood as a link between these two aspects, enriching the students’ experiences and mathematical learnings. This article analyses the reactions and performances of first graders (N=22) when challenged to formulate problems. It addresses two questions: 1) How do children react to problem-formulation tasks? 2) How do children perform when developing problem-formulation tasks? In this article, qualitative methods were adopted, in a case study approach, to describe children's reactions and productions in the face of problem-formulation tasks. The results revealed that the children were able to propose adequate and original problems, noting that no errors were identified in their mathematical solving, but there were identified cases of difficulties in establishing the conceptualized situation. Generally, students assumed themselves as protagonists in their problems, creating situations that involved them or their colleagues. It was also identified that these tend to agglutinate problem formulation and solving processes. Students showed enthusiasm and motivation to learn mathematics through problem formulation, conceiving mathematical situations that were meaningful and close to their context.

Resumo A criatividade é um componente que tem sido cada vez mais valorizado na experiência matemática. Sendo a relação entre a Matemática e a criatividade reconhecida na comunidade acadêmica, ainda é pouco frequente a transposição dessa realidade para o meio escolar. Também os alunos devem ter oportunidades de experienciar e desenvolver tarefas que estimulem a sua criatividade matemática. A formulação de problemas pode ser entendida como um elo de ligação entre a estimulação da criatividade e as aprendizagens matemáticas dos alunos. Este artigo analisa as reações e os desempenhos de alunos do primeiro ano de escolaridade (N=22) quando desafiados a formular problemas. Aborda duas questões: 1) Como reagem os alunos às tarefas de formulação de problemas? 2) Como realizam os alunos tarefas de formulação de problemas? Neste artigo foram adotados métodos qualitativos, numa abordagem de estudo de caso, para descrever as reações e produções das crianças perante duas tarefas de formulação de problemas. Os resultados revelaram que as crianças foram capazes de propor problemas adequados e originais, observando-se que nenhum erro foi identificado na sua resolução matemática, mas identificando-se casos de dificuldades no estabelecimento da situação conceitualizada. Geralmente, os alunos assumiram-se como protagonistas nos seus problemas, criando situações que os envolviam a si ou aos seus colegas. Também se identificou que estes tendem a aglutinar os processos de formulação e resolução de problemas. Os alunos demonstraram entusiasmo e motivação ao aprender Matemática através da formulação de problemas, concebendo situações matemáticas significativas e próximas do seu contexto.

Resumo Os estudos desenvolvidos em diferentes contextos ressaltam a capacidade que as crianças têm de resolver corretamente problemas de adição e subtração, antes ainda destas operações lhes serem formalmente ensinadas. O estudo aqui descrito procura perceber como as crianças dos 4 aos 6 anos (N=90) entendem os problemas de estrutura aditiva. Para tal, tenta responder às seguintes questões: 1) Que desempenhos apresentam as crianças quando resolvem problemas de estrutura aditiva? 2) Que estratégias usam para resolver os problemas de estrutura aditiva? Adotou-se uma metodologia quantitativa que analisa os desempenhos e as estratégias das crianças quando resolvem 28 problemas de estrutura aditiva, apresentados a partir de entrevistas estruturadas individuais. Os resultados sugerem que as crianças resolvem com facilidade os problemas propostos e utilizam estratégias adequadas para responderem corretamente, chegando mesmo a recorrer a estratégias abstratas como a contagem e os fatos numéricos.

Abstract Several studies report young children's ability to solve addition and subtraction problems before receiving any formal instruction. This study focuses on how 4-6-year-old children (N=90) understand additive structure problems. It addresses two questions: 1) How do children perform when solving additive structure problems? 2) What strategies do children use when solving additive structure problems? Quantitative methods were used to analyse children's performance and strategies when solving 28 additive structure problems presented to them using individual interviews. Results suggest that children easily solved the given problems using adequate strategies, some could even count and rely on numerical facts.

Resumo: A compreensão dos números racionais é um dos maiores desafios conceituais enfrentados pelos estudantes na aprendizagem matemática durante a educação básica. No que diz respeito às frações, estabelecer a relação inversa entre o numerador e o denominador torna-se uma habilidade fundamental na construção do conceito. Os objetivos deste estudo foram: verificar como a compreensão da relação inversa entre quantidades menores do que a unidade, apresentadas nas situações de quociente e parte-todo, influencia na aprendizagem das frações; e perceber se existe diferença no desempenho entre alunos brasileiros e portugueses quanto à compreensão da relação inversa entre quantidades em problemas de fração. Os resultados indicam que os estudantes apresentam uma melhor compreensão da relação inversa entre quantidades na situação quociente e apontam que os desempenhos dos estudantes portugueses são significativamente melhores do que os dos estudantes brasileiros, nos diferentes tipos de situação. A discrepância no desempenho dos estudantes pode ser explicada pelas diferenças nos programas curriculares de matemática no quarto ano nesses países. Implicações no ensino da matemática nesses dois países foram discutidas.

Abstract: The understanding of rational numbers is one of the major conceptual challenges faced by students in mathematics learning in basic education. Regarding fractions, to establish the inverse relationship between the numerator and the denominator becomes a key issue in concept formation. The main goals of this study were: to understand if the inverse relationship between smaller quantities than the unit in quotient and part-whole situations influences the learning of fractions; and to compare Brazilian and Portuguese students’ comprehension of the inverse relationship between quantities in fraction problems, using quotient and part-whole situations. The results indicate that students have a better grasp of the inverse relationship between the quantities in the quotient situation and also showed that Portuguese students performed significantly better than Brazilian students in the both types of situations. The discrepancy in student performance can be explained by differences in the curricula of mathematics in grade four in these countries. Implications for the teaching of mathematics in these two countries were also discussed.