Abstract In this article, we identify logical contradictions between two different approaches to the notions of limit and continuity of a real function: that of Calculus books and the one usually found in Real Analysis books. In addition to pointing out these contradictions, we indicate their origin and briefly comment on possible consequences for teaching and learning university mathematics, especially in courses which have Real Analysis as a mandatory part of their curricula. The negative impact of these contradictions on students’ learning may demand a particular concern in Mathematics undergraduate courses, where Real Analysis comes after a two-year teaching/learning process that crystallizes the Calculus books approach. The way it was conceived, this study might also contribute to the professional development of mathematics teacher educators and Calculus teachers in general.

Resumo Neste artigo, identificamos contradições lógicas entre duas diferentes abordagens das noções de limite e continuidade de função: a dos livros de Cálculo e a dos livros de Análise na Reta. Além de explicitar essas contradições, apontamos suas origens e comentamos brevemente possíveis consequências delas para o ensino e a aprendizagem, especialmente no que concerne aos alunos dos cursos de Matemática (Bacharelado e Licenciatura), os quais têm como obrigatória, em seus respectivos currículos, a disciplina Análise na Reta. A pertinência de considerar a potencialidade de um impacto negativo dessas contradições no processo de aprendizagem de alunos do Bacharelado e da Licenciatura em Matemática diz respeito ao fato de que normalmente a Análise Real é oferecida, nesses cursos, após cerca de dois anos de um processo de ensino de várias disciplinas em que se cristaliza, na mente dos estudantes, a abordagem dos livros de Cálculo acerca das noções de limite e continuidade de funções. Por fim, destacamos que este estudo oferece, ainda, potencial contribuição ao processo de desenvolvimento profissional do formador de professores na Licenciatura e dos professores de Cálculo em geral.

Resumo A linguagem da Matemática antiga costuma soar hermética àqueles habituados ao simbolismo algébrico com que representamos as ideias da Matemática hoje. Assim, para tornar uma sentença da Matemática clássica mais clara ao leitor atual, é comum reescrevê-la utilizando a notação moderna. No entanto, essa estratégia pode ofuscar algumas características e pressupostos fundamentais da Matemática grega. No caso dos Elementos, para entendermos sua estruturação e suas bases conceituais, precisamos levar em consideração questões teóricas enfrentadas por Euclides. Na passagem da Matemática antiga para a moderna, conceitos fundamentais, como o de número e o de medida, se modificaram; o raciocínio analítico se impôs ao pensamento sintético; e o papel da Matemática na elaboração do conhecimento em geral foi repensado. Por isso, o uso da linguagem algébrica moderna para “traduzir” enunciados contidos nos Elementos pode ocultar essas diferenças e gerar interpretações equivocadas das bases da Matemática clássica e de suas relações com a Matemática atual.

Abstract Ancient mathematical language usually appears hermetic to those used to the algebraic symbolism we represent mathematical ideas today. Hence, in order to try to make a classic mathematical sentence clear to a generic reader, it is frequently “translated” into modern algebraic language. However, this kind of strategy may obscure some important characteristics and founding structures of Greek Mathematics. In the case of Euclid's Elements, in particular, to understand its conceptual basis, it is especially relevant to consider some fundamental theoretical issues faced by Euclid in his time. In the course of moving from ancient to modern mathematics, some important concepts, like those of number and measure, have changed. Furthermore, analytic reasoning has imposed itself over synthetic reasoning in a context where the role attributed to mathematics in the development process of general knowledge has significantly changed. In this article, we argue that “translating” mathematical sentences in Euclid's Elements into modern algebraic language may conceal differences and changes that were developed along thousands of years, inducing inaccurate interpretations of the classical mathematics foundations as well as of its relations with today's mathematics.

Resumo Neste trabalho analisam-se as respostas apresentadas por 18 educadores matemáticos a um questionário sobre a ementa e o papel da disciplina Análise Real nos cursos de Licenciatura em Matemática e traça-se um paralelo com as respostas dadas por matemáticos a esse mesmo questionário em 2005. Os educadores matemáticos são pesquisadores selecionados entre os que orientaram tese de doutorado entre 2006 e 2011 em instituições universitárias brasileiras. Os procedimentos metodológicos foram os mesmos utilizados na análise das respostas dos matemáticos: elas foram submetidas a um processo de unitarização para a construção de categorias, segundo a abordagem metodológica da Análise de Conteúdo. Descrevem-se duas categorias que sintetizam os argumentos dos educadores matemáticos em favor da obrigatoriedade da disciplina no curso de licenciatura e comparam-se esses argumentos com os obtidos no estudo com os matemáticos, publicado em 2005. Os resultados mostram que, em geral, os argumentos dos dois grupos convergem, embora sutis diferenças de percepção do papel da Análise Real na Licenciatura tenham sido identificadas.

Abstract This article presents the answers given by 18 mathematics educators to a questionnaire about the role of a Real Analysis course in mathematics teacher education at university level, comparing them with the answers given by mathematicians to the same questionnaire in 2005. Participants of this research were selected among doctorate thesis supervisors in Mathematics Education, in the time period between 2006 and 2011, working at leading universities in Brazil. The data were analyzed according to the Content Analysis' methodological approach. We describe two categories of arguments that emerged from the data, according to which a Real Analysis course should be a mandatory part of the curriculum in prospective mathematics teacher education and compare them with the ones obtained in the study with the mathematicians in 2005. The results indicate a general convergence in the views of both professional groups, although subtle differences were detected.

Este artigo, que serviu como Trabalho Encomendado do GT19 na 35ª Reunião Anual da Anped, consta de três seções. Na primeira, discutimos algumas possibilidades de abordagem do tema proposto, destacando a sua riqueza e atualidade, assim como a necessidade de se pensar o lugar da Matemática na licenciatura em conjunção com o lugar (ou lugares) dos demais saberes da formação inicial do professor de Matemática da Educação Básica. Na segunda seção, apresentamos uma síntese dos trabalhos enviados ao GT19 como contribuição para a discussão, cada um deles com sua perspectiva de abordagem do tema. Por fim, na terceira e última seção, esboçamos um quadro de referência a partir do qual se podem situar as ideias fundamentais no desenvolvimento do debate sobre o tema nas últimas três décadas. A partir dele, tecemos algumas considerações acerca das perspectivas apresentadas nos trabalhos sintetizados.

This text, written primarily as a reference for discussion regarding the place of mathematics in prospective mathematics teacher education, in GT19 of the 35ª Annual Meeting of ANPED (Brazil), consists of three sections. In the first, we raise a few possibilities regarding how to approach this theme; we stress its richness and breadth while arguing that the appropriate place for mathematics in mathematics teacher education must be considered simultaneously with the place of other kinds of schoolteacher professional knowledge. In the second section, we provide a synthesis of the perspectives presented in four papers, written as contributions to the debate that took place in the meeting. Finally, in the third section, we outline a theoretical framework that serves as the basis for situating the fundamental ideas in the development of the debate on the theme over the past three decades. Based on the framework, we also provide some considerations on the perspectives presented in the summarized works.

Uma análise atenta dos currículos da formação inicial do professor de matemática no Brasil nos leva à seguinte conclusão: a licenciatura saiu do 3+1, mas o 3+1 ainda não saiu da licenciatura. No que segue, explico o que quero dizer com isso, defendo a necessidade urgente de uma efetiva superação desse esquema na formação inicial do professor e discuto as possibilidades de implementação de uma nova estrutura nos cursos de licenciatura em matemática. Este texto, escrito para a conferência de encerramento da II Escola de Inverno em Educação Matemática (Santa Maria, RS), não é um relato de pesquisa, mas as ideias aqui desenvolvidas têm seus fundamentos em parte da literatura especializada na área de formação de professores de matemática, principalmente das três últimas décadas. Num momento em que se discutem,nacionalmente, os Referenciais Curriculares para a Formação do Professor (vide Comissão Paritária SBEM-SBM), este texto chama a atenção para as dificuldades estruturais inerentes a uma concepção curricular em que a formação matemática e as discussões de questões referentes ao ensino escolar da matemática sejam vistos como blocos de formação relativamente autonomizados.

Analysis of the curricular structure of prospective mathematics teacher education in Brazil leads us to the following conclusion: "these courses have abandoned the 3+1 formula, yet 3+1 has not abandoned them". In what follows I explain what I mean by that, argue in favor of an effective change in the structure of the curricula, and briefly discuss the possibilities of actually implementing the proposed direction of change. Written for the final speech of the II Escola de Inverno em Educação Matemática (Santa Maria, RS) this text is not a research report, though the ideas discussed here are based on part of the specialized literature relative to the field of mathematics teacher education, especially in the last three decades. As a nationwide discussion takes place in Brazil on the so-called Curricular Framework for Prospective Mathematics Teacher Education, this text points to the structural difficulties inherent to a curricular conception according to which content knowledge is defined and taught in a relatively autonomous way with respect to methods and theories of teaching and learning school mathematics.

Desenvolve uma análise do processo de formação matemática na licenciatura, confrontando o conhecimento matemático veiculado nesse processo com algumas das questões que se colocam para o professor na sua prática docente na escola básica. O estudo focaliza os números naturais e toma como referência o curso diurno de licenciatura em matemática da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). As fontes utilizadas são livros didáticos escolares e universitários, documentos curriculares referentes ao curso de licenciatura da UFMG e, de modo especial, a literatura de pesquisa no campo da educação matemática. O estudo, ao mesmo tempo em que descreve uma parte dos conhecimentos matemáticos envolvidos nas questões da prática profissional docente na escola básica, explicita formas concretas com que se expressa a dicotomia formação/prática - reiteradamente apontada nos estudos sobre as licenciaturas, mas quase sempre num plano genérico e, muitas vezes, superficial.

This article, analyse the process of formation for mathematics' teachers at undergraduate level, confronting the mathematical knowledge transmitted in this process with some of the issues the teacher is faced with at school. The study focuses on the natural number system and refers to the undergraduate degree in mathematics at the Federal University of Minas Gerais (UFMG), in Brazil. The sources used include textbooks on numbers (at school and university levels), syllabus specifications for the referred course and the research literature on mathematics education. We describe part of the mathematical knowledge (about natural numbers) involved in professional teaching practice at elementary school. We also point out some concrete forms taken on by the formation/teaching practice dichotomy, thus contributing to a better understanding of this important and much debated issue.