Uma transformação de similaridade é uma relação de equivalência entre matrizes quadradas que preserva o determinante, traço e autovalores da matriz, tendo papel fundamental na mecânica quântica para fins de simplificar sistemas hamiltonianos muito complexos, o que permite melhorar de forma significativa as soluções analíticas no uso de teoria de perturbações. Um exemplo prototípico desse tipo é a teoria BCS para a supercondutividade convencional, derivada de uma transformação de similaridade da interação elétron-fônon original, escrita na forma de segunda quantização. Nesse trabalho, discutimos o método geral para escrever o operador de transformação de similaridade na forma de segunda quantização, permitindo reescrever o hamiltoniano de interação entre férmions e bósons, obtendo uma teoria efetiva em que somente os graus de liberdade de interesse são retidos depois da transformação.

A similarity transformation is an equivalence relation between square matrices which preserves determinant, trace and eigenvalues, playing a key role in quantum mechanics in simplifying complex hamiltonian systems and improving analytical results attainable from the use of perturbation theory. As a prototypical example, the conventional BCS theory of superconductivity is usually derived from a similarity transformation of the original electron-phonon hamiltonian, written in second quantized version. Here we discuss the general method for writing the similarity transformation operator in second quantized form, allowing one to recast a hamiltonian describing an interacting fermion-boson system into an effective theory in which only the desired degrees of freedom are kept after the transformation.

O objetivo deste trabalho é apresentar os conceitos básicos relacionados aos fenômenos de difração e dispersão, permitindo ao leitor perceber as diferenças fundamentais entre os mesmos. Utilizam-se como ferramentas matemáticas fundamentais as noções gerais da equação de ondas, as equações de Maxwell para ondas planas uniformes e a transformada de Fourier para mostrar que a difração está associada à superposição de ondas monocromáticas com vetores de onda em diferentes direções, tratando-se de um fenômeno espacial, enquanto a dispersão corresponde à superposição de ondas de diferentes frequências e tem portanto um caráter temporal. Embora a ênfase seja dada para as ondas eletromagnéticas, os principais resultados podem ser prontamente generalizados para ondas de qualquer natureza (som, ondas em fluídos ou ondas de matéria no caso da mecânica quântica)

The aim of the present work is to present the basic concepts related to the phenomena of diffraction and dispersion, allowing an understanding of fundamental differences between them. To do this, it was used as the main mathematical tools the general notions of wave equation, Maxwell's equations for uniform plane waves and Fourier transforms, showing that diffraction is a consequence of superposition of monochromatic waves with wave-vectors in distinct directions, being in essence a spatial phenomenon, while dispersion corresponds to the sum of waves having different frequencies producing a phenomenon with an essential temporal character. Despite the fact that we emphasized electromagnetic waves the main results can be promptly generalized to waves of any nature (sound, waves in fluids or matter waves in quantum mechanics)