Abstract This paper investigates the introduction of the derivative notion and, specifically, the introduction of the derivative function, as a significant moment in the development of mathematical work on functions. In particular, we analyse the process of genericization that two Italian teachers conducted with their grade 13 students, in order to make them shift from the derivative at a specific point x0to the derivative as a global function in the x variable. Specifically, we analyse the role of the teacher in the semiotic genesis of this process and investigate the role of semiotic resources therein. As a result, we highlight the importance of conducting carefully this shift from the pointwise x0 sign to the global x sign, in order to gain an actual shift in the perceived properties of the derivative function, which depends on the x sign as a variable. In conclusion, we connect our findings to the model of the Mathematical Working Space of functions, with particular regard to the “visualisation” process and the semiotic axis.

Resumen En este artículo se estudia la introducción de la noción de derivada, especialmente de la función derivada, como un momento significativo en el desarrollo del trabajo matemático relativo a las funciones. Particularmente, se analiza el procesos de genericización que dos profesores italianos conducen con sus estudiantes de último año de liceo, con el objetivo de de hacerlos pasar de la derivada en un punto específico x0a la derivada como una función global de la variable x. Específicamente, se analiza el rol del profesor en le génesis semiótica del proceso y se investiga el rol de los recursos semióticos implicados. Como resultado, se resalta la importancia de conducir cuidadosamente el paso desde el símbolo puntual x0 al símbolo global x, para ganar un cambio real en las propiedades percibidas de la función derivada, que depende del símbolo x como variable. En conclusión, conectamos los resultados al modelo del espacio de trabajo matemático de funciones, con un particular énfasis en el proceso de “visualización” y el eje semiótico.