O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) é um dos critérios mais utilizados para o ajustamento de informações onde o número de observações é superabundante e o sistema de equações, devido à presença de erros no processo experimental de medições, inconsistente. Este método adota como solução única para tais problemas aquela que minimiza a soma do quadrado dos erros aleatórios, e é largamente empregado em aplicações geodésicas. A fundamentação teórica envolvida no MMQ, contendo o desenvolvimento matemático do método, é amplamente difundida na comunidade geodésica. Porém, neste artigo, o objetivo é apresentar uma revisão teórica sobre a interpretação geométrica do MMQ, e uma solução alternativa de cálculo para este, advinda desta interpretação. Dois exemplos também são apresentados, onde a interpretação geométrica foi demonstrada numericamente para problemas envolvendo duas observações e um parâmetro e também quatro observações e dois parâmetros.

The Least Squares Method (LSM) is one of the most useful criteria for the adjustment of data where the number of observations is redundant and the system of equations, due to the presence of errors in experimental measurements, inconsistent. This method takes as a single solution that which minimizes the sum of the squared random errors, and is widely used in geodetic applications. The theoretical foundation involved in the LSM, containing the mathematical development of the method, is widespread in the geodetic community. However, in this paper, the goal is to present a theoretical review of the geometric interpretation of the LSM, and an alternative computation solution, derived from this interpretation. Two examples are also shown, where this geometric interpretation has been demonstrated numerically for problems involving two observations and a parameter, and also four observations and two parameters.

Embora de simples determinação, valores exatos de fósforo remanescente (Prem) poderiam ser estimados com uma função de pedotransferência visando ao aproveitamento adicional de resultados de análises de avaliação da fertilidade do solo ou sua substituição por uma determinação ainda mais simples. O objetivo do presente trabalho foi desenvolver uma função de pedotransferência para estimar o Prem em amostras de solos do Estado de São Paulo a partir de atributos de mais fácil ou rotineira determinação laboratorial. Uma função de pedotransferência foi desenvolvida por meio de redes neurais artificiais a partir de um conjunto de dados formado por valores de Prem, de pH determinado em solução de NaF 1 mol L-1 (pH NaF) e de outros atributos de amostras coletadas durante as atividades de classificação de solo realizadas no Estado de São Paulo pelo Instituto Agronômico de Campinas. Adicionalmente, uma função de pedotransferência foi ajustada por meio de regressão linear múltipla, considerando-se o Prem como variável dependente das mesmas variáveis de entrada da função de pedotransferência desenvolvida via redes neurais artificiais. Os resultados indicaram que valores mais exatos de Prem podem ser estimados pela função de pedotransferência baseada em redes neurais artificiais tendo como variáveis de entrada valores de pH NaF, da soma de bases trocáveis (SB) e do teor de alumínio trocável (Al3+). Adicionalmente, observou-se que a exatidão das estimativas de Prem fornecidas pela rede neural artificial foi mais sensível ao aumento do número de dados experimentais utilizados para o desenvolvimento da função de pedotransferência. Apesar de o conjunto de dados utilizado não ser suficientemente abrangente para o estabelecimento de uma função de pedotransferência definitiva para estimativas de Prem, os resultados sugerem como promissora a inclusão de medidas de Prem e de pH NaF entre as análises de avaliação da fertilidade do solo com vistas à formação de um maior banco de dados, que permita o desenvolvimento de uma função de pedotransferência baseada em redes neurais artificiais para o cálculo de valores suficientemente exatos de Prem a partir de valores de pH NaF, SB e Al3+.

Although the determination of remaining phosphorus (Prem) is simple, accurate values could also be estimated with a pedotransfer function (PTF) aiming at the additional use of soil analysis data and/or Prem replacement by an even simpler determination. The purpose of this paper was to develop a pedotransfer function to estimate Prem values of soils of the State of São Paulo based on properties with easier or routine laboratory determination. A pedotransfer function was developed by artificial neural networks (ANN) from a database of Prem values, pH values measured in 1 mol L-1 NaF solution (pH NaF) and soil chemical and physical properties of samples collected during soil classification activities carried out in the State of São Paulo by the Agronomic Institute of Campinas (IAC). Furthermore, a pedotransfer function was developed by regressing Prem values against the same predictor variables of the ANN-based PTF. Results showed that Prem values can be calculated more accurately with the ANN-based pedotransfer function with the input variables pH NaF values along with the sum of exchangeable bases (SB) and the exchangeable aluminum (Al3+) soil content. In addition, the accuracy of the Prem estimates by ANN-based PTF were more sensitive to increases in the experimental database size. Although the database used in this study was not comprehensive enough for the establishment of a definitive pedotrasnfer function for Prem estimation, results indicated the inclusion of Prem and pH NaF measurements among the soil testing evaluations as promising ind order to provide a greater database for the development of an ANN-based pedotransfer function for accurate Prem estimates from pH NaF, SB, and Al3+ values.

A informação da altitude fornecida pelo sistema GNSS ( Global Navigation Satellite System ) é puramente geométrica, e na maioria dos trabalhos de engenharia a altitude deve estar referenciada ao geóide. Com um número suficiente de Referências de nível (Rn's) com coordenadas horizontais e verticais conhecidas, quase sempre, é possível ajustar-se, pelo Método dos Mínimos Quadrados, expressões matemáticas que permitem interpolar as alturas geoidais. O objetivo deste trabalho foi avaliar a eficiência das Redes Neurais Artificiais (RNAs) no processo de predição de alturas geoidais tendo como área de estudo o Estado de São Paulo. As informações utilizadas basearam-se em um conjunto de 157 Referências de nível (Rn's) distribuídas uniformemente em todo Estado. Para estas Rn's são conhecidas suas coordenadas horizontais (latitude e longitude) e verticais (altitudes geométrica e ortométrica e altura geoidal). Das 157 Rn's, 115 foram utilizadas para o treinamento da RNA e 42 no processo de simulação para avaliar a eficiência do modelo proposto. A eficiência baseou-se em determinar as discrepâncias (erro) entres as alturas geoidais conhecidas e as obtidas pelo modelo neural. Como contribuição da pesquisa comparou-se também os valores simulados com o Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) e também com o MAPGEO2004. Em termos de resultados a RNA proporcionou um erro absoluto médio de 0,19 m ± 0,14 m com uma forte correlação (R² = 0,9871) com os valores tomados como verdadeiros. Estatisticamente os testes realizados mostraram que não houve diferença entre as médias das alturas geoidais conhecidas e as fornecidas pelo modelo neural para um nível de significância de 5%. Comparando-se os resultados com o EGM2008 e MAPGEO2004 a RNA proporcionou uma redução no erro de 0,07 m e 0,44 m, respectivamente.

The information of height provided by the GNSS (Global Navigation Satellite System) is purely geometrical, and in most engineering papers, the height must be referenced to the geoid. Provided we have a sufficient number of Bench Marks (BMs) with known horizontal and vertical coordinates, it is nearly always possible to adjust mathematical expressions that allow for the interpolation of geoidal heights. The aim of this paper is to evaluate the efficiency of Artificial Neural Network (ANN) in the process of predicting geoidal heights, having the State of São Paulo as the area of study. The information used is based on a set of 157 BMs, evenly distributed all across the State. The horizontal coordinates (latitude and longitude) and the vertical coordinates (geometrical, orthometrical and geoidal heights) of these BMs are known. From the 157 BMs, 115 were used for the training of RNA and 42 in the process of simulation to assess the efficiency of the model proposed. Efficiency is based in determining the discrepancies (error) between known geoidal heights and those which were obtained by the neural model. As a contribution to this research, we have compared the values simulated with the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) and with the MAPGEO2004 as well. In terms of results, the RNA produced a mean absolute error of 0.19 m ± 0.14 m and a strong correlation (R² = 0.9871) with the values taken as true. Statistically, the tests showed that there was no difference between known geoidal heights and those which were provided by the neural model for a level of significance of 5%. When we compare these results with the EGM2008 and MAPGEO2004, the RNA has an error reduction of 0.07 and 0.44 m, respectively.