Investigação paramétrica do efeito da transferência de momentos na resistência à punção de ligações laje-pilar

Parametric investigation of the effect of moment transfer on the punching shear strength of slab-column connections

Resumo

Nas ligações laje-pilar são concentradas elevadas tensões de cisalhamento, favorecendo a ocorrência da ruptura por punção. Em projetos de edifícios, é comum a ocorrência da transferência de momentos desbalanceados na ligação laje-pilar, reduzindo significativamente a resistência à punção. Porém, algumas normas apresentam maior imprecisão para casos com momento desbalanceado. Nesse sentido, para investigar o efeito da transferência de momentos na resistência à punção de ligações laje-pilar de concreto armado sem armadura de cisalhamento, inicialmente, foram realizadas modelagens numéricas não lineares dos especimes ensaiados experimentalmente por Kruger (1999), utilizando o software de elementos finitos ATENA. Validaram-se os modelos computacionais por meio da comparação dos resultados de carga versus deslocamento, perfil de deslocamento vertical, evolução do dano e superfície de ruptura. A partir dessa validação, foi realizado um estudo paramétrico com base nesses modelos computacionais, variando a excentricidade de carregamento. Comparando-se os resultados obtidos da análise paramétrica com as previsões das normas americana e brasileira, foram obtidos resultados que indicam os efeitos provocados pela excentricidade na resistência à punção.

Palavras-chave
Concreto armado; Ligação Laje-pilar; Modelagem computacional; Resistência à punção; Momento desbalanceado

Abstract

In slab-column connections, high shear stresses are concentrated, favoring the occurrence of punching failure. In building design, the transfer of unbalanced moments in the slab-column connection is common, significantly reducing the punching resistance. However, some standards present greater imprecision for cases with unbalanced moment. In this context, to investigate the effect of moment transfer on the punching resistance of reinforced concrete slab-column connections without shear reinforcement, nonlinear numerical modeling of the specimens experimentally tested by Kruger (1999) was initially performed using the finite element software ATENA. The computational models were validated through the comparison of load versus displacement results, vertical displacement profiles, damage evolution, and failure surfaces. Based on this validation, a parametric study was carried out using these computational models, varying the loading eccentricity. By comparing the results obtained in the parametric analysis with the predictions of the American and Brazilian codes, results were obtained that indicate the effects caused by eccentricity on punching resistance.

Keywords
Reinforced Concrete; Slab-Column Connection; Computational Modeling; Punching resistance; Unbalanced moment

Introdução

O tipo de sistema estrutural escolhido na fase de concepção dos projetos tem impacto significativo em todos os aspectos da obra, já que a construção desse geralmente leva cerca de 50% da duração total do empreendimento (Goodchild, 2001). Nesse contexto, no início do século 20, foi desenvolvido nos EUA e na Europa um sistema estrutural com lajes de concreto apoiadas diretamente sobre pilares, denominadas lajes lisas. Porém, esses projetos ainda incluíam grandes capitéis, dificultando sua execução. A partir da década de 1950, as lajes lisas sem capitéis começaram a predominar devido à sua simplicidade, tornando-se atualmente um sistema usual para estruturas de concreto nas regiões da América do Norte, parte da Europa e da Ásia, sendo utilizado para projetos de edifícios residenciais, escritórios e estacionamentos (Muttoni, 2008).

Este crescente uso do sistema estrutural de lajes lisas ocorre devido a diversas vantagens construtivas em relação ao sistema convencional com vigas, como a simplificação das fôrmas, facilitando os processos de montagem e desmontagem, aumentando a produtividade e diminuindo o desperdício. Além disso, apresenta facilidade na disposição de instalações elétricas, hidráulicas e de ar-condicionado, permitindo a flexibilização do layout do imóvel e facilitando a execução de um número maior de pavimentos para uma mesma altura total do edifício, já que oferece a possibilidade de diminuir o pé-direito.

Apesar das vantagens apresentadas, esse sistema construtivo com lajes lisas de concreto apresenta desvantagens em relação à redução da rigidez da edificação em relação aos esforços horizontais. Com isso, há uma dificuldade na sua utilização em edifícios altos, devido a necessidade de um controle rigoroso dos deslocamentos e em alguns casos é necessária a utilização de armaduras de cisalhamento. Além disso, apresentam elevado peso próprio, devido à grande espessura das lajes, e estão suscetíveis ao modo de ruptura por puncionamento nas ligações laje-pilar, devido ao complexo comportamento, tornando essas estruturas vulneráveis ao colapso progressivo.

Nesse sentido, a capacidade resistente à punção é um dos fatores mais importantes no dimensionamento desses elementos, já que esse é frequentemente o modo de ruptura dominante. A ocorrência desse fenômeno é provocada por elevadas tensões cisalhantes na zona de ligação laje-pilar, podendo ocorrer em diferentes posições ao longo da estrutura, dependendo do carregamento e das condições de contorno, formando uma superfície de ruptura cônica, conforme apresentado na Figura 1 (Einpaul et al., 2016). Esse tipo de ruptura ainda é associado, geralmente, a pequenas deformações e aberturas de fissuras antes de falhar, podendo ocorrer sem sinais de alerta perceptíveis.

De acordo com Kruger (1999), quando são adicionadas a esse problema mais variáveis, como o momento desbalanceado nas ligações laje-pilar, são provocadas reduções significativas na resistência à punção, já que essa transferência de momento da laje para o pilar afeta diretamente a distribuição do cisalhamento nessa ligação. Segundo Santos et al. (2024), essa solicitação é comum na prática de projetos com sistemas estruturais de lajes lisas de concreto armado, devido às variações entre vãos e nos carregamentos, em razão de layouts irregulares, além de sofrerem a ação de forças horizontais, provocadas pelo vento, por sismos ou por diferencial de fluência e retração em lajes contínuas.

Figura 1
Modos de ruptura por punção em ligações laje-pilar

Apesar do exposto, ocorre uma escassez de trabalhos relacionados ao comportamento à punção de ligações laje-pilar com armadura de cisalhamento submetidos a momentos desbalanceados, sendo a grande maioria de trabalhos experimentais, os quais possuem dificuldades em relação ao tempo excessivo e ao alto custo envolvido, tanto de materiais como de equipamentos, impossibilitando a investigação de alguns parâmetros importantes (Zheng et al., 2023). Dessa forma, são necessários mais estudos sobre esse fenômeno.

Nesse contexto, a análise de elementos finitos (FEA) é uma alternativa para ampliar o conhecimento sobre o assunto, podendo ser realizada a calibração dos modelos computacionais não-lineares com base nos resultados dos experimentos, prevendo com precisão a capacidade resistente, o modo de ruptura e o comportamento geral da estrutura, para posterior acesso a informações não verificadas experimentalmente (Mansour et al., 2024).

Assim, esse trabalho tem como objetivo investigar, por meio de modelagem computacional não-linear, utilizando o software de elementos finitos ATENA, o efeito da transferência de momentos na resistência à punção de ligações laje-pilar internas de concreto armado sem armadura de cisalhamento, considerando diferentes excentricidades de carregamento e comparando os resultados com estimativas normativas do ACI 318 (ACI, 2019) e da NBR 6118 (ABNT, 2023).

Prescrições normativas

ACI 318 (ACI, 2019)

O ACI 318 (ACI, 2019) estabelece que a resistência ao cisalhamento bidirecional seja determinada no perímetro crítico, afastado a d/2 do pilar, sendo realizadas mudanças na espessura da laje lisa quando necessário, para situações sem armadura de cisalhamento. Na Figura 2 é apresentado o perímetro crítico utilizado em casos de lajes apoiadas em pilares quadrados.

A resistência ao cisalhamento bidirecional (𝒗_𝒄) para uma laje lisa sem armadura de cisalhamento é calculada por meio da Equação 1.

$v_c=min\left\{\begin{array}{c}0.33\\ 0,17(1+\frac{2}{\beta })\\ 0,083(2+\frac{a_{s}d}{b_0})\end{array}\right\}{\lambda }_s\lambda \sqrt{f_c^{\prime }}$ Eq. 1

Figura 2
Perímetro crítico localizado a d/2 em relação a face do pilar interno

Sendo o “size effect” (λ_s) dado pela Equação 2.

${\lambda }_s=\sqrt{\frac{2}{1+0,004\cdot d}}\le 1,0$ Eq. 2

E sendo também:

β a razão entre o maior e o menor lado do pilar;

a_s o fator para a seção crítica, levando em consideração a disposição do pilar, sendo igual a 40 para pilares internos, 30 para pilares de borda e 20 para pilares de canto;

d a profundidade efetiva da laje, sendo igual a distância entre a fibra mais comprimida ao centroide da armadura de flexão;

b₀ o perímetro da seção crítica para cisalhamento bidirecional em lajes;

λ 1 para concreto de densidade normal e varia entre 0,75 e 1,0 para concretos de baixa densidade; e

f_c′ a resistência à compressão do concreto.

Nesse sentido, o concreto submetido a esforços de cisalhamento, como o que ocorre em ligações laje-pilar, deve satisfazer à seguinte condição de dimensionamento apresentada na Equação 3.

$v_n\ge v_u$ Eq. 3

Sendo:

𝑣_𝑛 a tensão equivalente do concreto correspondente à resistência nominal ao cisalhamento bidirecional da laje; e

𝑣_u a tensão de cisalhamento bidirecional máxima calculada em torno do perímetro crítico.

Além disso, tem-se que a tensão solicitante na ligação laje-pilar depende da carga transferida da laje para o pilar, podendo essa carga ser concêntrica ou excêntrica. Em caso com excentricidade, o momento fletor ocasiona um aumento na tensão solicitante em alguns trechos do perímetro crítico, enquanto outros apresentam uma diminuição de solicitação. Dessa forma, é necessário analisar a tensão solicitante ao longo de todo o perímetro crítico, considerando duas componentes de momentos fletores e verificando qual seria o maior valor absoluto de solicitação para o dimensionamento à punção. Na Figura 3 são exibidas as tensões de cisalhamento nos quatro trechos do perímetro crítico de ligações laje-pilar internos.

Com isso, quando existe transferência de momento fletor na ligação laje-pilar, o valor máximo da tensão de cisalhamento solicitante é calculado utilizando a Equação 4.

$v_u=\frac{V_u}{A_c}+\frac{{\gamma }_v\cdot M_u\cdot c}{J_c}$ Eq. 4

Em que o fator utilizado para determinar a fração de cisalhamento transferida pelo momento fletor solicitante(γ_v) é obtido pela Equação 5.

${\gamma }_v=(1-{\gamma }_f)$ Eq. 5

Figura 3
Tensões solicitantes no perímetro crítico de ligações laje-pilar internas

Sendo o fator utilizado para determinar a fração de flexão transferida pelo momento fletor solicitante (γ_f) dado pela Equação 6.

${\gamma }_f=\frac{1}{1+\frac{2}{3}\cdot \sqrt{\frac{b_1}{b_2}}}$ Eq. 6

E sendo também:

V_u a força cortante solicitante na ligação laje-pilar;

M_u o momento fletor solicitante na ligação laje-pilar;

c a excentricidade do perímetro crítico; e

b₁ e b₂ as dimensões da seção crítica na direção da aplicação do momento fletor e na direção perpendicular a essa, respectivamente.

De acordo com o ACI 318 (ACI, 2019), o valor de γ_f depende diretamente da localização da ligação e da direção do vão, podendo ser aumentado, caso a tensão de cisalhamento nominal fatorada (𝑣_𝑢𝑣), não exceda a porcentagem da resistência ao cisalhamento 𝑣_𝑐, a deformação de tração líquida dentro da largura efetiva da laje (𝜀_𝑡), deve ser maior ou igual a deformação de escoamento da armadura (𝜀_𝑡𝑦), mais uma determinada constante, conforme apresentado na Tabela 1. Para pilar quadrado, o γ_f máximo é igual a 1,0 para ligações com pilar de borda analisadas perpendicularmente à borda livre e ligações internas em qualquer vão. O γ_f não modificado para um pilar quadrado é igual a 0,6.

Para pilares internos a área de concreto do perímetro crítico (A_c) e a propriedade geométrica da seção crítica (J_c), análoga ao momento polar de inércia da seção crítica em relação aos eixos de ação do momento fletor (M_u), podem ser calculados através das Equações 7 e 8, respectivamente.

$A_c=2d\cdot (c_1+c_2+2d)$ Eq. 7

$J_c=\frac{d{(c_1+d)}^3}{6}+\frac{(c_1+d)d^2}{6}+\frac{d(c_2+d){(c_1+d)}^2}{2}$ Eq. 8

Sendo c₁ e c₂ o comprimento da face do pilar na direção de análise e o comprimento da face do pilar no plano perpendicular a análise, respectivamente.

NBR 6118 (ABNT, 2023)

A NBR 6118 (ABNT, 2023) utiliza um modelo de cálculo que leva em consideração a verificação do cisalhamento em dois ou mais perímetros críticos, dependendo da presença ou não de armaduras de cisalhamento, os quais são definidos na região ao redor das forças concentradas. O perímetro crítico (C) definido no contorno do pilar ou da área carregada, já o perímetro crítico (C’) é definido com um afastamento de 2d das faces do pilar ou da área carregada, conforme representado na Figura 4.

Figura 4
Perímetro crítico em pilares internos

A tensão solicitante na ligação laje-pilar é influenciada pela carga transferida da laje para o pilar, podendo essa carga ser concentrada ou apresentar excentricidade. De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2023), o efeito de assimetria deve ser considerado, quando ocorre transferência de momento fletor da laje para o pilar, já que essa solicitação provoca variações na distribuição de tensões em diferentes trechos do perímetro crítico, aumentando a solicitação no lado com excentricidade e diminuindo do lado oposto, podendo até provocar a inversão de esforços.

Tabela 1
Valores modificados de γ_f para lajes bidirecionais

Localização do pilar	Direção do vão	𝒗𝒖𝒗	𝜺𝒕	Máxima Modificação 𝜸𝒇
Pilar de canto	Qualquer direção	≤ 0,5Φ𝑣𝑐	≥ 𝜀𝑡𝑦 + 0,003	1,0
Pilar de borda	Perpendicular a borda	≤ 0,75Φ𝑣𝑐	≥ 𝜀𝑡𝑦 + 0,003	1,0
	Paralelo a borda	≤ 0,4Φ𝑣𝑐	≥ 𝜀𝑡𝑦 + 0,008	$\frac{1,25}{1+\left(\frac{2}{3}\right)\sqrt{\frac{b_1}{b_2}}}\le 1,0$
Pilar interno	Qualquer direção	≤ 0,4Φ𝑣𝑐	≥ 𝜀𝑡𝑦 + 0,008	$\frac{1,25}{1+\left(\frac{2}{3}\right)\sqrt{\frac{b_1}{b_2}}}\le 1,0$

Segundo Santos (2018), é preciso verificar a tensão solicitante em quatro trechos do perímetro crítico, considerando duas componentes de momentos fletores, em que o maior valor absoluto entre essas seja analisado para a determinação da resistência à punção. Na Figura 5, são apresentadas as tensões cisalhantes nos quatro trechos do perímetro crítico para ligações laje-pilar internas.

Para considerar o efeito da assimetria na punção excêntrica, a norma estabelece a Equação 9, apresenta abaixo:

${\tau }_{Sd}=\frac{F_{Sd}}{u\cdot d}+\frac{K\cdot M_{Sd}}{W_p\cdot d}$ Eq. 9

Sendo d dado pela Equação 10.

$d=\frac{d_x+d_y}{2}$ Eq. 10

E sendo também:

𝜏_𝑆𝑑 a tensão de cisalhamento de cálculo;

F_Sd a força ou reação solicitante de cálculo;

u o perímetro da superfície crítica;

d a altura útil da laje ao logo do contorno crítico C’, externo ao contorno, C da área de aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje;

d_x e d_y as alturas úteis nas direções ortogonais;

K o coeficiente que fornece a parcela de momento transmitida ao pilar por cisalhamento;

M_Sd o momento solicitante de cálculo; e

W_p o módulo de resistência plástico do perímetro crítico.

O coeficiente K depende diretamente da relação entre C₁/C₂, em que C₁ corresponde à dimensão do pilar paralela à excentricidade da força e C₂ é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força. A Tabela 2 apresenta os valores de K para diferentes proporções entre os lados do pilar. Vale ressaltar que para pilares circulares é adotado K=0,6.

Para calcular o modulo de resistência plástico do perímetro crítico (W_p) é utilizada a Equação 11 para pilares retangulares.

$W_p=\frac{{c_1}^2}{2}+C_1\cdot C_2+4\cdot C_2\cdot d+16\cdot d^2+2\cdot \pi \cdot d\cdot C_1$ Eq. 11

Figura 5
Dedução da tensão solicitante máxima em ligações laje-pilar internas

Tabela 2
Valores de K

C1/C2	0,5	1,0	2,0	3,0
K	0,45	0,60	0,70	0,80

A verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica C, correspondente ao contorno do pilar, em lajes submetidas à punção com ou sem armadura, é realizada por meio da Equação 12.

${\tau }_{Sd}\le {\tau }_{Rd2}=0,27\cdot a_v\cdot f_{cd}$ Eq. 12

Sendo o coeficiente 𝛼_𝑣 dado pela Equação 13.

${\alpha }_v=(1-\frac{f_{ck}}{250})$ Eq. 13

E sendo também:

τ_Rd2 a tensão resistente à compressão diagonal de cálculo do concreto;

f_ck a resistência à compressão característica do concreto; e

f_cd a resistência à compressão de cálculo do concreto.

Além da verificação no perímetro do pilar, deve ser realizado o cálculo da tensão resistente na superfície crítica C’, para lajes sem armadura de punção, utilizando a Equação 14.

${\tau }_{Sd}\le {\tau }_{Rd1}=0,13\cdot K_e\cdot {(100\cdot \rho \cdot f_{ck})}^{\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}$ Eq. 14

Sendo K_e dado pela Equação 15 e ρ pela Equação 16.

$K_e=(1+\sqrt{20/d})\le 2$ Eq. 15

$\rho =\sqrt{{\rho }_x\cdot {\rho }_y}\le 0,02$ (Eq. 16)

E sendo também:

𝜏_𝑅𝑑1 a tensão de cisalhamento resistente de cálculo-limite, para que uma laje possa prescindir de armadura transversal para resistir à força cortante;

K_e o parâmetro que considera o efeito de escala;

d a altura útil da laje ao longo do contorno crítico da área de aplicação da força, em centímetros;

ρ a taxa geométrica de armadura de flexão aderente; e

ρ_x e ρ_y as taxas de armadura nas duas direções ortogonais, calculadas iguais a dimensão do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados.

Metodologia

Descrição da investigação experimental de Kruger (1999)

Em seu estudo, Kruger (1999), buscou analisar o efeito do momento desbalanceado na resistência à punção de ligações laje-pilar internas com e sem armadura de cisalhamento, projetadas em escala real. Para isso, foi utilizado um programa experimental com sete lajes, as quais possuíam diferentes taxas de armadura de flexão, variando entre 1,0% e 1,3%; utilizando diferentes armaduras de cisalhamento, sendo usados o tipo estribo de duas pernas e o tipo conector de aço, além de aplicar variadas excentricidades de carregamento, 0, 160 e 320 mm.

As sete lajes ensaiadas pelo autor possuíam dimensões de 3000 x 3000 x 150 mm com um pilar quadrado de 300 x 300 mm. Foi introduzido um carregamento vertical para baixo localizado excentricamente ao pilar, aplicando simultaneamente a força vertical e o momento no pilar. Além disso, as lajes ficaram simplesmente apoiadas em suas bordas, por meio de vigas de aço, permitindo que os cantos ficassem livres para levantar, Figura 6. Durante cada teste, o carregamento foi aplicado em passos de 40 kN, sendo mantida as deformações constantes cerca de 10 a 15 minutos por passo de carga. Ainda foi aumentada a deformação para registrar o pós-pico das lajes, tendo os ensaios sido encerrados quando o pilar penetrava na laje ou quando a rotação da coluna excedesse 5%.

Figura 6
Sistema de ensaio

Nessa pesquisa, foi realizada a modelagem dos espécimes sem armadura de cisalhamento, referentes às lajes P0A, P16A e P30A ensaiadas experimentalmente por Kruger (1999), cujos parâmetros são exibidos na Tabela 3 e cujo detalhamento é apresentado na Figura 7.

Tabela 3
Principais parâmetros de cada espécime de ligação laje-pilar

Espécime	Excentricidade e (mm)	Armadura de Flexão	Armadura de Cisalhamento	Propriedades do Concreto
				fcm (MPa)	fctm (MPa)	Ecm (GPa)
P0A	0	1,0% ∅14 s = 120mm	Não possui	34,6	2,6	33,9
P16A	160			38,6	2,6	35,6
P30A	320			30,4	2,6	32,1

Figura 7
Detalhamento das armaduras dos espécimes de ligação laje-pilar

Modelagem computacional

Geometria e condições de contorno

Foram realizados modelos computacionais levando em consideração o plano de simetria na direção norte-sul, aplicando restrições de deslocamento horizontais na direção Y das faces alinhadas com o plano de simetria norte-sul. A modelagem da viga metálica foi realizada como um sólido, sendo utilizado o material interface, aplicado a uma superfície de contato entre a viga e a laje, sendo restringido o deslocamento vertical da viga (direção Z) em suas extremidades. O carregamento foi aplicado em uma placa de aço no topo do pilar, e a força de reação foi mensurada por meio de monitores aplicados na mesma área em que foi restringido o deslocamento vertical das vigas, realizando-se o somatório dessas, Figura 8.

Figura 8
Modelo computacional com viga metálica e interface de contato

Para todos os modelos foi considerada a aderência perfeita entre o concreto e o aço das armaduras, e foram fixadas na área de contato entre a placa de carregamento com o concreto do pilar. Em relação os deslocamentos verticais do ensaio, esses foram medidos em onze pontos de referência distribuídos ao longo do eixo de simetria na direção norte-sul, conforme apresentado na Figura 9, sendo os maiores valores de deslocamento vertical verificados no ponto 5, o qual foi utilizado para estabelecer a curva força x deslocamento.

Figura 9
Pontos de aferição de deslocamentos verticais das lajes

Malha de elementos finitos

No ATENA, são disponibilizados vários tipos de elementos finitos para elementos 1D a 3D, para a malha utilizada nos elementos sólidos de concreto e aço foram utilizados elementos hexaédricos do tipo “CSIsoBrick”, sendo adotado o modelo com oito nós, um em cada vértice. Em relação às armaduras, essas que são idealizadas em um elemento de treliça 1D, utilizando elementos finitos do tipo “CCIsoTruss”, sendo utilizado o modelo com dois nós. Esses modelos são usuais para esse tipo de modelagem, já utilizado por autores como Mendes et al. (2024).

No que se refere às dimensões dos elementos finitos utilizados, foram utilizadas malhas uniformes na região da laje, mantendo-se sempre as dimensões para os elementos sólidos e os lineares, com elementos de dimensão máxima de 40 mm, Figura 10.

Figura 10
Malha de elementos finitos

Modelo constitutivo do concreto

No software ATENA, são disponibilizados diversos modelos constitutivos para o concreto, cada um com sua respectiva especificidade. Nesse trabalho, para representar a não linearidade do material, foi utilizado o modelo “CC3DNonLinCementirious2”, o qual combina modelos para o comportamento à tração (fissuração) e à compressão (plasticidade). Esse modelo constitutivo é usual nesse tipo de modelagem, sendo utilizado por autores como Maués et al. (2025). O modelo de fissuração é baseado na abordagem “Smeared Crack”, proposto por Bazant e Oh (1983), combinado ainda com o modelo de fissuras fixas ou rotativas com o critério de ruptura por tração de Rankine e com o amolecimento exponencial. Enquanto o modelo de plasticidade do concreto à compressão é baseado no “Failure Surface” proposto por Menetrey e William (1995).

Nesse contexto, o comportamento tensão-deformação do concreto por esse modelo é representado por quatro regiões, conforme apresentado na Figura 11. A primeira representa o comportamento linear sob tração antes do início da fissuração, a segunda caracteriza o trecho exponencial descendente de amolecimento do material, e posteriormente, a terceira e a quarta região descrevem o comportamento do concreto na compressão antes e depois de alcançar a resistência à compressão efetiva do concreto.

Figura 11
Lei tensão-deformação do concreto

No primeiro trecho, o comportamento à tração do concreto apresenta uma relação tensão-deformação linear, comportando-se de forma linear elástica até a tensão de tração máxima do material (f_t^′ef), antes da fissuração, obtido por meio da Equação 17.

${\sigma }_{\mathrm{c}}^{ef}={\mathrm{E}}_{\mathrm{c}}\cdot {\epsilon }^{eq},0\le {\sigma }_{\mathrm{c}}\le f_t^{\prime }$ Eq. 17

Onde:

E_c o módulo de elasticidade inicial do concreto;

f_t′ a resistência à tração efetiva derivada da falha biaxial; e

ε^eq a deformação uniaxial equivalente.

No trecho exponencial descendente de amolecimento do material, é feito uso da Equação 18, advinda dos resultados experimentais de Hordijk (1991). Correlacionando a tensão de tração, com a abertura crítica da fissura (w_tc), Equação 19, e a energia de fratura (G_f), Equação 20, esse que representa a quantidade de energia absorvida por unidade de área da abertura de fissura zero até a abertura crítica da fissura, calculada seguindo as recomendações do fip Model Code 1990 (FIB, 1992). A fim de evitar que a energia de fratura total consumida seja dependente do tamanho da malha de elementos finitos, é introduzido o comprimento característico do elemento finito (L_t), obtido por meio da projeção do tamanho da malha na direção da fissura, utilizado para o cálculo do deslocamento de abertura de fissura (w_t), Equação 21.

$\frac{\sigma }{f_{\mathrm{t}}^{\prime }}=\{1+{({\mathrm{c}}_1\cdot \frac{{\mathrm{w}}_{\mathrm{t}}}{{\mathrm{w}}_{\mathrm{tc}}})}^3\}\cdot \exp (-{\mathrm{c}}_2\cdot \frac{{\mathrm{w}}_{\mathrm{t}}}{{\mathrm{w}}_{\mathrm{tc}}})-\frac{{\mathrm{w}}_{\mathrm{t}}}{{\mathrm{w}}_{\mathrm{tc}}}\cdot (1+{\mathrm{c}}_1^3)\cdot \exp (-{\mathrm{c}}_2)$ Eq. 18

${\mathrm{w}}_{\mathrm{tc}}=5,14\cdot \frac{{\mathrm{G}}_{\mathrm{f}}}{f_{\mathrm{t}}^{\prime }}$ Eq. 19

$G_f=G_{f0}\cdot {(f_{cm}/f_{cm0})}^{0,7}$ Eq. 20

${\mathrm{w}}_{\mathrm{t}}={\epsilon }^f\cdot {\mathrm{L}}_{\mathrm{t}}$ Eq. 21

Sendo:

c₁ é 3 (constante);

c₂ é 6,93 (constante);

G_f0 o valor base da energia de fratura que depende do diâmetro máximo do agregado;

f_cm a resistência média a compressão do concreto;

f_cm0 é 10 MPa; e

ε^f a deformações de fissuração inelástica;

Em relação ao comportamento tensão-deformação do concreto à compressão, o modelo de plasticidade é controlado pela “Failure Surface” de Menetrey-William (Menetrey; William, 1995), calculada em termos de três invariantes de tensão independentes, tensão hidrostática (𝜉_𝑠), tensão desviatória (𝜌_𝑠), e ângulo polar desviatório (𝜃_𝑠), Equação 22. Em que são combinados os critérios de ruptura, o critério de Rankine de resistência máxima à tração, com a hipótese de Mohr-Coulomb de resistência ao cisalhamento, sendo considerado para o cálculo a adesão friccional (𝑚_𝑓), o raio polar (𝑟), e a resistência coesiva (𝑐_ℎ), Equações 23, 24 e 25, respectivamente.

$F({\xi }_s,{\rho }_s,{\theta }_s)={[\sqrt{1,5}\cdot \frac{{\rho }_s}{f_c}]}^2+m_f\cdot [\frac{{\rho }_s}{\sqrt{6}\cdot f_c}\cdot r({\theta }_s,e)+\frac{\xi }{\sqrt{3}\cdot f_c}]-c_h=0$ Eq. 22

$m_f=3\cdot [\left(\frac{f_c^2-f_t^2}{f_c\cdot f_t}\right)\cdot \left(\frac{e}{e+1}\right)]$ Eq. 23

$r=\frac{4\cdot (1-e^2)\cdot {\cos }^2\left({\theta }_S\right)+(2\cdot e-1{)}^2}{2\cdot (1-e^2)\cdot \cos \left({\theta }_S\right)+(2\cdot e-1)\cdot {[4\cdot (1-e^2)\cdot {\cos }^2\left({\theta }_S\right)+5\cdot e^2-4\cdot e]}^{1/2}}$ Eq. 24

$c_h={\left(\frac{f_{c^{-}}\left({\epsilon }_{eq}^p\right)}{f_c}\right)}^2$ Eq. 25

Sendo:

e a excentricidade;

ε_eq^p a deformação do concreto sob compressão;

f_c a resistência à compressão do concreto; e

f_t a resistência à tração do concreto.

Os trechos ascendente e descendente, são representados por uma curva elíptica e linear, respectivamente. O trecho ascendente de endurecimento é calculado através da Equação 26, baseada em deformações, tendo o início do comportamento não-linear como um parâmetro de entrada, assim como, o valor da deformação plástica na resistência à compressão. Enquanto o trecho descendente de amolecimento é baseado em deslocamentos, em que a deformação plástica equivalente é transformada em deslocamentos através do parâmetro de escala de comprimento da malha L_c, fundamentado no trabalho experimental de Van Mier (1986).

$\sigma =f_{c0}+(f_c-f_{c0})\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{{\epsilon }_c^p-{\epsilon }_{eq}^p}{{\epsilon }_c^p}\right)}^2}$ Eq. 26

Onde:

f_c0 a resistência à compressão de início do comportamento não linear; e

ε_c^p a deformação plástica na resistência máxima à compressão do concreto.

Modelo constitutivo do aço

Para modelar as barras no software ATENA, foi utilizada a abordagem discreta, em que cada barra é modelada de forma individual e idealizada em um elemento de treliça 1D. Nesse sentido, foi utilizado o modelo constitutivo “CCReinforcement” para as barras de aço, devido a possibilidade de representar o material por meio de leis bilinear ou multilinear, permitindo considerar as fases elástica, de escoamento, de endurecimento e de ruptura do aço. Nesse trabalho, foram consideradas apenas as duas primeiras fases, inserindo-se no programa o módulo de elasticidade, a tensão de escoamento (f_y) e a tensão de ruptura (f_u) com suas respectivas deformações (ɛ_lim), adotando os seguintes parâmetros apresentados na Tabela 4.

Tabela 4
Parâmetros adotados para o modelo constitutivo do aço

Espécime	Módulo de Elasticidade (MPa)	Aço – Ø14			Aço – Ø22
		fy (MPa)	fu (MPa)	ɛlim	fy (MPa)	fu (MPa)	ɛlim
P0A	200000	460	500	0,025	460	500	0,025
P16A	200000	460	500	0,025	460	500	0,025
P30A	200000	460	500	0,025	460	500	0,025

Modelo constitutivo da interface

Nas condições de contorno da laje, foi utilizado o material interface na ligação da laje com as vigas metálicas de suporte usadas no sistema de ensaio experimental de Kruger (1999). Essa escolha se deve ao fato de o material permitir simular o contato entre dois sólidos, baseado no critério de Mohr-Coulomb, em que quando configurado sem resistência à tração (f_t), a interface resiste somente a tensões de compressão, impedindo o deslocamento vertical para baixo, conforme a rigidez da viga, e permitindo que os cantos da laje fiquem livres para levantar, como um apoio de primeiro gênero. Assim, para modelar o contato entre a laje e a viga, foram utilizados os valores padrões disponíveis no software ATENA, alterando somente a resistência à tração, a qual foi igualada essa a zero, conforme exibido na Tabela 5.

Tabela 5
Parâmetros adotados para o modelo constitutivo da interface

Rigidez Normal Elástica Inicial (Knn)	Rigidez de Cisalhamento (Ktt)	Coesão (c)	Resistência à tração (ft)	Coeficiente de Atrito (-𝛟)
MN/m³	MN/m³	MPa	MPa
2•108	2•108	1,0	0,0	0,1

Resultados computacionais

Deslocamentos verticais

A Figura 12 apresenta os gráficos do comportamento de carga versus deslocamento, comparando a análise computacional com a experimental, sendo possível observar uma boa correlação para a carga de ruptura e para o deslocamento dos espécimes. Além de apresentar previsões de carga e deslocamento últimos que se mostraram satisfatórios para os modelos.

Figura 12
Comparação do comportamento carga versus deslocamento dos espécimes

Na Tabela 6, são apresentados os fatores de eficiência de deslocamento, 𝛿_{𝑢,(𝑐𝑜𝑚𝑝/exp)} e de carga, 𝑉_{𝑢,(𝑐𝑜𝑚𝑝/𝑒𝑥𝑝)}, mensurados a partir da razão entre os resultados computacionais, 𝛿_{𝑢,𝑐𝑜𝑚𝑝} e 𝑉_{𝑢,𝑐𝑜𝑚𝑝}, com os obtidos experimentalmente por Kruger (1999), 𝛿_𝑢,exp e 𝑉_{𝑢,𝑒𝑥𝑝}. Desse modo, com base nesses fatores, foram obtidas suas respectivas, médias, desvios-padrão e coeficientes de variação.

Tabela 6
Fatores de eficiência de deslocamento e de carga última

Espécime	Experimental		Computacional		Eficiência
	𝜹𝒖,𝐞𝐱𝐩 (mm)	𝑽𝒖,𝐞𝐱𝐩 (mm)	𝜹𝒖,𝒄𝒐𝒎𝒑 (mm)	𝑽𝒖,𝒄𝒐𝒎𝒑 (mm)	𝜹𝒖,(𝒄𝒐𝒎𝒑/𝐞𝐱𝐩) (mm)	𝑽𝒖,(𝒄𝒐𝒎𝒑/𝐞𝐱𝐩) (mm)
P0A	24,53	423,00	28,33	463,70	1,155	1,096
P16A	18,80	332,00	16,26	333,15	0,865	1,003
P30A	14,00	270,00	12,47	239,11	0,891	0,885
Média aritmética					0,970	0,995
Desvio-padrão					0,131	0,086
Coeficiente de variação					13,501	8,680

Analisando os resultados computacionais obtidos através da análise não linear, verifica-se que estes apresentam grande aproximação da previsão de carga última, com diferença média de apenas 0,5%, e do deslocamento máximo, com erro médio de somente 3,0%. Os parâmetros de eficiência mostram que os valores médios se aproximam de 1, enquanto os desvios-padrão e os coeficientes de variação ficam próximos de 8% para o carregamento e 13% para o deslocamento, evidenciando que os modelos computacionais tiveram uma boa precisão e uma baixa dispersão. Dessa forma, é exibido que as modelagens propostas obtiveram uma boa correlação do comportamento carga versus deslocamento, sendo perceptíveis as alterações de excentricidades.

Na Figura 13 é exibida a comparação entre os resultados experimentais de Kruger (1999) e os modelos computacionais realizados neste trabalho quanto ao padrão dos deslocamentos verticais, conforme o aumento do carregamento, sendo o deslocamento vertical monitorado em 11 pontos ao longo do eixo na direção Norte-Sul.

Figura 13
Comparação dos deslocamentos verticais dos espécimes

Outro comportamento adequado identificado pelos modelos computacionais, está relacionado à diminuição da ductilidade dos espécimes conforme o aumento da excentricidade, levando à ruptura com deslocamentos menores. Além disso, ao comparar as ligações laje-pilar P16A e P30A, verifica-se que o aumento da excentricidade provoca uma acentuação da assimetria para os mesmos níveis de carregamentos.

Evolução do dano

A evolução do dano foi verificada computacionalmente para todos os espécimes testados, conforme apresentado nas Figuras de 14 a 16. Analisando a fissuração dos espécimes, foi observado que todos tiveram sua primeira fissura provocada pelo momento fletor, caracterizada como uma fissura tangencial (ft0), que se desenvolve ao redor do pilar. Porém, para os casos de punção excêntrica, essa fissura não contorna totalmente o pilar, apresentando distribuição assimétrica, verificações estas em conformidade com os resultados de Kruger (1999).

Figura 14
Evolução do dano conforme o aumento do carregamento no espécime P0A

Figura 15
Evolução do dano conforme o aumento do carregamento no espécime P16A

Figura 16
Evolução do dano conforme o aumento do carregamento no espécime P30A

Superfície de ruptura

Da Figura 17 a 19, são apresentadas as superfícies de ruptura de todos os espécimes, sendo verificado que a laje com carga concêntrica apresenta uma fissura crítica que contornou o pilar, formando completamente o cone de punção e constatando uma distribuição simétrica da fissuração. Já nos casos de punção excêntrica, a ruptura ocorre de forma assimétrica, uma vez que a fissura crítica fica concentrada no sentido sul, em que é aplicada a excentricidade, formando um cone de punção reduzido, não sendo verificadas fissuras significativas no lado oposto à excentricidade.

Figura 17
Superfície de ruptura do espécime P0A

Figura 18
Superfície de ruptura do espécime P16A

Figura 19
Superfície de ruptura do espécime P30A

Análise paramétrica

Proposta de estudo paramétrico

Com o objetivo de avaliar o efeito do momento desbalanceado, foi realizado o aumento do comprimento do trecho em balanço que sai da parte superior do pilar, além de ter sido alterada a propriedade do material para linear elástica nesse mesmo trecho, permitindo a extrapolação dos resultados e o aumento do nível de excentricidade aplicada, transferindo-se o carregamento para a laje sem que o pilar rompesse, conforme apresentado na Figura 20.

Figura 20
Alterações na parte superior do pilar

A partir disso, foi estudado o efeito da excentricidade para as ligações laje-pilar sem armadura de cisalhamento, variando esse parâmetro de 40 em 40 mm, de 0 a 160 mm; de 80 em 80 mm, de 160 a 480 mm, e de 160 em 160 mm, de 480 a 1280 mm, conforme indicado nas Tabela 7. Essa série foi realizada a partir do modelo computacional P16A, sendo mantidas as propriedades do concreto e das armaduras para esses modelos.

Tabela 7
Modelos paramétricos

Modelo	L (mm)	d (mm)	fc (MPa)	ρ (%)	e (mm)
P0A – e	3000	121	38,6	1,06	0
P4A – e					40
P8A – e					80
P12A – e					120
P16A – e					160
P24A – e					240
P32A – e					320
P40A – e					400
P48A – e					480
P64A – e					640
P80A – e					800
P96A – e					960
P112A – e					1120
P128A – e					1280

Resultados dos modelos paramétricos

Deslocamentos verticais

Com base no gráfico carga versus deslocamento apresentado na Figura 21, é possível observar que o aumento da excentricidade provoca diminuições relevantes na carga última e no deslocamento máximo das ligações laje-pilar, alterando a rigidez destas, obtendo-se reduções entre as lajes extremas (P0A – e; P128A – e) de 75,1% e 77,9%, respectivamente. Vale ressaltar que a excentricidade do modelo P128A – e é muito elevada, porém, mesmo para excentricidades menores, como do modelo P32A – e, são obtidas perdas significativas de 41,3% de resistência e de 49,5% de deslocamento ao comparar com o modelo de referência. Essas reduções estão diretamente associadas ao aumento do momento desbalanceado, que gera a concentração de esforço cortante na região alinhada com a excentricidade.

Figura 21
Efeito da excentricidade no comportamento carga versus deslocamento

Na Tabela 8, é apresentado um resumo dos resultados de cada modelo em relação a suas respostas de carga última, deslocamento máximo e momento desbalanceado.

Tabela 8
Resumo dos deslocamentos, cargas últimas e momentos desbalanceados

Espécime	𝛅𝐮 (mm)	𝐕𝐮 (kN)	𝐌𝐮 (kN.m)
P0A - e	29,40	472,30	0,00
P4A - e	19,25	387,23	15,49
P8A - e	18,28	366,97	29,36
P12A - e	16,51	341,06	40,93
P16A - e	16,43	331,58	53,05
P24A - e	14,96	300,32	72,08
P32A - e	14,83	276,86	88,60
P40A - e	13,28	246,73	98,69
P48A - e	12,24	228,53	109,69
P64A - e	10,38	190,49	121,91
P80A - e	9,24	165,78	132,62
P96A - e	8,63	146,76	140,89
P112A - e	7,83	131,51	147,30
P128A - e	6,48	117,34	150,20

Ao correlacionar a resistência à punção com o momento desbalanceado, é possível verificar certa linearidade nessa relação, em que, conforme o aumento do momento desbalanceado, ocorre gradativa diminuição da resistência das ligações laje-pilar, conforme apresentado na Figura 22.

Figura 22
Efeito do momento desbalanceado na resistência à punção

Na Figura 23 é apresentado o perfil de deslocamentos verticais das lajes, monitorado em 11 pontos ao longo do eixo na direção Norte-Sul. Ao analisar esses deslocamentos para lajes submetidas a diferentes níveis de momento desbalanceado, verifica-se que, no modelo carregado concentricamente (P0A – e), o deslocamento ocorre de forma simétrica na direção Norte-Sul, apresentando seu deslocamento máximo na região central, alinhada a aplicação de carga. Já nos casos de punção excêntrica, conforme o aumento da excentricidade do carregamento, são provocadas acentuadas assimetrias do perfil de deslocamento das lajes, sendo o pico de deslocamento concentrado mais ao sul, acompanhando o sentido de aplicação da excentricidade, o que indica aumento da concentração de tensões cisalhantes nessa região. Outro comportamento identificado está relacionado à diminuição do deslocamento máximo dos espécimes, conforme o aumento da excentricidade, levando à ruptura com deslocamentos menores.

Figura 23
Efeito da variação da excentricidade nos deslocamentos verticais

Além disso, a partir do espécime P64A – e, é notada a ocorrência de uma inflexão do deslocamento vertical ao longo do eixo da laje, em que o lado ao norte tende a ser deslocado para cima, apontando para uma inversão de sinal da solicitação nesse lado e, consequentemente, uma diminuição da área resistente à punção.

Padrão de fissuração

Nas Figuras 24 a 28, é possível analisar o efeito da variação de excentricidade no padrão de fissuração na ruptura dos modelos computacionais. Para o modelo P0A – e, observa-se um padrão de fissuração simétrica, sendo formado o cone completo de ruptura pela fissura tangencial (ft0), que se desenvolve ao redor de todo o perímetro do pilar. Já para modelos com momento desbalanceado, ocorre uma assimetria no padrão de fissuração, concentrando as fissuras radiais (fr) no lado da aplicação da excentricidade e redução do cone de ruptura, devido ao fato de a ft0 não contorna completamente o pilar, o que leva à diminuição da resistência à punção. Além disso, nos modelos com maiores excentricidades (P64A – e, P96A – e, P128A – e), é notável o surgimento de uma fissura tangencial do lado oposto a aplicação da excentricidade, lado Norte, partindo da superfície superior para a inferior, demonstrando inversão de sinal da solicitação nesse lado.

Figura 24
Padrão de fissuração na ruptura do modelo P0A - e

Figura 25
Padrão de fissuração na ruptura do modelo P32A - e

Figura 26
Padrão de fissuração na ruptura do modelo P64A - e

Figura 27
Padrão de fissuração na ruptura do modelo P96A - e

Figura 28
Padrão de fissuração na ruptura do modelo P128A - e

Estimativas normativas

Na Figura 29, são relacionadas as tensões associadas ao momento fletor (v_m) e ao esforço cortante nas lajes (v_u), ambos divididos pela tensão teórica, determinada com base nas formulações normativas (ν_Rc), verificando-se a influência dessas tensões de acordo com as previsões normativas para cada laje. A linha contínua preta representa a situação ideal. Os resultados acima são considerados conservadores, enquanto os resultados abaixo são considerados inseguros.

Figura 29
Tensão resistente computacional e teórica

Dessa forma, a Figura 29 mostra que a NBR 6118 (ABNT, 2023) apresentou resultados mais próximos da linha contínua, enquanto o ACI 318 (ACI, 2019) mostrou tendência ao conservadorismo conforme o aumento das tensões associadas ao momento fletor, em que, com o aumento da excentricidade, ocorre maior distanciamento do resultado computacional em relação ao teórico da norma americana.

Conclusões

Os resultados da proposta de modelagem, utilizando o software ATENA, indicam uma grande aproximação dos resultados experimentais. A carga última apresentou um erro de apenas 0,5% enquanto, para os valores de deslocamento, foi obtido uma diferença de 3%. As previsões do modo de ruptura com evolução de dano demonstraram um padrão de fissuração igual ao observado por Kruger (1999). Dessa forma, essa estratégia de modelagem mostrou-se eficaz para previsão de carga última e do modo de ruptura, possibilitando a realização de uma análise paramétrica.

Na análise paramétrica realizada para a verificação do efeito da excentricidade de carregamento, foram obtidas reduções máximas de carga última de 75,1% e de deslocamento de 77,9%, associadas ao aumento da excentricidade, verificando-se certa linearidade entre a redução de carga e o incremento de momento desbalanceado. A excentricidade também provocou alterações no padrão dos deslocamentos verticais, em que o aumento desse parâmetro ocasionou assimetrias no perfil de deslocamento e até a ocorrência de inflexões na laje de um lado para o outro, compatíveis com o padrão de fissuração apresentado, havendo a inversão de sinal da solicitação no lado oposto à aplicação da carga. Para essa série, as normas não apresentaram resultados contra a segurança, com a norma brasileira demonstrando resultados mais próximos ao ideal, enquanto a norma americana obteve uma tendência conservadora com o aumento das tensões associadas ao momento desbalanceado.

Com isso, os resultados computacionais obtidos neste trabalho conseguiram expandir o conhecimento sobre o desempenho das normas para esses casos, contribuindo para o aprimoramento das práticas de projeto e para o desenvolvimento de diretrizes mais precisas na análise de ligações laje-pilar submetidas a momentos desbalanceados.

• MORAES, R. F.; FERREIRA, M. de P. Investigação paramétrica do efeito da transferência de momentos na resistência à punção de ligações laje-pilar. Ambiente Construído, Porto Alegre, v. 25, e148433, jan./dez. 2025. ISSN 1678-8621 Associação Nacional de Tecnologia do Ambiente Construído. http://dx.doi.org/10.1590/s1678-86212025000100930

Declaração de Disponibilidade de Dados

Os dados de pesquisa só estão disponíveis mediante solicitação.

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Editado por

• Editores:
  Marcelo Henrique Farias de Medeiros e Eduardo Pereira

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  10 Nov 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  26 Jun 2025
• Aceito
  13 Set 2025