Castellanos, María Teresa; Flores, Pablo; Moreno, Antonio

doi:10.1590/1980-4415v31n57a20

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

Artículo • Bolema 31 (57) • Jan-Apr 2017 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v31n57a20 copy

Reflections on Future Mathematics Teachers about Professional Issues Related to the Teaching of School Algebra

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

In this study, the reflections of two future mathematics teachers is analyzed through the professional problems related to teaching and learning school algebra that they identify, define, and face during teaching practice. For this purpose, we planned and implemented a teacher education module in the practicum of an undergraduate mathematics and physics program in Colombia, under the realistic theory of teacher education to promote a thoughtful ALaCT cycle. Following the approach of qualitative and interpretative research and using content analysis, the productions of the participants, the records obtained in the intervention, and a research journal were reviewed. The study shows that the teachers carried out the phases of reflection and it tells us how the professional problem evolves, according to the characteristics and nature of the problem object and professional knowledge involved to support the definition about teaching algebra.

Keywords:
Teacher education; Reflection; School algebra problems

Características	Rasgos	Descripción
Origen de la situación. Schön (1992)SCHÖN, D. La Formación de Profesionales Reflexivos. Hacia un nuevo diseño de la enseñanza y el aprendizaje en las profesiones. 1. ed. Barcelona: Morata, 1992. 310 p.	Incierto	Procede de realidades poco definidas y de estructuras desordenadas
	Único	Aparece de un caso particular en un contexto situado, referido a un déficit
	Conflictivo	Surge de conflictos éticos y/o valores, representa una disyuntiva personal
	Amplio	Origen en hechos que pueden ser abordadas desde múltiples perspectivas
Naturaleza de la situación. Van-Es y Sherin (2007) Sezen-Barrie et al. (2014)SEZEN-BARRIE, A. et al. Cultural historical activity theory perspective to understand preservice science teachers' reflections on and tensions during a microteaching experience. Cultural Studies of Science Education, New York, v. 9, n. 3, p. 675-697, 2014.	Actores Objeto Tipo Artefactos Normas Comunidad División del trabajo	Los sujetos sobre los que se da la observación y recae el análisis de la práctica Los temas que son el objeto de reflexión, en los que recae la acción La profundidad para abordar las situaciones que analizan de la práctica Herramientas objeto de atención para alcanzar el propósito de la práctica Principios y significados que regulan la actividad docente y el conocimiento Grupo de personas que pertenece al contexto y participa en la reflexión Dinámica del agrupamiento y la participación de los actores
Planteamiento Lurduy (2013)LURDUY, O. Conceptualización y evaluación de las competencias de análisis, reflexión y semiosis didáctica en EPM. Revista Científica, Bogotá, v. 15, p. 87-108, 2013. Peñas y Flores (2005)PEÑAS, M.; FLORES, P. Procesos de reflexión en estudiantes para profesor de matemáticas. Enseñanza de las Ciencias, Barcelona, v. 23, n.1, p. 5-16, 2005.	Concreto	Formula una pregunta en términos de: sujeto, objeto, contexto, acción
	General	Intervienen muchos los elementos y relaciones en la formulación

Caso	Formulación de la problemática	Conocimiento profesional
FPM1 LINA	Sujetos: niños de (13-14) años, del 8^vo grado de secundaria del sistema colombiano Objeto: suma de expresiones algebraicas Origen (contexto) de la situación: interpretación del símbolo “X” Acción: enseñar de manera comprensiva El déficit del FPM se manifiesta en la necesidad de conocer estrategias para enseñar Cuestión: ¿Cómo diseñar estrategias didácticas para enseñar de manera comprensiva y dinámica las operaciones de polinomios?	Entiende suma de polinomios como procedimiento que lleva a la reducción de términos semejantes. Alude al símbolo “X”, apreciando al menos dos sentidos (hay que para darle valores en uno pero aquí no procede) Implícitamente hace referencia a significados de la letra
FPM2 JUAN	Sujetos: escolares de 8^vo grado (13-14) años de edad. Objeto: la factorización Origen (contexto) de la situación: procedimiento para reconocer un caso de factorización Acción: enseñar de manera practica El déficit del FPM está en la necesidad de conocimiento didáctico para enseñar Cuestión: ¿Cómo enseñar la factorización de manera práctica y comprensiva?	El concepto factorización está referido a la transformación de una expresión algebraica entera en el producto de sus factores primos Alude a estructura algebraica que caracteriza la forma del trinomio cuadrado perfecto, ejemplo de casos de factorización Reconoce factorización como un proceso algorítmico que involucra la identificación de los casos Explicita limitaciones del aprendizaje, en errores en propiedades de potenciación

Caso	Formulación de la problemática	Conocimiento profesional
JUAN	Origen: identificar propiedades y relaciones de la expresión algebraica a factorizar. Déficit de conocimiento didáctico de métodos de enseñanza que lleve a interpretación y comprensión Se percibe un dilema entre el tratamiento procedimental y el conceptual para la enseñanza del álgebra Cuestión: ¿Cómo enseñar los trinomios cuadrados perfectos con una estrategia didáctica que les permita identificar y comprender la factorización y aplicarla correctamente?	Establece relaciones entre propiedades de operaciones y la implicación de las entidades matemáticas (casos). En los procedimientos se reconoce la actividad matemática (e.g., interpretación, representación simbólica y transformación). Concreta las limitaciones del aprendizaje de alumnos en no conectar conceptos matemáticos y sus usos. Las expectativas de aprendizaje buscan comprensión de las relaciones matemáticas involucradas en los procesos algorítmicos Se valora la instrucción en términos de una secuencia de estrategias para el tratamiento del álgebra escolar.
LINA	Origen: incógnitas que no siempre son objetos matemáticos concretos (e.g., valores numéricos), pueden ser relaciones que se establecen entre estos. Acción: enseñar de manera comprensiva los símbolos Déficit del FPM en la necesidad de conocimiento para enseñar Cuestión: ¿Cómo diseñar estrategias didácticas para enseñar de manera comprensiva los símbolos en la operación de polinomios?	Los conceptos se amplían a expresión algebraica, tipos y elementos de las expresiones Establece la letra X como “Indeterminada” para definir los polinomios, así los polinomios tienen una estructura algebraica muy similar a la estructura del conjunto Z La estructura se corresponde con (R +, x) Destrezas necesarias: algoritmos de operaciones y uso del lenguaje algebraico Los contextos aparecen en las matemáticas e involucran áreas y perímetros

Formulación de la problemática

Conocimiento profesional

Delimita el objeto de reflexión a la factorización de los trinomios cuadrados perfectos
Formula la problemática desde sentido estructural.
Considera como dilema la dualidad procedimental y conceptual del álgebra.
Ubica el origen de la problemática en la comprensión algebraica, sin limitar el campo procedimental en la resolución de la situación

Define aspectos conceptuales asociados al proceso de simplificación y factorización de las expresiones algebraicas.
Resalta el sentido estructural para la enseñanza de la factorización.
Involucra la actividad algebraica como elemento importante en el diseño de tareas (e.g, transformación y conversión).
Otorga importancia a la estructura algebraica y a la comprensión de las relaciones matemáticas que se involucran en los procesos algorítmicos.
Percibe necesario para la instrucción identificar elementos conceptuales de los enfoques del álgebra para la instrucción
Conecta el uso de la X como “Variable”, con el tratamiento como “Función polinómica”, y el uso de la X como “Incógnita” con las “Ecuaciones polinómicas o Raíz de un polinomio”.
Identifica la estructura sintáctica y semántica del álgebra, dándole un carácter global, que permite considerarla como un todo para crear entidades (factorización).

UNESP - Universidade Estadual Paulista, Pró-Reitoria de Pesquisa, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática Avenida 24-A, 1515, Caixa Postal 178, 13506-900 Rio Claro - SP Brasil - Rio Claro - SP - Brazil
E-mail: bolema.contato@gmail.com

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[1] Dirección postal: Km 12 Vía Puerto, Facultad de Educación, Universidad de los Llanos, Villavicencio, Meta, Colombia. E-mail: mcastellanos@unillanos.edu.co.

FPM1 :	Me tocó dictar clase en octavo. Inicié con la suma de polinomios. Yo había enseñado a sumar términos semejantes con expresiones algebraicas. Cuando entregué el taller para el trabajo en grupo, me di cuenta de que algunos niños, al margen de la hoja, hacían cálculos y le daban valores a la “X” Me dio risa cuando escuché que una niña le dijo a otra, [… este método es diferente! No hay que buscar el valor de la “X”].
Profesor:	¿Y cuál es la situación problemática, según tú?
FPM 1:	Yo tengo como preocupación indagar acerca de cómo hacen la interpretación del símbolo “X” los estudiantes y me interesa saber qué metodología usar al momento de enseñar las operaciones algebraicas (la factorización) en el grado octavo, para saber cómo ayudar a que los alumnos lo hagan de manera correcta.
Profesor:	Entonces ¿cuál será el interrogante que define la situación problema?
FPM 1:	¿Cómo diseñar estrategias didácticas para enseñar de manera comprensiva y dinámica las operaciones de polinomios?

FPM2 :	Yo realicé dos clases, con niños de octavo. Les expliqué muchas veces, muy despacio y paso por paso cómo factorizar Trinomios Cuadrados Perfectos TCP. Les mostré y expliqué la forma del TCP. El problema está en la factorización, no le dan sentido al procedimiento, no reconocen el caso de factorización que deben usar para escribir la expresión en forma de factores usando dos corchetes. Además, la mayoría tiene problemas con las propiedades de la potenciación. El problema está en diseñar estrategias didácticas para enseñar de manera efectiva álgebra de 8vo
Profesor:	Entonces ¿cuál será el interrogante que define la situación problema?
FPM 2:	¿Cómo enseñar la factorización de manera práctica y comprensiva en 8vo?

…	considero que: los niños tienen problemas para reconocer cuando una expresión algebraica puede ser factorizable. O mejor, que puede ser escrita en forma de producto y que eso es factorizar. Es porque tampoco identifican las propiedades y las relaciones que la mantienen y por supuesto, no identifican el caso de factorización a usar…No sacan los factores comunes para escribirla en factores primos de manera idéntica. No hacen conexiones entre conceptos matemáticos (propiedades –distributiva) y la forma de los TCP (la estructura exterior).
…	yo supongo que si pueden reconocer la forma de la expresión, pueden identificar el caso de factorización.
…	En síntesis, el problema se enfoca en la forma de la expresión algebraica. Me centro en la estructura externa e interna de los TCP y en las estrategias para su enseñanza.
…	mi idea es: si los muchachos estudian las formas de la expresión algebraica de los TCP, ellos pueden identificar el caso de factorización para aplicar. Así les queda más sencillo realizar el proceso de factorizar, y en grados superiores simplificar fracciones algebraicas.
…	puede que funcione una estrategia o algo que nos de orientación sobre cómo ir más allá de la mecánica y del algoritmo para que los estudiantes comprendan y logren mejores aprendizajes.

Profesor :	¿La factorización es un problema de método o de comprensión?
	¿Factorizar implica dar sentido a la estructura algebraica?
	¿La enseñanza del álgebra escolar (factorización de TCP) depende de estrategias eficientes (didácticas)?
FPM7	¿Ha contemplado partir de la resolución de problemas o del área para aplicar los TCP?
FPM5	¿A qué parte de la expresión algebraica, considera se debe dar más importancia: interna (las operaciones) o la externa (la forma)? ¿Por qué?
FPM3	¿Qué piensa tener presente para que los niños comprendan las expresiones y reconozcan la forma del TCP?

…	respondiendo a las preguntas, he observado que la actividad algebraica (interpretación, conversión, transformación) es necesaria en la factorización; pero que puede ser enseñada desde lo conceptual. Se puede conducir la interpretación de las propiedades y el sentido que guardan las relaciones en la estructura (interna y externa), más que fijarnos en los meros algoritmos.
…	Por esto, en mi PPD quiero responder a ¿Cómo enseñar los trinomios cuadrados perfectos con una estrategia didáctica que les permita identificar y comprender la factorización y aplicarla correctamente?

Juan:	Primero les muestro como factorizar 15. Les explico el porqué de 15 = (2+3) x 3. Trato que analicen las propiedades y operaciones que tiene la expresión (el trinomio), Recalco que la hace idéntica a otra expresión que está escrita como producto de factores primos
Lina:	Yo tengo un método. Inicio con el caso de factorización por pasos: primero, les muestro las características del caso, para que ellos lo identifiquen y que puedan establecer la forma de la expresión [que se da], luego ejercitan el procedimiento para hallar los factores de las expresiones
Juan:	Supongo que si los alumnos se aprenden las fórmulas de cada caso, de memoria, no están aprendiendo, están simplemente manipulándolas.
Lina:	Pero creo que logran factorizar cuando con otros ejercicios mecanizan el procedimiento. Por eso busco algo dinámico que no los deje olvidar.
Juan:	Me refiero a que también deben ser competentes para reconocer el caso que aprende durante la clase y que no, lo olviden fácilmente.
Lina:	Yo en casos, ejemplifico dónde se puede aplicar este procedimiento en problemas de área o perímetro.
Juan:	La representación es buena. Yo les hago un diagrama con la forma que tiene ese caso y la estructura deben reconocer y aplicar. Por supuesto, debemos saber cómo hacer la explicación de las propiedades y mostrar las relaciones que la rigen para que logren comprender la estructura, y luego si, lo demás de la manipulación.

Comparación de posturas, conexión de conocimientos y acuerdos
…	Acordamos que enseñar factorización no debe ser un tema separado; es una forma de saber si se comprende la multiplicación; y que puede aprovechar otros temas como el cálculo de área o volúmenes, etc.
…	Destacamos que los niños puedan entender la factorización, si comprenden el porqué del caso a usar, reconocen las formas de los casos, las características y las propiedades que los rigen (estructura: interna y externa)
…	Concluimos que se requieren más que ejercicios de aplicación y ejercitación para aprender la factorización. Se debe procurar que den sentido al proceso de factorización.