The non-derivability points of a function and their importance in the understanding of the derivative concept

Fuentealba, Claudio; Badillo, Edelmira; Sánchez-Matamoros, Gloria

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Sumário

ARTIGOS • Educ. Pesqui. 44 • 2018 • https://doi.org/10.1590/S1678-4634201844181974 copy

The non-derivability points of a function and their importance in the understanding of the derivative concept

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

This study analyzes the importance of the treating non-derivability points in addressing the derivative schema. To do this, we have considered the framework proposed by APOS theory, through the use and logical connections that university students established between mathematical elements and representation modes when solving tasks on derivative concept. To achieve the aim, we devised two instruments: the first was a questionnaire consisting of three tasks proposed in different representation modes, in whose resolution the use of mathematical constituent elements of the concept of derivative was necessary, this instrument was applied to 40 students that participated in the study. The second instrument corresponded to a clinical interview focused on the analysis of student answers regarding the treatment performed in non-derivability points in successive derivatives. This clinical interview was applied to 5 of the 9 students classified in the level of development Trans-derivative. The results of analysis corroborate that the coherence of the schema is fundamental to identify a addressed schema, in addition, they show the important role played by the analysis of the non-derivability points in the connection and transit between derivatives of different orders, especially from the graphic representation mode, which favors addressing the derivative schema.

Derivative; Non-derivability points; Schema; Thematization; APOS theory

Punto no derivabilidad	Característica que induce en la función y en sus derivadas sucesivas
Tangente vertical Una función f posee un tangente vertical en a ЄDom ( f ) si se verifica que:	La función f es estrictamente decreciente/creciente en el entorno de x = a, por tanto f ’es negativa/positiva en dicho entorno. La función f ’cambia de monotonía en x = a, es decir, que f ’’cambia de signo en x = a, por tanto f posee un punto de inflexión en (a, f (a)). Todas las derivadas sucesivas de f tienen una asíntota vertical de ecuación x = a. Las funciones derivadas de orden impar ( f ’ , f ’’ , f ⁽⁵⁾ ), si existen, poseen un comportamiento análogo entre si en el entorno de x = a; lo mismo ocurre con las funciones derivadas de orden par ( f ’’ , f ⁽⁴⁾ , f ⁽⁶⁾ , ...).
$\lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = - \infty o \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = + \infty$
Punto cúspide Una función f posee un punto cúspide en a ЄDom ( f ) si se verifica una de las siguientes condiciones:	La función f cambia de monotonía en x = a, por tanto f ’ cambia de signo en el entorno de x = a; luego, f tiene un valor extremo igual a f (a). La función f ’es estrictamente decreciente/creciente en el entorno de x = a es decir, que f ’’es negativa/positiva en dicho entorno. Todas las derivadas sucesivas de f tienen una asíntota vertical de ecuación x = a. Las funciones derivadas de orden impar ( f ’ , f ’’’ , f ⁽⁵⁾ , ...), si existen, poseen un comportamiento análogo entre si, en el entorno de x = a, lo mismo ocurre con las funciones derivadas de orden par ( f ’’ , f ⁽⁴⁾ f ⁽⁶⁾ , ...) .
$a) \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = - \infty y \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = + \infty$
$b) \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = + \infty y \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = - \infty$
Punto anguloso Una función f posee un punto anguloso en a ЄDom ( f ) si se verifica una de las siguientes condiciones:	Considerando la definición de punto anguloso y analizando los posibles casos (16 en total), se puede establecer que no existe regularidad que permita asociar dicho punto con un valor extremo o punto de inflexión. Es más, en algunos casos se tratará de un valor extremo; en otros un cambio de curvatura (sin ser punto de inflexión), o en otros un punto crítico de la función. También podría darse el caso en que dicho punto presenta una dualidad en su naturaleza, es decir, que sea un valor extremo y un cambio de curvatura al mismo tiempo.
$a) \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = \pm \infty y \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = k$
$b) \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = k y \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = \pm \infty$
$c) \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = k_{1} y \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = k_{2}$
donde $k, k_{1}, k_{2} \in ℝ con k_{1} \neq k_{2}$

Tarea	Enunciado	Descripción de aspectos asociados a la resolución
1	Esboce la gráfica de una función que satisface las siguientes condiciones:	Modo de representación: analítico → gráfico. Elementos matemáticos: Interpretación analítica de la derivada y sus implicaciones sobre la gráfica de la función (existencia de valores extremos, puntos de inflexión). Signo de la primera derivada y su relación con respecto a los intervalos de monotonía de la función. Signo de la segunda derivada y su relación con respecto a los intervalos de convexidad de la función.
	a) fes continua en su dominio
	b) f(2) = 0.
	c) f’(2) = f ’(5) = 0.
	d) lim f (x) = -4
	e) lim_ f (x) = -∞
	f) f’(x) < 0 cuando 5 < x < 8
	g) f’(x) ≥ 0 cuando x < 5
	h) f’’(x) < 0 cuando 3 < x < 8
	i) f’’(x) > 0 cuando x < 8
2	Dada la gráfica de la función f	Modo de representación: gráfico → analítico → gráfico. Elementos matemáticos: Interpretación geométrica y analítica de la derivada (existencia de valores extremos, puntos de inflexión, discontinuidades y picos). Intervalos de monotonía y convexidad de la función y su relación con el signo de la primera derivada o segunda derivada, según sea el caso. El operador derivada (si fes una parábola entonces f’ es una recta).

	formada por las ramas de parábolas, obtener:
	a) los valores de f’⁽³⁾, f’ ⁽⁷⁾, f’ ⁽¹⁰⁾, f’ ⁽¹⁴⁾ y f’ ⁽¹⁵⁾. Explique cómo fueron obtenidos estos valores.
	b) Realice un esbozo de la gráfica de f’ Explique cómo fue obtenido.
3	La Figura muestra la gráfica de la derivada de f, esboce las posibles gráficas de f.	Modo de representación: gráfico → analítico → gráfico. Elementos matemáticos: Interpretación geométrica (existencia de valores extremos, puntos de inflexión, discontinuidades y picos). Intervalos de monotonía de la primera derivada y su relación con el signo de la segunda derivada (intervalos de convexidad de la función). Intervalos de cambio de signo de la primera derivada y su relación con respecto a la monotonía de función.
3

Nivel de desarrollo	Indicadores
Intra-derivada	No se establecen relaciones lógicas, y los posibles esbozos de relación (del tipo conjunción lógica) se realizaron con errores. Los estudiantes usan los elementos matemáticos de forma aislada (en ocasiones de forma incorrecta).
Inter-derivada	Los estudiantes establecen relaciones lógicas entre los elementos matemáticos, pero con limitaciones, predominando el uso de la conjunción lógica relacionando sólo con elementos matemáticos que se encuentren en el mismo modo de representación analítica o gráfica. El estudiante es capaz de usar más elementos matemáticos de forma correcta que en el nivel anterior.
Trans-derivada	Aumenta el repertorio de relaciones lógicas que el estudiante es capaz de establecer entre los diferentes elementos matemáticos (lógica, contrarrecíproco y equivalencia lógica). En este nivel se produce la síntesis de los modos de representación y lleva a la construcción de la estructura matemática. La síntesis se aplica a situaciones en las que se vincula la relación lógica, la información gráfica y analítica, es decir, usar información procedente de dos sistemas de representación diferentes para considerarla conjuntamente y obtener una información que no se conocía.

	Nivel de desarrollo
	Intra-derivada	Inter-derivada	Trans-derivada
Estudiantes	A6, A11, A12, A13, A16, A17, A19, A21, A22, A24, A25, A38	A2, A5, A7, A10, A18, A20, A23, A27, A8, A29, A30, A31, A33, A34, A35, A36, A37, A39, A40	A1, A3, A4, A8, A9, A14, A15, A26, A32
Total	12	19	9

Interrogantes	Objetivo
¿Qué sucedería con la gráfica de f en x = 2 , si sabemos que f es continua?	Esta modificación implica el tratamiento de un punto anguloso. El objetivo, es observar si el estudiante es capaz de adaptarse a una nueva situación (destematizar su esquema), así como, realizar acciones y procesos sobre los elementos globales y puntuales de f’’ que le permitan establecer que en x = 2 existe un máximo local de f (punto anguloso).

Si consideramos la gráfica de la derivada de orden 3 de una función f en el entorno del punto x = a , como la que se muestra en la siguiente figura. ¿Qué sucede con las derivadas f’’yf⁽⁴⁾ en el entorno de x = a?	Esta modificación involucra el tratamiento de un punto que posee una tangente vertical en una función derivada de orden 3. El objetivo de esta modificación es observar, si el estudiante ha tematizado el esquema. Puede destematizarlo y así mismo efectuar acciones y procesos sobre el objeto f’’’ del cual no posee su expresión analítica, que le permitan transitar y conectar los elementos matemáticos, puntuales y globales, con las derivadas sucesivas de distintos órdenes, en este caso f’’ y f’’’. Para poder aplicar las acciones y procesos sobre el objeto f’’’ se debe ser consciente, que las relaciones entre los elementos matemáticos que vinculan una derivada de orden f⁽ⁿ⁾ con una de orden f⁽ⁿ⁺¹⁾, son invariantes para cualquier valor de nЄℕ_n.

La figura que se muestra, corresponde a la segunda derivada de f, esboce las posibles gráficas de f’ y f’’’.	El objetivo de esta modificación es el mismo de la tarea anterior, sin embargo, posee una dificultad mayor pues involucra el tratamiento de los tres tipos de puntos de no-derivabilidad en una función derivada de orden 2. Para dar respuesta a la pregunta es necesario destematizar su esquema, así como, aplicar acciones y procesos sobre el objeto f’’’ que permitan vincular los elementos matemáticos puntuales y globales para cada uno de los distintos casos.

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[1] Claudio Fuentealba: Doctor en Educación por la Universidad Autónoma de Barcelona (España). Profesor Auxiliar de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

Edelmira Badillo: Doctora en Didáctica de las Matemáticas por la Universitat Autònoma de Barcelona (España). Profesora del Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals de la Universitat Autònoma de Barcelona.

Gloria Sánchez-Matamoros: Doctora en Didáctica de las Matemáticas por la Universidad de Sevilla (España). Profesora del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Sevilla.