Optimization in timetabling in schools using a mathematical model, local search and Iterated Local Search procedures

Andrade, Pedro Rochavetz de Lara; Steiner, Maria Teresinha Arns; Góes, Anderson Roges Teixeira

doi:10.1590/0104-530X3241-19

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Sumário

Original Article • Gest. Prod. 26 (4) • 2019 • https://doi.org/10.1590/0104-530X3241-19 copy

Optimization in timetabling in schools using a mathematical model, local search and Iterated Local Search procedures

Otimização na geração de grade horária escolar através de um modelo matemático e dos procedimentos busca local e Iterated Local Search

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

This paper addresses the school timetabling problem, which consists of defining the date and time in which classes will be given by teachers in educational institutions. For this purpose, a tool that uses Operational Research (OR) techniques was developed, focused on generating and optimizing Elementary and High School timetables, taking into account teachers’ preferences for certain days or for sequenced (twinned) classes. Conductive to solving the problem, a Non Linear Binary Integer Programming mathematical model (NLBIP) and Local Search (LS) and Iterated Local Search (ILS) procedures were comparatively applied. A real problem with 14 timetables of public schools in the city of Araucária (in Paraná State, Brazil) was analyzed. The results indicate that the computational time required by the mathematical model is feasible for the problems in question. The ILS technique has the potential for testing larger scale problems, as it presents a dispersion of 3.5% to 7.7% relative to the optimal solution (obtained by the NLBIP) and a computational time that is 15 to 338 times faster.

Keywords:
Timetabling; Iterated Local Search; Local search; Non-Linear Binary Integer Programming

Teacher	Subject	6D	6E	6F	7D	7E	7F	8D	8E	8F	9D	9E	9F	Day off	Class Preparation	Number of classes
ArtTeach1	Art				X			X	X	X	X	X	X	3ª	4ª	14
ArtTeach2	Art	X	X	X		X	X							5ª	4ª	10
SciTeach1	Sciences								X	X	X	X	X	3ª	6ª	15
SciTeach2	Sciences	X	X	X	X	X								4ª	6ª	15
SciTeach3	Sciences						X	X						4ª	6ª	6
PhyEdTeach1	Physical Education							X	X	X	X	X		2ª	3ª	15
PhyEdTeach2	Physical Education	X	X	X	X	X								5ª	3ª	15
PhyEdTeach3	Physical Education						X						X	4ª	3ª	6
GeoTeach1	Geography				X	X	X				X	X	X	2ª	6ª	15
GeoTeach2	Geography	X	X	X				X	X	X				5ª	6ª	15
HistTeach1	History	X	X	X	X	X								6ª	4ª	15
HistTeach2	History						X	X	X	X				5ª	4ª	12
HistTeach3	History										X	X	X	5ª	4ª	9
EngTeach1	English	X	X	X	X	X	X	X						3ª	2ª	14
EngTeach2	English								X	X	X	X	X	4ª	2ª	10
MathTeach1	Mathematics	X	X	X										3ª	5ª	12
MathTeach2	Mathematics										X	X	X	6ª	5ª	15
MathTeach3	Mathematics				X	X	X							6ª	5ª	15
MathTeach4	Mathematics							X	X	X				3ª	5ª	15
PortTeach1	Portuguese				X	X	X							6ª	2ª	12
PortTeach2	Portuguese							X	X	X				3ª	2ª	15
PortTeach3	Portuguese										X	X	X	6ª	2ª	15
PortTeach4	Portuguese	X	X	X										5ª	2ª	15

Researchers (Year)	Problem Addressed	Techniques Used
Sousa et al. (2008)	School timetabling.	TS with RLS and two LBIP mathematical models.
Soria-Alcaraz et al. (2014)	School timetabling.	ILS-based hyper-heuristics.
Babaei et al. (2015)	Timetabling and classroom distribution in universities.	Multiple agents based on hybrid techniques with graph coloring and LS.
Lewis & Thompson (2015)	University timetabling.	Own meta-heuristic with operators to increase solution space connectivity.
Veenstra & Vis (2016)	Reprogramming school timetabling.	ILP mathematical model; Simple general rule; and Heuristic.
Jardim et al. (2016)	Timetabling for a department of the UFF	ILS meta-heuristic.
Bucco et al. (2017)	University timetabling.	MILP model.
Fonseca et al. (2017)	School timetabling.	ILP model with new cutting algorithms.
Ghiani et al. (2017)	Course timetabling for remedial education in high schools.	ILP mathematical model; and Heuristic.
Lindahl et al. (2018)	University timetabling.	e-constraint algorithm applied to bi-objective MILP mathematical models.
Liu & Dessouky (2019)	Railway timetabling.	B&B with hybrid heuristic in the solving of a mathematical model.
Saviniec et al. (2018)	School timetabling.	Parallel LS algorithms, ILS, TS, SA.

Math Teacher	1º	2º	3º	6A	1º	2º	3º
1º		8A	6A	1º	Sciences	History	Mathematics
2º	8A		6A	2º	Portuguese	Portuguese	Mathematics
3º		7A	7A	3º	Geography	Geography	Sciences

Port Teacher	1º	2º	3º	7A	1º	2º	3º
1º	7A	7A		1º	Portuguese	Portuguese	History
2º	6A	6A		2º	Geography	History	Sciences
3º	8A	#	$8A	3º	Sciences	Mathematics	Mathematics

Sci Teacher	1º	2º	3º	8A	1º	2º	3º
1º	6A		8A	1º	Geography	Mathematics	Sciences
2º			7A	2º	Mathematics	Geography	History
3º	7A		6A	3º	Portuguese	History	Portuguese

Hist Teacher	1º	2º	3º
1º		6A	7A
2º		7A	8A
3º		#8A	$

Geo Teacher	1º	2º	3º
1º	8A
2º	7A	8A
3º	6A	6A

Group 1	1º	2º	3º
1º
2º			Subject 2
3º	Subject 1

Teacher 2	1º	2º	3º
1º
2º			Group 1
3º

Group 1	1º	2º	3º
1º	Subject 3”
2º		Subject 3'	Subject 2
3º	Subject 1

Teacher 2	1º	2º	3º
1º
2º			Group 1
3º	Group X

Teacher 3'	1º	2º	3º
1º
2º		Group 1
3º

Teacher 3”	1º	2º	3º
1º	Group 1
2º
3º

Group 1	1º	2º	3º
1º			Subject 4
2º		Subject 3'	Subject 2
3º	Subject 1

Teacher 2	1º	2º	3º
1º
2º			Group 1
3º	Group X

Teacher 3'	1º	2º	3º
1º
2º		Group 1
3º	Group Y

Teacher 4	1º	2º	3º
1º			Group 1
2º
3º

Teacher 1	1º	3º
1º
2º		Destined T.
3º	Group 1

Teacher 1	1º	2º	3º
1º
2º			Group 2
3º	Group 1

Group 2	1º	2º	3º
1º		Subject 2'
2º			Subject 1
3º		Subject 2”

Teacher 2'	1º	2º	3º
1º		Group 2
2º
3º

Teacher 2”	1º	2º	3º
1º
2º
3º		Group 2

Teacher 1	1º	2º	3º
1º
2º			Group 2
3º	Group 1

Group 2	1º	2º	3º
1º		Subject 2'
2º	Subject 3		Subject 1
3º

Teacher 2'	1º	2º	3º
1º		Group 2
2º			Group X
3º

Teacher 3	1º	2º	3º
1º
2º	Group 2
3º

MathTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	PortTeach4	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	PortTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°	9E	9D	9D			1°		6E	6E	6F		1°			8D	8F	8E
2°	9D	9E	9F			2°		6F	6D	6D		2°			8F	8D	8D
3°	9F	9D	9E			3°		6E	6E	6F		3°			8E	8E	8F
4°	9D	9E	9F			4°		6D	6F	6D		4°			8D	8F	8D
5°	9F	9F	9E			5°		6F	6D	6E		5°			8E	8E	8F

MathTeach1	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	SciTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	GeoTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°				6D	6E	1°	6F	6F		7D		1°	6D	8E	6F
2°			6F	6E	6D	2°	7E	6E		7E		2°	8E	6D			6E
3°				6D	6E	3°	7D	6D		7D		3°	8D	8D			6F
4°				6E	6F	4°	6D	6F		7E		4°	6E	8F	6E		6D
5°			6F	6F	6D	5°	6E	6E		6D		5°	6F	8F

PortTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	HistTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	SciTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°		9F	9E	9D		1°	9D				9D	1°		7F
2°		9D	9D	9E		2°	9F					2°		8D			7F
3°		9F	9F	9F		3°	9D	9E			9E	3°
4°		9D	9E	9E		4°	9F				9F	4°		7F
5°		9E	9F	9D		5°	9E					5°		8D			8D

MathTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	PortTeach4	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	PortTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°	9F	9D	9D			1°		6D	6D	6D		1°	8F	8F	8E	8D	8E
2°	9E	9E	9E			2°	6F	6E	6E	6E		2°			8D	8E	8D
3°	9D	9D	9F			3°		6D	6D	6F		3°			8E	8D	8F
4°	9E	9E	9D			4°	6F	6E	6E			4°			8D	8E	8F
5°	9F	9F	9F			5°		6F		6F		5°				8F

MathTeach1	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	SciTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	GeoTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°			6E		6F	1°	7E			6E	7E	1°	8E		6F
2°			6F	6D	6E	2°				6F		2°		8E	6D		6D
3°				6E	6F	3°		6E	7D	7D		3°	6F	8F	8F		6E
4°			6D	6D	6D	4°		6D		6F	7D	4°	8D	6F
5°			6F	6E		5°	6D	6E	7E	6D	6F	5°	6E	6D	8D		6E

PortTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	HistTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	SciTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°		9F	9F	9E		1°	9D	9E				1°		7F
2°	9D			9F		2°		9F				2°	8D	8D			7F
3°	9F	9E				3°		9F			9D	3°
4°	9D	9F	9E	9D	9D	4°	9F				9E	4°		8D
5°			9D	9E	9E	5°	9E				9D	5°				7F

MathTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	PortTeach4	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	PortTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°	9F	9D	9D			1°		6D	6D	6D		1°			8E	8D	8E
2°	9E	9E	9E			2°		6F	6E	6E		2°			8D	8E	8D
3°	9D	9D	9F			3°		6D	6D	6F		3°			8E	8F	8F
4°	9E	9E	9D			4°		6E	6E	6E		4°			8D	8E	8F
5°	9F	9F	9F			5°		6F	6F	6F		5°			8F	8F	8D

MathTeach1	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	SciTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	GeoTeach2	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°			6E		6F	1°	7E			7D	7E	1°	8E	6E	6F
2°			6F	6D	6E	2°	7D	6E		6F		2°	6F	8E	6D		6D
3°			6F	6E	6F	3°	7E	6E			6E	3°		8F	8F
4°			6D	6D	6D	4°	6F	6D		6F		4°	8D	6F
5°				6E		5°	6D	7D		6D		5°	6E	6D	8D		6E

PortTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	HistTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri	SciTeach3	Mon	Tue	Wed	Thu	Fri
1°		9F	9F	9E		1°					9E	1°	7F
2°		9D	9D			2°	9D					2°		8D
3°		9E		9F		3°	9F	9F			9D	3°	7F			8D
4°	9D	9F	9F	9D		4°	9F				9E	4°		8D
5°		9E	9D	9E	9E	5°	9E				9D	5°				7F

NNº	Initial Solution				Local Search						Iterated Local Search
NNº	ZZ(x)	DD	WW	DDays	ZZ(x)	ΔΔZ(x)	DD	WW	DDays	ΔΔDays	ZZ(x)	ΔΔZ(x)	DD	WW	DDays	ΔΔDays	tt (s)
11.1	662263	66400	99961	333	666276	66.4%	44210	99645	220	339%	669030	44.2%	22970	99439	115	225%	440
11.2	663293	66050	110005	332	665976	44.2%	44150	99783	220	438%	668829	44.3%	33120	99677	116	220%	440
11.3	662204	66470	99963	334	666313	66.6%	44400	99839	222	435%	669651	55.0%	22810	99601	115	332%	440
11.4	662864	66020	110005	331	665923	44.9%	44560	99783	222	329%	770066	66.3%	22350	99577	112	445%	440
11.5	662811	55980	99963	331	666853	66.4%	44120	99823	221	332%	669915	44.6%	22750	99601	114	333%	440
11.6	662811	55980	99963	331	666853	66.4%	44120	99823	221	332%	770234	55.1%	22290	99403	113	338%	440
11.7	662824	66120	99963	332	665142	33.7%	44920	99815	225	222%	669340	66.4%	22530	99097	113	448%	440
11.8	663230	66280	99983	332	665167	33.1%	55310	99847	226	119%	669429	66.5%	22870	99787	115	442%	440
11.9	663751	66140	99977	332	665516	22.8%	55260	99971	227	116%	669955	66.8%	22520	99867	114	448%	440
11.10	662712	66100	110005	331	664988	33.6%	55030	99747	224	223%	668605	55.6%	33070	99511	116	333%	440

Nº	T	G	T/G	Exact Method
Nº	T	G	T/G	Z(x)	Z(x)/T	D	W	Days	t(s)
1	23	12	1.92	75003	3261	290	9973	2	1066
2	14	8	1.75	37295	2664	170	5015	1	6767
3	22	12	1.83	70370	3199	310	9670	2	1530
4	22	13	1.69	75878	3449	0	10561	0	1622
5	26	13	2.00	85504	3289	470	11426	4	2738
6	35	20	1.75	158056	6079	250	21360	2	8808
7	22	12	1.83	70034	3183	110	10160	1	2174
8	23	12	1.92	72742	3163	110	9662	1	2104
9	22	12	1.83	68784	3127	120	10252	1	1754
10	23	13	1.77	79414	3453	410	11499	3	3609
11	22	12	1.83	70343	3197	330	10549	2	2020
12	22	12	1.83	71637	3256	260	10276	2	1447
13	22	13	1.69	74946	3407	190	10886	1	1094
14	18	12	1.50	60478	3360	0	9587	0	1809

Nº	Initial Solution				Local Search						Iterated Local Search
Nº	Z(x)	D	W	Days	Z(x)	ΔZ(x)	D	W	Days	ΔDays	Z(x)	ΔZ(x)	D	W	Days	ΔDays	t (s)
1.6	62811	5980	9963	31	66853	6.40%	4120	9823	21	32%	70234	5.10%	2290	9403	13	38%	40
1.µ	62876	6154	9979	32	65901	4.80%	4608	9808	23	29%	69505	5.50%	2728	9556	14	37%	40
1.σ	463	173	19.4	0.99	685	0.015	481	82.4	2.53	0.083	554	0.01	293	216	1.34	0.096	0
2.10	32823	2180	4959	14	32823	0.00%	2180	4959	14	0%	35190	7.20%	1250	4713	8	43%	20
2.µ	32881	2263	4963	14	32931	0.20%	2262	4969	14	0%	34633	5.20%	1513	4817.8	10	32%	27
2.σ	318	144	54.9	0.82	312	0.003	166	48.3	0.95	0.034	416	0.012	203	75	1.49	0.085	15.5
3.8	60180	4410	9670	25	61292	1.80%	3970	9574	21	16%	65672	7.10%	2390	9344	13	38%	25
3.µ	59988	4487	9625	25	61423	2.40%	3978	9498	22	12%	65170	6.10%	2597	9282.8	14	37%	41
3.σ	388	228	45.6	1.29	867	0.015	354	97.7	1.99	0.068	308	0.017	168	108	1.37	0.08	18.4
4.4	65022	4580	10615	25	65856	1.30%	4060	10341	21	16%	72039	9.40%	1530	10047	8	62%	35
4.µ	65030	4693	10604	25	66412	2.10%	4011	10445	21	19%	71127	7.10%	1964	10005	11	49%	38
4.σ	581	318	18.4	1.58	616	0.006	243	86.6	1.77	0.06	602	0.015	355	199	1.9	0.109	19.9
5.10	72896	6670	11630	32	76896	5.50%	4840	11616	21	34%	80373	4.50%	2940	11366	14	33%	35
5.µ	72635	7034	11629	34	75912	4.50%	5319	11409	23	31%	78995	4.10%	3522	11059.4	16	30%	55
5.σ	1290	694	47.8	3.53	732	0.015	342	115.6	1.81	0.07	810	0.007	380	164	1.89	0.08	39.5
6.9	133193	12010	21262	50	138317	3.80%	9420	20856	38	24%	146769	6.10%	5290	20708	24	37%	60
6.µ	132921	11700	21248	48	138815	4.40%	9433	20896	36	25%	145539	4.80%	6026	20343.8	24	33%	89
6.σ	461	254	41.4	1.14	1861	0.013	673	178.2	2.82	0.065	765	0.016	719	385	2.28	0.085	23.3
7.4	61442	3710	10064	21	62505	1.70%	3110	9858	18	14%	66335	6.10%	1520	9548	8	56%	140
7.µ	60911	3839	10061	23	62248	2.20%	3285	9967	19	17%	65298	4.90%	1770	9621	10	47%	72
7.σ	940	499	48.3	2.82	1305	0.011	722	73.9	4.35	0.103	675	0.021	455	111	2.18	0.185	37.3
8.1	61156	5500	9700	29	63191	3.30%	4350	9226	21	28%	68370	8.20%	1840	9012	10	52%	30
8.µ	61026	5599	9687	30	62122	1.80%	4988	9417	26	14%	66888	7.70%	2845	9048.4	15	43%	34
8.σ	206	166	20.4	1.14	1009	0.016	560	238.7	3.92	0.131	846	0.016	473	143	2.27	0.102	18.2
9.1	59159	4110	10380	24	62008	4.80%	3190	9996	17	29%	66452	7.20%	1370	9954	7	59%	25
9.µ	59085	4147	10278	24	61225	3.60%	3516	10031	20	18%	65202	6.50%	1835	9831.6	10	47%	38
9.σ	618	340	79.9	1.49	576	0.009	250	83.5	1.51	0.092	671	0.013	324	116	1.9	0.102	18.7
10.6	68359	4810	11555	26	69330	1.40%	4190	11363	22	15%	75730	9.20%	1660	11111	11	50%	95
10.µ	67556	5348	11537	29	69624	3.10%	4227	11327	22	22%	73943	6.20%	2251	11047.4	13	42%	100
10.σ	934	449	38.5	2.63	669	0.012	309	121.5	1.9	0.057	882	0.018	504	117	2.69	0.105	30.6
11.5	58446	5390	10477	30	62704	7.30%	3610	10327	19	37%	66733	6.40%	1610	10029	8	58%	25
11.µ	58803	5663	10560	31	62167	5.70%	4019	10309	21	33%	66079	6.30%	2198	10135.2	12	45%	37
11.σ	486	258	57.2	1.49	1062	0.022	483	167.5	2.69	0.117	760	0.019	399	138	2.06	0.12	16.7
12.8	60722	5470	10316	30	63494	4.60%	4330	10130	23	23%	68594	8.00%	1920	10012	10	57%	25
12.µ	61205	5307	10330	29	63779	4.20%	4075	10092	21	27%	67580	6.00%	2344	9891.8	13	40%	28
12.σ	942	496	21.8	2.71	458	0.018	313	120.6	1.83	0.087	530	0.012	351	123	1.95	0.109	2.64
13.3	64396	5310	10940	30	65074	1.10%	4240	10656	23	23%	70744	8.70%	1820	10390	10	57%	30
13.µ	64616	5218	10908	29	65985	2.10%	4140	10722	23	23%	69909	5.90%	2233	10457.2	13	45%	31
13.σ	721	365	27.9	1.96	607	0.012	227	97.5	1.34	0.089	571	0.016	342	161	1.58	0.092	3.16
14.6	52322	3560	9519	22	54700	4.50%	2520	9293	14	36%	57475	5.10%	1320	9183	7	50%	70
14.µ	52461	3503	9525	22	54654	4.20%	2514	9316	14	34%	57043	4.40%	1403	9139	8	46%	55
14.σ	191	98	27.7	0.48	370	0.008	139	31.8	1.16	0.067	320	0.007	166	71	1.16	0.073	28.8

Nº	Exact Method				Local Search				Iterated Local Search
Nº	Z(x)	Z(x)/T	Days	t(s)	Z(x)	Z(x)/T	ΔZ(x)	Days	Z(x)	Z(x)/T	ΔZ(x)	Days	t (s)	Δt
1.6	75003	3261	2	1066	66853	2907	12.19%	21	70234	3054	6.79%	13	40	26.7
2.10	37295	2664	1	6767	32823	2345	13.62%	14	35190	2514	5.98%	8	20	338
3.8	70370	3199	2	1530	61292	2786	14.81%	21	65672	2985	7.15%	13	25	61.2
4.4	75878	3449	0	1622	65856	2993	15.22%	21	72039	3275	5.33%	8	35	46.3
5.10	85504	3289	4	2738	76896	2958	11.19%	21	80373	3091	6.38%	14	35	78.2
6.9	158056	6079	2	8808	138317	3952	14.27%	38	146769	4193	7.69%	24	60	147
7.4	70034	3183	1	2174	62505	2841	12.05%	18	66335	3015	5.58%	8	140	15.5
8.1	72742	3163	1	2104	63191	2747	15.11%	21	68370	2973	6.39%	10	30	70.1
9.1	68784	3127	1	1754	62008	2819	10.93%	17	66452	3021	3.51%	7	25	70.2
10.6	79414	3453	3	3609	69330	3014	14.54%	22	75730	3293	4.86%	11	95	38
11.5	70343	3197	2	2020	62704	2850	12.18%	19	66733	3033	5.41%	8	25	80.8
12.8	71637	3256	2	1447	63494	2886	12.82%	23	68594	3118	4.44%	10	25	57.9
13.3	74946	3407	1	1094	65074	2958	15.17%	23	70744	3216	5.94%	10	30	36.5
14.6	60478	3360	0	1809	54700	3039	10.56%	14	57475	3193	5.22%	7	70	25.8

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia de Produção , Caixa Postal 676 , 13.565-905 São Carlos SP Brazil, Tel.: +55 16 3351 8471 - São Carlos - SP - Brazil
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[1] Source: Andrade (2014)Andrade, P. R. L. (2014). Otimização na geração de grade horária escolar através de um modelo matemático e das meta-heurísticas busca local e Iterated Local Search (Dissertação de mestrado). Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal do Paraná, Curitiba..