Modelos DEA com variáveis limitadas ou soma constante

Modelos DEA com variáveis limitadas ou soma constante

José Virgílio Guedes de Avellar^{*, I}; Armando Zeferino Milioni^II; Tania Nunes Rabello^III

^IInstituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos – SP, [e-mail]

^IIInstituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos – SP, [e-mail]

^IIIInstituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos – SP, [e-mail]

RESUMO

Neste trabalho são propostos dois modelos tipo DEA (Data Envelopment Analysis) em que um novo input (ou um novo output) deve ser distribuído de maneira justa para todas as unidades (DMUs – Decision Making Units) de uma corporação. Uma característica interessante dos modelos propostos é que a forma dessa distribuição é influenciada pelos valores dos inputs já empregados e dos outputs já gerados em cada DMU. Os modelos foram construídos de acordo com o perfil geométrico da fronteira CCR, podendo ter forma côncava ou convexa conforme a natureza da variável que se quer distribuir. Mostramos que, sob essa hipótese de um formato geométrico específico para a fronteira, torna-se simples a distribuição do novo input (ou output) entre as várias DMUs, pois cada uma delas receberá a fração do novo input (ou output) que a torne eficiente, forçando sua posição sobre a fronteira pré-determinada.

Palavras-chave: análise envoltória de dados; soma constante de variáveis; fronteira eficiente.

ABSTRACT

In this work we present two DEA (Data Envelopment Analysis) models in which a new input (or output) is to be fairly assigned to all units (DMUs – Decision Making Units) of a corporation. An interesting characteristic of those proposed models is that the way this distribution is influenced by both inputs and outputs used in each DMU. The models were built in accordance with the geometric shape of CCR frontier and they can be convex or concave, depending on the nature of the variables we intend to share. We show that, under this assumption, it becomes relatively easy the distribution of a new input (or output) among several DMU's, considering that each DMU will receive the new input (or output) fraction in order to become efficient, forcing its position on the specific frontier.

Keywords: data envelopment analysis; constant sum of variables; efficient frontier.

1. Introdução

A Análise Envoltória de Dados (DEA – da sigla em inglês, Data Envelopment Analysis) é uma ferramenta da estatística não-paramétrica que avalia a eficiência de unidades tomadoras de decisão (DMUs, da sigla em inglês Decision Making Units), comparando entidades que realizam tarefas similares e se diferenciam pela quantidade de recursos utilizados (inputs) e de bens produzidos (outputs). DEA é uma ferramenta adequada tanto para avaliar a eficiência relativa das DMUs quanto para o estabelecimento de metas para DMUs consideradas ineficientes. As DMUs são comparadas de acordo com o conceito de eficiência de Farrel (Farrel & Fieldhouse, 1962), que consiste na razão entre a soma ponderada dos outputs y e a soma ponderada dos inputs x de cada DMU. As variáveis de decisão são o vetor u, que representa os pesos relacionados aos outputs y, e o vetor v, que representa os pesos relacionados aos inputs x.

A primeira formulação DEA (Charnes et al., 1978), que ficou conhecida como modelo CCR (iniciais dos três autores), supõe retorno de escala constante, enquanto que a formulação denominada BCC, mais recente (Banker et al., 1984) supõe retorno de escala variável.

Enquanto os modelos clássicos de DEA baseiam-se em liberdade na utilização de inputs e na produção de outputs, há casos em que essa liberdade não existe (Gomes et al., 2001). Suponhamos, por exemplo, um banco que pretende lançar um novo produto (output) no mercado e deseja distribuir para suas agências, da maneira mais justa possível, metas individuais que somam o valor constante estabelecido para toda a corporação. Alternativamente, suponhamos um recurso disponível (input), como um orçamento ou custo fixo associado a um certo número total de aeronaves, por exemplo, que uma força aérea pretende distribuir para seus diversos esquadrões. É esse o foco de atenção deste trabalho.

Em relação à limitação na produção de outputs, Soares de Mello et al. (2001-b) e Lins et al. (2003) propuseram modelos ilustrados com o caso dos jogos olímpicos, onde o output medalhas conquistadas é representado por um índice que constitui uma variável limitada por ter uma soma constante para todas as DMUs. Neste enfoque, a melhora da posição de qualquer competidor implica necessariamente a piora do desempenho de alguns dos seus adversários. O modelo de Lins et al. (2003) será brevemente revisto na seção 2, a seguir.

A pesquisa também é recente quando o problema está voltado para a limitação ou soma constante dos valores de inputs. O artigo escrito por Cook & Kress (1999) foi o primeiro a relacionar um problema de alocação de recursos (orçamento fixo, ou custos fixos, vistos como inputs) com a metodologia DEA. A abordagem de Cook e Kress é baseada na idéia das eficiências se manterem constantes. Sob essa hipótese, os autores concluem que no caso de um problema em que há apenas um input e um output, os recursos devem ser alocados a cada DMU na mesma proporção do valor do input daquela DMU em relação à soma dos inputs de todas as DMUs. A óbvia limitação desta abordagem é que a alocação se faz baseada apenas na quantidade de inputs. Dessa forma, DMUs com a mesma quantidade de inputs receberão a mesma fração de recursos, independentemente de produzirem quantidades diferentes de outputs.

Na mesma linha de alocação eficiente de variáveis, Wei et al. (2000) enfoca dois tipos diferentes de aplicação do problema de otimização inverso, utilizando DEA para estimação de inputs e outputs. No primeiro, chamado de problema de previsão, em um conjunto de unidades de tomada de decisão os inputs são aumentados até um valor qualquer, assumindo-se que a respectiva DMU mantém a eficiência anterior. Dessa forma, o que se quer saber é quantas unidades de outputs devem ser produzidas para termos a mesma eficiência. No segundo tipo de problema, chamado de problema de alocação de recursos, os outputs precisam ser aumentados a um nível previamente escolhido e a eficiência da DMU se mantém constante. Desta forma, deseja-se saber quantos inputs devem ser acrescentados a essa DMU de modo que se mantenha a mesma eficiência. Já Yan et al. (2002) utiliza o modelo DEA inverso para proporcionar aos tomadores de decisão a possibilidade de incorporar suas preferências sobre os inputs/outputs visando a alocação de recursos e análise de produção. Beasley (2003) foi outro autor que se preocupou em estudar DEA com soma constante de recursos ou custos fixos ou designação de alvos. O modelo de Beasley (2003) será brevemente revisto na seção 2, a seguir.

Neste trabalho propomos dois modelos tipo DEA baseados em variáveis limitadas ou de soma constante nos quais a distribuição de um valor fixo de input ou de output específico para todas as DMUs pode ser influenciada pelos valores de inputs e de outputs de cada DMU. Os modelos foram construídos de acordo com a escolha do lugar geométrico dos pontos que formam a fronteira CCR. Não afirmamos que nossas escolhas de lugares geométricos sejam necessariamente as ideais, mas garantimos que elas respeitam as propriedades de concavidade ou convexidade (conforme o caso) dessas fronteiras estabelecidas na literatura (Cooper et al., 2000). Mostramos que a adoção de um formato específico da fronteira torna relativamente simples o problema de distribuir de maneira justa, entre todas as DMUs, um input ou um output que tenha uma meta global pré-estabelecida. A hipótese principal é a de que a distribuição justa é conseguida justamente quando todas as DMUs são simultaneamente colocadas na fronteira estabelecida, i.e., todas elas se tornam eficientes.

Assumimos uma certa familiaridade do leitor com a metodologia DEA. Iniciantes neste assunto são direcionados para Charnes & Cooper (1985) e Boussofiane et al. (1991). O artigo está organizado como mostrado a seguir. Na seção 2 apresentamos alguns dos principais modelos de variáveis limitadas ou de soma constante existentes na literatura. Na seção 3 apresentamos as nossas formulações e suas principais características. Na seção 4 apresentamos algumas comparações de resultados da aplicação dos nossos modelos com modelos da literatura. Conclusões e propostas futuras são apresentadas na seção 5.

2. Revisão Bibliográfica

Baseados na idéia da soma dos resultados constantes que envolvem as competições olímpicas estudada por Soares de Mello et al. (2001-b), ou seja, o número de medalhas de uma competição é finito, constante e pré-determinado, Lins et al. (2003) sugeriram um modelo em que a diminuição de outputs de DMUs eficientes, e o conseqüente deslocamento da fronteira de eficiência, implica um aumento da eficiência de uma DMU₀, não eficiente, sendo que a quantidade de outputs dessa DMU₀ mantém-se constante. Seguindo esse enfoque, os autores criaram o Modelo de Ganho de Soma Zero (GSZ), que segue a formulação clássica do modelo do envelope DEA-BCC com orientação a outputs representada a seguir:

Como o modelo representado é orientado a outputs, a nova eficiência da DMU₀ será 1/h_R0, sendo y₀ e x₀ os respectivos valores de outputs e inputs para a DMU₀ e y_j' os novos outputs das DMUs restantes considerando-se a perda de outputs devido ao ganho da DMU₀. Neste modelo, o ganho da DMU₀ não se deve a um aumento de outputs em relação à fronteira eficiente, e sim à maior aproximação da fronteira em relação ao ponto em questão. Ou seja, a DMU₀ permanece a mesma, sendo que os outputs que pertencem à fronteira são reduzidos de maneira a aproximar mais a fronteira da DMU₀, diminuindo a distância (chamada de alvo) necessária para que a DMU₀ torne-se eficiente.

Os autores elaboraram duas estratégias para a redução dos outputs. A primeira supõe uma igual redução para todas as DMUs, o que pode ocasionar DMUs com outputs negativos, o que não é desejável. Na segunda estratégia, a redução dos outputs é proporcional ao nível inicial de outputs da DMU. Esse procedimento evita que uma DMU passe a ter output negativo, pois quem tem menos outputs perde menos e assim sucessivamente, como mostra a Figura 1, a seguir, que representa a nova fronteira gerada a partir desta estratégia. A linha superior representa a fronteira do modelo clássico; já a linha inferior ilustra a nova fronteira, considerando-se redução proporcional de outputs de todas as DMUs, excetuando-se a DMU₀, que ganha a soma das perdas para se tornar eficiente.

Com este modelo, os autores verificaram que os valores das eficiências por ele calculadas são sempre maiores e os alvos sempre menores do que os encontrados no modelo DEA BCC clássico. Dessa forma, sempre vão existir alvos, ou seja, o modelo nunca vai diminuir a fronteira de modo à DMU₀ tornar-se eficiente. Isso por que os valores de l utilizados na formulação (1) são os mesmos do modelo clássico, tornando-se restrições para um aumento mais significativo nos índices de eficiência e uma conseqüente diminuição dos valores dos alvos.

Uma restrição deste modelo é que toda a sua formulação está baseada na fronteira BCC com apenas um output, não sendo possível aplicá-lo a problemas com mais de um output.

Beasley (2003) enfatizou a pouca quantidade de trabalhos publicados em DEA voltado à alocação de recursos (também chamado por ele de custos fixos, ou ainda, designação de alvos). Uma primeira observação interessante de Beasley é a de que quando o interesse do decisor está voltado para a eficiência global da empresa, e não para as eficiências individuais de setores, há uma economia computacional muito grande na maximização simultânea da eficiência média das DMUs como alternativa à maximização uma a uma, como é feito nos modelos DEA clássicos. Beasley mostra que o resultado é o mesmo nas duas formas de análise. Esse novo enfoque de DEA é mostrado na formulação a seguir, onde:

r = nº de outputs;

i = nº de inputs;

j = nº de DMUs avaliadas;

y_rj = valor do output r em relação à DMU j;

x_ij = valor do input i em relação à DMU j;

u_rj = peso do output r em relação à DMU j;

v_ij = peso do input i em relação à DMU j;

e_jj = Eficiência Relativa da DMU j com os pesos da DMU j;

e_jq = Eficiência Relativa da DMU q com os pesos da DMU j;

e = constante de valor muito pequeno.

A contribuição mais relevante de Beasley (2003), entretanto, no contexto do presente trabalho, foi a criação de um modelo tipo DEA de alocação de custos fixos que sofre influência tanto dos inputs quanto dos outputs, suprindo a deficiência do modelo de Cook & Kress (1999). No modelo Alocação de Custos Fixos (ACF) de Beasley, há uma quantidade fixa de custos representada por F, que deve ser distribuída entre as q DMUs, sendo que a parte do custo relativo a cada DMU é representada por f_q. Em sua concepção, Beasley considerou que, para uma distribuição de custos ser justa, seria necessário haver um conjunto único de pesos, representados por e , respectivamente para outputs e inputs, que faria com que todas as DMUs atingissem eficiência. A formulação inicial é mostrada a seguir:

Onde:

F = quantidade total de custos fixos;

f_q = custo de cada DMU q;

a_r = peso único para o output r;

b_i = peso único para o input i.

Como na formulação há n+1 restrições e n+s+m incógnitas, foi necessário um artifício para assegurar a solução do problema. A solução encontrada foi a de inicialmente minimizar, um a um, todos os f_q, encontrando-se assim o valor mínimo dito f_qmin para cada DMU. Em seguida adotou-se o procedimento inverso, ou seja, maximização dos f_q a fim de se obter, um a um, os f_qmax. Em seguida minimizou-se p_max — p_min (interpretados a seguir) conforme o modelo representado abaixo:

Dessa forma, se o valor da função objetivo na solução desse problema de programação linear for igual a zero, teremos p_max = p_min, que implica (f_q-f_qmin)/(f_qmax- f_qmin) = (f_j-f_jmin)/(f_jmax- f_jmin), para todo q e j. O caso p_max¹ p_min, significa não ser possível que ambas as condições do caso anterior aconteçam de forma simultânea, sendo necessário que se abra mão de uma delas.

3. Os Modelos Propostos

Os modelos que agora apresentamos, além de distribuírem outputs e inputs limitados (com soma constante) de forma eficiente, consideram todas as variáveis (outputs e inputs) atuantes no problema.

3.1 Hipóteses

A literatura (Cooper et al., 2000) constata que no caso de termos um problema com m inputs e apenas um output, a fronteira DEA-CCR tem formato convexo. Coerentemente com essa propriedade da fronteira, utilizamos como hipótese a existência de um lugar geométrico em formato hiperbólico, assegurando essa convexidade. A partir desse pressuposto, temos a intenção de averiguar quais seriam as conseqüências da adoção dessa representação geométrica sem a preocupação de provar que a mesma seja a ótima.

Analogamente, para a distribuição de inputs propomos um modelo com a fronteira DEA em formato esférico, assegurando a concavidade da fronteira constatada para casos em que participam do problema s outputs e apenas um input (Cooper et al., 2000).

Antes de enunciarmos os modelos propriamente ditos, cabem alguma considerações acerca das hipóteses que nortearam o estudo: O formato geométrico das fronteiras foi baseado nas representações CCR tridimensionais para dois inputs e um output (Soares de Mello et al., 2001-a) e (Cooper et al., 2000) e para dois outputs e um input (Cooper et al., 2000). É sabido que se uma unidade é eficiente quando empregamos um modelo CCR também o é quando empregamos um modelo BCC (Charnes et al., 1994). Apesar disso, a utilização dos modelos CCR propostos em casos em que um modelo BCC talvez fosse mais recomendável pode penalizar as DMUs localizadas nas extremidades da fronteira, com o estabelecimento de metas superiores às metas que seriam razoáveis para essas mesmas DMUs. Assim, pelo fato do formato das fronteiras propostas neste trabalho representarem um modelo CCR, as DMUs analisadas devem possuir valores de inputs ou outputs com ordens de grandezas semelhantes. Caso contrário, a distribuição das variáveis poderá acarretar uma distorção inerente ao caso em que talvez fosse mais recomendável a utilização de um modelo com retorno de escala variável. Finalmente, não consideramos a possibilidade de restrição nos pesos (Allen et al., 1997), sendo permitido para cada DMU escolher, em completa liberdade, os pesos para cada input ou output.

3.2 O Modelo de Fronteira Hiperbólica (MFH)

A fronteira de eficiência CCR neste modelo é, por hipótese, de formato hiperbólico, pois estamos relacionando inputs com um output constante M_T a ser distribuído a todas as DMUs. Nesse caso, a fronteira é sabidamente convexa e a hipérbole representa essa convexidade. No MFH procuramos, dentre uma família de hipérboles que representam diferentes possíveis fronteiras de eficiência, aquela que irá satisfazer a condição de posicionar todas as DMUs j sobre a mesma hipérbole, assegurando, simultaneamente, que a soma dos valores de M_j seja igual à meta total M_T.

A Figura 2 ilustra o conceito para o caso em que há apenas dois inputs. Nela estão representadas as radiais ou retas caminho sobre as quais as DMUs (que são representadas pelos pontos) se movimentam conforme variem os valores do output M_j a ser distribuído a cada DMU. Na figura, os inputs reais de cada DMU estão escalonados, i.e., divididos pelo maior valor de input existente em cada um dos eixos. A razão desse escalonamento será discutida adiante. O que buscamos são os valores de outputs M_j que formem um lugar geométrico correspondente a uma hipérbole e que somados resultem na meta total M_T, pré-estabelecida, que se deseja distribuir. Os dados da Figura 2, de caráter meramente ilustrativo, foram retirados de Kozyreff (2002).

Como veremos nas formulações a seguir, além de alocar para as DMUs um output total baseado nos inputs existentes, o MFH também pode levar em conta a influência de outros outputs eventualmente gerados em cada DMU. O princípio é o mesmo, i.e., buscamos, dentre uma família de hipérboles, aquela que irá satisfazer a condição de posicionar todas as DMUs sobre a fronteira de eficiência, de maneira que a soma das M_j seja igual à meta total M_T.

Iniciamos a formulação considerando o caso em que cada DMU tem apenas dois inputs, s outputs e há um novo output a ser distribuído entre elas cuja soma é igual a M_T. São definidas as seguintes variáveis:

x_1j é o valor do input 1 da DMU j;

x_2j é o valor do input 2 da DMU j;

a₁ é o valor máximo do input 1;

a₂ é o valor máximo do input 2;

M_T é a meta total para o grupo de DMUs;

M_j é o valor de output de cada DMU, a ser calculado;

y_kj é o valor do output k da DMU j, k=1,2,...,s;

b_k é o maior valor de cada output k.

O denominador da coordenada de cada eixo terá o valor da meta M_j mais o somatório de todos os s outputs escalonados relativos à DMU_j . O escalonamento assegura a adimensionalização e permite que haja um critério de proporção quando lidamos com variáveis de diferentes dimensões.

Como visto, no MFH apenas um output é distribuído (M_j), sendo que os demais outputs são dados e influenciam na distribuição deste. Para dois inputs, temos:

é o valor da coordenada do eixo 1 (abscissa) das DMUs j;

é o valor da coordenada do eixo 2 (ordenada) das DMUs j;

A hipérbole caracterizada pela constante C, centrada no ponto (0,0), já que zero é considerado o valor mínimo de input/output a ser representado, conterá todos os pontos g_ij' (i=1,2) com a condição de que:

De (5) e (7), temos que:

A representação da fronteira CCR do modelo MFH para dois inputs e (s + 1) outputs está representada na Figura 3. Os (s + 1) outputs equivalem aos s outputs que influenciam na distribuição de M_T mais a meta M_j, incógnita do problema. Os dados da figura, de caráter meramente ilustrativo, foram retirados de Kozyreff (2002).

Avellar (2004) generalizou o problema de distribuição de metas M_j em presença de s outputs e m inputs, obtendo:

3.3 O Modelo de Fronteira Esférica (MFE)

Da mesma forma que desenvolvemos o modelo hiperbólico para distribuição de uma meta de output, podemos desenvolver, utilizando o método inverso, um modelo para distribuição de inputs. Nesse caso o formato da fronteira CCR é sabidamente côncavo (Cooper et al., 2000).

No MFE procuramos, dentre uma família de segmentos de circunferências centradas na origem, aquela que irá satisfazer a condição de posicionar todos os custos ou inputs f_j de maneira que sua soma seja igual ao custo total F. No MFE o denominador da coordenada de cada eixo terá o valor do custo f_j mais o somatório de todos os m inputs escalonados relativos àquela DMU_j.

Iniciamos a formulação considerando o caso em que cada DMU tem apenas dois outputs, m inputs e há um novo input a ser distribuído entre elas cuja soma é igual a F. Para encontrarmos o valor do raio R que caracteriza essa fronteira, definimos as seguintes variáveis:

y_1j é o valor do output 1 da DMU j;

y_2j é o valor do output 2 da DMU j;

b₁ é o valor máximo do output 1;

b₂ é o valor máximo do output 2;

x_kj é o valor do input k na unidade j, k=1,2,...,m;

a_k é o maior valor de cada input k;

F é o custo fixo total para o grupo de DMUs;

f_j é o valor do custo fixo de cada DMU a ser calculado.

Temos que:

é o valor da coordenada do eixo 1 (abscissa) das DMUs j;

é o valor da coordenada do eixo 2 (ordenada) das DMUs j;

A circunferência de raio R conterá todos os pontos j_ij' com a condição de que:

A representação da fronteira CCR do modelo para dois outputs e (m + 1) inputs está representada na Figura 4. Devemos observar que os (m + 1) inputs equivalem aos m inputs que influenciam na distribuição de F mais o custo f_j, incógnita do problema. Os dados representados na figura a seguir, de caráter meramente ilustrativo, foram retirados de Cooper et al. (2000).

A generalização do modelo para s outputs e m inputs para a distribuição de f_j entre as n DMUs, obtida por Avellar (2004), é a seguinte:

4. Resultados Envolvendo Modelos com Soma Constante de Variáveis

4.1 Uma ilustração de alocação de um output

As eficiências e os resultados apresentados a seguir foram calculadas pelos softwares LINDO/PC – release 6.1, de 09/10/2000 e EMS – versão 1.3, de 15/08/2000.

Consideramos um problema de distribuição de outputs com soma constante, levando em conta a existência de dois inputs. Utilizando primeiramente o Modelo DEA Clássico para, em seguida, comparar os resultados obtidos com os resultados dos modelos GSZ e MFH.

Como iremos manter os inputs constantes, variando os outputs em busca de uma maior eficiência, utilizaremos a formulação DEA orientada a outputs, utilizando-se formulações BCC para o modelo GSZ e CCR para o modelo MFH. Os dados numéricos a serem simulados foram retirados de (Gomes et al., 2001) e estão apresentados na Tabela 1.

Na Tabela 2 mostramos os resultados de eficiência obtidas com o uso dos modelos GSZ e MFH.

Os valores dos outputs GSZ das DMUs A e E são mantidos constantes em relação aos outputs originais do problema porém, como pelo método GSZ a fronteira recua (Gomes et al., 2001), a perda dos outputs das DMUs B,C,D,F e G com esse recuo é compensada com a soma dos valores 1442,4 e 201,0 aos outputs das DMUs A e E, respectivamente, como se vê na Tabela 2. Analisando os dados da mesma tabela observamos que o modelo MFH, que posiciona as DMUs em uma fronteira de formato forçosamente hiperbólico, garante eficiência máxima para todas as DMUs, ao contrário dos modelos GSZ e DEA Clássico (Tabela 1). Isso acontece mesmo utilizando-se a formulação CCR, lembrando que uma vez que uma unidade é eficiente no modelo CCR, obrigatoriamente ela o será no modelo BCC (Cooper et al., 2000). Há que se considerar, todavia, que os dados de inputs deste problema apresentam uma variação muito grande, possivelmente aconselhando a utilização de um modelo BCC, e não CCR, para esse conjunto específico de pontos.

O gráfico da Figura 5, a seguir, ilustra a distribuição dos pontos pelo modelo MFH, que utiliza por hipótese o lugar geométrico de formato hiperbólico.

4.2 Uma ilustração de alocação de um input

Já no caso de um problema de alocação de inputs, que chamaremos de custos, no qual são levados em conta tanto outputs quanto inputs na distribuição, fizemos uma simulação comparando os modelos MFE, ACF e o modelo de Cook & Kress (1999). Devemos observar que o modelo MFE supõe como hipótese, a exemplo do modelo hiperbólico, que a massa de dados tenha ordens de grandeza aproximadas a fim de que a metodologia DEA-CCR (que supõe retorno de escala constante) seja corretamente utilizada. Os dados numéricos a serem simulados foram retirados de Beasley (2003) e estão ilustrados na Tabela 3. Pela característica da massa de dados dessa simulação, observamos que a utilização de um modelo DEA-CCR nesse caso é adequada.

Observando na Tabela 3 os dados referentes aos pares de DMUs 9 e 11 e 10 e 12, podemos notar que os mesmos se diferenciam somente em relação aos outputs, sendo seus inputs exatamente os mesmos. Como comentamos anteriormente, tanto o MFE quanto o ACF de Beasley (2003) são sensíveis a esta diferença. Logo, é de se esperar que os custos alocados para essas DMUs sejam influenciados pelos valores distintos de outputs. Já o modelo proposto por Cook & Kress (1999) não responde da mesma maneira, pois distribui custos influenciado somente pelos inputs envolvidos. Dessa forma, para Cook & Kress (1999), a distribuição é idêntica, tanto para as DMUs 9 e 11, quanto para 10 e 12.

Os resultados obtidos para as doze DMUs avaliadas, utilizando-se os modelos MFE, ACF de Beasley (2003) e o proposto por Cook & Kress (1999), estão representados na Tabela 4.

Analisando agora apenas os modelos MFE e ACF, para uma distribuição de custos com atribuição de pesos única para os inputs e outputs, podemos reparar na Tabela 4 que os valores obtidos pelos dois modelos estão semelhantes, apesar da formulação utilizada nos modelos ser bem distinta.

Um fato a mais a ser observado é a distribuição única de pesos obtida pelos dois modelos. Como enfatizado por Beasley (2003), para uma distribuição de custos ser justa, segundo o autor, seria necessário haver um conjunto único de pesos (representados por e , respectivamente para outputs e inputs) que faria com que todas as DMUs atingissem eficiência 1 (ou 100%).

O que ocorre é que na distribuição de pesos mostrada na Tabela 5 o peso b₁, referente ao output 1, tem valor zero no modelo ACF, ou seja, o output 1 não tem influência na distribuição de custos. Além da inconveniência óbvia dessa alocação, pois isso implica a desconsideração dessa variável, isso contraria a argumentação inicial que justifica a adoção de um peso único para todas as DMUs pois, a partir do momento em que uma variável é excluída, a distribuição passa a não ser mais justa. Já o modelo MFE mostrou maior coerência com a idéia de adoção de um peso único, pois todos os a e b apresentam valores diferentes de zero, como era de se esperar, dada a natureza do modelo.

5. Considerações Finais

Este trabalho propôs a utilização de modelos CCR de soma constante para a distribuição de inputs e outputs de modo a tornar as DMUs em questão DEA-eficientes. Os modelos propostos tiveram sua formulação baseada no perfil geométrico da fronteira DEA-CCR existente na literatura, podendo ser de formato hiperbólico ou esférico, dependendo da natureza das variáveis que se deseja distribuir. Foram realizadas comparações com modelos de soma constante já existentes na literatura, chegando-se à conclusão que os modelos aqui desenvolvidos são consistentes se aplicados a DMUs com ordens de grandeza de inputs/outputs semelhantes. Em contra-partida, os mesmos são limitados quando utilizados em problemas nos quais o uso de uma formulação com características de retorno de escala variável é mais adequada, pois nesse caso ocorre um super(sub)dimensionamento dos outputs (inputs) das unidades extremas, sendo que muitas vezes esses valores podem estar fora da realidade das DMUs envolvidas. Quando da formulação dos dois modelos não foi considerada a possibilidade de restrição nos pesos, sendo permitido para cada DMU escolher, em completa liberdade, os pesos para cada input/output, seguindo o formato original de DEA. Assim, trabalhos futuros podem ser desenvolvidos focalizando uma distribuição de inputs ou outputs com soma constante e com restrições de pesos ativa. Pesquisas também serão necessárias com o objetivo de se criar modelos BCC, que modelem DMUs com características de retorno de escala variável, suprindo as limitações dos modelos até aqui desenvolvidos. Cabe ressaltar ainda, que neste trabalho foram pressupostos, como hipóteses, lugares geométricos já conhecidos, na tentativa de simulação de fronteiras de formato côncavo e convexo já existentes na literatura. Pesquisas podem ser realizadas no sentido de se estudar as propriedades dessas formas funcionais mais adequadas à constatação teórica existente.

Recebido em 07/2004; aceito em 02/2005

Received July 2004; accepted February 2005

• (1) Allen, R.; Athanassopoulos, A.; Dyson, R.G. & Thanassoulis, E. (1997). Weights restrictions and value judgements in Data Envelopment Analysis. Annals of Operations Research, 73, 14-25.
• (2) Avellar, J.V.G. (2004). Modelos DEA com soma constante de inputs/outputs. Tese de Mestrado, Instituto Teconógico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP.
• (3) Banker, R.D.; Charnes, A. & Cooper, W.W. (1984). Some Models for Estimating Technical and Scale Inefficiencies in Data Envelopment Analysis. Management Science, 30, 1078-1092.
• (4) Beasley, J.E. (2003). Allocating fixed costs and resources via data envelopment analysis. European Journal of Operational Research, 147, 198-216.
• (5) Boussofiane, A.; Dyson, R.G. & Thanassoulis, E. (1991). Applied data envelopment analysis. European Journal of Operational Research, 51, 1-15.
• (6) Charnes, A.; Cooper, W.W. & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research, 2, 429-444.
• (7) Charnes, A. & Cooper, W.W. (1985). Preface to topics in data envelopment analysis. Annals of Operations Research, 2, 59-94.
• (8) Cook, W.D. & Kress, M. (1999). Characterizing an equitable allocation of shared costs: A DEA approach. European Journal of Operational Research, 119, 652-661.
• (9) Cooper, W.W.; Seiford, L.M. & Tone, K. (2000). Data Envelopment Analysis: A comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA Solver Software Kluwer Academic Publishers, Boston.
• (10) Farrel, M.J. & Fieldhouse, M. (1962). Estimating efficient production functions under increasing returns to scale. Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 252-267.
• (11) Gomes, E.G.; Soares de Mello, J.C.C.B. & Lins, M.P.E. (2001). Modelos DEA com soma de outputs constante. XXXIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Campos do Jordão, SP.
• (12) Kozyreff, E. (2002). Um método para estimativa de metas DEA-eficientes. Trabalho de Graduação, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP.
• (13) Lins, M.P.E.; Gomes, E.G.; Soares de Mello, J.C.C.B. & Soares de Mello, A.J.R. (2003). Olympic ranking based on a zero sum gains DEA model. European Journal of Operational Research, 148, 312-322.
• (14) Soares de Mello, J.C.B.C.; Lins, M.P.E. & Gomes, E.G. (2001-a). Estimativa de planos tangentes à fronteira DEA em DMUs extremo-eficientes. Apresentado no XXXIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Campos do Jordão, SP.
• (15) Soares de Mello, J.C.C.B.; Gomes, E.G.; Lins, M.P.E. & Soares de Mello, A.J.R. (2001-b). Uso da Pesquisa Operacional em esportes: o caso das Olimpíadas, Boletim da SOBRAPO Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, Maio, 19, 5-6.
• (16) Wei, Q.; Zhang, J. & Zhang, X. (2000). An inverse DEA model for inputs/outputs estimate. European Journal of Operational Research, 121, 151-163.
• (17) Yan, H.; Wei, Q. & Hao, G. (2002). DEA models for resource reallocation and production input/output estimation. European Journal of Operational Research, 136, 19-31.

*

Corresponding author / autor para quem as correspondências devem ser encaminhadas

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Jul 2005
• Data do Fascículo
  Abr 2005

Histórico

• Aceito
  Fev 2005
• Recebido
  Jul 2004