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Sumário

Articles • Prod. 26 (3) • Jul-Sep 2016 • https://doi.org/10.1590/0103-6513.058512 copy

Mathematical models and resolution strategies for the classical job shop problem

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

The scheduling problem in a job shop production environment is characterized by containing n jobs to be processed by m machines, where each job is represented by a specific sequence of operations with an established precedence order. The aim of this work is to perform a comparative analysis of the mathematical formulations for this environment by minimizing the makespan, i.e., the total time to complete all n jobs. Popular models and a proposed model are compared and evaluated through computational tests using cases from the literature. In addition, resolution strategies are proposed. Computational experiments using a well-known commercial software package indicate that the proposal strategies can promote a reduction of the optimality gap.

Keywords:
Job shop; Scheduling; Makespan; Mixed integer linear programming models

	Formulação	Número de restrições	Número de variáveis binárias	Número de variáveis contínuas
Prcedência	Manne	$m n^{2}$	$m n (n - 1) / 2$	$m n + 1$
	AM	$m n^{2} - n$	$m n (n - 1) / 2$	$m n + 1$
	Liao-You	$m n (n + 1) / 2$	$m n (n - 1) / 2$	$m n (n + 1) / 2 + 1$
Designação	Wagner	$n^{3} (m - 1) + 3 m n + m$	$m n^{2}$	$2 m n + 1$
	Wilson	$n^{3} (m - 1) + 3 m n$	$m n^{2}$	$m n + 1$
	Proposta	$2 m n^{2} + 4 m n - n$	$m n^{2}$	$2 m n + 1$

	Formulação	Des_U %	Des_L %	GAP %	N^o. de soluções ótimas	N^o. de soluções com 0%<GAP<5%
Precedência	Manne	0,83	24,74	46,01	12	0
	AM	1,49	24,74	47,32	12	0
	Liao-You	3,53	26,69	56,34	12	0
Designação	Wagner	351,77	9,36	413,95	1	1
	Wilson	336,17	9,33	395,53	1	2
	Proposta	197,69	8,48	234,88	3	5

Tipo de corte	Precedência			Designação
Tipo de corte	Manne	AM	Liao	Wagner	Wilson	Proposta
Implied bound cuts	430,02	675,91	707,82	12,00	18,60	301,80
Flow cuts	72,18	129,60	207,69	3,83	2,35	9,30
Mixed integer rounding cuts	459,93	824,11	1924,16	25,68	17,92	146,73
Zero-half cuts	0,00	16,56	12,05	0,00	0,00	0,00
Lift and project cuts	35,41	4,47	8,07	0,00	1,00	2,13
Gomory fractional cuts	39,60	23,93	83,22	2,40	2,64	21,17
Cover cuts	6,13	15,10	45,16	1,63	1,21	1,14
GUB cover cuts	2,22	3,80	0,00	1,00	0,00	0,00
Clique cuts	0,00	4,40	3,47	0,00	0,00	0,00
Multi commodity flow cuts	0,00	2,00	1,14	0,00	0,00	3,59
Total	1.045,50	1.699,88	2.992,78	46,54	43,72	485,86

	Formulação	HC1			HC2
	Formulação	Des_U %	Des_L %	GAP %	Des_U %	Des_L %	GAP %
Precedência	Manne	0,71	24,68	45,43	0,59	24,45	44,53
	AM	0,72	24,68	45,02	0,60	24,33	44,23
	Liao-You	3,41	26,33	54,71	1,78	26,23	50,72
Designação	Wagner	28,68	9,33	45,14	12,06	9,28	26,02
	Wilson	27,61	9,33	43,90	11,39	9,28	25,27
	Proposta	19,52	8,17	32,26	7,86	8,01	19,05

Estratégia	Des_U %	Des_L %	GAP %	N^o. de soluções ótimas	N^o. de soluções com 0%<GAP<5%
Mn10_Pr10	0,83	8,03	10,92	15	5
HC_Mn10_Pr10	0,23	8,02	10,27	16	5
Mn_Pr10	3,77	10,52	20,53	13	3
Mn8_Pr2	1,10	8,40	11,74	15	4
HC_Mn8_Pr2	0,85	8,40	11,58	15	5

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