Aplicação do modelo geométrico no estudo dos efeitos glory e rainbow em colisões atômicas

Geometric model apllied for studying glory and rainbow effects in atomic collisions

geometric model; glory; rainbow

ARTIGO

Aplicação do modelo geométrico no estudo dos efeitos glory e rainbow em colisões atômicas

N. H. T. Lemes, J. C. Belchior e J. P. Braga

Departamento de Química - ICEx - Universidade Federal de Minas Gerais - Pampulha - 31 270-901 - Belo Horizonte - MG

Recebido em 15/8/97; aceito em 14/4/98

Geometric model apllied for studying glory and rainbow effects in atomic collisions. A simple analysis of glory and rainbow effects, together with the description of their trajectories is given by the geometric model. The energy dependence of glory and rainbow impact parameters and the energy dependence of the rainbow angle are determined analytically within the model. An universal function for glory and rainbow trajectories can be easily determined.

Keywords: geometric model; glory; rainbow.

INTRODUÇÃO

A descrição do problema de colisão entre dois corpos pode ser feita pelo método da trajetória clássica através do formalismo de Hamilton em coordenadas esféricas do centro de massa, utilizando a distância relativa e a velocidade relativa para acompanhar a dinâmica. Um exemplo simples é a colisão elástica entre dois átomos que não possuem estrutura interna, e portanto, a energia cinética antes e após a colisão é constante, , onde m é a massa reduzida do sistema. Neste caso a colisão entre os átomos produz uma mudança na direção da velocidade relativa , mas não na norma .

Em colisões atômicas o parâmetro de impacto b e o ângulo de espalhamento c são duas quantidades que caracterizam a dinâmica do processo. O parâmetro de impacto b, é definido como a distância entre o centro espalhador à uma linha paralela a velocidade inicial da partícula fictícia de massa µ. O ângulo de espalhamento c é definido como o ângulo que dá a mudança na direção da partícula espalhada e é um efeito das interações interatômicas presentes durante a dinâmica. As quantidade b e c estão definidas na figura 1.

A dependência do ângulo de espalhamento c com o parâmetro de impacto b apresenta algumas características importantes. Esta função possui valores positivos e negativos de c; valores de b que correspondem a um mesmo ângulo de deflexão; um valor mínimo de c , chamado ângulo de rainbow, c_r; e uma trajetória com ângulo de deflexão igual a zero, mesmo quando as forças ainda estão presentes na interação, que ocorre para um parâmetro de impacto b igual ao parâmetro de glory b_g.

Experimentalmente temos acesso a seção de choque diferencial, ds/dW, relacionada com a probabilidade P(c) do átomo ser espalhado em um determinado ângulo c por unidade de ângulo sólido W. Esta quantidade pode ser calculada teoricamente pela expressão¹.

(1)

onde o somatório é sobre todas as trajetórias que contribuem para um mesmo ângulo de espalhamento c. Como podemos ver na equação acima, a função deflexão c(b) é suficiente para o cálculo de ds/dW. A seção de choque é definida para valores de c de 0 à p, uma vez que ângulos negativos e positivos são indistinguíveis no laboratório.

Determinadas características da função deflexão causam singularidades na seção de choque diferencial. O efeito glory causa uma singularidade porque senc = 0 quando c = 0. A outra singularidade é devida ao efeito rainbow, e acontece porque a inclinação da função deflexão dc/db é zero, em b=b_r.

Como a seção de choque esta relacionada com a probabilidade P (c), as singularidades representam uma coalisão de átomos espalhados em determinado ângulo c . No caso do rainbow várias trajetórias em torno da condição inicial b_r são espalhadas em um determinado ângulo c_r, portanto, a seção de choque diferencial apresenta uma singularidade em c_r. A singularidade em c= 0 da seção de choque diferencial é devida a trajetória de glory e a todas as trajetórias com parâmetro de impacto b > b_max que contribuem para o ângulo de espalhamento c = 0, onde b_max é o valor de b para o qual o ângulo de espalhamento seja aproximadamente zero.

O estudo sistemático da estrutura da seção de choque diferencial e total é um dos objetivos importantes para os cientistas que trabalham em dinâmica atômica e molecular. Informações essenciais destas estruturas podem ser obtidas se estudarmos a influência dos efeitos glory e rainbow nas seções de choque diferencial e total. Por exemplo, como já discutimos, a singularidade na seção de choque ocorre no ângulo de rainbow². Apesar do efeito glory ocorrer para ângulos pequenos, que é uma região de pouco interesse, tanto teórico como experimental, a importância do efeito glory aparece quando tentamos explicar as oscilações na seção de choque total. A freqüência destas oscilações está relacionada com a derivada dc/db em b = b_g. O número de estados ligados que esta molécula (resultante da combinação dos átomos em colisão) teria, está também relacionada com a derivada acima. Um outro ponto importante sobre o efeito glory é que a derivada acima serve de base também para a aproximação da fase estacionária. Para referências genéricas sobre este assunto o leitor deve consultar a referência 2. A análise do efeito rainbow em estruturas complexas, aparece, por exemplo, na referência 3. A análise do efeito glory, no contexto da fase estacionária aparece na referência 4.

No estudo teórico do espalhamento atômico pode-se utilizar diversos modelos na descrição dos fenômenos envolvidos e no cálculo da seção de choque. Um deles é o modelo geométrico^5,6, que é uma imagem adequada e um caminho simples para o entendimento das principais características do espalhamento atômico como o efeito rainbow e glory. Este modelo requer somente o conhecimento de geometria elementar, substituindo a necessidade de se conhecer métodos numéricos para solução de sistemas de equações diferenciais acopladas, de integrais impróprias e técnicas para o cálculo de raízes.

Neste trabalho iremos aplicar o modelo geométrico ao espalhamento atômico para a análise do efeito glory e rainbow e determinar analiticamente a trajetória de rainbow, c_r(E) e b_r(E), e a trajetória de glory, b_g(E).

MODELO GEOMÉTRICO

O modelo geométrico, para o caso atômico, basea-se em dividir o espaço de colisão em diversos sub-espaços e_i que são esferas concêntricas de raio R_max-ih, onde R_max é o valor máximo para a coordenada de espalhamento, h o tamanho de cada setor e i um indexador. Assim uma partícula em um determinado setor i possui momento constante dado por , onde E é a energia de colisão. Portanto a partícula ao passar de um sub-espaço e_l para e_k muda sua quantidade de movimento e ela o faz sofrendo uma refração de forma a conservar o momento. Então a partir da conservação do momento e considerações geométricas para substituir o cálculo do ponto de retorno clássico, R_c, podemos encontrar o ângulo de espalhamento c, equação (11) da referência 6.

(2)

onde a_i eb_i são respectivamente o ângulo de incidência e refração no setor i, e n é o número total de setores. Com esta equação acumulamos a mudança da direção ao longo da trajetória, assim a trajetória contínua de uma partícula de massa reduzida m é composta de n segmentos de trajetórias descontínuas na fronteira de cada setor i.

Este modelo foi comparado na referência 6 ao resultado obtido pela quadratura de Gauss-Mehler⁷ da integral imprópria do ângulo de espalhamento¹.

(3)

com o cálculo do ponto de retorno clássico feito pelo procedimento de Newton-Raphson⁸. O modelo foi considerado quantitativamente apropriado para um mínimo de 10.000 seções, com um erro de ~0,5%. Maiores detalhes desta comparação são apresentados na referência citada.

APLICAÇÃO NA ANÁLISE DO EFEITO GLORY

No espalhamento atômico existe uma situação em que o efeito das forças atrativas é igual ao efeito das forças repulsivas, neste caso o ângulo de espalhamento é zero, e esta trajetória, em particular, é conhecida como trajetória do glory. Portanto o parâmetro de impacto do glory, b_g, é importante porque delimita as regiões das trajetórias repulsivas c > 0, da região das trajetórias atrativas c < 0.

Na dedução das condições analíticas do rainbow e glory pelo modelo geométrico utilizaremos o potencial degrau abaixo como exemplo

(4)

com isto estamos dividindo o espaço de colisão em dois setores i=1 e i=2, conforme ilustrado na figura 1.

O ângulo de espalhamento c é dado pela equação 2 e portanto, a condição do glory, c = 0, é dada no modelo geométrico por,

(5)

No caso simples de dois setores, sendo um de diâmetro R₀, e outro de diâmetro R_1, teremos a₁ + a₂ = b₁ + b₂. Conforme discutido na referência 6 b_n = p/2, que é a condição que define o ponto de retorno clássico no modelo geométrico, e portanto

(6)

O parâmetro de impacto que satisfaz a condição acima é o parâmetro de impacto do glory, b_g. Devemos portanto determinar a₁, a_{2 e} b₁.

Conforme podemos observar na figura 1 o ângulo de incidência no primeiro setor, a₁,é dado por

(7)

e neste caso R_max = R₁. No primeiro setor a energia cinética do átomo é , e no segundo setor , portanto, usando a conservação do momento podemos obter o ângulo de refração no primeiro setor, b₁ dado por

(8)

O ângulo de incidência no segundo setor, a₂, é dado por

(9)

onde R_c = R₀. Esta equação é obtida através de considerações geométricas discutidas na referência 6. Finalmente depois de um rearranjo, substituindo a equação 7 na equação 8 e o resultado na equação 9, obtemos

(10)

Como os ângulos a₁ e b₁ dependem inversamente da coordenada de espalhamento podemos fazê-los tão pequenos quanto desejado e consequentemente podem ser desprezados numa primeira aproximação. Para altas energias, além deles serem pequenos, estes ângulos serão também aproximadamente iguais, o que pode ser visto pela equação (8). Portanto a equação (6) pode ser escrita aproximadamente como

(11)

Rearranjando esta equação obtemos a trajetória de glory

b_g = R_c (1+D_e / E)^1/2,

(12)

uma aproximação que deve ser melhor para altas energias.

A expressão analítica encontrada para a trajetória de glory mostra que o parâmetro do glory é dependente do potencial de interação interatômico, neste caso é função da energia de dissociação D_e e do parâmetro R₀ do potencial degrau utilizado. No limite de altas energias o parâmetro de impacto de glory é aproximadamente o ponto de retorno clássico, ou seja, a trajetória é praticamente retilínea.

O resultado da equação 12 é comparado na figura 2 ao valor obtido pelo método da trajetória clássica utilizando-se o método de Runge-Kutta de 4ªordem com passo fixo⁸ para integração das equações acopladas. A correção do ângulo de espalhamento é dada pela solução analítica da integral 3 de R_max à ¥. Os cálculos foram feitos para o sistema H₂, descrito pelo potencial de Morse

com parâmetros D_e = 4,747eV, a_m = 1,945 Å^-1 e R_e = 0,7414Å⁹.O método de Newton-Raphson⁸ foi usado para encontrar o ponto de retorno clássico.

Podemos observar na figura 2 que o modelo geométrico descreve corretamente o resultado obtido por trajetória clássica e que o resultado de ambos os métodos se aproximam quantitativamente para altas energias.

APLICAÇÃO NA ANÁLISE DO EFEITO RAINBOW

O efeito rainbow corresponde a uma coalisão de trajetórias no ângulo de deflexão máximo. O ângulo de rainbow divide a região em que a mecânica clássica poderá ser usada com maior segurança. Na dependência de c x b a situação física fica mais clara, podemos observar que para valores de c < c_r existem três trajetórias (b₀, b₁ e b₂)que contribuem para o mesmo ângulo de espalhamento c, acima deste valor a correspondência entre c e b é unívoca. Se usarmos uma expressão mais elaborada (semi-clássica) para a intensidade do feixe de partícula espalhada, veremos que devido a correspondência entre vários parâmetros de impacto com o mesmo ângulo de espalhamento teremos um fenômeno conhecido como interferência, fenômeno este não clássico².

A condição de rainbow é dada formalmente por

(14)

e através da equação (2) podemos encontrar uma condição equivalente no modelo geométrico

(15)

Conforme fizemos na dedução do efeito glory, também, para a dedução do efeito rainbow, dividiremos o espaço de colisão em dois setores (ver figura 3). Geometricamente podemos observar que o efeito rainbow ocorre quando o ângulo de incidência em cada setor i é p/2 e como já discutimos b_n também é igual a p/2. Assim, considerando apenas dois setores, o ângulo de rainbow é dado por

(16)

Usando as equações (7) e (8), com a₁= p/2, obtemos

(17)

Substituindo a equação acima na equação (16) obtemos

(18)

e através de um rearranjo simples obtemos a expressão para a trajetória do rainbow

sec²(c_r / 2) = 1 + D_e / E.

(19)

No modelo geométrico, o parâmetro de impacto para a trajetória de rainbow é R₁, tal que, a₁ =p/2, portanto, b_r(E) = R₁. Esta expressão mostra que a trajetória de rainbow depende do parâmetro D_e e R₁ do potencial degrau utilizado. No limite de altas energias o ângulo de rainbow é aproximadamente zero, i.e., as trajetórias são todas praticamente retilíneas.

A figura 4 apresenta o resultado da sec²(c_r/2) em função da energia, comparado ao resultado obtido pela trajetória clássica para o sistema H₂. Podemos observar uma excelente concordância dos resultados para altas energias.

UNIVERSALIDADE DO MODELO GEOMÉTRICO

O conceito de universalidade é bastante comum em termodinâmica. O segundo coeficiente do virial pode, por exemplo, ser escrito na forma universal para potenciais conformais¹⁰, i.e., potenciais da forma

V(R) = D_eƒ(R / s).

(20)

como é o caso do potencial (4) utilizado na discussão do efeito glory e rainbow. Neste item iremos mostrar que o ângulo de espalhamento c também é uma quantidade universal para esta classe de potenciais. Esta universalidade é facilmente mostrada substituindo o potencial acima na equação (3), para obter¹¹ .

(21)

onde b^* = b/s, = R_c/s, R^* = R/s e E^* = E/D_e. Como podemos observar c^* depende somente das quantidades reduzidas b^* e E^* e é, portanto, universal nestas variáveis. Este resultado mostra que também as quantidades b_g^* e b_r^* são universais. Em particular, no caso do potencial degrau utilizado, equação (4), s = R₀ = R_c.

O estudo da trajetória de rainbow e glory, pelo modelo geométrico, mostra de maneira muito simples a universalidade de c^* e para classe de potencias degraus. Analisando o resultado analítico obtido para a trajetória de glory pelo modelo geométrico, equação (12), podemos observar que as quantidades reduzidas b_g/R_c e E/D_e aparecem nesta expressão e que portanto podemos escrevê-la de maneira universal como

(22)

Isto significa que para esta classe de potenciais, o parâmetro de glory, b_g(E), para um dado sistema de energia de dissociação D_e é dado por R_cb^*(E^* ) tal que E^*=E/D_e. Este resultado aproximado da equação (22), para duas seções, sugere uma série perturbativa para a trajetória de glory apresentada abaixo em sua forma universal

(23)

A quantidade reduzida E/D_e também pode ser identificada na expressão analítica para a trajetória de rainbow, portanto, também podemos escrevê-la de maneira universal como

(24)

De fato, como provamos na equação (21), o ângulo de rainbow é universal para a classe de potenciais conformais, e isto é visto de maneira muito simples pelo modelo geométrico. Este resultado também sugere, de maneira similar ao caso do efeito glory, uma série perturbativa em 1/E*, dada por

(25)

O modelo geométrico mostra que esta série é adequada para descrever a trajetória de rainbow e tem significado físico.

Para ilustrar a universalidade sugerida pelo modelo geométrico, isto é, pelas equações (23) e (25) acima, é conveniente não trabalharmos com o potencial de Morse. Uma análise deste potencial nos mostra que

(26)

onde vemos que e serão universais somente quando aR_e for constante. Como esta restrição não possui significado físico e os sistemas a serem analisados teriam de ser artificiais, foi adequado trabalharmos com o potencial de Lennard-Jones

(27)

que pertence à classe de potenciais conformais. Os sistemas He₂, Ne₂, Ar₂ e Xe₂, com parâmetros s e D_e retirados da referência [12], serão usados para ilustrar a universalidade.

A universalidade para , sugerida pelo modelo geométrico, esta ilustrada na figura 5 para a série de moléculas diatômicas acima. Os coeficientes, c_n, da série apresentada na equação (25) são universais, e para a classe de potencial de Lennard-Jones, com um ajuste de grau 6 obtém-se uma boa correlação na faixa de 0.1 £ E* £ 0,8. Os coeficientes neste caso são: c₀ = 1,156, c₁= -3,598, c₂ = 32,235, c₃ = -132,787, c₄ = 302,370, c₅ = -349,863 e c₆ = 168,424. Esta curva não pode ser extrapolada além do limite de 1/E*=1,25, limite este de ocorrência do efeito rainbow nos potenciais de Lennard-Jones¹¹. Uma análise semelhante foi feita para o efeito glory utilizando a equação (23). Um ajuste de grau 2 fornece uma excelente correlação para a faixa de 0,1 £ E* £ 1,5. Neste caso os coeficientes são c₀= 1,009, c₁= 0,731, c₂ = -0,134.

CONCLUSÃO

O modelo geométrico, desenvolvido anteriormente^5,6, foi aplicado no presente trabalho para elucidar a estrutura do glory e do rainbow no espalhamento atômico. Este modelo é simples e esclarecedor da natureza física destes efeitos. A correta dependência das trajetórias do rainbow e glory são influenciadas pelo potencial de interação e esta dependência fica clara quando o modelo geométrico é usado. As expressões são universais para a classe de potenciais conformais e dependentes da quantidade reduzida D_e/E.

O modelo geométrico sugere uma série perturbativa em D_e/E para as trajetórias de rainbow e glory, os coeficientes desta série são universais para a classe de potencial que foram determinados. Portanto, para qualquer sistema descrito por um potencial desta classe, , tal que, E^* = D_e / E e b^* = b / R_c.

A universalidade da função f* (equação (25)), para a classe de potenciais conformais, pode ser utilizada para estimar o valor de D_e a partir de dados experimentais. Se o valor de c_ré determinado experimentalmente, para uma determinada energia E, teremos sec²(c_r/2) = f*(1/E*), e portanto, (1/E*) = D_e/E ou D_e = E(1/E*). Este modelo nos possibilita então, a inversão de dados experimentais.

10. Braga, J. P.; Notas de Termodinâmica, não publicado.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  10 Abr 2001
• Data do Fascículo
  Nov 1998

Histórico

• Aceito
  14 Abr 1998
• Recebido
  15 Ago 1997