O Método das escalas múltiplas em circuitos LC e RLC

The multiple scales method in circuits LC and RLC

ARTIGOS GERAIS

O Método das escalas múltiplas em circuitos LC e RLC

The multiple scales method in circuits LC and RLC

Lucas Stori de Lara¹; Taiza A. Sauer do Carmo

Universidade Federal do ABC, Santo André, SP, Brasil

RESUMO

Neste trabalho, concentramo-nos em um método específico na teoria de perturbação, o método das escalas múltiplas. Desenvolvido na mecânica clássica para o tratamento de equações diferenciais não-lineares, este método é aplicado como uma ferramenta matemática na descrição de efeitos perturbativos em vários sistemas físicos. Desta forma queremos mostrar algumas aplicações deste método, em circuitos elétricos LC e RLC.

Palavras-chave: métodos assintóticos, método das escalas múltiplas.

ABSTRACT

In this work, we focus on a specific method of perturbation theory, the method of multiple scales. Developed in classical mechanics for the treatment of non-linear differential equations, this method is applied as a mathematical tool in the description of perturbative effects in several physical systems. Thus we show some applications of this method, electrical circuits LC and RLC.

Keywords: .

1. Introdução

O método das escalas múltiplas (MEM) é um dos métodos assintóticos de grande eficiência. Seus desenvolvimentos principais incluem oscilações não-lineares, problemas de camadas limites, dinâmica dos fluídos, aerodinâmica e a teoria de movimento de astronaves [1].

Diretamente, podemos dizer que o MEM tem como idéia central a transformação das equações diferenciais do problema a ser abordado, sendo ela linear ou não, em uma série de equações diferenciais lineares solúveis de forma interativa.²

É importante ressaltar que este método não se restringe apenas aos domínios da física clássica, mas pode ser aplicado, considerando-se modificações adequadas, em problemas no campo da mecânica quântica, com o propósito de se obter soluções, tanto das equações de Heisenberg como da equação de Schrödinger [2-4].

Em especial, aplicamos o MEM na solução de equações diferenciais lineares diretamente no problema de evolução temporal das soluções dinâmicas do tipo oscilador harmônico, tanto no tratamento de circuitos elétricos (LC, RLC) como também em um tipo de acoplamento entre circuitos RLC. [3].

2. Método das escalas mútiplas

Portanto, nesta seção, vamos considerar uma breve revisão dos aspectos gerais do MEM em problemas de física. Em geral, para as equações diferenciais de sistemas não lineares, utilizam-se métodos assintóticos para se obter suas soluções aproximadas [5-7]. Um exemplo interessante é o do movimento oscilatório unidimensional sob ação de uma força restauradora (sistema massa-mola). Para este sistema consideramos a equação para a posição u do oscilador, dada na forma geral

onde ƒ(u) pode ser uma função linear ou não. Da equação acima podemos assumir equações do tipo oscilador harmônico, equação de Duffing [7,9] etc. Portanto ƒ(u) é um caso geral onde podemos identificar o tipo de linearidade que a equação diferencial pode assumir em um determinado sistema físico.

Prosseguindo, reescrevemos (1) em um sistema de coordenadas conveniente, tal que x = u - u₀, com u₀ a posição de equilíbrio do oscilador. Assim temos a equação diferencial reescrita na forma

Verifica-se que ƒ pode ser expandindo em série de Taylor em torno do ponto u₀. Com este procedimento, estamos em busca de soluções aproximadas para nossa equação. Logo

com

e ƒ⁽ⁿ⁾ denotando as n-ésimas derivadas no ponto u₀. As condições iniciais são dadas pela posição inicial u(0) e a sua velocidade inicial (0). A partir das condições iniciais determina-se as soluções de maneira única.

No método das escalas múltiplas, a idéia principal é aplicar uma transformação na equação diferencial em estudo, sendo ela linear ou não, gerando uma série de equações diferenciais lineares acopladas. Para tornar mais explícito esta definição o método defini n variáveis T_n de tempo, dadas por

onde estas variáveis são interpretadas como diferentes escalas de tempo (múltiplas escalas) e tomadas como independentes, desde que o parâmetro ε assuma um valor pequeno, ε 1.

Para estas diferentes escalas de tempo, observamos que as derivadas na variável t também devem ser reescritas em termos das derivadas de T_n na forma

As derivadas são separáveis, pela expansão dos termos, de acordo com diferentes ordens de potências de ε. Deste modo, pode-se assumir então, uma solução para a Eq. (2), levando-se em conta a expansão dada pela Eq. (3), na forma

substituindo primeiramente a Eq. (3) e em seguida as Eqs. (6), (9) na Eq. (2), obtemos, para cada ordem n em ε uma equação diferencial linear para a componente x_n na série (9):

Note que a soluções das equações de ordens menores aparecem como os termos não homogêneos,

_n(x1, ..., x_n-1), nas equações das ordens maiores. Portanto, este é um método interativo; por exemplo, a solução da ordem zero influi na solução da primeira ordem, enquanto a solução da segunda ordem está definida pelos efeitos das soluções das ordens zero e um, e a assim por diante. Nas próximas seções vamos explorar o MEM em aplicações nos circuitos LC e RLC.

3. Aplicações em circuitos elétricos I

Existe na natureza inúmeros fenômenos que envolvem oscilações. Um exemplo bastante comum é o pêndulo de um relógio, que se move periódicamente (ou seja, repetindo o seu movimento em intervalos de tempo bem definido) em torno de uma posição de equilíbrio. Nos relógios mecânicos de menores dimensões o pêndulo foi substituido por uma massa ligada a uma mola, que tem um comportamento em tudo semelhante ao do pêndulo. E nos relógios electrônicos substituido por um sistema também oscilante, mas neste caso as oscilações são de natureza eléctrica.

O circuito RLC (R designa uma resistência, L uma indutância e C um capacitância) é o circuito elétrico oscilante por excelência. A sua simplicidade permite controlar fácilmente os parâmetros que caracterizam o seu funcionamento, o que o torna ainda um excelente candidato para a simulação de outros sistemas oscilantes.

3.1. Circuito LC

Consideremos, para um caso mais didático, o exemplo de circuito LC em série conforme a Fig. 1. O sistema entra em regime oscilatório modificando a posição da chave do circuito. Primeiro nós carregamos o capacitor com uma certa diferença de potencial (ddp) V₀ e em seguida desligamos a chave, após o desligamento a corrente i circular entre o capacitor e o indutor até o momento em que o capacitor esgotar a sua ddp. Portanto, neste regime, podemos escrever a equação diferencial que descreve este sistema utilizando-se da lei das malhas. Vamos ainda considerar como a corrente e a carga respectivamente, deste modo temos

com como sendo a frequência natural do sistema e a ddp. aplicada. Seja as condições iniciais dada por i(0) = 0 e q(0) = 0, a solução da Eq. (10) é bastante simples e é dada por

Agora, se considerarmos a situação em que a frequência de oscilação do sistema varie com o tempo, muito fracamente e em torno da frequência ω0, poderemos reescrever a nossa equação diferencial como

onde ω(t)= ω(1 - 2E cos(2t)),³ onde << 1, assim o problema pode ser tratado de uma maneira mais elaborada, considerando o efeito perturbativo do parâmetro . Conforme a demonstração do método das escalas múltiplas, o problema pode ser tratado agora nas correções do parâmetro de perturbação, o que torna a nossa solução um resultado aproximado, quando comparado à solução exata. Reescrevendo t e em termos das novas escalas de tempo e escrevendo as equações para correção em ordem 2 para o parâmetro , temos

A solução para a correção de ordem zero é imediata

com B(T₁,T₂)= Ā(T₁,T₂) ( = cc)⁴ logo, substituímos na correção de ordem 1 e obtemos a seguinte equação diferencial

onde o termo secular,⁵ é identificado pelo termo D₁A(T₁; T₂), o qual é desprezado. Portanto A = A(T₂), independente da variável T₁, com isto a solução para a Eq. (14) corresponde a

Finalmente, utilizamos as soluções de x₀ e x₁, para encontrar a correção de ordem 2.

novamente identificamos o termo secular como

de forma que a solução para a amplitude A(T₂) está expressa como

onde a e b são constantes e podem ser determinadas pelas condições iniciais. Determinada as Amplitudes A(T₁,T₂), B(T₁,T₂) e as soluções para correção de ordem zero e um para o parâmetro , podemos escrever a solução final como

com Φ igual à

Tomando-se =0 , recuperamos a solução (11). Grafi camente podemos expressar a aproximação existente entre as soluções no espaço de fase conforme a Fig. 2, ou seja, a solução exata é dada pela curva em negrito na gráfico 1, enquanto que as demais curvas são soluções aproximadas considerando pequenos valores para o parâmetro . Para a situação em que q = q(t), gráfico 2 temos as duas situações, (linha azul) para a solução exata e a (linha vermelha) para a solução aproximada. As curvas perturbativas se aproximam do valor exato no circuito LC, o que demonstra a utilização de método das escalas múltiplas como um tratamento aproximativo de equações diferenciais. Vamos agora analizar o caso do circuito RLC.

3.2. Circuito RLC

Consideremos o exemplo de circuito RLC em série con forme a Fig. 1. A equação diferencial que a descreve pode ser facilmente obtida da mesma forma que no caso LC, utilizando-se a lei das malhas

onde β = é conhecido como termo de amortecimento, ω= é frequência natural do sistema. Ao resolvermos está equação diferencial, verificamos três casos distintos para a frequência de oscilação do circuito de acordo com o tipo de amortecimento causado

• amortecimento crítico - β² = ω.

• amortecimento subcrítico - β² <ω.

• amortecimento supercrítico - β² >ω.

Tal que a solução da equação diferencial para cada um destes casos é dada por

• β² = ω - q(t)= e^-ωot.

• β² = ω - q(t)= e^-βt cos(ω₁t).

• β² > ω - q(t)= e^-βt cosh(ω₂t).

• ω_i = , i = 1, 2.

Agora, para o propósito de aplicarmos um segundo tipo de perturbação, além do parâmetro β, poderíamos pensar que β = β(t)= β(1 - 2 cos 2t) é dependente do tempo, com o parâmentro << 1 pequeno. vamos ainda, para simplificar nossos resultados, utilizar o processo do amortecimento subcrítico. com está considereação reescrevemos a equação diferencial (18) tal que

Realizando a transformação, t, e em termos das novas escalas de tempo, e ainda escrevendo as equações para correção até ordem 1 no parâmetro , temos

A solução para a correção de ordem zero, considerando o amortecimento subcrítico, é dada por

com B(T₁)= Ā(T₁) as amplitudes, ω = e β² < ω. Substituindo a solução (20) na equação diferencial de correção em ordem 1 temos para os termos a direita desta equação

tal que o termo secular é identificado pelo termo D₁A(T₁). Consequentemente A(T₁)= A, é uma constante e a solução particular da Eq. (22) é dada por

onde

Determinadas as soluções para correção de ordem zero e um no parâmetro , podemos escrever a solução final como

Tomando-se = 0, recuperamos a solução exata. Graficamente podemos expressar a aproximação existente entre as soluções no espaço de fase conforme a Fig. 3

4. Aplicações em circuitos elétricos II

Como um exemplo de circuitos acoplados consideramos um circuito constituído por dois osciladores RLC acoplada a um tubo de vácuo [11], como mostrado na Fig. 1. O tubo de vácuo consiste de um catodo (filamento) F aquecido por uma bateria de modo que emitem elétrons, uma placa carregada positivamente P (ânodo) de modo que atrair os elétrons emitidos pelo filamento e uma grade G, que consiste em um malha grossa para controlar o fluxo de elétrons do cátodo para o ânodo. Este controle é realizado por manter a tensão da rede a mesma que através do capacitor C₁.A corrente na rede é mantida por insignificante pequenos conectando-o com um resistor grande R_G.

4.1. Circuitos RLC acoplados

Para este caso, vamos considerar as equações diferenciais que regem este sistema estão dadas por

onde as condições iniciais estão dadas por S = {q₁(0) = 1, q₂(0) = -1, =0, =0}. As constantes α_i,i =1, 2, 3 são expressas em termos da corrente total do circuito, o parâmetro está relacionada a indutância mútua M₁,M₂, porém não vamos entrar em detalhes maiores a respeitos destes valores, vamos apenas nos concentrar na resolução das equações diferencias propostas. Caso o leitor queira mais informações pode procurar em [1,11]. Prosseguindo com nossos cálculos vamos aplicar o MEM e encontrar as equações diferenciais que regem o sistema até uma a correção de ordem 1 e em seguida analizarmos gráficamente o efeito da perturbação nas soluções. Logo as equações são escritas como

e

Considerando o caso de amortecimento subcrítico a solução das equações diferenciais em ordem 0 podem ser expressas como

que ao ser substituída na correção em ordem 1 no parâmetro , encontramos as seguintes equações seculares que determinaram as amplitudes A₁(T₁),A₂(T₁)

Considerando as condições iniciais e o caso do amortecimento subcrítico, encontramos como solução para as amplitudes

onde τ_i = , i =1, 2. Portanto temos como soluçao geral até termos na correção de ordem 1

onde

Tomando-se = 0, recuperamos a solução exata para o caso subcrítico. Graficamente podemos expressar o MEM conforme a Fig. 4.

5. Conclusão

Mostramos que o método das escalas múltiplas tem como idéia central a transformação das equações diferenciais do problema a ser abordado, em uma série de equações diferenciais lineares solúveis de forma interativa. Apartir desta idéias buscamos apresentar uma aplicação desta ferramenta matemática em problemas envolvendo circuitos LC e RLC, analizando seus resultados perturbativos. É importante salientar o limite de válidade destas soluções aproximadas, sendo que aqui não foram abordadas e sim exploradas livremente. Em cada caso é importante investigar estes limites de forma acurada, demonstrando fisicamente estes efeitos.

Agradecimentos

Os autores agradecem a UFABC pelo apoio financieiro. E LSL agradece ao prof. Dr. Antonio Sérgio M. de Castro, pela orientação e discussões acadêmicas.

Referências

[1] A.H. Nayfeh, Peturbation Methods (1973).

[2] M. Janowicz, Phys. Reports 375, 327 (2003).

[3] L.S. Lara, Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual de Ponta Grossa, Ponta Grossa (2007).

[4] J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (1994); C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Laloce, Quantum Mechanics I (1977); J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Fields (1965).

[5] C.M. Bender and L.M.A. Bettencourt, Phys. Rev. Lett. 77, 20 (1996).

[6] C.M. Bender and L.M.A. Bettencourt, Phys. Rev. D, 54, 12 (1996).

[7] A.H. Nayfeh, Introduction to Peturbation Techiniques (1981).

[8] J. Kevorkian and J.D. Cole, Perturbation Methods in Applied Mathematics 34 (1981).

[9] H. Goldstein, Classical Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1980).

[10] K.D. Machado Equações Diferenciais Aplicadas à Física (Editora UEPG, 2000), 2ª ed., p. 162-164.

[11] A.J. Tondl, Sound Vib. 42, 261 (1975).

Recebido em 16/10/2009; Aceito em 20/4/2010; Publicado em 17/1/2011

A solução da equação homogênea é igual a

onde a₁ e a₂ são constantes arbitrárias. A solução particular y_p é uma função do tipo tsen t e t, onde a independência linear é respeitada. Então a solução particular da equação diferencial (5) tem a forma

Desta solução observamos que, no decorrer do tempo t, a amplitude do oscilador aumenta até alcançar uma amplitude limite, na qual o sistema colapsa antes da oscilação se tornar infinita [10]. É justamente este tipo de comportamento que deveremos eliminar na aplicação do método das escalas múltiplas, pois são os termos seculares que levam às soluções não regulares e devem portanto ser iguais a zero.

2

Interativa no sentido que as soluções são obtidas de forma recorrente, ou seja, a correção em primeira ordem depende da solução em ordem zero; a correção em segunda ordem, depende das correções de ordem zero e um e assim sucessivamente.

3

ω(t)=

ω

(1 - 2

cos(2

t)) pode ser entendida como um efeito paramétrico na frequência, mantendo o caráter oscilatório na solução

4

cc =complexo conjugado

5

Para determinarmos as amplitudes

A(

T1,

T2) e

B(

T1,

T2), é necessário identificar os termos seculares. No entanto, o que são estes termos seculares? Uma resposta plausível é verificada quando primeiramente estamos buscando soluções que não divirjam para tempos t > 0, pois interessa-nos soluções regulares para o nosso problema. Estes termos podem ser identificados e entendidos fazendo-se uma analogia ao problema da ressonância em um oscilador harmônico de frequência

ω sujeito a ação de uma força externa

g cos

t, cuja frequência da força aplicada

iguala-se à frequência natural do oscilador. Para este sistema temos a equação do movimento para a posição

y dada por

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  31 Jan 2011
• Data do Fascículo
  Jun 2010

Histórico

• Recebido
  16 Out 2009
• Aceito
  20 Abr 2010