Errata: Os fundamentos quânticos da Ressonância Magnética Nuclear

Erratum: Quantum mechanical principles of Nuclear Magnetic Resonance

No artigo “Os fundamentos quânticos da Ressonância Magnética Nuclear”, com número de doi: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2017-0093, publicado no periódico Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 40, n^o 1, e1310 (2018), na Seção 3, página e1310-5 onde se lia:

“Agora podemos impor a condição inicial sobre M_z(t), pois sabemos que M_z(0) = M₀, cujo valor é induzido pelo campo magnetostático, conforme discutido na Seção anterior. Essa condição implica que $A_z^{+}+A_z^{-}=M_0$. Admitindo-se que $A_z^{+}=A_z^{-}=M_0/2$ obtemos uma solução automaticamente real para M_z(t). Fica como exercício para o leitor demonstrar que, considerando-se a parte real de m_y(t)e^iω₀t e na condição inicial apresentada, a solução completa do sistema de equações tem a forma abaixo:

(32) $$M_y(t)=\mathrm{}{\displaystyle \frac{M_0}{\gamma b_0}}[\mathrm{\Delta }\omega \cos (\mathrm{\Omega }t)\sin \left[({\omega }_0+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}})t\right]-2\mathrm{\Omega }\sin (\mathrm{\Omega }t)\cos \left[({\omega }_0+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}})t\right]],$$

(33) $$M_z(t)=\mathrm{}{M}_0\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}}t\right)\cos (\mathrm{\Omega }t),$$

onde $\mathrm{\Omega }=\frac{1}{2}\sqrt{{(\mathrm{\Delta }\omega )}^2+{(\gamma b_0)}^2}$ está relacionada à precessão da magnetização em torno do campo de RF. A determinação da componente M_x(t) é feita integrando-se a equação (21), dada a função para M_y(t) acima.”

leia-se:

“Agora precisamos impor as condições iniciais sobre as componentes da magnetização. É natural supor que M_z(0) = M₀, cujo valor é induzido pelo campo magnetostático antes da aplicação do campo de RF, conforme discutido na Seção anterior. Ao mesmo tempo é necessário supor a condição inicial sobre as componentes transversais, que naturalmente nos levam a m_x(0) = m_y(0) = 0, para poder encontrar os valores de $A_z^{\pm }$ e $A_y^{\pm }$. Fazendo uso da condição inicial m_y(0) = 0, M_z(0) = M₀ e da equação (29) obtemos um sistema para $A_z^{+},A_z^{-}$ ,

(30a) $$\frac{1}{{\omega }_y^{+}}{A}_z^{+}+\frac{1}{{\omega }_y^{-}}{A}_z^{-}=0,$$

(31a) $$A_z^{+}+A_z^{-}=M_0,$$

cuja solução é a seguinte:

(29a) $$A_z^{+}=\frac{{\omega }_y^{+}}{{\omega }_y^{+}-{\omega }_y^{-}}{M}_0,$$

(29b) $$A_z^{-}=-\frac{{\omega }_y^{-}}{{\omega }_y^{+}-{\omega }_y^{-}}{M}_0.$$

Substituindo os valores de $A_z^{\pm }$ e $A_y^{\pm }$ nas equações (30) e (31), utilizando as expressões para ${\omega }_y^{\pm }$ e ${\omega }_z^{\pm }$ e tomando a parte real, obtém-se o resultado desejado:

(1) $$M_y(t)=\mathrm{}{\displaystyle \frac{\gamma b_0{M}_0}{2\mathrm{\Omega }}}\cos \left[({\omega }_0+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}})t\right]\sin (\mathrm{\Omega }t),$$

(2) $$M_z(t)=\mathrm{}{M}_0[\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}}t\right)\cos (\mathrm{\Omega }t)+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2\mathrm{\Omega }}}\sin \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}}t\right)\sin (\mathrm{\Omega }t)],$$

onde $\mathrm{\Omega }=\frac{1}{2}\sqrt{{(\mathrm{\Delta }\omega )}^2+{(\gamma b_0)}^2}$ está relacionada à precessão da magnetização em torno do campo de RF. A determinação da componente M_x(t) é feita integrando-se a equação (21), dada a função para M_y(t) acima. É importante lembrar ao leitor que M_y(t) = Re[m_y(t)e^iω₀t]”

Cabe destacar que as inconsistências e as devidas correções a este trabalho foram apontadas pelo Prof. Dr. J. Ricardo de Souza, do Departamento de Física, Universidade Federal do Amazonas (UFAM) e também atuante no INCT – National Institute of Science and Technology for Complex Systems, na UFAM, ao qual os autores são imensamente gratos.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  31 Mar 2021
• Data do Fascículo
  2021

Histórico

• Recebido
  15 Abr 2020
• Aceito
  16 Jun 2020