Alguns aspectos da óptica quântica usando campos luminosos em modos viajantes

(Some aspects of quantum optics using light fields in travelling modes)

Resumos

Embora o tratamento teórico para descrever o campo luminoso na óptica quântica fosse genérico, durante bom tempo ele era referido predominantemente a modos ópticos aprisionados em cavidades. Resultados importantes foram obtidos nesse cenário. Mas, em vista da dificuldade prática no uso desse campo, trazida pelos deletérios efeitos de descoerência sobre estados aprisionados, muitos físicos da área passaram a focalizar com maior ênfase o tratamento em modos viajantes. Neste breve relato tratamos o caso da engenharia de estados não clássicos da luz para mostrar alguns detalhes das aplicações nesse cenário. Aqui a interação “campo aprisionado-átomo” dá lugar à interação “campo viajante-separador de feixes ópticos”.

óptica quântica; modos viajantes

Although the theoretical treatment to describe the light field in quantum optics was generic, during large time it was predominantly related to optical modes trapped inside cavities. Important results were then obtained in this scenario. However, in view of the practical difficulties due to the deleterious effects of decoherence upon states of trapped fields, many physicists in this area began to focus more emphasis in the treatment using traveling fields. This brief report concerns with engineering non-classical states of light field to show some details and applications in the in the later scenario. Here the interaction “atom-trapped field”, is translated into the interaction “beam splitter-traveling field”.

quantum optics; travelling modes

1. Introdução

Três anos após a descoberta do laser, o fisico Roy J. Glauber publicou em 1963 um importante trabalho teórico onde tratava a luz quanticamente [¹,²]. Seu artigo se tornou leitura obrigatória a pesquisadores da área da óptica e correlatas; acrescido de outros artigos afins tornou-se mais importante ainda com o resultado experimental publicado em [³]: a descoberta do efeito “antiagrupamento de fótons” (antibunching) [³–⁵] que deu origem a uma nova área da física, a óptica quântica. Esse efeito constitui-se na primeira prova da existência de efeito quântico na radiação eletromagnética [⁶]. Com efeito, a quantização dessa radiação já tinha sido feita em 1926, por Max Born, Werner Heisenberg e Ernst Pascual Jordan [⁷], inclusive sua aplicação em sistemas envolvendo interação radiação-matéria, por Paul A.M. Dirac, em 1927 [⁸]. Mas faltava uma prova cabal da necessidade dessa quantização. É que, até o resultado obtido em [³], todos os efeitos exibidos pela radiação eletromagnética podiam ser explicados pela óptica clássica, ou néo-clássica [⁹]; por isso os físicos não viam necessidade de uma teoria quântica para essa radiação. Estimulados pela descoberta desse primeiro efeito quântico, os físicos da área passaram a investigar se a radiação eletromagnética exibiria outros efeitos não explicáveis classicamente. Nessa busca, novos efeitos foram sendo encontrados. Dentre eles citamos: (i) a estatística sub-Poissoniana no campo luminoso [¹⁰–¹³]; (ii) o efeito de compressão do ruido do vácuo quântico (squeezing) [¹⁴–¹⁷]; (iii) oscilações na inversão atômica [¹⁸,¹⁹]; (iv) ocorrência de zeros na distribuição de número de fótons [²⁰], etc.

Mas, qual era o critério usado para definir um efeito óptico como genuinamente quântico, isto é, sem explicação na óptica clássica? A identificação do carater quântico dos efeitos ópticos é feita descrevendo o estado do campo pelo operador densidade ρ̂ (e não pela função de onda ψ(r, t) ou pelo “ket” |ψ(t)〉); ρ̂ é representado na base coerente inventada por Glauber: ρ̂ = ∫ P(α)|α〉〈α|d²αe verificam se a distribuição P(α) apresenta irregularidades, tipo singularidades ou valores negativos [¹]. Se P(α) resultar assim intolerável, dizemos que o estado do campo é não clássico. É como ocorre no efeito túnel: ele é quântico porque uma partícula clássica só tunelaria com velocidade imaginária - outra situação intolerável. A componente |α〉 é um dos estados coerentes da base coerente de Glauber; |α〉 é autovetor do operador â: â|α〉 = λ|α〉, com λ = α complexo, pois o operador de aniquilação de fótons, â|n〉 ∼ |n − 1〉, não é hermitiano. Para uma comparação ilustrativa, lembramos que um campo descrito por ρ̂, representado na base de número (Fock), resultaria nessa outra forma: ρ̂ = ∑p_n|n〉〈n|. Nessa base teriamos $p_n=\frac{{\langle \widehat{n}\rangle }^n}{{\left(1+\langle n\rangle \right)}^{n+1}}$se ρ̂ fosse um campo de luz térmica ou luz caótica de lâmpadas fluorescentes, ou ainda luz de lasers funcionando abaixo do limiar, correspondendo à distribuição de Bose-Einstein. Para esse campo luminoso a distribuição P(α) da base coerente de Glauber resulta em uma Gaussiana, regular.

Além dos mencionados efeitos quânticos no campo de radiação, foram observados também outros efeitos cujas explicações teóricas só funcionam se o campo eletromagnético é quantizado, mesmo quando ele envolve o estado mais clássico dentre os quânticos - o estado coerente [²¹,²²]. Como exemplos citamos: (a) o efeito colapso e ressurgimento (collapse-revival) da inversão atômica, previsto teoricamente em 1980 por J.H. Eberly et al. [²³] e observado em laboratório por G. Rempe et al. [²⁴]. Esse efeito ocorre quando átomos de 2 níveis interagem com convenientes campos eletromagnéticos quantizados [²⁴–²⁸]; (b) espalhamento de átomos por luz em estado estacionário [²⁹,³⁰]; (c) a superposição de estados clássicos do campo de radiação gerando um estado quântico [³¹,³²]; um bem conhecido exemplo é o chamado gato de Schrödinger [³³–³⁶], proposto em 1935 por Erwin Schrödinger para questionar fundamentos da Mecânica Quântica; (d) os estados do campo tendo correlação não local [³⁷–³⁹], também chamados de estados emaranhados (entangled) [⁴⁰–⁴⁸], utilizados nos processos de teletransporte quântico [⁴⁹–⁵¹], importantes em aplicações na engenharia de estados quânticos [³¹,⁵²–⁶⁵], tanto no caso de campos estacionários em excelentes cavidades eletromagnéticas [⁶⁶] (para evitar descoerência dos estados), como no caso de campos viajantes, atravessando arranjos ópticos como fontes de feixes luminosos, espelhos, prismas, divisores de feixes (beam splitters) [⁶⁷–⁶⁹] e detectores de fótons. Tais estados são também úteis na computação quântica [⁷⁰–⁷⁴], na criptografia quântica [⁷⁵–⁷⁷] e no teletransporte, tanto de estados atômicos como de estados de campos de radiação eletromagnética [⁴⁵,⁴⁷,⁷⁸–⁸⁰].

Neste trabalho vamos considerar o caso de modos viajantes, incidindo em um arranjo óptico contendo 1 ou 2 separadores de feixes, espelhos e detectores de fótons. O objetivo é mostrar com detalhes, e para cada estado do campo luminoso incidente na entrada do arranjo óptico, em que tipo de estado o campo emerge na saída do mesmo. A finalidade é engenheirar estados ópticos não clássicos que apresentem alguma propriedade aplicativa. Sabe-se que a pesquisa usando estados ópticos de modos viajantes tem sido ultimamente mais explorada que a pesquisa usa estados ópticos em cavidades, a razão sendo a menor sensibilidade dos modos viajantes a deletérios efeitos de descoerência. Aproveitando essa qualidade e também a vantagem dada pelo baixo custo dos componentes em arranjos ópticos usados em modos viajantes, muitos grupos de pesquisa experimental, brasileiros, da área óptica quântica, têm concentrado seus esforços nessa linha.

2. Separador de feixes e suas propriedades

No caso da radiação luminosa tratada quanticamente, quando ela incide em um separador de feixes (SF) como mostrado na Fig. (1), na saida desse dispositivo óptico o feixe no estado total |ψ(τ)〉 emerge representado pela expressão,

(1)$$|\psi (\tau )\rangle ={\text{exp}}^{-\frac{i}{\hslash }\tau \widehat{H}}|\psi (0)\rangle ,$$

onde Ĥ = ℏλ(âb̂^† + â^†b̂) é o operador hamiltoniano e representa a ação do SF sobre o feixe de luz; λ é intensidade da interação entre os modos a e b, ver Fig. (1), τ é o tempo de travessia no dispositivo SF e |ψ(0)〉 = |ψ(τ = 0)〉 representa o estado inicial do feixe total incidindo pelos canais a e b do SF. Podemos escrever a Eq. (1) na forma,

(2)$$|\psi (\tau )\rangle =e^{-i\lambda \tau \left(\widehat{a}{\widehat{b}}^{†}+{\widehat{a}}^{†}\widehat{b}\right)}|\psi (0)\rangle .$$

Anotaremos doravante o estado inicial incidente $|\psi \left(0\right)\rangle =|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle$e o estado emergente $|\psi \left(\tau \right)\rangle =|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle$. O termo “in” é para incidente (ingoing) e “out” é para de emergente (outgoing). Temos então,

(3)$$|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle =e^{-i\lambda \tau \left(\widehat{a}{\widehat{b}}^{†}+{\widehat{a}}^{†}\widehat{b}\right)}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle .$$

Figura 1
Luz incidindo e emergindo em dois modos de um separador de feixes (SF).

Tendo em vista a Fig. (1) e visando simplificar os cálculos, convém reescrever a equação acima na forma,

(4)$$|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle ={\widehat{S}}_{\mathit{ab}}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle ,$$

onde Ŝ_ab = e^{−iλτ(âb̂†+â†b̂)}é um operador unitário, isto é, ${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}={\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}=\widehat{\mathit{1}}$. A unitariedade de Ŝ_ab permite obter esta útil expressão,

(5)$${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{a}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}=T{\widehat{a}}^{†}+\mathit{iR}{\widehat{b}}^{†},$$

onde T = cos(λτ) e R = sin(λτ) representam respectivamente os coeficientes de transmissão e reflexão do SF.

Para provar o resultado da Eq. (5)usaremos uma identidade muito conhecida, do capítulo sobre álgebra de operadores nos livros de mecânica quântica e/ou óptica quântica [⁶,⁸,⁹,²⁰,⁶⁶,⁶⁸,⁸¹],

(6)$$\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{e}^{i_{\chi }\widehat{A}}\widehat{B}{e}^{-i_{\chi }\widehat{A}}=\widehat{B}+(i\chi )[\widehat{A},\widehat{B}]+\\ \frac{{\left(i\chi \right)}^2}{2!}[\widehat{A},[\widehat{A},\widehat{B}]]+\frac{{\left(i\chi \right)}^3}{3!}[\widehat{A},[\widehat{A},[\widehat{A},\widehat{B}]]]+\dots ,\end{array}$$

na qual, fazendo χ = λτ, Â = (â^†b̂ + âb̂^†), B̂ = â^† bem como usando os comutadores [â, â^†] = 1 e [â, b̂] = 0 obtemos,

(7)$$\begin{array}{ll}[\widehat{A},\widehat{B}]\hfill & =\left[\left({\widehat{a}}^{†}\widehat{b}+\widehat{a}{\widehat{b}}^{†}\right),{\widehat{a}}^{†}\right]\hfill \\ \hfill & =\left({\widehat{a}}^{†}\widehat{b}+\widehat{a}{\widehat{b}}^{†}\right){\widehat{a}}^{†}-{\widehat{a}}^{†}\left({\widehat{a}}^{†}\widehat{b}+\widehat{a}{\widehat{b}}^{†}\right)\hfill \\ \hfill & ={\widehat{a}}^{†}{\widehat{a}}^{†}\widehat{b}+\widehat{a}{\widehat{a}}^{†}{\widehat{b}}^{†}-{\widehat{a}}^{†}{\widehat{a}}^{†}\widehat{b}-{\widehat{a}}^{†}\widehat{a}{\widehat{b}}^{†}\hfill \\ \hfill & ={\widehat{b}}^{†},\hfill \end{array}$$

enquanto que teremos [Â, [Â, B̂]] = [(â^†b̂ + âb̂^†), b̂^†] = â^† e depois teremos [Â, [Â, [Â, B̂]]] = [(â^†b̂ + âb̂^†), a^†] = b̂^†,... etc.

Esse resultado mostra que a sequência de comutadores da expressão Eq. (6) resulta nesta outra sequência: â^†, b^†, â^†, b^†, â^†, b̂^†, ... acompanhada de potências crescentes na forma $\pm \frac{{\left(i\chi \right)}^n}{n!}$. De modo que, nas potências ímpares de (iχ) os comutadores da Eq. (6) são do tipo ±b̂^† enquanto nas potências pares os comutadores são do tipo ±â^†. Assim, denotando na Eq. (6)e^iχ = Ŝ_ab e B̂ = â^† obtemos, usando os já mencionados Ŝ_ab = e^{−iχ(âb̂†+â†b̂)}e χ = λτ,

(8)$$\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{a}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}=[1+\frac{{\left(i\chi \right)}^2}{2!}+\frac{{\left(i\chi \right)}^4}{4!}+\\ \frac{{\left(i\chi \right)}^6}{6!}+\dots ]{\widehat{a}}^{†}+\left[\left(i\chi \right)+\frac{{\left(i\chi \right)}^3}{3!}+\frac{{\left(i\chi \right)}^5}{5!}+\dots \right]{\widehat{b}}^{†},\end{array}$$

que pode ser reescrita na forma,

(9)$${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{a}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}=\left(1-\frac{{\chi }^2}{2!}+\frac{{\chi }^4}{4!}-\frac{{\chi }^6}{6!}+\dots \right){\widehat{a}}^{†}+i\left(\chi -\frac{{\chi }^3}{3!}+\frac{{\chi }^5}{5!}-\dots \right){\widehat{b}}^{†},$$

e compactada assim,

(10)$${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{a}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{(2n)!}{\chi }^{2n}{\widehat{a}}^{†}+i\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{(2n+1)!}{\chi }^{2n+1}{\widehat{b}}^{†},$$

onde reconhecemos as duas séries de potências: $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n\right)!}{\chi }^{2n}=\text{cos}\left(\chi \right)=T$ e $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n+1\right)!}{\chi }^{2n+1}=\text{sin}\left(\chi \right)=R$. Isto permite escrever a Eq. (10) na forma final,

(11)$$\begin{array}{lll}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{a}}^{†}{S}_{\mathit{ab}}^{†}\hfill & =\hfill & \text{cos}(\chi ){\widehat{a}}^{†}+i\text{sin}(\chi ){\widehat{b}}^{†}\hfill \\ \hfill & =\hfill & T{\widehat{a}}^{†}+iR{\widehat{b}}^{†}.\hfill \end{array}$$

Um procedimento análogo aplicado ao operador b̂^† fornece,

(12)$${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{b}}^{†}{S}_{\mathit{ab}}^{†}=T{\widehat{b}}^{†}+iR{\widehat{a}}^{†}.$$

As Eqs. (11), (12) são básicas para o que segue.

3. Aplicações do separador de feixe

3.1. Caso 1:

Como aplicação inicial e preliminar para os demais tópicos da sequência, vamos considerar o caso mais simples, mostrado na Fig. (1), em que o estado total do feixe de luz na entrada do SF corresponde à expressão matemática operacional seguinte, representando o estado |1〉, de um fóton incidente no modo a do SF, e o estado |0〉, de zero fóton incidente no modo b,

(13)$$|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle ={|1\rangle }_a{|0\rangle }_b.$$

O estado do feixe luminoso que emerge do SF é obtido assim, passo a passo,

(14)$$\begin{array}{lll}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle ,\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{|1\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}\left({\widehat{a}}^{†}{|0\rangle }_a\right){|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{a}}^{†}\left({\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}\right){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left({\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{a}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}\right){\widehat{S}}_{\mathit{ab}}){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left(T{a}^{†}+\mathit{iR}{b}^{†}\right){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & T{|1\rangle }_a{|0\rangle }_b+iR{|0\rangle }_a{|1\rangle }_b.\hfill \end{array}$$

O procedimento algébrico que levou a esse resultado será estendido abaixo.

3.2. Caso 2:

Separadores de feixe (SFs) modificam os estados do campo luminoso e portanto mudam também suas estatísticas, com excessão dos estados coerentes, |α〉. Para prová-lo partimos da Fig. (2).

Figura 2
O mesmo que na Fig. (1): um dos feixes no estado coerente |α〉 incide no modo a, outro no estado de vácuo |0〉, no modo b.

No modo a, temos um feixe incidente, no estado coerente |α〉_a = D̂_a(α) |0〉_a - o mais clássico dentre os quânticos [⁸³]; D̂_a(α) = e^{(αâ†−α*â)}. Nesse caso, usando novamente o estado de vácuo |0〉_bno modo b, os passos para chegar ao resultado buscado são esses,

(15)$$\begin{array}{lll}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{|\alpha \rangle }_a{|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\widehat{D}}_a(\alpha ){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{D}}_a(T\alpha ){|0\rangle }_a{\widehat{D}}_b(iR\alpha ){|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & {|T\alpha \rangle }_a{|iR\alpha \rangle }_b.\hfill \end{array}$$

Esse resultado mostra que os fótons do feixe luminoso, distribuem-se aos dois feixes que emergem nos estados coerentes, |Tα〉_a e |iRα〉_b, dos modos a e b do SF. Não há ganho nem perda de energia, pois T ∈ [0,1], R ∈ [0,1] com T² + R² = 1 para o suposto SF ideal: o número total de fótons na entrada do SF é o mesmo do total na saida. De fato, o número médio de fótons emergindo nos modos ae b resulta respectivamente 〈n〉_a = |Tα|² e 〈n̂〉_b = |iRα|², cuja soma é |α|²(T² + R²) = |α|², o mesmo valor médio no ‘input’: |α|² + 0² = |α|² [⁸⁴,⁸⁵]. Notamos também que os estados de entrada no SF, |α〉_a e |0〉 são estados coerentes, pois o estado de vácuo é um estado coerente trivial, ele satisfaz à definição: â|α〉 = α|α〉 pois â|0〉 = 0|0〉. Também, os estados na saída, |Tα〉_ae |iRα〉_b, são coerentes pois R e T são números. Logo, o SF não mudou a estatística dos estados, uma vez que todos os estados coerentes exibem estatística poissoniana.

Agora provaremos o resultado na Eq. (15); vamos denotar os operadores â, de aniquilação de fótons nos campos incidentes, por â_in. Os resultados das Eqs. (11) e (12) permitem relacionar o operador â_in com o operador â_out, de aniquilação de fótons nos campos emergentes, através da representação matricial usada em problemas de espalhamento [⁶⁸],

(16)$$\left(\begin{array}{c}{\widehat{a}}_{\mathit{out}}\\ {\widehat{b}}_{\mathit{out}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}T& \mathit{iR}\\ \mathit{iR}& T\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\widehat{a}}_{\mathit{in}}\\ {\widehat{b}}_{\mathit{in}}\end{array}\right),$$

onde T² + R² = 1. Da equação acima resulta que â_out = Tâ_in + iRb̂_in e b̂_out = iRâ_in + Tb̂_in. Revertendo o sistema matricial acima encontramos,

(17)$$\left(\begin{array}{c}{\widehat{a}}_{\mathit{in}}\\ {\widehat{b}}_{\mathit{in}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}T& -\mathit{iR}\\ -\mathit{iR}& T\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\widehat{a}}_{\mathit{out}}\\ {\widehat{b}}_{\mathit{out}}\end{array}\right)$$

ou, equivalentemente,

(18)$${\widehat{a}}_{\mathit{in}}=T{\widehat{a}}_{\mathit{out}}-iR{\widehat{b}}_{\mathit{out}},$$

(19)$${\widehat{b}}_{\mathit{in}}=-iR{\widehat{a}}_{\mathit{out}}-T{\widehat{b}}_{\mathit{out}}$$

que permite escrever, com ${\widehat{D}}_a\left(\alpha \right)=e^{\left(\alpha {\widehat{a}}_{\mathit{in}}^{†}-{\alpha }^{*}{\widehat{a}}_{\mathit{in}}\right)}$,

(20)$$\begin{array}{lll}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle \hfill & =\hfill & {|\alpha \rangle }_a{|0\rangle }_b={\widehat{D}}_a(\alpha ){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & e^{\left(\alpha {\widehat{a}}_{\mathit{in}}^{†}-{\alpha }^{*}{\widehat{a}}_{\mathit{in}}\right)}{|0\rangle }_a{|0\rangle }_b.\hfill \end{array}$$

Usando a Eq. (18) e sua adjunta, mudamos a Eq. (20) para a forma,

(21)$$|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle =e^{\left[\alpha \left(T{\widehat{a}}_{\mathit{out}}^{†}+iR{\widehat{b}}_{\mathit{out}}^{†}\right)-{\alpha }^{*}\left(T{\widehat{a}}_{\mathit{out}}-iR{\widehat{b}}_{\mathit{out}}\right)\right]}{|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,$$

que pode ser reescrita como

(22)$$\begin{array}{lll}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle \hfill & =\hfill & e^{\left(\alpha T{\widehat{a}}_{\mathit{out}}^{†}-\alpha *T{\widehat{a}}_{\mathit{out}}\right)}\times e^{\left(iR\alpha {\widehat{b}}_{\mathit{out}}^{†}{-\alpha }^{*}(iR)*{\widehat{b}}_{\mathit{out}}\right)}{|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{D}}_a(T\alpha ){\widehat{D}}_b(iR\alpha ){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left({\widehat{D}}_a(T\alpha ){|0\rangle }_a\right)\left({\widehat{D}}_b(iR\alpha ){|0\rangle }_b\right),\hfill \\ \hfill & =\hfill & {|T\alpha \rangle }_a{|iR\alpha \rangle }_b.\hfill \end{array}$$

que prova o resultado antecipado na Eq. (15). Para interpretar o estado |Tα〉_a como coerente usamos a analogia: se D_a(α)|0〉_a= |α〉_a então D_a(Tα)|0〉_a= |Tα〉_a. Ambos, |α〉_a e |Tα〉_a, são estados coerentes, gerados pela atuação dos operadores D_a(α) e D_a(Tα) no estado |0〉_a respectivamente. O mesmo vale para o estado |iRα〉_b.

3.3. Caso 3:

Vamos agora considerar dois feixes em estados genéricos, incidindo nos modos a e b do SF, conforme mostrado na Fig. (3)5.

Figura 3
O mesmo que nas Figs. (1) e (2), para incidências de feixes nos estados |ψ_a〉, no modo a e |ψ_b〉, modo b.

Temos,

(23)$$|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle ={\widehat{S}}_{\mathit{ab}}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle ={\widehat{S}}_{\mathit{ab}}|{\psi }_a\rangle |{\psi }_b\rangle ,$$

onde expandiremos na base de Fock: $|{\psi }_a\rangle =\sum _n{C}_n|n\rangle$e $|{\psi }_b\rangle =\sum _m{C}_m|m\rangle$, para obter,

(24)$$\begin{array}{lll}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}\left(\sum _n{C}_n{|n\rangle }_a\right)\left(\sum _m{C}_m{|m\rangle }_b\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}\sum _n{C}_n\sum _m{C}_m{|n\rangle }_a{|m\rangle }_b,\hfill \end{array}$$

e agora usando ${|n\rangle }_a=\frac{{\left({â}^{†}\right)}^n}{\sqrt{n!}}{|0\rangle }_a$e ${|m\rangle }_b=\frac{{\left(b^{†}\right)}_m}{\sqrt{m!}}{|0\rangle }_b$resulta,

(25)$$\begin{array}{lll}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_{\mathit{ab}}\sum _n{C}_n\frac{{\left({\widehat{a}}^{†}\right)}^n}{\sqrt{n!}}\sum _m{C}_m\frac{{\left(b^{†}\right)}^m}{\sqrt{m!}}{|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & \sum _n{C}_n\frac{{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\left({\widehat{a}}^{†}\right)}^n\widehat{\mathit{1}}}{\sqrt{n!}}\sum _m{C}_m\frac{{\left(b^{†}\right)}^m\widehat{\mathit{1}}}{\sqrt{m!}}\left({|0\rangle }_a{|0\rangle }_b\right),\hfill \\ \hfill & =\hfill & \sum _{n,m}{C}_{n,}m\frac{{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\left({\widehat{a}}^{†}\right)}^n\widehat{\mathit{1}}}{\sqrt{n!}}\frac{{\left(b^{†}\right)}^m\widehat{\mathit{1}}}{\sqrt{m!}}\left({|0\rangle }_a{|0\rangle }_b\right).\hfill \end{array}$$

Nos passos acima inserimos o operador 1̂ à direita de (â^†)ⁿ e também à direita de (b^†)^m. Nos cálculos porém, o operador 1̂ funciona como um dos muitos equivalentes dele: ${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}=\widehat{\mathit{1}}$. Lembrando que S^_ab = exp [−iλτ(âb̂^† + â^†b̂)] isso acarreta Ŝ_ab|0〉_a = |0〉_a bem como Ŝ_ab|0〉_b = |0〉_b e usando também que ${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\left({\widehat{a}}^{†}\right)}^n{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}={\left(T{\widehat{a}}^{†}+iR{\widehat{b}}^{†}\right)}^n$e ${\widehat{S}}_{\mathit{ab}}{\left(b^{†}\right)}^m{\widehat{S}}_{\mathit{ab}}^{†}={\left(R{\widehat{a}}^{†}-iT{\widehat{b}}^{†}\right)}^m$para todo n e m inteiros, obtemos o seguinte resultado,

(26)$$\begin{array}{l}|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle =\sum _{n,m}\frac{C_{n,m}}{\sqrt{n!m!}}{\left(T{\widehat{a}}^{†}+iR{\widehat{b}}^{†}\right)}^n\times \hfill \\ \hfill {\left(T{b}^{†}+\mathit{iR}{\widehat{a}}^{†}\right)}^m{|0\rangle }_a{|0\rangle }_b.\end{array}$$

3.4. Caso 4:

Uma aplicação do resultado acima na óptica quântica está esboçada na Fig. (4). Mostra dois feixes do campo luminoso quantizado incidindo nos modos a e b de um SF. O feixe total de luz incidente é representado pelo estado ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|1\rangle }_a{|0\rangle }_b$e o feixe total emergente é representado pelo estado ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_1={\widehat{S}}_1{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1$. Uma similar representação se dará no segundo separador de feixes, o SF₂ da Fig. (4), para os estados ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_2$e ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2$- conforme detalharemos posteriormente.

Figura 4
Arranjo experimental usando dois espelhos M₁e M₂, dois separadores de feixes (Beam Splitters) SF₁ e SF₂e detector de fóton D no modo a emergente, na vertical.

Agora, particularizando: na parte superior da Fig. (4) é mostrado no SF₁ um campo luminoso no estado de 1 fóton, representado pelo símbolo |1〉_a, incidente no modo a, e um campo no estado de vácuo, representado pelo símbolo |0〉_b, incidente no modo b. Denotamos por ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1$o estado incidente total nos modos a e b do SF₁ e denotamos por ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_1$o estado emergente total a determinar, nos mesmos dois modos a e b do SF₁. O estado emergente é resultante da ação do operador de evolução Ŝ₁ = e^−iτĤ/ℏ sobre o estado inicial total: ${\widehat{S}}_1{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1\to {|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_1$; Ĥ = ℏλ(â^†b̂ + âb̂^†) é o operador hamiltoniano de interação comum aos dois SF_s; â^†(â) e b̂^†(b̂) são operadores de criação (aniquilação) para os modos a e b; τ é o tempo de travessia nos SF_s. Temos,

(27)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_1={\widehat{S}}_1{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1.$$

Os respectivos coeficientes de transmissão e reflexão, T₁e R₁ do SF₁, terão papel importante nos resultados, conforme veremos. Substituindo na Eq. (27) o estado inicial ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|1\rangle }_a{|0\rangle }_b={\widehat{a}}^{†}{|0\rangle }_a|0\rangle$mostrado na Fig. (4), encontramos, passo a passo o estado na saída do SF₁, descrito como

(28)$$\begin{array}{lll}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_1\hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_1|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle \hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_1{|1\rangle }_a{|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_1\left({\widehat{a}}^{†}{|0\rangle }_a\right){|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_1{\widehat{a}}^{†}\left({\widehat{S}}_1^{†}{\widehat{S}}_1\right){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left({\widehat{S}}_1{\widehat{a}}^{†}{\widehat{S}}_1^{†}\right){\widehat{S}}_1{|0\rangle }_a{|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left(T_1{a}^{†}+i{R}_1{b}^{†}\right){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \end{array}$$

onde usamos que |1〉_a = â^†|0〉_a, inserimos ${\widehat{S}}_1^{†}{\widehat{S}}_1=\widehat{\mathit{1}}$à direita de â^† e ainda usamos Ŝ₁|0〉_a|0〉_b = |0〉_a|0〉_b. Em seguida, conforme Fig. (4), considerando que o estado emergente no SF₁ vai funcionar como estado incidente no SF₂, isto é: ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_2={|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_1$e usando χ₂ = λ₂τ e também o operador Ŝ₂ em vez de Ŝ₁ na evolução do estado no SF₂ obtemos, em analogia com a dedução da Eq. (28),

(29)$$\begin{array}{lll}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2\hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_2{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_2={\widehat{S}}_2{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_1\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{S}}_2\left(T_1{\widehat{a}}^{†}+i{R}_1{\widehat{b}}^{†}\right){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & =\hfill & T_1\left({\widehat{S}}_2{\widehat{a}}^{†}{\widehat{S}}_2^{†}\right){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b+i{R}_1\left({\widehat{S}}_2{\widehat{b}}^{†}{\widehat{S}}_2^{†}\right){|0\rangle }_a{|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left(T_1{T}_2-R_1{R}_2\right){|1\rangle }_a{|0\rangle }_b\hfill \\ \hfill & \hfill & +i\left(R_1{T}_2+R_2{T}_1\right){|0\rangle }_a{|1\rangle }_b,\hfill \end{array}$$

que resulta em ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|0\rangle }_a{|1\rangle }_b$se R₁ = T₁, R₂ = T₂ ou se R₁ = T₂, R₂ = T₁. Esses dois casos mostram que não emergem fótons no modo a do SF₂ (interferência destrutiva), em acordo com a experiência. Agora, se R₁ = R₂ = sin(θ), T₁ = T₂ = cos(θ), a Eq. (29) é obtida na forma

(30)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\text{cos}(2\theta ){|1\rangle }_a{|0\rangle }_b+i\text{sin}(2\theta ){|0\rangle }_a{|1\rangle }_b.$$

Para $\theta =\frac{\pi }{8}$o feixe emerge no estado emaranhado com componentes de mesmo peso,

(31)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({|1\rangle }_a{|0\rangle }_b+i{|0\rangle }_a{|1\rangle }_b\right);$$

para $\theta =\frac{\pi }{4}$temos o estado emergente ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|0\rangle }_a{|1\rangle }_b$e para $\theta =\frac{\pi }{2}$emerge o mesmo da entrada: ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|1\rangle }_a{|0\rangle }_b$. Agora, se colocam um defasador em um dos braços do arranjo, retardamos os fótons nesse braço e desaparece a interferência destrutiva no detector, esteja este no modo a ou b. Quando esse efeito ocorre sem os defasadores, significa a presença de espiões na rede - que são detectados sem que percebam. Isso nos lembra a detecção free-interacton measurement [⁸²].

O estado de vácuo |0〉 não tem lugar na óptica clássica: no caso usual de estados com muitos fótons, ele não tem papel relevante em geral. Mas, para estados com poucos fótons, tipo 1,2,3 fótons,... o estado |0〉 torna-se muito importante; é quando os experimentos discordam do resultado teórico clássico. A inibição de fotocontagem nesse arranjo óptico não ocorre no tratamento quântico usando estados clássicos, tipo estado térmico ou mesmo o estado coerente - o mais clássico dentre os estados não clássicos. A propósito, o estado coerente |α〉 é definido no tratamento quântico e ele está na fronteira entre os estados clássicos e os estados quânticos.

3.5. Caso 5:

Vamos considerar agora um feixe luminoso no estado |2〉, de dois fótons, incidindo no modo a do SF₁ e outro feixe no estado de vácuo, |0〉, incidindo no braço b, do mesmo SF₁, ver Fig. (5). Esse estado inicial total no SF₁ será representado matematicamente por

(32)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|2\rangle }_a{|0\rangle }_b.$$

Figura 5
O mesmo que na Fig. (4), com ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|2\rangle }_a{|0\rangle }_b$.

Seguindo o procedimento anterior, que levou à Eq. (29), encontramos na saída do SF₂ este estado emergente,

(33)$$\begin{array}{lll}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2\hfill & =\hfill & {\left(T_1{T}_2-R_1{R}_2\right)}^2{|2\rangle }_a{|0\rangle }_b-\hfill \\ \hfill & \hfill & {\left(T_1{R}_2+T_2{R}_1\right)}^2{|0\rangle }_a{|2\rangle }_b+\hfill \\ \hfill & \hfill & i\sqrt{2}(T_1^2{T}_2{R}_2+T_1{T}_2^2{R}_1-\hfill \\ \hfill & \hfill & T_1{R}_1{R}_2^2-R_1^2{R}_2{T}_2){|1\rangle }_a{|1\rangle }_b.\hfill \end{array}$$

Neste caso, para R₁ = R₂ = sin(θ) e T₁ = T₂ = cos(θ) a Eq.(33) resulta na forma,

(34)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={\text{cos}}^2(2\theta ){|2\rangle }_a{|0\rangle }_b-{\text{sin}}^2(2\theta ){|0\rangle }_a{|2\rangle }_b+\frac{i}{\sqrt{2}}\text{sin}(4\theta ){|1\rangle }_a{|1\rangle }_b,$$

a qual, para valores de R₁, R₂, T₁ e T₂ que a qual, para os valores de θ = 0, $\frac{\pi }{2}$ e π, fornece o estado emergindo do SF₂,

(35)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|2\rangle }_a{|0\rangle }_b,$$

que coincide com o estado incidente no SF₁. O caso $\theta =\frac{\pi }{4}$mostra troca de estados nos modos a e b,

(36)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|0\rangle }_a{|2\rangle }_b,$$

enquanto que, para $\theta =\frac{\pi }{8}$o estado emergente é este,

(37)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\frac{1}{2}\left({|2\rangle }_a{|0\rangle }_b-{|0\rangle }_a{|2\rangle }_b+i\sqrt{2}{|1\rangle }_a{|1\rangle }_b\right).$$

3.6. Caso 6:

Neste caso assumiremos os dois feixes luminosos no estado de 1 fóton, |1〉_a e |1〉_b, incidindo nos braços a e b do SF₁, ver Fig. (6). O estado inicial total incidente no primeiro SF₁é representado por,

(38)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|1\rangle }_a{|1\rangle }_b.$$

Figura 6
O mesmo que na Fig. (4), com ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|1\rangle }_a{|1\rangle }_b$.

Utilizando os mesmos procedimentos matemáticos anteriores, isto é, tratando o estado total emergente do SF₁ como o estado total incidente no SF₂, encontramos o estado total emergente na saída deste, como

(39)$$\begin{array}{lll}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2\hfill & =\hfill & [{\left(T_1{T}_2-R_1{R}_2\right)}^2-\hfill \\ \hfill & \hfill & {\left(T_1{R}_2+T_2{R}_1\right)}^2]{|1\rangle }_a{|1\rangle }_b+\hfill \\ \hfill & \hfill & i\sqrt{2}(T_1^2{T}_2{R}_2+T_1{T}_2^2{R}_1-T_1{R}_1{R}_2^2-\hfill \\ \hfill & \hfill & R_1^2{R}_2{T}_2)\left[{|2\rangle }_a{|0\rangle }_b+{|0\rangle }_a{|2\rangle }_b\right].\hfill \end{array}$$

Agora, no o caso R₁ = R₂ = sin(θ), T₁ = T₂ = cos(θ), a Eq.(39) é escrita como

(40)$$\begin{array}{l}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\text{cos}(4\theta ){|1\rangle }_a{|1\rangle }_b+\\ \frac{i}{\sqrt{2}}\text{sin}(4\theta )\left({|2\rangle }_a{|0\rangle }_b+{|0\rangle }_a{|2\rangle }_b\right).\end{array}$$

Para θ = 0, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{4}$, e π o estado emergente do SF₂coincide com o estado de entrada no SF₁,

(41)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|1\rangle }_a{|1\rangle }_b,$$

enquanto que para $\theta =\frac{\pi }{8}$o estado emergente no SF₂ exibe componentes de 2 fótons nos modos a ou b, constituindo-se em um método para gerar o estado de Fock |2〉 em um modo do campo viajante a partir dos estados |1〉 e |0〉,

(42)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\frac{i}{\sqrt{2}}\left({|2\rangle }_a{|0\rangle }_b+{|0\rangle }_a{|2\rangle }_b\right).$$

Este resultado mostra que, se detectamos o estado acima no modo a em |0〉_a, isto deixa o feixe do modo b no estado |2〉_b e, se ele incidir em um SF₃, em cujo outro modo incide feixe no estado |0〉 ou |1〉, geramos na saida deste SF₃ os estados de Fock |3〉 e |4〉, respectivamente, pela conveniente escolha de θ. Não podemos porém esquecer que a probabilidade de detecção de estados de Fock assim obtidos, decaem com a potência $\frac{1}{2^n}$, onde n é a ordem do SF.

3.7. Caso 7:

Vamos considerar um feixe de luz no estado coerente |α〉 incidindo pelo braço a do SF₁ e outro feixe no estado de vácuo, |0〉, no braço b, ver Fig. (7); o estado inicial total incidente no SF₁ é expresso por

(43)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|\alpha \rangle }_a{|0\rangle }_b,$$

e na saída do SF₂ temos este estado do feixe emergente total

(44)$$\begin{array}{lll}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2\hfill & =\hfill & e^{\left[\alpha \left(T_1{T}_2-R_1{R}_2\right){\widehat{a}}^{†}-\alpha *\left(T_1{T}_2-R_1{R}_2\right)\widehat{a}\right]}\times \hfill \\ \hfill & \hfill & e^{\left[\alpha \left(i{T}_1{R}_2+i{R}_1{T}_2\right){\widehat{b}}^{†}+\alpha *\left(i{T}_1{R}_2+i{R}_1{T}_2\right)\widehat{b}\right]}{|0\rangle }_a{|0\rangle }_b,\hfill \\ \hfill & =\hfill & {|\left(T_1{T}_2-R_1{R}_2\right)\alpha \rangle }_a{|\left(T_1{R}_2+R_1{T}_2\right)i\alpha \rangle }_b.\hfill \end{array}$$

Considerando o caso particular R₁ = R₂ = sin(θ) e T₁ = T₂ = cos(θ) temos,

$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|\text{cos}(2\theta )\alpha \rangle }_a{|i\text{sin}(2\theta )\alpha \rangle }_b;$$

para θ = 0, $\frac{\pi }{2}$e π o estado na saída do SF₂coincide com o estado de entrada,

(45)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|\alpha \rangle }_a{|0\rangle }_b.$$

Para $\theta =\frac{\pi }{4}$o estado emergente mostra uma quase troca de estados,

(46)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|0\rangle }_a{|i\alpha \rangle }_b,$$

havendo de fato uma troca de estatística, pois $|i\alpha \rangle =|e^{i\frac{\pi }{2}}\alpha \rangle$também é um (outro) estado coerente, resultado de girar |α〉 de $\frac{\pi }{2}$no espaço de fase da Mecânica Quântica; já o valor iαrepresenta um giro de $\frac{\pi }{2}$no valor α, no plano complexo. Estados coerentes têm mesma estatística, de Poisson.

Figura 7
O mesmo que na Fig. (4), com ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1={|\alpha \rangle }_a{|0\rangle }_b$.

Para $\theta =\frac{\pi }{8}$temos,

(47)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|\frac{\alpha }{\sqrt{2}}\rangle }_a{|i\frac{\alpha }{\sqrt{2}}\rangle }_b.$$

significando dois estados coerentes, um em cada modo do SF₂, com conservação do número de fótons: ${\langle \widehat{n}\rangle }_{{\mathit{SF}}_1}={\left|\alpha \right|}_a^2+{\left|0\right|}^2={\left|\alpha \right|}_a^2$que coincide com ${\langle \widehat{n}\rangle }_{{\mathit{SF}}_2}=\frac{1}{2}\left({\left|\alpha \right|}_a^2+{\left|i\alpha \right|}_b^2\right)={\left|\alpha \right|}_a^2$. Tinha de ser assim pois o operador de evolução, Ŝ_ab, é unitário.

3.8. Caso 8:

Vamos considerar um feixe de luz no estado de superposição η(|α〉_a ± |β〉_a), formado de dois estados coerentes, |α〉_a e |β〉_a, incidente no braço a do SF₁; consideremos ainda o estado de vácuo de fóton, |0〉, no braço b do mesmo SF₁, ver Fig. (8); o parâmetro $\eta ={\left({\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2+2\mathit{Re}\hspace{0.17em}\langle \alpha |\beta \rangle \right)}^{-\frac{1}{2}}$é o fator de normalização do estado superposto. O estado inicial total incidindo no SF₁ é escrito como,

(48)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1=\eta \left({|\alpha \rangle }_a\pm {|\beta \rangle }_a\right){|0\rangle }_b.$$

Figura 8
O mesmo que na Fig. (4), com ${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{in}}\rangle }_1=\eta \left({|\alpha \rangle }_a\pm {|\beta \rangle }_b\right){|0\rangle }_b$.

Feitas as contas, obtemos o estado total emergindo do SF₂ dado por

(49)$$\begin{array}{l}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\eta {\left(|T_1{T}_2-R_1{R}_2\rangle \alpha \right)}_a{|\left(T_1{R}_2+R_1{T}_2\right)i\alpha \rangle }_b\pm \\ {|\left(T_1{T}_2-R_1{R}_2\right)\beta \rangle }_a{|\left(T_1{R}_2+R_1{T}_2\right)i\beta \rangle }_b).\end{array}$$

No caso particular R₁ = R₂= sin(θ), T₁ = T₂ = cos(θ) a expressão acima assume a forma,

(50)$$\begin{array}{l}{|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2={|\left(\text{cos}2\theta \right)\alpha \rangle }_a{|i\left(\text{sin}2\theta \right)\alpha \rangle }_b\pm \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}|\left(\text{cos}2\theta \right)\beta \rangle {\hspace{0.17em}}_a\hspace{0.17em}{|i\left(\text{sin}2\theta \right)\beta \rangle }_b.\end{array}$$

Notamos que para θ = 0, $\frac{\pi }{2}$ e π temos o estado emergente do SF₂,

(51)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\eta \left({|\alpha \rangle }_a\pm {|\beta \rangle }_a\right){|0\rangle }_b,$$

que coincide com o estado incidente no SF₁.

Para $\theta =\frac{\pi }{4}$o estado superposto transfere-se do modo a para o modo b, sofrendo um giro de $\frac{\pi }{2}$nas duas componentes coerentes.

(52)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\eta {|0\rangle }_a\left({|i\alpha \rangle }_b\pm {|i\beta \rangle }_b\right),$$

enquanto que para $\theta =\frac{\pi }{8}$temos um estado entrelaçando os modos a e b,

(53)$${|{\psi }_{\mathit{ab}}^{\mathit{out}}\rangle }_2=\eta \left({|\alpha \rangle }_a{|i\alpha \rangle }_b\pm {|\beta \rangle }_a{|i\beta \rangle }_b\right).$$

4. Conclusão

Neste breve texto apresentamos alguns resultados do uso de estados em modos viajantes. O arranjo utiliza costumeiros dispositivos ópticos de experimentos em laboratórios: fontes de feixes luminosos preparados em convenientes estados (estados de Fock, coerentes, superpostos, ...); separadores de feixes (beam splitters), espelhos e detectores de fótons. Outros arranjos de laboratórios usam dispositivos adicionais, como prismas, redes de difração, fibras ópticas, etc. É mostrado como a álgebra de operadores aplicada ao caso de dois feixes incidentes em um SF fornecendo o estado total do feixe que emerge no SF. O resultado é estendido a um arranjo tipo “espectrômetro de Mach Zehnder” onde obtemos o estado do feixe luminoso na saida de um segundo SF, o SF₂, após usar estado de saida no SF₁ como estado de entrada no SF₂. Isso é obtido com ajuda de dois espelhos, como mostrado na Fig. (4). A aplicação ao caso de vários estados mais simples na entrada do SF₁ foi mostrada, com os estados de |1〉 e |2〉 fótons, bem como usando estados coerentes e uma de suas importantes superposições (ver Eq. (48)). Alguns resultados mostrados são: a troca de estados entre os 2 modos do arranjo (ver Eqs. (43) e (46)) e a subdivisão de um estado coerente (que incide no SF₁) em dois estados coerentes emergindo do SF₂ (ver Eqs. (43) e (47)). O esquema fornece também a produção de estados de Fock mais excitados a partir de dois estados de Fock menos excitados (ver Eqs. (38) e (42)); outro resultado é a produção de estados entrelaçados a partir de superposições de dois estados coerentes (ver Eqs. (48) e (53)). Outros estados interessantes podem também ser obtidos pela escolha de diferentes valores dos parâmetros T_i, R_i, i = 1,2, bem como da conveniente escolha do estado detectado em um dos modos da saída. Por exemplo, é de grande interesse na geração de estados entrelaçados mistos, de átomo e campo, dispor previamente de estados coerentes e de Fock, entrelaçados [⁴⁶]. Sobre geração de distintos estados entrelaçados em modos viajantes ou usando modos viajantes, citamos a Ref. [⁴⁴], que utiliza modos viajantes clássicos para entrelaçar estados atômicos, e a Ref. [⁴⁸], que emprega sofisticado esquema experimental e convenientes estados para entrelaçar dois estados do tipo “gato de Schrödinger”. Finalmente, se substituirmos os estados de entrada no SF₁, por exemplo os estados |0〉 e |1〉 ou outro par qualquer, pelos estados de polarização |V 〉 e |H〉, horizontal e vertical, respectivamente, temos um cenário que facilita procedimentos tomográficos [⁸⁶] permitindo o reconhecimento e a manipulação dos estados na saída do SF₂.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq e FAPEG pelo suporte parcial deste trabalho, e ao Professor Rafael de Morais Gomes (IF/UFG) pela Ref. [⁸⁶].

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  Jun 2015

Histórico

• Recebido
  13 Jan 2015
• Aceito
  16 Fev 2015