Proposta de uma Abordagem Iterativa Analítica para o Oscilador Harmônico Simples

Proposal of an Analytical Iterative Approach for the Simple Harmonic Oscillator

Resumo

Neste trabalho propusemos uma abordagem iterativa analítica em que a evolução temporal foi substituída pelo número de iterações. E para o caso de um sistema massa-mola obtivemos sua velocidade e sua posição em função do tempo como somas parciais de séries que convergiram para as funções trigonométricas que são as soluções do oscilador harmônico simples.

Palavras-chave:
Oscilador Harmônico Simples; Método Analítico; Mecânica

Abstract

In this work we propose an analytical iterative approach in which the temporal evolution was replaced by the number of iterations. And for the case of a mass-spring system we obtained its velocity and its position as a function of time as partial sums of series that converged to the trigonometric functions that are the solutions of the simple harmonic oscillator.

Keywords:
Simple Harmonic Oscillator; Analytical Method; Mechanics

1. Introdução

Muitas vezes o professor em sala de aula tenta convencer e demonstrar aos seus estudantes que a ciência, neste caso em questão a física, é algo em constante evolução, e que as ciências naturais buscam a compreensão da natureza. Essa compreensão baseia-se especificamente na modelagem dos fenômenos físicos. Muitos recursos vem sendo desenvolvidos com o intui-to de avançar no processo de ensino-aprendizagem [¹ –⁴], principalmente recursos computacionais [⁵ –⁹] e experimentais [¹⁰ –¹²]. Propõe-se então neste trabalho, um modelo analítico alternativo para obtenção das funções horárias do oscilador harmônico simples (ohs) ^[22] como recurso didático, levantando a questão da problematização de uma proposta analítica alternativa às usuais. É importante ressaltar que o intuito não é desenvolver um método melhor nem de mais fácil resolução, e sim um método alternativo, no qual possamos obter as funções horárias para o ohs sem a necessidade de resolvermos diretamente as equações diferencias ou utilizar métodos numéricos ou modelagens computacionais. A escolha do ohs foi pelo fato de além do mesmo ser utilizado em uma vasta gama de sistemas físicos [¹³ –²¹], é um problema simples e sua solução é dada em termos de funções ele-mentares (equações (3) e (4). E devido a isto, é frequentemente abordado em textos de física básica [²², ²³]. Uma das maneiras de resolver o ohs é partindo da Lei de Hooke ^[23] para obter suas funções horárias $x(t)$ e $v(t)$. Assim

(1) $$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=0$$

(2) $$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+w^{2}x=0$$

a equação (2) é uma equação diferenciável homogênea de segunda ordem, onde $w=\sqrt{\frac{k}{m}}$ é a frequência natural do sistema massa-mola e sua solução é do tipo

(3) $$x(t)=A\text{sen}(wt)+B\cos (wt)$$

com

(4) $$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=Aw\cos (wt)-Bw\text{sen}(wt),$$

onde A e B podem ser determinados pelas condições iniciais $x(0)=x_0$ e $v(0)=v_0$, resultando em

(5) $$x(t)=\frac{v_0}{w}\text{sen}(wt)+x_0\cos (wt)$$

e

(6) $$v(t)=v_0\cos (wt)-x_{0}w\text{sen}(wt).$$

As equações (5) e (6) são as funções horárias para o ohs. Na seção a seguir iremos descrever uma abordagem iterativa analítica para obtermos estas equações como um recurso alternativo.

2. Abordagem Iterativa para o Oscilador Harmônico Simples

Vamos considerar aqui um sistema massa-mola clássico, e consideraremos o movimento relativo da massa reduzida m em um sistema de dois corpos. Em um tempo inicial $t_0$ o sistema tem posição inicial $x_0$ e velocidade inicial $v_0$, o sistema se propaga livremente em uma trajetória retilínea até a sua primeira iteração subsequente em

(7) $$t_1=t_0+\Delta t_0$$

e

(8) $$x_1=x_0+\Delta x_0=x_0+v_0\Delta t_0$$

onde muda sua velocidade para

(9) $$v_1=v_0+\Delta v_0.$$

O sistema segue, novamente, uma trajetória retilínea até sua segunda iteração em

(10) $$t_2=t_1+\Delta t_1.$$

O qual muda sua velocidade para

(11) $$v_2=v_1+\Delta v_1.$$

Assim na enésima iteração

(12) $$t_n=t_0+{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}\Delta }{t}_j,$$

(13) $$v_n=v_{n-1}+\Delta v_{n-1}=v_0+{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}\Delta }{v}_j$$

e

(14) $$x_n=x_{n-1}+\Delta x_{n-1}=x_0+{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}{v}_j}\Delta t_j.$$

O vetor posição ${\overrightarrow{x}}_n=x_n\widehat{i}$, muda continuamente, descrevendo uma trajetória poligonal. Nesta abordagem a velocidade (momento linear se quisermos dar um tratamento semi-clássico ^[24]) muda discretamente. As variáveis contínuas tempo e posição entram na descrição do movimento como se fossem parâmetros discretos somente porque esses eventos de iteração são nossos pontos de referência para a contagem do tempo. As equações (13) e (14) são relações genéricas válidas para qualquer sistema não relativístico discreto. Para o ohs considerado aqui é natural esperarmos que

(15) $$\Delta p_n=-k{x}_{n-1}\Delta t_{n-1}.$$

Uma vez que, $\Delta p_n=m\Delta v_{n-1}$ e $w=\sqrt{\frac{k}{m}}$ temos

(16) $$\Delta v_n=-w^2{x}_{n-1}\Delta t_{n-1}$$

o qual define nosso ohs discreto. Dentre infinitas possibilidades nós iremos escolher a mais simples matematicamente

(17) $$\Delta t_n\equiv \alpha$$

e

(18) $$\Delta v_n\equiv -\alpha w^2{x}_{n-1},$$

onde $\alpha$ é uma constante positiva. As equações (13) e (14) tornam-se então

(19) $$v_n=v_0-\alpha w^2{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}{x}_j}$$

e

(20) $$x_n=x_0+\alpha {\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}{v}_j}.$$

A combinação recursiva das equações (19) e (20) leva a

(21) $$x_n={\displaystyle \sum _{s=0}^{[\frac{n}{2}]}{(\alpha w)}^{2s}}{x}_n^{(s)}$$

e

(22) $$v_n={\displaystyle \sum _{s=0}^{[\frac{n}{2}]}{(\alpha w)}^{2s}}{v}_n^{(s)},$$

onde $x_n^{(s)}$ e $v_n^{(s)}$ são funções polinomiais de $x_0$ e $v_0$,$[\frac{n}{2}]$ é o maior inteiro em $n/2$, com

(23) $$x_n^{(0)}=x_0+v_0{\displaystyle \sum _{j_1=0}^{n-1}\alpha }=x_0+v_0\alpha n,$$

(24) $$v_n^{(0)}=v_0-w^2{x}_0\alpha n,$$

(25) $$x_n^{(s)}=-{\displaystyle \sum _{j_1=0}^{n-1}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^{j_1-1}{x}_{j_2}^{(s-1)}}}$$

e

(26) $$v_n^{(s)}=-{\displaystyle \sum _{j_1=0}^{n-1}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^{j_1-1}{v}_{j_2}^{(s-1)}}},$$

$x_n^{(0)}$ seria a posição no instante $t_n$ se não houvesse ite-ração entre $t_0$ e $t_n$, enquanto $v_n^{(0)}$ seria a velocidade no instante $t_n$ se todas $n$ iterações forem iguais a primeira; $x_n^{(1)}$ seria a posição final se houvesse apenas uma iteração neste intervalo de tempo, e assim por diante. Sucessivas re-iterações nas equações (25) e (26) tornam se

(27) $$\begin{array}{lll}{x}_n^{(s)}\hfill & =\hfill & {(-1)}^s{\displaystyle \sum _{j_1=0}^{n-1}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^{j_1-1}\cdots }}{\displaystyle \sum _{j_{2s}=0}^{j_{2s-1}-1}{x}_{j_{2s}}^{(0)}}\hfill \\ \hfill & =\hfill & {(-1)}^s{\displaystyle \sum _{j_1=0}^{n-1}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^{j_1-1}\cdots }}{\displaystyle \sum _{j_{2s}=0}^{j_{2s-1}-1}(x_0+v_0\alpha j_{2s})}\hfill \end{array}$$

e

(28) $$\begin{array}{l}{v}_n^{(s)}={\left(-1\right)}^s{\displaystyle \sum _{j_1=0}^{n-1}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^{j_1-1}\cdots }}{\displaystyle \sum _{j_{2s}=0}^{j_{2s-1}-1}{v}_{j_{2s}}^{(0)}}\\ ={\left(-1\right)}^s{\displaystyle \sum _{j_1=0}^{n-1}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^{j_1-1}\cdots }}{\displaystyle \sum _{j_{2s}=0}^{j_{2s-1}-1}(v_0-\alpha w^2{x}_0{j}_{2s})}.\end{array}$$

Usando agora $j_{2s}=\left(\begin{array}{c}{j}_{2s}\\ 1\end{array}\right)$ e a identidade

(29) $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}j\\ k\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right)\text{para}n>k$$

(vide Apêndice A), temos

(30) $$x_n^{(s)}={(-1)}^s\left(x_0\left(\begin{array}{c}n\\ 2s\end{array}\right)+\alpha v_0\left(\begin{array}{c}n\\ 2s+1\end{array}\right)\right)$$

e

(31) $$v_n^{(s)}={(-1)}^s\left(v_0\left(\begin{array}{c}n\\ 2s\end{array}\right)-\alpha w^2{x}_0\left(\begin{array}{c}n\\ 2s+1\end{array}\right)\right),$$

substituindo (30) e (31) em (21) e (22) , obtemos

(32) $$\begin{array}{lll}{x}_n\hfill & =\hfill & {\displaystyle \sum _{s=0}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)}^s}[{(\alpha w)}^{2s}{x}_0\left(\begin{array}{c}n\\ 2s\end{array}\right)+{(\alpha w)}^{2s+1}\hfill \\ \hfill & \times \hfill & \frac{v_0}{w}\left(\begin{array}{c}n\\ 2s+1\end{array}\right)]\hfill \end{array}$$

e

(33) $$\begin{array}{lll}{v}_n\hfill & =\hfill & {\displaystyle \sum _{s=0}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)}^s}[{(\alpha w)}^{2s}{v}_0\left(\begin{array}{c}n\\ 2s\end{array}\right)-{(\alpha w)}^{2s+1}\hfill \\ \hfill & \times \hfill & w{x}_0\left(\begin{array}{c}n\\ 2s+1\end{array}\right)].\hfill \end{array}$$

Podemos reescrever as equações (32) e (33) da seguinte forma

(34) $$x_n=x_0{f}_n(\alpha w)+\frac{v_0}{w}{g}_n(\alpha w)$$

e

(35) $$v_n=v_0{f}_n(\alpha w)-w{x}_0{g}_n(\alpha w)$$

onde

(36) $$f_n(\alpha w)\equiv \underset{s=0}{\overset{\left[\frac{n}{2}\right]}{{{\displaystyle \sum }}^{\text{}}}}{\left(-1\right)}^s{\left(\alpha w\right)}^{2s}\left(\begin{array}{c}n\\ 2s\end{array}\right)$$

e

(37) $$g_n(\alpha w)\equiv \underset{s=0}{\overset{\left[\frac{n}{2}\right]}{{{\displaystyle \sum }}^{\text{}}}}{\left(-1\right)}^s{\left(\alpha w\right)}^{2s+1}\left(\begin{array}{c}n\\ 2s+1\end{array}\right).$$

Para $n>>1$, entretanto, a seguinte aproximação é válida

(38) $$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\approx \frac{n^k}{k!}$$

(vide Apêndice B) e então

(39) $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \sum _{s=0}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)}^s}{(\alpha w)}^{2s}\left(\begin{array}{c}n\\ 2s\end{array}\right)& \approx & {\displaystyle \sum _{s=0}^{[\frac{n}{2}]}{(-1)}^s}{(\alpha w)}^{2s}\frac{n^{2s}}{(2s)!}\\ \hfill f_{n>>1}(\alpha w)& \approx & \cos (\alpha wn)\hfill \end{array}$$

e

(40) $$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{s=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}{\left(-1\right)}^s{\left(\alpha w\right)}^{2s+1}\left(\begin{array}{c}n\\ 2s+1\end{array}\right)\approx }{\displaystyle \sum _{s=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}{\left(-1\right)}^s{\left(\alpha w\right)}^{2s+1}}\hfill \\ \times \frac{n^{2s+1}}{(2s+1)!}\hfill \\ g_{n>>1}(\alpha w)\approx \text{sen}(\alpha wn).\hfill \end{array}$$

Os últimos somatórios das equações (39) e (40) são somas parciais das séries representando suas respectivas funções trigonométricas ^[25].

Os gráficos destas somas parciais estão mostrados nas Fig. 1 e Fig. 2 para n = 25, Fig. 3 e Fig. 4 para n = 50 e Fig. 5 e Fig. 6 para n = 100. Observamos nestas figuras que $f_n(\alpha w)$ e $g_n(\alpha w)$ convergem inicialmente para suas respectivas funções trigonométricas cos(wt) e sen(wt) somente para valores de $\alpha w<<1$, uma vez que, o módulo das amplitudes de oscilação de $f_n(\alpha w)$ e $g_n(\alpha w)$ são muito maiores que um para os demais valores de $\alpha w$.

Figura 1
Amplitude $f(\alpha w)$ (que pode ser interpretada como $\frac{x_{25}}{x_0}$ quando $v_0=0$) e sua respectiva função trigonométrica.

Figura 2
Amplitude $g(\alpha w)$ ($\frac{-v_{25}}{w{x}_0}$ para $v_0=0$) e sua respectiva função trigonométrica.

Figura 3
Amplitude $f(\alpha w)$ para n = 50 e sua respectiva função trigonométrica. Vemos claramente que as amplitudes dimi-nuem para $\alpha w$ maiores quando comparados com n = 25.

Figura 4
Amplitude $g(\alpha w)$ para n = 50 e sua respectiva função trigonométrica. Assim como para $f(\alpha w)$, as amplitudes diminuem para $\alpha w$ maiores quando comparados com n = 25.

Figura 5
Amplitude $f(\alpha w)$ (que pode ser interpretada como $\frac{v_{100}}{v_0}$ quando $x_0=0$) e sua respectiva função trigonométrica.

Figura 6
Amplitude $g(\alpha w)$ ($\frac{x_{100}w}{v_0}$ para $x_0=0$) e sua respectiva função trigonométrica.

Entretanto, analiticamente os somatórios das equações (39) e (40) podem ser vistos como limites assintóticos quando $n\to \infty$ em suas respectivas séries finitas de combinatoriais. E as equações (32) e (33) tornam-se soluções gerais do ohs.

(41) $$x_n=\frac{v_0}{w}\text{sen}(w\alpha n)+x_0\cos (w\alpha n)$$

e

(42) $$v_n=v_0\cos (w\alpha n)-x_{0}w\text{sen}(w\alpha n).$$

As equações (12) e (17) definem a evolução temporal na abordagem iterativa aqui proposta, entretanto, as soluções (41) e (42) devem satisfazer duas condições para recuperarmos a solução do ohs $n>>1$ e $\alpha wn=w(t_n-t_0)<<1$. Na mecânica um dos elementos constitutivos é assumir a existência de uma lei causal conectando os diversos estados do sistema ^[26]. Podemos então especificar $\alpha n$ pela reta real ($\alpha \in ℝ,n\in \mathbb{N}\Rightarrow \alpha n\in ℝ$) ou seja, é uma coordenada, em que cada valor de $\alpha n$ é chamado de instante de tempo. Consequentemente, as equações (41) e (42) podem ser interpretadas como solução do ohs. Devemos destacar que a abordagem aqui proposta é de iteração e não de interação fundamental do ponto de vista físico.

3. Considerações Finais

Neste trabalho, foi proposto uma abordagem iterativa para a solução do ohs com o intuito de mostrar que é possível através de um método alternativo ao normalmente utilizado obter suas funções horárias. Não foi nosso intuito dar uma interpretação física ao método em si, o estamos considerando apenas como uma ferramenta matemática. Entretanto esta abordagem pode servir como base para analisar outros sistemas físicos, a saber as forças fundamentais. Não devemos esquecer,que o potencial harmônico, embora seja uma ferramenta extremamente útil em todos os ramos da física moderna, não é em si uma interação fundamental.

Agradecimentos

Ao Professor Manoelito Martins de Souza e ao Julio Cesar Azevedo da Silva pela colaboração, aos árbitros anônimos pelas valiosas sugestões e aos órgãos de fomento CNPq, CAPES e FAPES.

Material suplementar

O seguinte material suplementar está disponível online:

Apêndice A Apêndice B

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Out 2019
• Data do Fascículo
  2020

Histórico

• Recebido
  12 Dez 2018
• Revisado
  24 Ago 2019
• Aceito
  09 Set 2019