Introdução à mecânica dos quanta Parte IV

HISTÓRIA DA FÍSICA E CIÊNCIAS AFINS

Introdução à mecânica dos quanta

Parte IV¹

Theodoro Ramos

Escola Politécnica de São Paulo

RESUMO

Neste quarto artigo o autor introduz a mecânica matricial de Heisenberg e mostra sua equivalência com a mecânica ondulatória de Schrödinger.

Palavras-chave: mecânica matricial.

ABSTRACT

In the fourth paper of the series, the author introduces the matrix mechanics due to Heisenberg and shows its equivalence to the Schrödinger's undulatory mechanics.

Keywords: matrix mechanics.

1. Noções sobre o cálculo e a mecânica das matrizes

Heisenberg, ao elaborar, em 1925, a nova Mecânica dos "Quanta", procurou fixar a sua atenção unicamente sobre as grandezas que possuem significação experimental precisa, e tais como:

1) as freqüências e as intensidades das raias espectrais do átomo;

2) os níveis energéticos do átomo que nos são revelados, quer pelas experiências sobre o choque eletrônico (experiências de Frank e Hertz, e de outros), quer pela espectroscopia que nos fornece, para o cálculo da freqüência da radiação emitida pelo átomo, a fórmula fundamental n_nm = T_n - T_m; os termos espectroscópicos T_n e T_m, sendo associados aos níveis energéticos E_n e E_m.

Na elaboração da nova Mecânica Atômica, valeu-se Heisenberg largamente do principio de correspondência de Bohr já examinado na última conferência.

Consideremos primeiramente o caso de um sistema atômico dependendo de um único parâmetro (real) x.

Vimos em uma conferência anterior que na teoria eletromagnética clássica quando se estuda a radiação emitida por um átomo procura-se desenvolver x(t) em série de Fourier

t tomando os valores inteiros de -¥ a +¥. Os coeficientes a_t dependem da variável de "ação" J, e como x é real devemos ter a_–t = ou a_t = (o asterisco significando o imaginário conjugado). n é a freqüência fundamental da vibração do elétron: a_t é a amplitude complexa da componente harmônica de ordem t. A intensidade da harmônica de ordem t é proporcional a |a_t|² = a_ta_–t.

A teoria clássica faz corresponder à variável dinâmica x(t) uma sucessão de quantidades a_texp(2pitnt) cujo conhecimento acarreta o de x(t) por intermédio da série de Fourier.

Na nova Mecânica Atômica, Heisenberg, guiado pelo principio de correspondência de Bohr, caracterizou a variável x pelo conjunto de quantidades x_nm = a_nmexp(2pin_nmt), (m= n -t), dispostas no quadro

em que n_nm é a freqüência da radiação emitida pelo átomo quando passa do estado energético n ao estado m = n - t;|a_nm|² é proporcional à intensidade da radiação emitida, e, na linguagem estatística de Born, proporcional à probabilidade de passagem do átomo do estado n ao estado m.

Escreve-se x = (x_nm). Como x é real, supõe-se que a_nm e a_mn são imaginários conjugados, e que, portanto

pois n_nm = T_n- T_m = -n_mn.

Observemos que n_nn = 0. No quadro dos x_nm, os termos simétricos em relação à diagonal principal são conjugados; os termos da diagonal principal são constantes e reais.

Heisenberg faz também corresponder ao momento p conjugado de x, em substituição à serie de Fourier , um quadro do tipo acima considerado.

A fim de traduzir, na nova mecânica, as relações entre as coordenadas x e p na teoria clássica, torna-se necessário definir as operações elementares a efetuar com os quadros (x_nm). Heisenberg, ainda aí, valeu-se da analogia com as séries de Fourier.

A soma e o produto de duas séries de Fourier x₁ e x₂, contendo as mesmas freqüências, são séries de Fourier cujos coeficientes são dados por

Vemos que a soma e a multiplicação das duas séries de Fourier não introduzem nenhuma nova freqüência.

Para os quadros () e (), contendo as mesmas freqüências definem-se a soma (x_nm) e a multiplicação (X_nm) com o auxílio das fórmulas

nenhuma nova freqüência é introduzida, pois pelo princípio de combinação de Ritz entre as freqüências possíveis, há a relação n_nk + n_km = n_nm.

Estas regras de cálculo vêm mostrar que os quadros (X_nm) podem ser considerados como matrizes cuja teoria, há muito, é conhecida. As matrizes acima indicadas são do tipo de Hermite: X_nm = .

A multiplicação das matrizes é distributiva e associativa, mas, em geral, não é comutativa.

Diz-se que uma matriz é diagonal quando todos os seus termos, exceto os da diagonal principal, são nulos:

em que d_nm = 1 se n = m e 0 se n ¹ m.

A matriz

é a matriz unidade. É fácil ver que é uma matriz comutável com uma matriz qualquer x = (x_nm):

xd - dx = 0.

A matriz recíproca de x, x^-1, é definida por x^-1x = d; x^-1 e x são comutáveis; tem-se d^-1 = d.

A divisão da matriz x pela matriz y é, por definição, o produto xy^-1. A matriz , derivada em relação ao tempo t da matriz x, é a matriz _nm= 2pin_nmx_nm.

Se x é diagonal, = 0. A recíproca desta proposição é verdadeira quando n_nm ¹ 0, para n ¹ m, pois neste caso e x_nm se anulam ao mesmo tempo; isto acontece, como sabemos, quando o sistema não é "degenerado".

Consideremos a matriz y função² da matriz x, y = f(x). A matriz derivada de y em relação a x, é por definição,

c designando a matriz diagonal com termos iguais

Se y = x, = d. Se y = f(x)Y(x), .

Podemos agora introduzir algumas noções sobre a Mecânica das Matrizes.

De acordo com as idéias de Heisenberg substituem-se a variável x e o seu momento conjugado p pelas matrizes (x_nm) e (p_nm) cujos elementos dependem das intensidades e das freqüências das radiações emitidas pelo sistema atômico.

Na teoria de Bohr, como vimos, x e p satisfazem às equações canônicas, e a variável de "ação" J verifica a relação J = òpdx = nh, n designando um número inteiro e h a constante de Planck; a integral é tomada ao longo de um ciclo completo de variação de x.

Heisenberg substituiu o postulado "mecânico" da teoria de Bohr pela relação

entre as matrizes x, p, e a matriz unidade d. Esta relação exprime que as matrizes x e p não são comutáveis e dá a expressão da diferença px - xp.

Vamos mostrar como foi Heisenberg conduzido, pela aplicação do principio de correspondência de Bohr a tal relação que é fundamental na nova Mecânica Quântica.

Temos

substituindo x e p pelos seus desenvolvimentos em série de Fourier e atendendo a que 1/n é o período do movimento.

Na integração, o termo constante (correspondente a t + s = 0) é o único que não fornece um resultado nulo: vem pois

ou

Heisenberg, guiado pelo principio de correspondência de Bohr, substituiu sistematicamente quantidades tais como a_t(J), b_t (J), ou a_t (nh), b_t (nh), a_{n, n-t}, b_{n, n -t} correspondentes ao salto quântico n, n - t. Ao operador ht¶/¶J corresponde, também, na teoria quântica, conforme vimos na última conferência, a diferença D relativa aos estados n e n-t. Devemos, pois, substituir ht¶(b_ta_-t)/¶J por D(b_{n, n -} t a_{n - t, n}) ou b_{n + t, n}a_{n, n + t} - b_{n, n - t} a_{n - t,n}, e obtemos h/2pi = S_tb_{n, n - t}a_{n - t, n} - S_tb_{n + t,n}a_{n, n + t}; ora a soma deve ser feita tomando os valores inteiros de t de -¥ a +¥ ; a cada número t corresponde um outro -t, de modo que

Esta fórmula mostra que o n-ésimo termo diagonal da matriz px - xp é igual a h/2pi, ou ao n-ésimo termo da matriz diagonal (h/2pi)d.

Heisenberg generalizou este resultado admitindo a coincidência da matriz px - xp com a matriz (h/2pi)d na Mecânica Quântica.

Observe-se: nos casos em que, nas equações se pode desprezar os termos que contêm h em fator em face dos outros termos, as matrizes x e p se tornam comutáveis e a Mecânica Clássica pode ser utilizada.

O principio de correspondência ainda conduziu Heisenberg a admitir a possibilidade de formar a função hamiltoniana H(x, p) das matrizes x e p, tal que e satisfaçam às equações denominadas canônicas

A escolha da matriz H(x, p) faz-se, nos problemas mais simples da Mecânica Quântica, por analogia com a função H da teoria clássica; os resultados confrontados com a experiência têm sido satisfatórios em tais casos.

Observemos que às equações "canônicas" entre as matrizes x e p corresponde uma infinidade de equações do tipo

as quais combinadas com as equações já estabelecidas

conduzem ao cálculo das freqüências n_nm e das amplitudes a_nm e b_nm, das vibrações relativas ao sistema atômico.

Das equações entre as matrizes x e p resultam as seguintes proposições:

1) H é uma matriz diagonal, e a equação = 0 exprime a conservação da energia.

2) Os termos espectroscópicos T_n multiplicados por h, coincidem, abstração feita de uma constante aditiva, com os termos diagonais H_nm da matriz H.

Dirac generalizou a teoria de Heisenberg para o caso de um sistema multiperiódico dependendo de k parâmetros x_nm. Dirac admitiu, neste caso, as seguintes equações da Mecânica dos "Quanta":

a) Equações canônicas:

b) Condições quânticas (ditas de "permutação"):

As Eqs. (20) não são independentes das Eqs. (19). Em rigor, as Eqs. (20) só podem ser consideradas exatas para um instante determinado; as relações de "permutação" nos instantes seguintes devem ser tiradas das Eqs. (19).

2. Equivalência entre a mecânica ondulatória e a mecânica das matrizes

A aplicação da Mecânica das Matrizes aos problemas atômicos conduz a cálculos longos, fastidiosos e às vezes, delicados. Observou-se no cálculo dos níveis energéticos, a identidade, para cada problema estudado, de resultados obtidos separadamente pela Mecânica das Matrizes e pela Mecânica Ondulatória. A equivalência matemática entre as duas teorias foi, aliás, demonstrada por Schrödinger e Eckart cujos trabalhos vieram facilitar consideravelmente a resolução dos problemas de Mecânica Atômica.

Pode-se, agora, afirmar que a Mecânica das Matrizes e a Mecânica Ondulatória constituem dois aspectos diferentes da mesma teoria quântica.

Vamos expor, em suas linhas gerais, a teoria de Schrödinger, considerando o caso do campo permanente.

A equação da conservação da energia na Mecânica Clássica se escreve

Sabemos que H = T + U. Em coordenadas curvilíneas temos a equação da conservação da energia sob a forma dita "simetrizada"

Substituamos p pelo operador (h/2pi)¶/¶x_i; E, pelo operador (h/2pi)¶/¶t, e x_i pelo operador "multiplicação por x_i"; apliquemos o operador resultante, assim obtido, à função Y das ondas; vem

ou

equação de Schrödinger.

Se o campo é permanente, a equação de Schrödinger pode ser escrita

Neste caso, se E_n são os valores fundamentais ou característicos, e Y_n as soluções correspondentes, podemos supor o sistema dos Y_n normal e ortogonal

Conforme já dissemos em outra conferência, uma função contínua f(r) pode, sob certas condições, ser desenvolvida em série de funções características,

sendo

a integração sendo estendida a todo o espaço.

Schrödinger observou que as condições (20) da Mecânica das Matrizes conduzem a relações entre operadores diferenciais lineares relativamente a x_i. Assim, por exemplo, no caso de um sistema que depende de um parâmetro, substituindo na equação fundamental px - xp = (h/2pi)d, p por (h/2pi)d/¶x, d pela unidade 1, e considerando x como operador, vem

que é verificada identicamente, pois

Schrödinger procurou, então, descobrir uma conexão entre as relações entre operadores, equivalentes às equações das matrizes, e as relações análogas equivalentes às equações das ondas.

Seja F(x, p) uma função das variáveis x e p (Mecânica Clássica). Substituamos em F, p pelo operador (h/2pi)¶/¶x e consideremos x como operador ("multiplicação por x"). F(x, (h/2pi)¶/¶x) torna-se um operador que aplicado a Y_n dá uma função de x que, desenvolvida em série de funções fundamentais, conduz a

Os coeficientes F_nm são dados por

Para x e p, tem-se, respectivamente,

Schrödinger demonstrou: 1) que os quadros formados com os coeficientes tais como F_nm, multiplicados por exp(2pin_nmt) verificam as regras do cálculo das matrizes e podem ser considerados como matrizes de Heisenberg correspondentes às funções F(x.p); 2) as matrizes (x_nm) e (p_nm) satisfazem às equações da Mecânica das Matrizes, e tornam portanto a matriz H diagonal.

Descoberta a conexão existente entre a Mecânica Ondulatória e a Mecânica das Matrizes, impõe-se, como sendo geralmente o mais cômodo, o seguinte processo para resolver um problema de Mecânica Atômica:

Forma-se em primeiro lugar a equação da Mecânica Ondulatória, partindo-se da função de Hamilton H. Os valores característicos da equação das ondas representam os níveis energéticos E_n do sistema. Conhecendo-se as soluções características, as fórmulas há pouco estabelecidas permitem calcular os elementos das matrizes que representam as variáveis x, p, etc., e portanto as intensidades e os estados de polarização das radiações emitidas pelo sistema atômico, bem como suas constantes mecânicas.

Vemos que as soluções características Y_n são meras funções intermediárias no cálculo dos elementos das matrizes x, p, etc. elementos esses que representam as únicas grandezas cuja significação experimental é precisa, e cuja obtenção deve constituir o principal objetivo da Mecânica dos "Quanta".

1

Este artigo refere-se à quarta e última conferência do autor na Escola Politécnica do Rio de Janeiro, publicado no número de Agosto de 1933 do

Boletim do Instituto de Engenharia, pp. 63-67. Ver

Rev. Bras. Ens. Fis. 25(3), 326 (2003).

2

Supõe-se uma função definida por intermédio das operações elementares introduzidas.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  24 Jul 2004
• Data do Fascículo
  2004