Oscilador harmônico com massa variável e a segunda lei de Newton

Variable mass harmonic oscillator and the Newton's second law

ARTIGOS GERAIS

Oscilador harmônico com massa variável e a segunda lei de Newton

Variable mass harmonic oscillator and the Newton's second law

Eberth Correa¹; J.S. Espinoza Ortiz; Mauro Valério; Jomhara Dutra

Instituto de Ciências Tecnológicas e Exatas, Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Uberaba, MG, Brazil Departamento de Física, Universidade Federal de Goiás, Catalão, GO, Brazil

RESUMO

Empregamos a segunda lei de Newton para descrever o sistema de oscilador com massa variável. Um aparato experimental para medir as oscilações e outros parâmetros importantes é montado e aqui descrito com a ajuda de equipamentos disponíveis comercialmente. Usando um modelo pré-concebido para tal sistema somos capazes de ajustar os resultados experimentais com boa concordância. Para realizarmos essa tarefa desenvolvemos um programa na linguagem C++ ao qual pode extrair os valores experimentais da amplitude do movimento oscilatório bem como rotacionar o sistema de coordenadas para separar o movimento translacional do movimento oscilatorio.

Palavras-chave: oscilador harmônico, massa variável, modos normais.

ABSTRACT

We employ the Newton's second law to describe the variable mass oscillator system. We describe and set up an experimental apparatus in order to measure the oscillations and other parameters with the help of equipments available commercially. By using a preconceived model for such a system we are able to fit the experimental results with a good agreement. To accomplish this task we developed a C++ program which can extract the experimental values of the amplitude of the oscillatory movement as well as to rotate the coordinates system in order to set apart the translational movement from the oscillatory one.

Keywords: harmonic oscillator, variable mass, normal modes.

1. Introdução

O oscilador harmônico simples (OHS) é um dos sistemas mais empregados para modelagem na física [1-3]. Devido a sua simplicidade e fácil descrição pelas equações de Newton na mecânica clássica, tal sistema descreve perfeitamente o balanço energético entre energia potencial elástica e energia cinética. Na Mecânica Quântica é o principal protagonista das hipóteses de quantização com resultados empíricos fantásticos. Como sistema mecânico é um excelente sistema para o estudo e a modelagem para movimentos periódicos.

Devido a sua simplicidade podemos ter como um bom ponto de partida para a analise do OHS a segunda lei de Newton. Dentre as diferentes formas de OHS estamos interessados no oscilador pendurado por uma mola no qual a força peso está diretamente associada com a posição de equilíbrio em repouso. Além disso, queremos fazer com que o sistema perca massa através do escoamento de um material granular (areia).

O estudo de tais sistemas com a variação de certos parâmetros constitui-se um bom aprofundamento no que tange as famosas leis que mudaram o mundo no século XVII, as leis de Newton.

Partiremos de um modelo teório pré-estabelecido no estudo desse sistema [4] para descrevermos meticulosamente os dados experimentais obtidos. Mostraremos que o movimento resultante será composto por dois modos normais: um de translação e outro de oscilação através da segunda lei de Newton.

2. Aparato experimental

Para a aquisição de medidas utilizamos os sensores disponíveis pela CIDEPE. Um sensor de força, um sensor de posição e a interface com o computador chamado Lab100. A primeira aquisição se refere ao escoamento de massa montado segundo a Fig. 1.

Nesse trabalho foram utilizadas duas tampas de uma garrafa plástica média com área de seção transversal regular. Em cada tampa foi feito um orifício circular de diâmetros 5.20 mm e 7.73 mm. Na garrafa, para efeitos de medidas de posição, foi transpassado perpendicularmente à linha de centro de massa um arame grosso para se pendurar dois suportes de pequenas massas de 10 g que, além de adicionar massa própria, servem de superfície refletora para o sensor de posição.

Na Fig. 2 mostramos o resultado desse escoamento com a garrafa em repouso, onde dividimos a força medida pela aceleração da gravidade g. Fica evidente o comportamento linear do escoamento granular da areia contida na garrafa. É importante peneirar a areia a fim de se eliminar grãos de diâmetro médio maiores que 1,5 mm. Para tanto, utilizamos uma peneira de aço fina que permite a passagem de grãos com diâmetros um pouco maiores que um diâmetro medio de 1,0 mm. O ajuste das curvas que melhor representam esses dados são do tipo m(t) = m₀— ct, cuja inclinação fornece c₁ = 0, 0020, kg/s e c₂ = 0, 0064 kg/s para os orifícios menor e maior respectivamente. Esses valores estão de acordo com a previsão teórica de que para um material granular de densidade ρ, fluindo por um orifício circular de diâmetro D sob a ação da aceleração da gravidade g, a taxa de escoamento será dada pela formula [5]

onde d é o diâmetro medio do grão de areia que em nosso caso vale cerca de 1,0 mm e a constante pode ser determinada experimetalmente. Considerando que para um diâmetro D₁ temos um ci associado, e o mesmo para D₂ e c₂, se por intermedio da Eq. (1) dividirmos os escoamentos c₂ por c₁ chegaremos a

Dessa forma, com os valores obtidos para c₁, D₁ e D₂ obtemos c₂ = 0, 0062 kg/s (cerca de 3% menor do que o obtido). Isso confirma a previsão teórica para o fluxo de areia de acordo com o diâmetro do orifício [5].

Devemos salientar que o fluxo de areia é afetado pelas oscilações e, portanto, devemos introduzir uma maneira de se medir esse fluxo dinâmico. Na verdade, veremos na próxima seção como prever o valor de c a partir das medidas de posição. O aparato experimental para as medidas de posição é mostrado na Fig. 3. Note que o sensor fica posicionado abaixo da garrafa e afastado do escoamento da areia. O sensor de posição funciona emitindo um pulso de ultrassom e detecta o sinal de retorno calculando a posição da garrafa. Por essa razão é importante que os pesos que servem de superfície refletora sejam de um metal que refletem bem esse tipo de sinal. Por outro lado, deformações na mola e outras perturbações iniciais podem causar pequenas oscilações no plano perpendicular à linha de oscilação vertical, desalinhando a superfície refletora. Isso poderia afetar as medidas diretamente, mas o sensor utilizado apresentou uma certa flexibilidade tal que essas perturbações não afetaram de forma significativa nossas medidas.

O aparato da Fig. 3 mostra várias quantidades que são importantes para a realização do experimento. l₀ »0,116 m é o comprimento inicial da mola. δ »0,183 m e a distancia entre o ponto de junção mola-garrafa e a extremidade de um dos pesos, como mostrado na figura. Uma outra quantidade que deve ser medida e a altura h »1,195 m que é a distância do ponto de fixação superior da mola até o sensor. Esses são os valores aproximados utilizados na realização de nosso experimento. A constante da mola utilizada vale k = 6, 6 N/m. Mais adiante, com a analise teórica, essas quantidades se mostrarão bastante úteis.

3. Análise teórica

Inicialmente, vamos considerar a origem do sistema como sendo o ponto de fixação do oscilador. Assim, definiremos y₁ e y₂ como a distância entre o ponto de fixação e a extremidade do suporte do peso e a distância entre o ponto de fixação e a pequena porção de massa Δm que sai da garrafa, respectivamente, como mostra a Fig. 3. A escolha desse referencial e bastante conveniente para se derivar a equação de movimento a partir da segunda lei de Newton. Al em disso, uma vez obtida a equação de movimento, basta fazermos uma transformação de coordenadas para que a origem coincida com a posição do sensor, como veremos a seguir.

Como no problema de perda de massa em um foguete [6, 7], nosso ponto de partida será a variação de momento após a pequena porção de massa Δm deixar a garrafa. Portanto, se considerarmos um certo instante de tempo t e um pequeno intervalo de tempo Dt imediatamente posterior, poderemos escrever

onde Δm = m(t) — m(t + Dt). Consequentemente

onde é a velocidade relativa da porção de massa Δm com relacão a garrafa. Dividindo-se esta última equação por Dt e tomando-se o limite Dt → 0 chegamos à tão conhecida equação

O segundo termo dessa equação é o responsável pelo impulso devido à ejeção de massa, como o recuo de uma arma ao ser disparada. Contudo, podemos ser levados a pensar que a velocidade relativa q é inicialmente zero. Apesar de considerarmos Δt pequeno para essa análise, em termos práticos, não podemos tomar Dt tão pequeno a ponto de afirmarmos que q = 0 em t = 0. Isso se deve ao fato de não podermos estender qualquer análise física ao nível do escoamento granular, pois este possui uma natureza complexa, os grãos de areia interagem entre si, introduzindo vínculos internos. Para evitarmos essas dificuldades, assim como na análise mecânica de impulso e quantidade de movimento, basta pensarmos que Dt é pequeno o suficiente para que uma pequena porção de massa de areia Δm, após diversos tipos de interações internas, seja ejetado com uma velocidade relativa q bem pequena. Isso se justifica pelo fato da ejeção se dar apenas pela força da gravidade, mas nossa análise começa apenas após essa pequena porção de massa deixar de ter qualquer vínculo com o sistema garrafa-areia. Portanto, podemos afirmar que a pequena quantidade de impulso assim que Am deixa a garrafa é desprezível em relação à grande quantidade de momento da garrafa, ou seja, podemos fazer q Δm ≈ 0 na Eq. (4) que implica desprezarmos o segundo termo da Eq. (5). Consequentemente, a segunda lei de Newton para a garrafa poderá ser escrita como

onde δ = l₀ + δ e b é a constante de resistencia do ar. Entretanto, queremos que a origem do sistema de coordenadas coincida com a posiçcãao do sensor de posicçaão e, para tanto, devemos fazer na Eq. (6), resultando

onde retiramos o rótulo 1, pois de agora em diante estaremos nos referindo apenas a posição da garrafa em relação ao sensor. Essa equação ainda não está escrita de modo a que apenas o movimento oscilatoírio possa ser descrito. Para atingirmos esse objetivo vamos tentar fazer o mesmo que se faz com o oscilador sem perda de massa, reescrevendo a equação em função do ponto de equilíbrio. Todavia, a função m(t) do lado direito desta equação torna essa tarefa um pouco mais laboriosa. Substituindo a expressão para m(t) do lado direito, poderemos reescrever a Eq. (7) como

Somos fortemente tentados a escrever yosc = y — ((h — δ) — m₀g/k + cgt/k), mas por causa do fator de resistâencia do ar essa não seria a melhor saida. Se escrevermos y_p(t) = A + Bt como uma solução particular da Eq. (8) e, em seguida, fizermos y(t) = y_osc(t) + y_p(t), é fácil verificar que

Com isso, conseguimos separar o movimento da garrafa como a combinação de dois tipos de movimento: um com relação ao deslocamento do ponto de equilíbrio como uma função linear de t expresso por y_p(t) na forma da Eq. (9) e o outro com relação ao movimento puramente oscilatório descrito pela função yosc(t) na forma da Eq. (10). A independência desses dois movimentos nos revela que são modos normais.

Devemos salientar a importância da Eq. (9) para a realização do experimento. y_p(t) descreve exatamente a equação da reta que passa pelo ponto médio das oscilações. Portanto, sua determinação a partir dos dados experimentais fornece informações sobre alguns valores importantes, como a taxa de escoamento c dinâmica e a massa inicial m₀ que nada mais é do que a massa do objeto a partir do início da observação em t = 0. É importante destacar o fato de que há uma imprecisão antes do acionamento do sensor e isso implica perda de massa. Portanto, a partir de dados previamente fornecidos como δ, h, g e k, é possível determinar com boa precisão a massa em t = 0.

Como exemplo, na Fig. 4 mostramos o ajuste de curvas para os dados experimentais do deslocamento em função do tempo, tendo como posição inicial a posição de equilíbrio sem escoamento. Ao observar o movimento do oscilador, notamos que este se daí por meio de um "stick-slip", ou seja, prende e desliza. Na verdade, à medida que a taxa de escoamento c aumenta, esse efeito se torna cada vez mais evidente. Isso ocorre porque há um tempo de relaxação para acomodação do sistema em torno do ponto de equilíbrio. O aumento de c, que entra como uma perturbação no sistema, aumenta esse tempo de relaxação. Felizmente, esse efeito pode ser minimizado utilizando-se uma mola com constante k bem maior. Além disso, realizamos a transformada rápida de Fourier em busca de uma freqüência de fundo devido ao escoamento e não encontramos nenhuma freqüência relevante. Isso implica que podemos aproximar yosc(t) ≈ 0 e y(t) ≈ y_p(t).

As retas ajustadas na Fig. 4 tanto para o escoamento com orifício menor quanto para o escoamento com orifíício maior são respectivamente y₁ (t) = 0.0026t + 0.595 (m) e y₂(t) = 0.0071t + 0.603 (m), cujas inclinações fornecem cg/k de onde podemos ver claramente que c₁ = 0.0018 kg/s e c₂ = 0.0048 kg/s. Esses valores são menores do que os obtidos na seção anterior. Por esse motivo, dizemos que temos uma taxa dinâmica de escoamento, o que é bem razoável do ponto de vista físico, pois o fato da garrafa entrar em movimento ascendente compacta mais a areia no fundo da garrafa, resultando nesse efeito.

Falta-nos apenas dar uma solução para a Eq. (10). No artigo de Flores e cols. [4] há uma demonstração de uma solução aproximada para uma equação idêntica à Eq. (10). Embora os autores abordem um sistema semelhante, há questões referentes a esse sistema que não são aprofundadas ou, até mesmo, abordadas como estamos expondo aqui. Primeiramente, as medidas experimentais da posição são uma aproximação das medidas obtidas por um sensor de força, colocado num recipiente em repouso logo abaixo da garrafa posta a oscilar. Por esse motivo, questões como o escoamento dinâmico e o deslocamento do ponto de equilíbrio não são abordadas com a devida atenção no artigo. As quantidades dinâmicas são tratadas através da análise da energia do sistema, cujas aproximações, acabam deixando de lado tais efeitos. Apesar disso, a análise teórica desse sistema, com suas aproximações, leva a uma descrição correta do que ocorre com o movimento oscilatório, como veremos a seguir. Por esse motivo não faremos toda a demonstração da solução da Eq. (10). Enunciaremos apenas o resultado principal e sugerimos a leitura desse artigo caso o leitor queira maiores detalhes.

Partindo-se de uma análise da energia mecânica e do fato de que b/2m₀ é muito pequeno se comparado com a freqüência angular natural do sistema, os autores chegaram a uma expressão aproximada para y_osc igual a

com

onde ε = b/2c+1/4 e b/2c representa a taxa de perda de energia pelo arraste e a energia deixando o sistema devido à perda de massa. A₀ e Ф são a amplitude e a fase determinadas pelas condições iniciais. Substituindo-se as Eqs. (11) e (12) na Eq. (10) obteremos uma equação em função de senos e cossenos igual a zero. Portanto, se quisermos que a equação seja satisfeita levando-se em conta a independência dessas funções devemos igualar seus coeficientes a zero, o que implica diretamente que

Dessa forma, a funcão h₀(t) deve ser tal que satisfaça essas duas equações. Primeiramente, com o auxílio da Eq. (12), a Eq. (13) fornece

A função h₀(t) será então a integral no intervalo [0, t] desta última equação, resultando em

onde α = (b + c/2)(b + 3c/2)/4m₀k. Essa será a solução geral que empregaremos na análise dos resultados. Entretanto, para que h₀(t) satisfaça simultaneamente ambas Eqs. (13) e (14) é necessário que

ou ainda

isto é, a aproximação só vale para medidas realizadas num intervalo de tempo longe do tempo necessário para acabar a areia na garrafa. Portanto, na análise de dados experimentais devemos levar isso em conta.

4. Como funciona o programa

No ^{Apêndice A} colocamos a disposição do leitor o programa desenvolvido para fazer a análise dos pontos de máximos e de mínimos do movimento oscilatório na linguagem C + + . Além de extrair os pontos dos extremos da aquisição de dados, o programa também utiliza a regressão linear para determinar a reta que passa pelo ponto médio de oscilação. Em caso de escoamento de areia, os dados provenientes de tal regressão serão utilizados para se fazer uma rotação de eixos fazendo-se sobressair somente o movimento oscilatório.

Ao compilar e executar o programa, o leitor será perguntado sobre o nome do arquivo de dados para análise. O passo seguinte será fornecer a informação da qual os dados se referem a escoamento ou não. Caso a resposta seja sim, o programa calculará a regressão linear para determinar o eixo que passa pelo ponto médio e automaticamente fará uma rotação de eixos para que apenas o movimento oscilatório prevaleça. A confirmação disso será um novo cálculo da regressão linear em que a inclinação da reta que passa pelo ponto médio será aproximadamente zero. É importante anotar o valor de y₀, pois ele determinará a quantidade de massa inicial a partir do início da observação. Finalmente, o programa perguntará se deve imprimir os pontos de máximo ou de mínimo. A separação facilita a análise e a confecção de gráficos.

Ao término de sua execução o programa gerará automaticamente os arquivos de saída "Amplitude.out", "dadosrot.out", "dados.out" e "perquad.out". No arquivo "Amplitude.out" serão listados os pontos de máximo ou de mínimo rotacionados. Em "dadosrot.out" serão fornecidos os dados após a rotação de eixos, mostrando apenas o movimento oscilatório. Em "dados.out" temos os pontos de máximo ou de mínimo rotacionados. Esses dados são úteis para se conferir se o programa está fazendo a análise correta plotando-se ambos "dados.out" e "dadosrot.out". O resultado será a visualização dos pontos de máximo ou de mínimo em cima dos dados adquiridos rotacionados. Finalmente, o programa imprime o arquivo do quadrado do período em função do tempo de medida em "perquad.out" para simples conferência com a previsão teórica.

O programa também pode ser usado para calcular máximos e mínimos em caso de não haver escoamento. Para tanto, basta responder não ao ser questionado sobre movimento com ou sem escoamento. Automaticamente o programa fará a regressão linear dos dados para a determinação do ponto médio de oscilação e perguntará se deve imprimir os pontos de máximo ou de mínimo. Neste caso, os arquivos de saída serão apenas "Amplitude.out", "dados.out" e "perquad.out" já descritos anteriormente, mas sem nenhuma rotação de eixos.

O algoritmo utilizado envolve o cálculo de derivadas para "frente". Isso significa que é necessário um certo número de pontos a frente do ponto em que se calcula a derivada. A função devfw, chamada no corpo principal do programa, é responsável por esse cálculo e leva em conta dois pontos a frente, ou seja, é uma derivada de três pontos. Contudo, devido a ruidos durante a aquisição de dados, o critério de derivação fará com que vários máximos ou mínimos locais sejam candidatos. Mesmo utilizado-se derivadas com mais pontos o problema ainda persistirá. Por essa razão decidimos pela derivada de três pontos que apresenta uma precisão razoável para esse tipo de aplicação.

O resultado dessa primeira etapa é impresso no arquivo "auxiliar.dat" onde alguns pontos próximos dos prováveis máximos ou mínimos também são impressos. Isso faz com que tenhamos certeza de que o provável máximo ou mínimo estará no meio deles. Nesse ponto, utilizamos a subrotina filtro que filtra os candidatos a máximo ou mínimo em relação ao ponto médio de oscilação produzindo os arquivos "Amplitude.out", "dados.out" e "perquad.out" já mencionados.

As outras subrotinas que aparecem no programa são troca, reglinear e roteixos. A subrotina troca é chamada no corpo principal para trocar os três pontos necessários para derivação. Cada vez que um ponto novo é lido, é necessário trocar os pontos considerados na derivação. As subrotinas reglinear e roteixos são responsáveis pelos cálculos da regressão linear e rotação de eixos respectivamente. Na verdade, a subrotina reglinear deve sempre ser chamada antes da subrotina roteixos, pois uma depende dos dados da outra.

5. Principais resultados

Analisaremos a seguir os principais resultados considerando-se o exposto nas duas últimas seções. Primeiramente, precisamos determinar o valor da constante de resistência do ar b que desempenhará um papel fundamental em nossos cálculos. Para tanto, confeccionamos um grafico mono-log com as medidas da amplitude em função do tempo, sem haver escoamento, como mostra a Fig. 5. Para todas as medidas realizadas, a massa inicial sem escoamento foi de m₀ = 0.264 kg. Isso não significa que essa será a massa em t = 0, pois como foi dito anteriormente, há uma imprecisão no início da medida que leva a uma pequena perda de massa. Mas, nesse caso, como não há escoamento, a massa se mantém fixa desde o início.

Essa situação é prevista na análise teórica, pois basta tomarmos o limite c → 0 na Eq. (12). Com a ajuda da relação de Euler, é fácil ver que

que é a função ajustada na figura. Dessa forma, b/2m₀ vale 0.0274 s^-1 o que implica um valor de b = 0.0145 kg/s. Podemos então passar para as medidas com escoamento. A Fig. 6 mostra as medidas da posição em função do tempo para os dois tipos de orifício com oscilação. Note os valores diferentes para y_p(0). Esses valores são importantes, pois uma vez que se tenham os valores de h, δ, c, g, k e b pode-se calcular m₀ através da Eq. (9). A relação para y_p (t) é determinada através da regressão linear dos dados obtidos.

Uma vez que tenhamos obtido os dados, devemos utilizar o programa disponível no ^Apêndice para sua análise. Após uma rotação de eixos com base na expressão para y_p(t), o programa gera como uma primeira saida a variação da amplitude em função do tempo. Esses dados são plotados na Fig. 7. Com o auxílio da forma funcional prevista na análise teórica através da Eq. (12), podemos ver a curva que melhor se ajusta aos dados experimentais. Consequentemente, utilizando-se os valores já determinados anteiormente de c, b e m₀, a amplitude inicial para cada tamanho de orifício é determinada pelo ajuste.

Na Fig. 8 plotamos o período ao quadrado das oscilações em função do tempo para testarmos as aproximações do modelo teórico. Se considerarmos como período a quantidade de tempo necessária para que h₀(t) = 2π então poderemos escrever

que elevando-se ao quadrado e com o auxílio da Eq. (19) e da desigualdade (17) é fácil verificar que

As retas ajustadas na Fig. 8 são tais que e . Ao passo que se calcularmos as inclinações das retas pela equação acima chegaremos aos mesmos valores de forma aproximada, demonstrando uma boa concordância entre o modelo teórico e as medidas experimentais.

Finalmente, plotamos os dados experimentais rotacionados pelo programa e o ajuste do modelo teórico na Fig. 9 tanto para o escoamento com o furo menor quanto para o escoamento com furo maior. Para o a juste dessas curvas é essencial que se determine a massa m0 no instante do início da observação, pois, do contrário, a curva de ajuste irá se atrasar ou adiantar-se em relação aos dados experimentais. Plotamos também a amplitude em função do tempo dada pela Eq. (12). Podemos ver claramente que a previsão teórica se ajusta bem aos dados experimentais, tornando o modelo que leva em conta os efeitos da perda de massa e da perda de energia pela resistência do ar um bom ponto de partida para o estudo de tais sistemas.

6. Conclusão

Nesse trabalho realizamos várias medidas experimentais a fim de se confirmar várias previsões teóricas e experimentais disponíveis na literatura [4,5]. Para tanto, utilizamos sensores de força e de posição fornecidos pela CIDEPE.

Para o escoamento granular utilizamos a fórmula empírica de Yersel [5] para orifícios circulares. Medindo-se a taxa de escoamento para dois orifícios com diâmetros diferentes com o sensor de forca, fomos capazes de confirmar a previsão de Yersel. Embora correta, esta não se aplica ao caso de um escoamento dinâmico que, como vimos, deve ser determinada levando-se em conta outras constantes físicas como a constante da gravidade g e a constante da mola k.

Passamos então às medidas de posicão para o oscilador com massa variável. Primeiramente, medimos a posição em função do tempo para a garrafa partindo do repouso no ponto de equilíbrio inicial a fim de se determinar as taxas de escoamento dinâmicas. Vimos que estas são necessariamente menores do que as medidas pelo sensor de força devido ao fato de haver uma certa acomodação da areia na garrafa.

Finalmente, partindo-se do repouso e de uma posição inicial fora do equilíbrio inicial, medimos as oscilações do oscilador com a massa variável. A análise desses dados se deu por conta do programa disponível no ^Apêndice que permitiu fazermos uma regressão linear e rotacionarmos os dados obtidos para que se sobressaissem apenas as oscilações. Seguimos, então, a descrição teórica exposta na Análise Teórica, na qual tem como ponto de partida a segunda lei de Newton para descrever o movimento da garrafa. Vimos que dois tipos de movimento estão presentes: o movimento de translação do ponto de equilíbrio e o movimento puramente oscilatório, constituindo um movimento composto por dois modos normais. Nesse ponto, utilizamos a descrição analítica de Flores e cols. [4] para as oscilações em um sistema com massa variável. Encontramos uma boa concordância entre o modelo proposto pelos autores e nossos dados experimentais analisados pelo programa, para ambos escoamentos com furo menor e com furo maior.

Podemos então concluir que o oscilador com massa variável é um bom sistema para se trabalhar as equações de Newton em sua plenitude. Variando-se o parâmetro que confere inércia ao sistema, conseguimos explicar os dados experimentais a partir de um modelo teórico que leva em conta tanto a variação de energia devido ao arraste quanto devido à perda de massa.

Agradecimentos

Gostaríamos de agradecer o empenho e a presteza dos técnicos de laboratorio Gilmar da Silva Neto e Anivaldo Ferreira de Rezende do curso de Física do campus Catalão da Universidade Federal de Goiás.

Recebido em 24/1/2011

Aceito em 22/6/2011

Publicado em 29/11/2011

6.1. O programa

• [1] B.E. Palladino e P. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 21, 490 (1999).
• [2] Claudio Ichiba, Rogerio Ichiba e Jose Noboru Maki, Revista Brasileira de Ensino de Física 21, 512 (1999).
• [3] A.C. Bertuola, M.S. Hussein e M.P. Pato, Revista Brasileira de Ensino de Física 27, 327 (2005).
• [4] J. Flores, G. Solovey e S. Gil, Am. J. Phys. 71, 721 (2003).
• [5] Metin Yersel, Phys. Teach. 38, 290 (2000).
• [6] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentals of Physics (John Wiley and Sons, Nova York, 2010), 8Ş ed.
• [7] Para uma melhor discussaõo sobre esse problema veja A. Sommerfeld, Lectures on Theoretical Physics (Academic, Nova York, 1964), 2Ş ed., v. I, cap. I.

Apêndice A

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  02 Mar 2012
• Data do Fascículo
  Dez 2011

Histórico

• Aceito
  22 Jun 2011
• Recebido
  24 Jan 2011