Revendo o debate sobre a idade da Terra

Revisiting the debate on the age of the Earth

HISTÓRIA DA FÍSICA E CIÊNCIAS AFINS

Revendo o debate sobre a idade da Terra

Revisiting the debate on the age of the Earth

A.C. Tort^I,1; F. Nogarol^II

^IInstituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brazil

^IICentro Federal de Educação Tecnológica, Nova Iguaçú, RJ, Brazil

RESUMO

A determinação da idade da Terra desperta até hoje discussões calorosas envolvendo diversos grupos sociais da sociedade moderna. Nesse artigo revemos alguns aspectos da história da determinação da idade da Terra na Era Vitoriana por sua importância e repercussão que se faz sentir mesmo nos dias atuais. Revisamos o cálculo de Helmholtz para determinar a idade do Sol, que é parte essencial da questão, e a solução detalhada apresentada por William Thomson (Lord Kelvin) para a solução do problema sobre a idade da Terra. A natureza claramente interdisciplinar da questão faz com que esta possa ser discutida de vários modos nos cursos universitários e de Ensino Médio.

Palavras-chave: história da ciência, idade da terra, condução de calor, geofísica.

ABSTRACT

Though for physicists and scientists in general the determination of the age of the Earth is an almost closed case, the same is not true for some socially influential groups that act in our modern society. In the present work we review some aspects of the history of the determination of the age of the Earth in the Victorian Era due to its importance and repercussion that can still be felt even today. We review the pioneering calculation due to Helmholtz concerning tha age of the Sun that plays an essential role in the problem and the also the solution due to William Thomson (Lord Kelvin) for the age of the Earth.

Keywords: history of science, age of the Earth, heat conduction.

1. Introdução

Qual é a idade da Terra? Uma das polêmicas científicas mais fascinantes da ciência vitoriana foi o debate sobre a idade da Terra que, inicialmente, envolve quase que exclusivamente cientistas britânicos. As razões para isto não são muito claras, mas pode-se pensar que a topografia peculiar das Ilhas Britânicas tenha tornado a geologia de campo o passatempo favorito de cientistas profissionais e amadores. No continente europeu, os geólogos, amadores ou não, estavam mais interessados no desenvolvimento da mineralogia, cristalografia, estratigrafia e paleontologia. A controversia teve consequências profundas sobre o desenvolvimento das ciências da Terra. O problema da determinação da idade da Terra contrapõe o físico, engenheiro e inventor escocês William Thomson (1824-1907), posteriormente Lorde Kelvin de Larg, ou simplesmente Kelvin, um dos maiores cientistas da Era Vitoriana, a uma corrente de pensamento geológico conhecida como uniformitarismo cujos princípios foram estabelcidos por outro importante cientista britânico, Charles Lyell (1797-1875) em seu influente livro Principles of Geology, publicado em 1830, e por Charles Darwin (1809-1882) e a teoria da evolução exposta na Origem das Espécies, publicada pela primeira vez em 1859 (Fig. 1).

A questão da duração da Terra, na verdade, a existência do mundo, foi considerada pelas sociedades antigas, a civilização babilônica, sumeriana, egípcia e, naturalmente, pela civilização grega clássica, mas não se percebe nessas sociedades esforços para efetivamente contar o tempo decorrido desde a criação do mundo. Para os gregos, por exemplo, o mundo é cíclico e contar o tempo transcorrido desde a sua criação não fazia sentido. A questão da contagem do tempo decorrido desde a criação foi considerada pelo povo judeu e introduzida no Ocidente somente com o advento do Cristianismo [1, 2]. As primeiras cronologias são fundamentadas nos textos bíblicos e se devem a Teófilo de Antióquia (c.115-c.183), a Júlio Africano (fl.200-fl.250) e a Eusébio da Cesárea (c.260-c.340). A mais influente entre elas é a de Júlio Africano que supõe a história do homem compactada em uma única semana com cada dia tendo uma duração de mil anos. Mas Júlio acreditava que Cristo havia surgido no sexto dia, e estabeleceu a duração da Terra (i.e.: do mundo!) em 5.500 anos, valor próximo aos obtidos por Teófilio e Eusébio. Um exemplo detalhado deste tipo de cálculo pode ser encontrado na Ref. [3]. Para os cristãos da Idade Média, os textos bíblicos eram passíveis de interpretação e não deviam ser tomados literalmente, mas sim como alegorias. A interpretação era privilégio dos estudiosos e teólogos da igreja medieval. A Reforma Protestante trás a volta da interpretação literal. As novas cronologias, a de Martinho Lutero (1483-1546) e a de James Ussher (1581-1656) estabelecem as datas da criação: 4000 a.C. e 4004. a.C., respectivamente. Em 1644, John Lightfoot, vice-chanceler da Universidade de Cambridge, após uma leitura cuidadosa das escrituras e antecipando-se à cronologia de Ussher, que foi publicada seis anos mais tarde em1650, conclui que a Terra foi criada em 3929 a. C. Em razão de uma confusão histórica provocada por uma citação errônea, a cronologia de Lightfoot é confundida com a cronologia de Ussher e alguns estudiosos a denominam Cronologia de Ussher-Lightfoot. A famosa citação: "de acordo com o calendário juliano, a Terra foi criada no dia 23 de outubro de 4004 a.C., ás nove horas da manhã na Mesopotâmia" [2,4] est´ a associada com essa cronologia.

As cronologias baseadas nos textos bíblicos predominaram até o advento do Iluminismo. Com este aparecem as primeiras tentativas de determinar a idade da Terra com o emprego de métodos científicos. Em 1779, Georges-Louis Leclerc (1707-1788), Conde de Bufeon, tentou determinar experimentalmente a idade da Terra. Como estava familiarizado com grande parte das evidências geológicas disponíveis, Bufeon suspeitava que a Terra era bastante antiga. Familiarizado também com os escritos de Newton sobre o arrefecimento dos cometas depois da passagem destes pelas proximidades do Sol, Bufeon perguntou-se em quanto tempo uma esfera de material derretido do tamanho da esfera da Terra esfriaria até atingir uma temperatura em que a vida pudesse ser sustentada. Para responder a esta pergunta, Bufeon efetua experimentos com um grupo de esferas de diferentes tamanhos e materiais. Aquecendo as esferas ao rubro, permitia esfriassem e media o tempo de resfriamento. Bufon então usou as taxas de resfriamento das esferas de seu experimento para determinar o tempo que um modelo da Terra levaria para resfriar de um estado primordial incandescente até atingir a temperatura ambiente. Seu resultado: aproximadamente 75 mil anos para que o processo de resfriamento ficasse completo. O processo experimental empregado por Bufeon prenuncia a abordagem teórica de Kelvin, um século depois. Mas o golpe mais severo nas cronologias baseadas nos textos bíblicos veio nos séculos 18 e 19 com o estudo intenso dos registros fósseis. Grandes durações temporais eram necessárias para explicar a riqueza da fauna e da flora encontradas nesses registros.

E o começo da era do tempo ilimitado que tanto desagradava Kelvin, que nele via uma grosseira violação das leis da então nova ciência da termodinâmica. Para os eminentes cientistas franceses Georges Cuvier (17691832) e Jean-Baptiste Lamarck (1744-1829), e outros, os registros fósseis em estratos sucessivos, cada um com sua própria fauna e flora, exigiam durações temporais muito maiores do que as exigidas pelos textos bíblicos. James Hutton (1726-1797), escocês, médico, fazendeiro e geólogo amador, depois de explorar durante anos as formações geológicas da Escócia e da Inglaterra, conclui que exceto pela criação, os relatos bíblicos não fazem parte da história natural da Terra. Em um trabalho publicado em 1788, The Theory of Earth, Hutton argumenta que as forças da natureza, a água e o fogo, principalmente o fogo,²atuando lentamente, mas durante um tempo indefinido, são suficientes para explicar a acidentada geografia física da Terra. Para Hutton, mais preocupado com as forças da natureza do que com o decurso do tempo, não havia "nenhum vestígio de um começo, nenhuma perspectiva de um final". Hutton não advogava uma duração infinita, mas sim uma duração tão grande que era melhor qualificá-la como indefinida.

Em 1830, Charles Lyell (1797-1875) publica o primeiro volume da sua influente obra Principles of Geology onde adotando os pontos de vista de Hutton sobre a questão, expõe os principios que norteavam a formação da crosta terrestre. Opondo-se aos catastrofistas que preconizavam forças naturais de grande intensidade atuando durante breves intervalos de tempo para explicar a formação da geografia física da Terra, Lyell, como Hutton o fizera anteriormente, afirma que, exceto por ações localizadas e eventuais, a superfície da Terra está em equilíbrio dinâmico, sujeita à ação de forças naturais, água, fogo, vento, que atuam ao longo de durações temporais tão grandes que é melhor considerá-las como indefinidas ou de magnitude inimaginável a mente humana. O trabalho de Lyell, o segundo volume foi publicado em 1833 e a obra completa teve doze edições, é a grande referência da escola de pensamento geológico que tornou-se dominante na ciência britânica do período: o uniformitarismo. Enquanto isto, a teoria de evolução de Darwin exigia grandes durações temporais para que as espécies pudessem evoluir e alcançar as formas que observamos hoje. Darwin, na primeira edição de seu livro faz um cálculo simples e chega àconclusão que foram necessários 300 milhões de anos para a formação do Weald,³ um vale escavado pela ação da erosão situado no sul da Inglaterra. E contra essas durações imensuráveis dos uniformitaristas e a visão darwiniana da evolução biológica que Kelvin decide contrapor-se. Kelvin, ele próprio um amante da geologia (entre os seus muitos outros interesses), via no pensamento uniformitarista uma grosseira violação das leis da termodinâmica que ele contribuíra para estabelecer, pois em seu entendimento as perdas de energia levariam a uma diminuição da atividade natural da Terra e o calor perdido nesta atividade seria irrecuperável. No darwinismo, Kelvin via uma falta de explicação para a origem da vida,⁴ a exigência de durações temporais enormes e a aleatoriedade que acarretava em uma ausência de propósito divino que, como homem medianamente religioso, mas leitor e admirador de William Paley (1743-1805),⁵ abominava. É contra esse pano de fundo que devemos entender a participação e a enorme influência que Kelvin teve sobre a questão da idade da Terra e o posterior desenvolvimento das ciências da Terra.

2. Kelvin e a idade do Sol

Antes de voltar sua atenção para o problema da idade da Terra, Kelvin interessou-se pela origem do calor irradiado pelo Sol. Kelvin havia aplicado a teoria da condução do calor de Fourier [10] a um sol modelado por uma esfera sólida em processo de resfriamento e concluíra que deste modo não haveria energia suficiente para manter a sua temperatura superficial por muito tempo. Convencido também de que a energia solar não poderia ser de origem química, Kelvin adota a proposta de John J. Waterson (1811-1883) e James P. Joule (1818-1889) que consistia em atribuir a origem do calor do Sol ao impacto de meteoros. Kelvin refinou a idéia em mais de uma ocasião. No entanto, a constatação de que o aumento da massa do Sol em razão dos impactos levaria em um intervalo de tempo de 6 000 anos a uma variação não observada do período orbital da Terra de um mês e meio, aproximadamente, levou-o a abandonar a hipótese meteórica. Em 1862, em um artigo publicado em uma revista popular, Kelvin expõe a sua última e mais elaborada versão sobre a origem do calor solar [7]. Nela, a teoria meteórica inicial de Kelvin é substituída pela teoria de Helmholtz da contração gravitacional. Nas palavras de Kelvin [7]:

A forma de teoria meteórica que agora parece ser a mais provável e que foi discutida pela primeira vez com base nos princípios termodinâmicos verdadeiros por Helmholtz, consiste em supor que o Sol e o calor solar originaram-se de uma coalizão de corpos menores caindo conjuntamente em razão da sua atração gravitacional mútua, e gerando, como deve ser em concordância com a lei maior demonstrada por Joule, um equivalente exato em calor ao movimento perdido na colisão.

Em 1856, o renomado físico alemão Hermann von Helmholtz (1821-1894) propusera um modelo simples para a formação do Sol cujo ingrediente principal era a contração gravitacional de uma nuvem de matéria gasosa em razão da atração gravitacional de uma protomassa inicial esférica e uniforme [6]. Como a protomassa era formada em primeiro lugar não estava em questão, mas podemos pensar em algum tipo de instabilidade de uma nuvem muito rarefeita de matéria. O resultado obtido por Helmholtz para a energia gravitacional do Sol, W, em valor absoluto é

onde M⊙ e R⊙ são a massa e o raio do Sol, respectivamente. Substituindo os valores aproximados R⊙ ≈ 7 × 108 m, M⊙ ≈ 2 × 10³⁰ kg, obtemos

Uma estimativa da idade do Sol pode ser obtida se dividirmos este valor pelo valor atual da energia solar irradiada: P⊙ ≈ 3.6×10²⁶J/s. O resultado é de aproximadamente 20 milhões de anos. O modelo de Helmholtz para a contração gravitacional do Sol é discutido em detalhe em [8]

Adotando a idéia de Helmholtz, mas levando em conta alguns aspectos que não estavam presentes no modelo original do físico alemão, como por exemplo, uma densidade de massa esfericamente simétrica, mas dependente da distância radial ao centro do Sol, Kelvin conclui que [7]: "O Sol não iluminou a Terra por 100 000 000 de anos, e quase certamente não o fez por 500 000 000 de anos". Kelvin então volta-se para a determinação da idade da Terra.

3. Kelvin e a idade da Terra

Para melhor entender o modelo empregado por Kelvin façamos novamente a pergunta: qual é a idade da Terra? Para Kelvin, responder a esta pergunta era determinar a partir das leis físicas, as leis da termodinâmica e da condução do calor de Fourier [10], qual a duração geológica terrestre definida como a duração a partir da formação de uma crosta rígida. No modelo de Kelvin, a fonte primária do calor produzido pela Terra se deve à energia gravitacional, ou por impacto de meteoros sobre um núcleo frio ou por colisão entre duas massas aproximadamente iguais. O mecanismo específico não é relevante para a determinação da idade geológica da Terra. O importante é que o resultado final seja uma esfera de matéria em estado de fusão. Mas, no modelo de Kelvin, o ponto de partida é uma esfera de rocha recém solidificada com temperatura uniforme, envolta por uma crosta fina de espessura muito menor do que o raio da Terra. Como então a Terra tería passado do estado primordial de matéria derretida para o de uma esfera sólida com temperatura inicial T0 uniforme? Kelvin propõe três mecanismos distintos para que a Terra possa atingir este estágio [1, 9]. No primeiro, a rocha expande-se após solidificar-se formando uma crosta envolvendo o interior da Terra ainda em estado de fusão. No entanto, um interior líquido era incompatível com as evidências físicas e astronômicas da rigidez da Terra. No segundo, levando em conta que a rocha sólida é mais densa do que a rocha derretida, pedaços de rocha próximos à superfície ao solidificaremse mergulham em direção ao centro da Terra criando um núcleo sólido com uma estrutura intersticial preenchida com matéria derretida, mas capaz de suportar a crosta. O terceiro é o seu preferido: a matéria rochosa em estado de fusão ao esfriar-se próximo à superfície afunda em direção ao centro criando correntes de convecção que terminam por termalizar todo o globo até que este atinge uma temperatura uniforme T₀ e a solidificação começa. A Terra solidifica-se do centro para a superfície e na época em que a crosta se forma, a Terra já é uma esfera sólida com temperatura uniforme em todos os pontos do seu interior. Mas esta Terra sólida perde calor, pois em todos os sítios em que foi possível fazer medições, por exemplo nas minas, constatou-se um aumento da temperatura á medida em que a profundidade a partir da superfície aumentava, enquanto que a temperatura média na superfície terrestre não se altera significativamente. No interior da Terra sólida agora o único mecanismo de propagação para o calor é o da condução. Uma vez que a camada superior da Terra não se torna mais quente de ano para ano, deve haver uma perda secular de calor por parte da Terra. Os parâmetros físicos que Kelvin necesitava eram: (a) o gradiente de temperatura na superfície da Terra; (b) o calor específico e, (c) o coeficiente de condução térmica da crosta terrestre. Como o processo de resfriamento por condução ocorre principalmente nas camadas superficiais, isto é, na crosta terrestre, pode-se considerar o problema como unidimensional.

Kelvin dominava com maestria a teoria do calor de Fourier⁶[10] e a aplicou ao problema. Para entender a abordagem matemática de Kelvin (em notação atual) começemos por escrever a equação unidimensional do calor que governa a dinâmica da difusão de um campo de temperaturas

onde, no caso, x é coordenada associada com a profundidade da Terra, Fig. 2, e D é o coeficiente de difusão térmica do meio que se supõe ser uniforme. A função T (x, t) nos diz como a temperatura está espacialmente distribuída em um dado instante de tempo t. A Eq. (3) pode ser obtida a partir da lei da condução do calor de Fourier [10]. Como é bem conhecido, uma equação diferencial por si só não define completamente um problema de física-matemática. E necessário especificar as condições de contorno e as condições iniciais impostas à solução do problema que queremos estudar. O problema de Kelvin é definido pela Eq. (3) conjuntamente com as condições de contorno

e a distribuição inicial de temperatura

A solução do problema de Kelvin é dada por

onde o símbolo erf indica a função erro. Uma descrição detalhada da obtenção desta solução é dada no ^{Apêndice 1} anexo. A Eq. (6) é a solução em notação moderna do modelo de Kelvin para o resfriamento da Terra a partir de uma temperatura inicial T₀. A partir dessa solução podemos calcular o gradiente de temperatura na superfície da Terra e inserir os dados experimentais. De fato, o gradiente da Eq. (6) também pode ser calculado com a fórmula de Leibniz para a derivada de uma integral, veja o ^{Apêndice 2} anexo, e o resultado é

Em x = 0, o gradiente se lê

Identificando nessa fórmula t com a idade da Terra, t → t_Terra, temos:

Os dados que Kelvin utilizou eram: D = 1; 2 × 10^-6 m²/s = 400 pés²/ano, G(0; t_Terra) = 0; 037 ºC/m = 37 ºC/km = º F/pé. Com estes dados, se T₀ = 5538 ºC = 10 000 ºF, então t_Terra = 200 milhões de anos, e se T₀ = 3871 ºC = 7000 ºF, segue que t_Terra = 97 milhões de anos.

Para visualizar melhor a solução de Kelvin definimos o comprimento de penetração λ_P para t = t_Terra, como o valor de x tal que quando x = λ_P, o gradiente vale 1/e do valor do gradiente na superfície x = 0. Neste caso, da Eq. (7), vemos que

Na Fig. 3 mostra-se os gráficos das razões T(x; t_Terra)=T₀, e G(x; t_Terra)/G(0; t_Terra) como funçõoes da variáavel adimensional u = x/λ_P. Observe que a temperatura tende rapidamente para a temperatura inicial T₀ no intervalo 1 < u < 2, enquanto que, no mesmo intervalo, o gradiente de temperatura tende a zero. Portanto, no modelo de Kelvin, o processo de esfriamento acontece principalmente próximo á superfície. Tenha-se em mente que o raio da Terra é da ordem de 103 km e o comprimento de penetração é da ordem de 102 km. Por exemplo, para t_Terra = 97 milhões de anos e D = 1; 2 × 10-6 m2=s, temos λ_P ≈ 120 km, como o raio da Terra vale aproximadamente 6; 4 × 103 km, vemos que este último é 53 vezes maior do que o comprimento de penetração.

Este é o cálculo que sustenta o forte ataque que Kelvin lança contra os uniformitaristas. Em 1868, em um encontro da Geological Society de Glasgow, Kelvin afirma:

Uma grande reforma na especulação geológica parece agora ter-se tornada necessária.

Um ano mais tarde, em 1869, Thomas H. Huxley (18251895), darwinista convicto e presidente da Geological Society de Londres responde ao ataque, mas contra a matemática de Kelvin não tem condições de apresentar argumentos convincentes. Aos poucos, o resultado de Kelvin impõe-se entre os geólogos que só manifestam- se contrariados quando revisões posteriores do resultado reduziram mais ainda a idade da Terra.

4. A crítica de John Perry

A autoridade científica de Kelvin era enorme e o desconhecimento de métodos matemáticos avançados por parte dos geólogos e evolucionistas também. Consequentemente, esses últimos ficaram sem argumentos quantitativos para fazer frente à abordagem de Kelvin, embora pudessem apresentar argumentos qualitativos em contrario. Mas, em 1895, três anos após sua publicação, os resultados de Kelvin receberam a primeira crítica quantitativa séria. Eles foram criticados por seu antigo assistente e aluno, John Perry (18501920), Fig. 4, que chamou a atenção para o fato de que o único ponto fraco no cálculo Kelvin era seu modelo da Terra [11-13, 15].

Tenho dito repetidamente que é inútil esperar que Lord Kelvin tenha cometido um erro de cálculo [....] Mas as maiores autoridades da geologia e da paleontologia estão satisfeitas com as evidências apresentadas por suas respectivas ciências que indicam uma idade muito maior do que os 100 milhões de anos de Lord Kelvin, e se elas estiverem corretas, deve haver algo errado com as condições de Lord Kelvin.

Ou seja, Perry não questiona os métodos de Kelvin fundamentados na teoria do calor de Fourier, mas sim os parâmetros e o modelo da Terra empregados por este. Perry propõe então que examinemos os efeitos nos resultados finais de uma fina camada esférica envolvendo a Terra constituída por um material distinto da esfera semi-sólida do modelo de Kelvin. Refazendo o cálculo de Kelvin fazendo uso dos mesmos métodos, isto é, da teoria do calor de Fourier, Perry obtém a seguinte relação entre a idade da Terra calculada por ele,

, e a idade da Terra calculada por Kelvin

onde D_camada e D_esfera são, respectivamente, as constantes de difusão da camada externa e da esfera interior. Se, por exemplo, considerarmos a camada externa feita de óxidos de silíıcio, Dcamada ≈ 8; 3 × 10-7 m2/s, e a esfera interior feita de quartzo, D_camada ≈ 1; 4×10-6 m2/s, teríamos

Dependendo da estimativa da temperatura inicial, a idade da Terra estaria entre 300 e 600 milhões de anos. Circunstancionalmente, a Terra poderia ser ainda mais antiga. As observações de Perry a respeito da abordagem de Kelvin ao problema da idade da Terra foram corroboradas por outro grande cientista vitoriano, Oliver Heaviside (1850-1925) [14]. O grande mérito do cálculo de Perry foi mostrar como o resultado final depende do modelo que se faz da Terra, e poderíamos pensar que houvesse dado um novo alento aos partidários das grandes durações temporais. Infelizmente, a repercussão da crítica de Perry não foi a esperada. Para uma análise mais detalhada da contribuição de Perry ao debate veja a Ref. [15].

5. Observações finais

A questão da idade da Terra foi resolvida somente após a descoberta da radioatividade e dos métodos de datação radiométrica, A Terra tem aproximadamente 4,5 bilhões de anos, valor que também não foi obtido sem uma grande controvérsia que por si só merece a nossa atenção, mas que foge aos nossos objetivos presentes. As nossas idéias sobre a estrutura interna do nosso planeta avançaram muito graças aos trabalhos conjuntos de físicos e geólogos e ás técnicas sismográficas e de prospecção modernas. Grosso modo, sabemos hoje que a Terra possui um núcleo interno sólido de ferro e níquel, um núcleo externo líquido, também de ferro e níquel, duas camadas intermedárias, o manto inferior e o manto superior, onde encontramos, silício, manganês, ferro, alumínio, cálcio, sódio e potássio, que combinados com o oxigênio formam diversos tipos de óxidos, e uma fina crosta cuja espessura varia entre 5 e 70 quilômetros, aproximadamente. É na crosta e no manto que se concentram os elementos radioativos responsáveis pela maior parte do calor da Terra.

Que se pode dizer hoje em dia a respeito do papel desempenhado por Kelvin nessa grande controvérsia? Podemos afirmar com segurança que a grande contribuição de Kelvin foi estabelecer limites físicos sobre as exigências temporais de geológos e evolucionistas. As restrições que Kelvin impôs ás durações temporais, a última restringia a idade da Terra a apenas 20 milhões de anos, eram consequência de melhores resultados experimentais para os parâmetros do modelo e, naturalmente, do seu desconhecimento à época das fontes adicionais de calor que o decaimento radioativo engendra. Entretanto, sua atitude sobranceira em relação ás críticas ao seu cálculo provocou ressentimentos que ainda hoje não foram esquecidos. Mesmo com a descoberta da radioatividade (que por si só não invalida a abordagem de Kelvin), Kelvin nunca admitiu publicamente a possibilidade de seus cálculos estarem superados, embora admitisse isto em privado, e tenha afirmado na época da publicação dos seus cálculos que estes eram válidos desde que novas fontes de calor não fossem descobertas.

A questão da idade da Terra é claramente uma questão interdisciplinar envolvendo a física, a geologia e a biologia, e como tal é uma excelente oportunidade pedagógica. Com a omissão dos aspectos técnicos mais difíceis, a questão em si pode ser discutida no ensino médio como, por exemplo, o faz Stinner na Ref. [17], e como propõe que se faça em nosso país com as adaptações necessárias um dos autores do presente trabalho [18]. A questão da idade da Terra é também claramente uma questão social e ideológica e remete ao problema do papel do cientista na sociedade e sua influência na formação do público leigo. Este importante aspecto do problema permite o emprego da dramatização como instrumento pedagógico como exposto, no caso do ensino de física, na Ref. [19]. No caso da idade da Terra, o debate foi dramatizado por Stinner e Teichmann na Ref. [20]. Evidentemente, n&accedil;o é factível, ou mesmo desejável, desenvolver um curso de física no ensino médio fundamentado apenas em tópicos similares ao que expusemos aqui, isto é, com fortes aspectos interdisciplinares e implicações sociais, mas podemos pensar em desenvovê-los na forma de atividades complementares aos tópicos tradicionais e/ou palestras. Temas deste tipo são ideais para fazer com que estudantes e professores reflitam o importante papel que as ciências desempenham na construção da sociedade moderna.

A questão da idade da Terra é um tema fascinante e o presente trabalho naturalmente serve apenas como uma introdução ao tema. A literatura pertinente é extensa e nossa bibliografia é representativa, não exaustiva. O livro de Burchfield [1] é uma excelente introdução ao assunto. Uma introdução curta, mas esclarecedora é o artigo de Badash [2]. Os aspectos técnicos e mais modernos da questão como por exemplo, os métodos de datação por decaimento radioativo são discutidos por Dalrymple [4]. Finalmente, uma biografia de William Thomson, Lord Kelvin, escrita para o público em geral é a de Lindley [5].

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Prof. Dr. M.V. Cougo-Pinto pela leitura atenta do manuscrito e por suas sugestões. Agradecem também aos árbitros cujas sugestões ajudaram a tornar o presente trabalho uma leitura mais agradável e concisa.

Recebido em 11/10/2011

Aceito em 19/3/2012

Publicado em 18/2/2013

Apêndice 1: a solução do problema de Kelvin

A solução da Eq. (3) pelo método da transformada de Fourier é dada por [21]

onde y é uma variável muda de integração e T (x, 0) é a distribuição inicial do campo de temperaturas. Em princípio, podemos inserir a Eq. (5) na Eq. (13) e escrever

Mas essa solução não satisfaz a condição de contorno T (0,t) = 0, embora satisfaça à condição T (x, t)= T₀ quando x → ∞. Para verificar isto fazemos a transformação de variáveis

Substituindo na Eq. (14) temos

Fazendo x = 0

Como esta a integral vale

, obtemos

Por outro lado, se fizermos x → ∞, temos

a integral vale e, neste caso, obtemos a condição de contorno correta no limite x → 0. É necessário construir uma solução que seja solução da equação unidimensional do calor e satisafaça ás condições impostas por Kelvin em seu modelo. Com esta finalidade em mente, observemos que, para x > 0, a Eq. (16) - ou a Eq. (14) - satisfaz á equação unidimensional do calor. De fato, escrevendo por conveniência T (x, t) = T ⁺(x, t) e fazendo uso da fórmula de Leibniz (veja o ^{Apêndice 2}) obtemos

Segue também derivando esta última equação em relação a x que

Substituindo na equação unidimensional do calor verificamos a identidade desejada. Considere agora x < 0 e a distribuição de temperatura inicial auxiliar

É fácil verificar que

é a solução da equação unidimensional do calor no eixo negativo. Para demonstrar que T^-(x; t) é a solução apropriada para x < 0 podemos proceder como antes. Definindo primeiramente a nova variável y = - , e dy = - , podemos escrever

Agora definimos

Segue então que

Usando a fórmula de Leibniz mais uma vez obtemos

Segue também derivando esta última equação em relação a x, que

Substituindo na equação unidimensional do calor obtemos novamente a identidade desejada. Portanto, T ⁺(x, t) e T ^-(x, t) são soluções válidas da equação do calor, e mais ainda, a combinação linear

satisfaz à equação unidimensional do calor e é a solução do problema de Kelvin, pois

como pode ser facilmente verificado e, no limite x → ∞, a solução T ^-(x, t) é nula e, como vimos antes, T ⁺(x, t)= T₀ . Portanto, a solução do problema de é dada explicitamente por

ou ainda (veja a Fig. 5)

Como o integrando é uma função par, obtemos finalmente a solução do problema de Kelvin, a Eq. (6).

Apêndice 2: a fórmula de Leibniz

O teorema ou fórmula de Leibniz para a diferenciação de uma integral se lê [22]

• [1] J.D. Burchfield, Lord Kelvin and the Age of the Earth ( Science History Publications, New York, 1975).
• [2] L. Badash, Sci. Am. (262),90(1989).
• [3] J. Repcheck, The Man Who Found Time: James Hutton and the Discovery of Earth's Antiquity (Basic Books, New York, 2003).
• [4] G.B. Dalrymple, The Age of the Earth (Stanford University Press, Stanford, 1994).
• [5] D. Lindley, Degrees Kelvin (Joseph Henry Press, Washington, 2004).
• [6] H. von Helmholtz, Philos. Mag. 11,489(1856).
• [7] W. Thomson (Lord Kelvin), Macmillan's Magazine 5,388(1862).
• [8] A.C. Tort e F. Nogarol, Eur. J. of Phys. 32,1679(2011).
• [9] W. Thomson, Trans. R. Soc. Edinburgh 23,157(1863).
• [10] J.B. Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur (Académie des Sciences, Paris, 1822).
• [11] J. Perry, Nature 51,224(1895).
• [12] J. Perry, Nature 51,341(1895).
• [13] J. Perry, Nature 51,582(1895).
• [14] O. Heaviside, Eletcromagnetic Theory, v. II (Cosimo Classics, New York, 2007). Ver o p. 5, em particular a seção 227.
• [15] P. England, P. Molnar and F. Richter, GSA Today 17,4(2007).
• [16] F.D. Stacey, J. GeoPhys. Research 105,13155(2000).
• [17] A. Stinner, Phys. Edu. 37 296 (2002).
• [18] F. Nogarol, O debate sobre a idade da Terra no Ensino Médio Tese de Mestrado em Ensino de Física, UFRJ.
• [19] R.L. Ponting, Phys. Teacher 16,482(1978).
• [20] A. Stinner and J. Teichmann, Sci. Educ. 12,213(2003).
• [21] E. Kreyszig, Advanced Engineering (John Wiley, New York, 1993), 7th ed.
• [22] M. Abramowitz and I. Stegun, editors, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1965).

Apêndice 1

Apêndice 2

2

Hutton era um

plutonista ou

vulcanista, como eram chamados os que defendiam a ação do fogo como principal agente transformador. Os que defendiam a ação da água como principal agente transformador eram chamados

netunistas.

3

Duramente criticado por Kelvin, Darwin retirou o cálculo a partir da terceira edição de

Origem.

4

Kelvin defendia a idéia de que a vida origina-se na Terra a partir de formas pré-existentes vindas do espaço a bordo de meteoros que atingiram a superfície da Terra [5].

5

William Paley, importante pensador cristão inglês, introduziu o argumento teleológico no seu livro

Natural Theology - or Evidences of the Existence and Attributes of the Deity Collected from the Appearances of Nature, como prova da existência de Deus. Na Era Vitoriana, sua influência intelectual era enorme.

6

A frase de seu amigo pessoal e colaborador P.G. Tait (1831-1901) nos diz tudo:

Fourier fez Kelvin! [5].

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  07 Maio 2013
• Data do Fascículo
  Mar 2013

Histórico

• Recebido
  11 Out 2011
• Aceito
  19 Mar 2012