Uma Extensão do Teorema de Perron-Frobenius

An extension of the Perron-Frobenius theorem

RESUMO

Partindo de um teorema bastante simples de Scheffold, um conjunto de condições suficientes é encontrado para que o sistema pAp=Bp tenha uma solução com p>1 e p>0, onde A e B são nxn matrizes positivas. É mostrado que tal sistema seria uma extensão do sistema pAp=Ip para o qual o teorema de Perron-Frobenius é válido.

PALAVRAS-CHAVE:
Análise sraffiana; sistema de produção

ABSTRACT

Starting from a rather simple theorem by Scheffold a set of sufficient conditions is found for the system pAp=Bp to have a solution with p>1 and p>0, where A and B are nxn positive matrices. It is shown that such a system would be an extension of the system pAp=Ip for which the Perron-Frobenius theorem holds.

KEYWORDS:
Sraffian analysis; production system

É bem sabido que para um sistema de produção simples, uma série de resultados interessantes pode ser obtida para o esquema de Sraffa, tais como: uma taxa de retomo positiva, preços positivos e uma relação inversa entre taxa de retomo e taxa salarial (vide Schefold pp. 141-2). No entanto, ao tentarmos aplicar o esquema para produção conjunta, tais resultados nem sempre podem ser observados.

O presente trabalho tem por objetivo estender os resultados de produção simples para o caso de produção conjunta, através de uma extensão do conhecido teorema de Perron-Frobenius para matrizes positivas {semi-positivas).

A estrutura do trabalho é bastante simples: partindo de um resultado de Schefold para produção conjunta, tenta-se ampliar o resultado original para aumentar sua abrangência. Schefold em um de seus trabalhos {Schefold pp. 144-5), ao analisar o problema da produção conjunta observou que se tivéssemos uma matriz A de insumos e uma matriz B de produtos, correspondente a n setores “produtivos”, “essenciais” e “separadamente produzíveis” (os conceitos de “essencialidade” e de “possibilidade de produção isolada” são de autoria de Schefold), então para esse esquema os resultados mais importantes de Sraffa seriam válidos. Em termos mais concretos, valendo-se dos conceitos de “essencialidade” e de “possibilidade de produção isolada”, Schefold demonstra que a matriz (B-A)^-1 de um tal sistema seria positiva. Sendo positiva, os resultados desejados seguiriam facilmente, como podemos ver a seguir.

Teorema (de Schefold):

Para um sistema produtivo tal que (B-A)^-1>0 existe uma taxa retorno positiva e para tal taxa existe um sistema de preços positivo. Além do mais, existe o sistema básico e, consequentemente, uma relação inversa entre a taxa de retorno e a taxa salarial.

Demonstração:

Seja (B-A)^-1>0, então, forçosamente (B-A)^-1A>0

portanto, consideremos M=(B-A)-1A onde M>0

e a solução do sistema pIp=Mp.

Sabemos pelo Teorema de Perron-Frobenius que para M>0 temos uma solução tal que:

$\rho >0$

e

$p>0.$

Portanto ρlp=(B-A)-1Ap tem solução com

$\rho >0$

e

$p>0$

ou seja ρ(B-A)p=Ap ou

$Bp=\left(\frac{1+\rho }{\rho }\right)Ap$

tem solução do tipo desejado. Façamos R=(1+ρ)/ρ. É claro que se ρ>0, R será maior que 1 e, consequentemente, existirá uma solução para o sistema tal que:

$p>0$

e

$R>1.$

É também fácil ver que para o mesmo ρ>0, existe um vetor q>0 tal que qB=RqA o que quer dizer que existe o sistema básico e, consequentemente, uma relação (linear) inversa entre a taxa salarial e a taxa de lucro.

Extensão do Resultado

Chamemos D=(B-A) tal que D^-1>0 e de D>0 de uma matriz de Schefold, então:

Teorema:

Seja uma matriz produtiva tal que

$D=\left[\begin{array}{cccc}+& -& \cdots & -\\ -& +& \cdots & -\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -& -& \cdots & +\end{array}\right]$

isto é, uma matriz para a qual todos os elementos da diagonal principal são positivos, enquanto os elementos restantes são negativos. D é uma matriz de Schefold, isto é, D^-1>0 e detD>0.

Demonstração:

Demonstraremos o resultado por indução para uma matriz D₄(4x4). A generalização para o caso nxn é imediata.

O caso de uma matriz 1x1 é óbvio.

Efetivamente seja D₁=[(b₁₁-a₁₁)] tal que o sistema seja produtivo. É óbvio que detD₁>0 e que D₁ ^-1>0.

Para o caso de uma matriz 2x2 teríamos:

$D_2=\left[\begin{array}{cc}\left(b_{11}-a_{11}\right)& \left(b_{12}-a_{12}\right)\\ \left(b_{21}-a_{21}\right)& \left(b_{22}-a_{22}\right)\end{array}\right]$

tal que (b₁₁-a₁₁) e (b₂₂-a₂₂) são positivos e,(b₁₂-a₁₂) e (b₂₁-a₂₁) são negativos, e

$\begin{array}{c}\left(b_{11}-a_{11}\right)+\left(b_{21}-a_{21}\right)\\ \left(b_{22}-a_{22}\right)+\left(b_{12}-a_{12}\right)\end{array}$

são positivos, já que o sistema é produtivo. A partir dessas condições, é fácil verificar que |D₂|=(b₁₁-a₁₁)(b₂₂-a₂₂)-(b₂₁-a₂₁)(b₁₂-a₁₂) é maior que zero, e que

$D_2^{-1}=\frac{1}{\left|D_2\right|}\left[\begin{array}{cc}\left(b_{22}-a_{22}\right)& -\left(b_{22}-a_{12}\right)\\ -\left(b_{21}-a_{21}\right)& \left(b_{11}-a_{11}\right)\end{array}\right]>0$

Para demonstrar a validade da proposição para o caso de uma matriz 4x4, admitamos que o teorema seja válido para o caso de uma matriz 3x3, e tentemos inicialmente mostrar que |D₄|>0.

Como

$D_4=\left[\begin{array}{cc}\left(b_{11}-a_{11}\right)& \left(b_{12}-a_{12}\right)\dots \left(b_{14}-a_{14}\right)\\ \left(b_{21}-a_{21}\right)& \\ \left(b_{31}-a_{31}\right)& etc.\\ \left(b_{41}-a_{41}\right)& \end{array}\right]\begin{array}{}\\ \\ \\ \end{array}$

onde

$\begin{array}{c}\left(b_{11}-a_{11}\right)>0\\ \left(b_{21}-a_{21}\right)<0\\ \left(b_{31}-a_{31}\right)<0\\ \left(b_{41}-a_{41}\right)<0\end{array}$

e (b₁₁-au)+(b₂₁-a₂₁)+(bs1-ae)+(bu-au)>0 já que o sistema é produtivo, é claro que

$\left(b_{11}-a_{11}\right)>\begin{array}{c}-\left(b_{21}-a_{21}\right)\\ -\left(b_{31}-a_{31}\right)\\ -\left(b_{41}-a_{41}\right)\end{array}$

isto é, o termo da diagonal principal é maior, em termos absolutos, que os outros termos da mesma coluna. Consequentemente vamos adicionar uma parcela da primeira linha à segunda linha, uma parcela da primeira linha à terceira linha e, finalmente, uma parcela da primeira linha à quarta linha, tal que

$\begin{array}{c}1>\theta ,\epsilon ,\sigma >0\\ \theta +\epsilon +\sigma <1\end{array}$

de forma a obtermos uma matriz do tipo

$\left[\begin{array}{cccc}\left(b_{11}-a_{11}\right)& \left(b_{12}-a_{12}\right)& \left(b_{13}-a_{13}\right)& \left(b_{14}-a_{14}\right)\\ 0& \left(b_{22}-a_{122}\right)+\theta \left(b_{12}-a_{12}\right)& \dots & \\ 0& \left(b_{22}-a_{122}\right)+\epsilon \left(b_{12}-a_{12}\right)& & \\ 0& \left(b_{22}-a_{122}\right)+\sigma \left(b_{12}-a_{12}\right)& & etc.\end{array}\right]$

cujo determinante terá forçosamente o mesmo valor (e sinal) que |D₄|.

Pode-se verificar que a submatriz 3x3, contida no canto de baixo (lado direito), da matriz transformada, isto é

$F=\left[\begin{array}{ccc}\left(b_{22}-a_{22}\right)+\theta \left(b_{12}-a_{12}\right)& \left(b_{23}-a_{23}\right)+\theta \left(b_{13}-a_{13}\right)& \left(b_{24}-a_{24}\right)+\theta \left(b_{14}-a_{14}\right)\\ \left(b_{32}-a_{32}\right)+\epsilon \left(b_{12}-a_{12}\right)& \left(b_{33}-a_{33}\right)+\epsilon \left(b_{13}-a_{13}\right)& \left(b_{34}-a_{34}\right)+\epsilon \left(b_{14}-a_{14}\right)\\ \left(b_{42}-a_{42}\right)+\sigma \left(b_{12}-a_{12}\right)& \left(b_{43}-a_{43}\right)+\sigma \left(b_{13}-a_{13}\right)& \left(b_{44}-a_{44}\right)+\sigma \left(b_{14}-a_{14}\right)\end{array}\right]$

é uma matriz produtiva visto que as colunas têm soma positiva, ex.:

$\left(b_{22}-a_{22}\right)+\theta \left(b_{12}-a_{12}\right)+\left(b_{32}-a_{32}\right)+\epsilon \left(b_{12}-a_{12}\right)+\left(b_{42}-a_{42}\right)+\sigma \left(b_{12}-a_{12}\right)>0$

com resultados semelhantes para as outras colunas, com a característica adicional de F ser do tipo

$F=\left[\begin{array}{ccc}+& -& -\\ -& +& -\\ -& -& +\end{array}\right]$

o que quer dizer que F^-1 tem todos seus elementos >0, e que |F|>0 mas como |D₄|=(b₁₁-a₁₁)|F| então |D₄|>0. Para demonstrar o valor positivo dos termos de $D_4^{-1}$, só temos que observar o sinal dos termos da matriz das menores de D₄, isto é, o sinal dos termos de

$\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_{11}& {\beta }_{12}& {\beta }_{13}& {\beta }_{14}\\ {\beta }_{21}& {\beta }_{22}& {\beta }_{23}& {\beta }_{24}\\ {\beta }_{31}& {\beta }_{32}& {\beta }_{33}& {\beta }_{34}\\ {\beta }_{41}& {\beta }_{42}& {\beta }_{43}& {\beta }_{44}\end{array}\right]$

onde

${\beta }_{11}=det\left[\begin{array}{ccc}\left(b_{22}-a_{22}\right)& \left(b_{23}-a_{23}\right)& \left(b_{24}-a_{24}\right)\\ \left(b_{32}-a_{32}\right)& \left(b_{33}-a_{33}\right)& \left(b_{34}-a_{34}\right)\\ \left(b_{42}-a_{42}\right)& \left(b_{43}-a_{43}\right)& \left(b_{44}-a_{44}\right)\end{array}\right]$

com definições semelhantes para os outros β

E evidente que β ₁₁>0, já que os termos da matriz que lhe dá origem são os termos de uma matriz 3x3 produtiva do tipo

$\left[\begin{array}{ccc}+& -& -\\ -& +& -\\ -& -& +\end{array}\right]$

e, consequentemente, seu determinante é positivo.

Com relação a

${\beta }_{12}=det\left[\begin{array}{ccc}\left(b_{21}-a_{21}\right)& \left(b_{23}-a_{23}\right)& \left(b_{24}-a_{24}\right)\\ \left(b_{31}-a_{31}\right)& \left(b_{33}-a_{33}\right)& \left(b_{34}-a_{34}\right)\\ \left(b_{41}-a_{41}\right)& \left(b_{43}-a_{43}\right)& \left(b_{44}-a_{44}\right)\end{array}\right]$

pode-se verificar que pela adição de parcelas positivas da última linha às outras duas linhas vamos obter um determinante de igual valor com a seguinte forma:

$\left[\begin{array}{ccc}\left(b_{21}-a_{21}\right)+\theta \left(b_{41}-a_{41}\right)& \left(b_{23}-a_{23}\right)+\theta \left(b_{43}-a_{43}\right)& 0\\ \left(b_{31}-a_{31}\right)+\epsilon \left(b_{41}-a_{41}\right)& \left(b_{33}-a_{33}\right)+\epsilon \left(b_{43}-a_{43}\right)& 0\\ \left(b_{41}-a_{41}\right)& \left(b_{43}-a_{43}\right)& \left(b_{44}-a_{44}\right)\end{array}\right]$

onde 0<θ, (<1 e 0<θ+(<1 e que é o determinante de uma matriz de termos com sinais

$\left[\begin{array}{ccc}-& -& 0\\ -& +& 0\\ -& -& +\end{array}\right]$

que, claramente, tem determinante com sinal negativo, isto é, β ₁₂<0. De forma semelhante, pode-se mostrar que

$\begin{array}{ccccc}{\beta }_{13}>0& {\beta }_{14}<0& {\beta }_{21}<0& {\beta }_{22}>0& etc.\end{array}$

Teorema:

Para as matrizes de Schefold, aplica-se o teorema de Schefold.

Demonstração: é óbvia.

Consideremos, agora, um sistema produtivo de 4 setores, para o qual a matriz (B-A) tem seus elementos da diagonal principal tal que

$\frac{b_{ii}}{a_{ii}}>1eondeT=min\left\{\frac{b_{ii}}{a_{ii}}\right\}$

e os outros elementos $0\le \frac{b_{ij}}{a_{ij}}<T$ para i≠j com pelo menos um elemento >1.

Observação:

Se todos os elementos $0\le \frac{b_{ij}}{a_{ij}}<T$ para i≠j fossem menores do que 1, estaríamos considerando uma matriz de Schefold, para a qual já vimos que existe uma solução.

Admitamos que $max\left\{\frac{b_{ij}}{a_{ij}}\right\}=V$ para i≠j. Consequentemente 1<V<T.

Peguemos um valor (1+s) um “pouco” superior a V mas tal que

V<(1+s)<T e (1+s)=V+µ. onde µ.>0 mas µ. tendendo a zero. Consideremos a matriz [B-(1+s)A]. Claramente

$\left[B-\left(1+s\right)A\right]=\left[\left(\frac{b_{11}}{a_{11}}-\left(1+s\right)\right)a_{11}\left(\frac{b_{12}}{a_{12}}-\left(1+s\right)\right)a_{12}\left(\frac{b_{13}}{a_{13}}-\left(1+s\right)\right)a_{13}\left(\frac{b_{14}}{a_{14}}-\left(1+s\right)\right)a_{14}\left(\frac{b_{21}}{a_{21}}-\left(1+s\right)\right)a_{21}\dots etc.\right]$

nesta matriz, por construção, todos os elementos da diagonal principal são positivos, enquanto todos os outros elementos são negativos. Admitamos que esta matriz seja produtiva. Então [B-(1+s)A] é uma matriz de Schefold, consequentemente aplica-se o teorema de Schefold. Portanto existe uma solução para o sistema

$Bp=\rho \left(1+s\right)Ap$

tal que ρ>1 e p>0, existindo também a mercadoria-padrão para tal sistema. É fácil perceber que a solução do sistema anterior, corresponde a encontrar um sistema de preços positivos, tal que as taxas de retorno dos 4 setores sejam positivas e iguais, isto é, corresponde a encontrar p>0 tal que:

$\begin{array}{c}\frac{{\displaystyle \sum _1^4}\left[b_{1i}-\left(1+s\right)a_{1i}\right]p_i}{{\displaystyle \sum _1^4}\left(1+s\right)a_{1i}{p}_i}={\rho }_1\\ \frac{{\displaystyle \sum _1^4\left[b_{2i}-\left(1+s\right)a_{2i}\right]p_i}}{{\displaystyle \sum _1^4\left(1+s\right)a_{2i}{p}_i}}={\rho }_2\\ \frac{{\displaystyle \sum _1^4\left[b_{3i}-\left(1+s\right)a_{3i}\right]p_i}}{{\displaystyle \sum _1^4\left(1+s\right)a_{3i}{p}_i}}={\rho }_3\\ \frac{{\displaystyle \sum _1^4\left[b_{4i}-\left(1+s\right)a_{4i}\right]p_i}}{{\displaystyle \sum _1^4\left(1+s\right)a_{4i}{p}_i}}={\rho }_4\end{array}$

e ρ₁=ρ₂=ρ₃=ρ₄=ρ>0

Claramente, de qualquer um dos setores pode-se obter

$\frac{{\displaystyle \sum _1^4\left[b_{1i}-\left(1+s\right)a_{1i}\right]p_i}}{{\displaystyle \sum _1^4{a}_{1i}{p}_i\left(1+s\right)}}=\rho \Rightarrow \frac{{\displaystyle \sum _1^4\left(b_{1i}-a_{1i}\right)p_i}}{{\displaystyle \sum _1^4{a}_{1i}{p}_i}}=\rho +S+\rho S$

o que demonstra que para o problema Bp=λAp existe uma solução tal que p>0 e λ=1+ρ+s+ρs>0. Observação: já que os preços são determinados de forma relativa, podemos fazer com que sua soma totalize 1, isto é, ΣPi=1. Também podemos ver que

$\rho =\frac{\left(b_{i1}-a_{i1}\right)p_1+\left(b_{i2}-a_{i2}\right)p_2+\left(b_{i3}+a_{i3}\right)p_3+\left(b_{i4}-a_{i4}\right)p_4}{a_{i1}{p}_1+a_{i2}{p}_2+a_{i3}{p}_3+a_{i4}{p}_4}=\frac{\left(\frac{b_{i1}}{a_{i1}}-1\right)a_{i1}{p}_1+\left(\frac{b_{i2}}{a_{i2}}-1\right)a_{i2}{p}_2+\dots }{a_{i1}{p}_1+a_{i2}{p}_2+\dots }=\left(\frac{b_{i1}}{a_{i1}}-1\right){\theta }_1+\left(\frac{b_{i2}}{a_{i2}}-1\right){\theta }_2+\dots com{\theta }_j=\frac{a_{ij}{p}_j}{{\displaystyle \underset{j}{\Sigma }}{a}_{ij}{p}_j}$

onde 1>θ₁, θ₂, θ₃, θ₄>0 e Σθ_i=1, isto é, a taxa de retomo é uma média ponderada das taxas (físicas) de retomo dos diversos produtos produzidos por cada um dos setores. Consequentemente, podemos afirmar que:

$min\left\{\frac{b_{1i}}{a_{1i}}-1\right\}\ge \rho +S+\rho S\ge max\left\{\underset{i\ne j}{\frac{b_{1i}}{a_{1i}}}-1\right\}$

É fácil ver, também, que o p>0 encontrado para o sistema

Bp=(1+ρ+s+ρs) Ap é o mesmo p>0 que satisfaz o problema original

$Bp=\left(1+\rho \right)Ap.$

Igualmente, pode-se ver que para [B-(1+s)A] ser produtivo, a soma de qualquer uma das colunas deve ser maior que zero, isto é,

$\left(b_{1i}-\left(1+s\right)a_{1i}\right)+\left(b_{2i}-\left(1+s\right)a_{2i}\right)+\left(b_{3i}-\left(1+s\right)a_{3i}\right)+\left(b_{4i}-\left(1+s\right)a_{4i}\right)>0$

ou seja

$\sum _j\left(b_{ji}-\left(1+s\right)a_{ji}\right)>0\Rightarrow \frac{{\displaystyle \sum _j}{b}_{ji}}{{\displaystyle \sum _j}{a}_{ji}}>\left(1+s\right)paratodosi=1\dots 4$

Portanto, condições suficientes para a existência da solução procurada são que:

1. $\frac{b_{ii}}{a_{ii}}>1$ sendo $min\left\{\frac{b_{ii}}{a_{ii}}\right\}=T$

2. $0<\frac{b_{ij}}{a_{ji}}<T$ para i≠j com, pelo menos, um desses elementos >1, e com $max\left\{\frac{b_i\ne j}{a_i\ne j}\right\}=V$

3. $\frac{{\displaystyle \sum _i}{b}_{ij}}{{\displaystyle \sum _1}{b}_{1j}}>V$ para todos j=1...4 (já que podemos selecionar (1+s) tão “próximo” de V quanto quisermos). Observação: esta condição corresponde à condição de produtividade do sistema.

E, se lembrarmos que o teorema de Schefold diz existir uma solução para qualquer sistema (A, B) positivo, produtivo, tal que:

1. $\frac{b_{ii}}{a_{ii}}>1$

2. $0<\frac{b_i\ne j}{a_i\ne j}<1$ e,

3. $\frac{{\displaystyle \sum _i}{a}_{ij}}{{\displaystyle \sum _1}{a}_{i1}}>1$ para j=1...4 (condição de produtividade do sistema)

podemos sintetizar os resultados em um só teorema.

Teorema:

Para o sistema Bp=λ Ap onde A, B>0 e

1. $\frac{b_{ii}}{a_{ii}}>1$ sendo que $min\left\{\frac{b_{ii}}{a_{ii}}\right\}=T$

2. $0<\frac{b_i\ne j}{a_i\ne j}<T$ sendo $max\left\{\frac{b_i\ne j}{a_i\ne j}\right\}=V$ e

3. $\frac{{\displaystyle \sum _i}{b}_{ij}}{{\displaystyle \sum _i}{a}_{ij}}>V$ isto corresponde à condição de produtividade (alterada) do sistema;

existe uma solução para a qual p>0Σp_i=1 e λ>1, sendo que existe a mercadoria-padrão, e, ainda, V≤λ≤T.

O Teorema anterior pode ser “extendido” um pouco mais, se observarmos que para que exista uma solução como a desejada, não é necessário que a matriz transformada [B-(1+s)A] seja produtiva. Basta que exista uma matriz diagonal A, com elementos positivos na diagonal principal tal que A(B-(1+s)A) seja produtiva para que a solução desejada exista. Por quê? É imediato:

$se\frac{{\displaystyle \sum _i}{\lambda }_i{b}_{ij}}{{\displaystyle \sum _i}{\lambda }_i{a}_{ij}}>Vonde\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & 0\\ & {\lambda }_2& \\ 0& & \cdots \end{array}\right]$

então existe a solução desejada para o sistema A(B-(1+s)A). Mas a solução desse sistema é a mesma, em termos de preços e de taxa de retorno que a do sistema [B-(1+s)A], visto que a única alteração produzida por Λ será nos valores do autovetor esquerdo, que nos dá a mercadoria-padrão.

Exemplos:

Primeiramente consideremos o sistema Bp=λ Ap onde

$\begin{array}{cc}A=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 4& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]& B=\left[\begin{array}{ccc}21& 4& 0.5\\ 2& 32& 1\\ 1& 1& 8\end{array}\right]\end{array}$

Este sistema deve ter A>1 e p>0, além de gerar um sistema-padrão, visto que:

$C=\left[\frac{b_{ij}}{a_{ij}}\right]=\left[\begin{array}{ccc}7& 2& 0.5\\ 1& 8& 1\\ 1& 1& 4\end{array}\right]com\begin{array}{c}T=min\left\{\frac{b_{ii}}{a_{ii}}\right\}=4\\ V=max\left\{\frac{b_i\ne j}{a_i\ne j}\right\}=2\end{array}$

e

$\begin{array}{c}\frac{\Sigma b_{i1}}{\Sigma a_{i1}}=\frac{24}{6}=4>2\\ \frac{\Sigma b_{i2}}{\Sigma a_{i2}}=\frac{37}{7}=5.29>2\\ \frac{\Sigma b_{i3}}{\Sigma a_{i3}}=\frac{9.5}{4}=2.38>2\end{array}$

Portanto, as condições A, B e C são satisfeitas e, consequentemente, deve existir uma solução. De fato

$\lambda =3.37434268e2\le \lambda \le 4e\begin{array}{c}{p}_1=0.20776795\\ p_2=0.13735972\\ p_3=0.65487234\end{array}$

Consideremos, agora, o sistema composto por:

$\begin{array}{cc}A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}8& 1& 1\\ 1& 8& 2\\ 10& 1& 3\end{array}\right]\\ \begin{array}{ccc}-& -& -\end{array}\\ \begin{array}{ccc}22& 10& 6\end{array}\end{array}& B=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}9& 1& 1\\ 2& 10& 2.1\\ 9& 0.75& 300\end{array}\right]\\ \begin{array}{ccc}-& —& —\end{array}\\ \begin{array}{ccc}22& 11.7& 303.1\end{array}\end{array}\\ C=\left[\begin{array}{ccc}1.125& 1& 1\\ 0.5& 1.25& 1.05\\ 0.9& 0.75& 100\end{array}\right]& \begin{array}{c}T=max\left\{\frac{b_{ii}}{a_{ii}}\right\}=1.125\\ V=min\left\{\frac{b_i\ne j}{a_i\ne j}\right\}=1.05\end{array}\end{array}$

Na forma em que se encontra, tal sistema não é produtivo (para a produção de 20 unidades do produto 1, são consumidas 22 unidades do mesmo produto). Mas, existe um A que pode transformá-lo em produtivo.

De fato

$\begin{array}{cc}\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}10& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \Lambda B=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}90& 10& 10\\ 2& 10& 2.1\\ 9& 0.75& 300\end{array}\right]\\ \begin{array}{ccc}—& —& —\end{array}\\ \begin{array}{ccc}101& 20.7& 312.1\end{array}\end{array}\\ \Lambda A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}80& 10& 10\\ 8& 8& 2\\ 10& 1& 3\end{array}\right]\\ \begin{array}{ccc}—& —& —\end{array}\\ \begin{array}{ccc}98& 19& 15\end{array}\end{array}& \end{array}$

nesse sistema alterado

$\begin{array}{c}\frac{101}{94}=1.0745>1.05\\ \frac{20.75}{19}=1.0921>1.05\\ \frac{312.1}{15}=20.8067>1.05\end{array}$

consequentemente as condições A, B e C são satisfeitas. Conclusão: deve existir um λ>1 e p>0 bem como um sistema-padrão para o sistema original:

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\lambda =1.09991561\\ 1.05\le \lambda \le 1.125\end{array}& \begin{array}{c}{p}_1=0.003023\\ p_2=0.664579\\ p_3=0.332397\end{array}\end{array}$

Seria possível “melhorar” o Teorema, no sentido de diminuir as restrições impostas (A, B e C), e mesmo assim obter uma taxa de retorno positiva, um sistema de preços positivos e uma relação inversa entre a taxa de retorno e a taxa salarial?

Resposta: é possível, mas a um preço - o de não se obter todos esses resultados desejados ao mesmo tempo. Exemplo: podemos quebrar a condição B, e ainda encontrar alguns dos resultados desejados, como uma taxa de retorno positiva e preços positivos, mas não a relação inversa entre lucro e salários. Tomemos, por exemplo, o sistema:

$\begin{array}{ccc}A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\\ \begin{array}{cc}-& -\end{array}\\ \begin{array}{cc}2& 2\end{array}\end{array}& B=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 8\end{array}\right]\\ \begin{array}{cc}-& -\end{array}\\ \begin{array}{cc}5& 14\end{array}\end{array}& C=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 8\end{array}\right]\end{array}$

para este sistema podemos ver que as condições A e C são satisfeitas, mas não a condição B, visto que

$T=min\left\{\frac{b_{ii}}{a_{ii}}\right\}<V=max\left\{\frac{b_i\ne j}{a_i\ne j}\right\}$

o que não impede de se ter λ>1 e p>0. De fato λ=4 e $\begin{array}{c}{p}_1=2/3\\ p_2=1/3\end{array}$ mas λ já não fica entre os limites estabelecidos e tampouco existe a mercadoria-padrão, bem como a relação inversa entre a taxa de retorno e a taxa salarial.. Para se ver isto, basta completar o sistema da seguinte forma:

$\lambda Ap+wl=Bp$

onde

$\begin{array}{ccc}l=\left(\begin{array}{c}0.01\\ 0.99\end{array}\right)& excedente=\left(3,12\right)& w=\sigma \left(excedente\right)\end{array}$

seja σ=0.1 (excedente) então w=0.3p₁+1.2p₂ o que nos dá o seguinte sistema:

$\lambda =\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)+\left(0.3p_1+1.2p_2\right)\left(\begin{array}{c}0.01\\ 0.99\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 8\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)$

cuja solução é

$\lambda =4.8244e\begin{array}{c}{p}_1=0.3890\\ p_2=0.6110\end{array}$

Se compararmos este resultado com o primeiro obtido, veremos que:

$\begin{array}{ccc}1.ºresultado& & 2.ºresultado\\ w=0\%doexcedente& & w=10\%doexcedente\\ \lambda =4& & \lambda =4.8244\end{array}$

isto é, o salário subiu, e a taxa de lucro aumentou!

Na realidade, pode-se demonstrar que para qualquer sistema produtivo 2x2 com (A, B)>0, e para o qual

$C=\left[\begin{array}{cc}\frac{b_{11}}{a_{11}}& \frac{b_{12}}{a_{12}}\\ \frac{b_{21}}{a_{21}}& \frac{b_{22}}{a_{22}}\end{array}\right]paraoqualseobserve\begin{array}{c}\frac{b_{11}}{a_{11}}>\frac{b_{21}}{a_{21}}\\ \frac{b_{22}}{a_{22}}>\frac{b_{12}}{a_{12}}\end{array}$

existe uma transformação T, tal que

$T=\left[\begin{array}{cc}1& -\theta \\ 0& 1\end{array}\right]onde0<\theta <min\left\{\frac{a_{11}}{a_{21}},\frac{b_{12}}{a_{22}}\right\}eum\Lambda =\left[\begin{array}{cc}{\Lambda }_1& 0\\ 0& {\Lambda }_2\end{array}\right]onde{\Lambda }_1>0e{\Lambda }_2>0$

tal que ΛT(B-(1+s)A) é uma matriz de Schefold. Consequentemente para um tal sistema existe λ>1 e p>0, mas não necessariamente um sistema padrão, como acabamos de verificar.

Observação final:

Chamamos o presente trabalho de uma extensão do Teorema de Perron-Frobenius, o que vale uma justificativa. A razão é bastante simples: para o Teorema Perron-Frobenius (I-A) é uma matriz de Schefold, só que todos os elementos fora da diagonal são menores do que zero. No presente caso, (B-A) não tem necessariamente todos estes elementos menores do que zero.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• GILBERT ABRAHAM-FROIS & EDMOND BERREBI, (1979) Theory of Value, Prices and Accumulation, Cambridge University Press, Cambridge.
• B. SCHEFOLD, (1980) Fixed Capital, Accumulation and Technical Progress in Essays on the Theory of Joint Production, edited by Luigi Pasinetti, Columbia University Press, New York, 1980.
• PIERO SRAFFA, (1977) Produção de Mercadorias por meio de Mercadorias, Zahar, Rio de Janeiro.

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  JEL Classification: B51.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  15 Jan 2024
• Data do Fascículo
  Jul-Sep 1990