Sobre a força de mortalidade na construção de tábuas de sobrevivência

On the force of mortality and life tables construction

ARTIGO ORIGINAL

Sobre a força de mortalidade na construção de tábuas de sobrevivência

On the force of mortality and life tables construction

Jair L. F. Santos

Do Centro de Estudos de Dinâmica Populacional da Faculdade de Saúde Pública da USP – Av. Dr. Arnaldo, 7T5 – São Paulo, S.P., Brasil

RESUMO

A construção das tábuas de sobrevivência vem sendo, recentemente, simplificada através da pressuposição de constância da força de mortalidade para cada grupo etário. Neste trabalho, mostram-se vantagens adicionais de tal suposição, tanto de caráter conceitual como de cálculos.

Unitermos: Mortalidade (Força)*; Tábuas de sobrevivência *.

SUMMARY

Life tables construction has been simplified through the assumption of a constant force of mortality in each age group. In this paper further advantages are shown, concerning both the conceptual nature and simpler calculations derived from that assumption.

Uniterms: Mortality, force*; Life tables*

INTRODUÇÃO

FERGANY¹ (1971) demonstrou que a pressuposição de que a força de mortalidade seja constante para cada grupo de idades, ou seja, que

leva a um cálculo extremamente simplificado da tábua de sobrevivência, sendo os elementos 1 obtidos por

onde é o coeficiente de mortalidade do grupo etário x a x + n, na população real.

SANTOS⁵ (1972) mostra ainda que a pressuposição expressa por (1) leva também à avaliação exata (na medida em que integrais seriam apenas aproximadas) de , obtendo-se:

onde Ln expressa o logarítimo neperiano e que pode ser bastante aproximado pela expressão mais simples:

Mostra ainda o autor que n^Lx assim definido, quando considerado como variável aleatória, possui propriedades estatísticas que outras definições não têm, sobretudo as de que

e que

Tal como para qualquer outra pressuposição para a força de mortalidade u(s) (definida em (1) no presente caso) poderia restar apenas uma crítica a fazer.

A suposição que u(s) = k _x implica numa certa distribuição de sobreviventes e óbitos em cada grupo de idade e, conseqüentemente, num coeficiente de mortalidade para a população da tábua de vida, n^mx

KEYFITZ² (1968) considera que não deve, obrigatoriamente ser igual à , uma vez que a população observada pode não ser (como em geral, não o é) estacionária. Restaria, assim, verificar quais as implicações da pressuposição(1) quando se toma em consideração o fato de que a população real seja não estacionária.

2 – TÁBUAS DE VIDA QUE CONCORDAM COM OS DADOS

KEYFITZ² (1968) recomenda um processo iterativo para o cálculo de , de tal maneira que a tábua reproduza (levando em consideração que a população real tem uma taxa de crescimento r O) coeficientes de mortalidade onde j está indicando o ciclo do processo iterativo. Estes coeficientes são então comparados com os da população real e o processo estará terminado (e a tábua construída quando ambos forem iguais).

A relação encontrada pelo autor entre e os elementos é:

em cada ciclo j os valores de (com arbitrários) são alterados de maneiraa reproduzir, no final, coeficientes

As tábuas de vida assim construídas são denominadas "Tábuas de vida que concordam com os dados". Lembre-se aqui que na construção de tábuas de vida duas opções devem sempre ser feitas:

a) como passar de para

b) como calcular a integral

As tábuas que concordam com os dados, conceitualmente mais corretas (por tomarem em conta as diferentes distribuições de óbitos e sobreviventes na população real e na população da tábua) evitam uma decisão sobre (a) e podem diferir entre si não por opções sobre(b) mas sobre como se calcula a integral

No caso específico em que a força de mortalidade é do tipo

(onde os a_i são raízes de um polinomio de 3.° grau que é ajustado aos valores de ) foram construídas subrotinas em linguagem Fortran-IV para a construção de tábuas que concordam com os dados (SANTOS ⁴, 1968)

3 - CONSEQÜÊNCIAS DA PRESSUPOSIÇÃO DE CONSTÂNCIA DA FORÇA DE MORTALIDADE

Supondo, como em (1) que u(s) = para , o processo iterativo anteriormente mencionado requeriria que se usasse em cada ciclo um , sendo arbitrário e de tal maneira que ao final do processo se tivesse

No entanto, sendo constante (para cada idade, e não para cada ciclo) terse-á:

e a expressão (7) se torna simplesmente em:

e o processo terminaria quando = Isto, em outras palavras significa simplesmente que escolhendo nenhuma iteração é necessária!

A tábua de vida calculada através de

é uma tábua que concorda com os dados, não requerendo nenhuma iteração para seu cálculo.

4 – VANTAGENS ADICIONAIS

Além da extrema simplicidade de cálculos e do fato de que a tábua calculada por (8) concorda com os dados – o que já recomenda sob todos os aspectos a construção de tábuas por este processo – além das vantagens referidas por (4), (5) e (6) também advém pelo menos uma vantagem a mais da pressuposição inicial.

A população projetada para n anos a partir da idade x é exatamente definida por

da qual a conhecida relação

é u'a mera aproximação, que se iguala a (9) quando a taxa de crescimento r seja igual a zero.

Supondo estabilidade pelo menos "local", no sentido mencionado por KEYFITZ ² (1968), isto é, supondo

a relação (9) torna-se

Novamente, as integrais são calculadas apenas aproximadamente, a não ser que se suponham constantes as forças de mortalidade em cada grupo de idades, obtendo-se após as adequadas simplificações:

onde

Caso se esteja disposto a admitir r = O, como em geral se faz na aproximação (10), então:

Note-se que (13) envolve a aproximação r = O, mas não envolve aproximação alguma para as integrais de (11).

5 – COMPARAÇÕES

A título ilustrativo, são comparados, na Tabela, elementos de uma tábua de sobrevivência calculados pelo método aqui sugerido com elementos calculados por KEYFITZ & FLIEGER³ (1968).

O método ora sugerido é denominado na Tabela de "Exponencial", e os resultados advém da aplicação das fórmulas (8) e (3). O método utilizado pelos autores acima citados é o de processos iterativos, com uma cúbica ajustada aos valores consecutivos de 1_x para o cálculo de L _x . Este segundo método é designado, na Tabela, de K & F.

Foram comparados apenas os elementos , número de sobreviventes no início da idade x, , esperança de vida na x idade x, pois todos os demais advêm dos primeiros e a esperança de vida é, reconhecidamente, a coluna mais importante da tábua de vida.

Como se observa na Tabela as diferenças entre os métodos são diminutas. Mesmo para a última idade-a que sempre envolve mais erros, qualquer que seja a tábua construída – as esperanças de vida não diferem por mais do que 4%, e ao nascer não atingem sequer 1%.

6 – CONCLUSÕES

A tábua de sobrevivência construída supondo u(s) = para tem as seguintes propriedades, além das referidas por (4), (5) e (6):

a. é extremamente simples de ser construída. Evita a passagem de para e a pressuposição de fatores de separação para efetuar esta passagem;

b. é uma tábua que concorda com os dados, no sentido de KEYFITZ. Isto é, na sua construção está implícita a consideração de que a população da tábua de vida é estacionária e as populações reais não o são;

c. além da vantagem mencionada em (b), a construção da tábua não requer nem os processos iterativos antes mencionados, nem o conhecimento da taxa de crescimento ("local" ou geral) da população;

d. leva à avaliação exata dos fatores de sobrevivência, dada a taxa de crescimento populacional. Supondo a taxa igual a zero, ou no desconhecimento desta, a única aproximação a ser feita não é uma aproximação em integrais (aproximação da equação (12) pela equação (13).

7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Recebido para publicação em 13-7-1972

Aprovado para publicação em 26-7-1972

Apresentado na XXIV reunião anual da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC), São Paulo, 1972

• 1. FERGANY, N. On the human survivorship function and life table construe, tion. Demography, 8: 331-34, 1971.
• 2. KEYFITZ, N. Introduction to the mathematics of population. Reading, Mass., Addison Wesley Pub. Co., 1968.
• 3. KEYFITZ, N. & FLIEGER, W. World population: an analysis of the vital data, Chicago, University of Chicago Press, 1968.
• 4. SANTOS, J. L. F. The construction of life tables that agree with the data, Chicago, 1968. [Tese de Mestrado Universidade de Chicago].
• 5. SANTOS, J. L. F. Contribuição para o tratamento estocástico da tábua de sobrevivência e suas aplicações. São Paulo, 1972. [Tese de doutoramento Faculdade de Saúde Pública da USP].

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  13 Set 2006
• Data do Fascículo
  Set 1972

Histórico

• Aceito
  26 Jul 1972
• Recebido
  13 Jul 1972