Controle Ótimo em Epidemias de Dengue

RESUMO

A infecção pelo vìrus da dengue constitui atualmente um dos maiores problemas da saúde pública pelo mundo inteiro. Como ainda não existem vacinas contra os vìrus da dengue, é importante ter modelos matemáticos que representem a dinâmica da epidemia visando o controle da propagação da doença. Neste trabalho, utilizamos um sistema SEIR contìnuo que modela a dinâmica da transmissão da dengue e fizemos um estudo da estabilidade do modelo com os pontos de equilìbrio biologicamente viáveis. O objetivo deste trabalho é aplicar estratégias de controle alternativas para diminuir a propagação desta doença infecciosa. A estratégia utilizada foi o controle ótimo linear para sistemas não-lineares. Simulações numéricas mostram a eficiência do controle proposto.

Palavras-chave:
Sistemas dinâmicos; controle ótimo; dengue

ABSTRACT

Dengue virus infection is nowadays one of the major worldwide public health problems. As there is no vaccine against dengue virus, it is important to have mathematical models that represent the dynamics of the epidemic aiming to control the spread of disease. In this work, we use a system SEIR continuous modeling the dynamics of dengue transmission and made a study of the stability of model with the biologically feasible equilibria points. The aim of this work is to apply alternative control strategies to reduce the spread of this infectious disease. The strategy used was the optimal control for non linear systems. Numerical simulations show the effectiveness of the proposed control.

Keywords:
Dynamics systems; optimal control; dengue

1 INTRODUÇÃO

Epidemias incontroladas causadas por doenças infecciosas foram as principais causas de mortes no último milênio. A criação de vacinas, antibióticos e também as melhorias das condições de vida levou-nos a pensar que as doenças infecciosas desapareceriam, porém elas ainda continuam sendo a maior causa de mortalidade.

Uma das doenças infecciosas que pode causar a morte de humanos é a dengue. Ela é uma arbovirose que é transmitida para o homem através da picada do mosquito Aedes aegypti que, por ser domiciliado, é um transmissor eficiente da dengue. Os sorotipos da dengue são Den 1, Den 2, Den 3 e Den 4, sendo que um indivìduo infectado por um sorotipo se torna imune a esse sorotipo¹.

No Brasil, mortes causadas pela dengue continuam sendo notìcia, apesar de serem realizadas campanhas de conscientização para diminuição de criadouros do mosquito e também a aplicação de outros métodos para buscar um controle do mosquito e como consequência uma diminuição da doença. Por ser uma infecção viral urbana mais difundida, não apenas no Brasil mas em todo o mundo, várias pesquisas em modelagem de epidemias têm se preocupado em fornecer uma fundamentação racional para tomadas de decisão com o objetivo de controlar a propagação da doença.

Segundo¹⁰ a erradicação do mosquito (vetor) através de mecanismos de controle tem sido uma estratégia adotada para prevenir as ocorrências de surtos de dengue, pois as vacinas contra a dengue ainda não estão disponìveis (encontram-se em fase experimental). Entre diversas estratégias de controle, podemos citar a utilizada por², que sugere e apresenta um modelo matemático para se controlar o mosquito transmissor da dengue, usando uma técnica de liberação de mosquitos machos estéreis. Em outros trabalhos, como em³ e⁸, é utilizado o controle ótimo para controlar o mosquito transmissor.

O objetivo deste trabalho é formular e aplicar uma estratégia de controle ótimo linear para sistemas não-lineares⁵ que consistirá em reduzir os acumuladores de ovos dos mosquitos transmissores da Dengue e evitar a transmissão de humanos para mosquitos.

2 O MODELO BÁSICO SEIR CONTÍNUO

No modelo SEIR que estudaremos,⁹ e⁴, consideramos um habitat espacialmente ho mo gê neo, isto é, que o comportamento das populações independa da posição que elas ocupam. Isso possibilita trabalhar com equações diferenciais ordinárias, sendo o tempo a única variável independente. Para habitats que apresentam heterogeneidade espacial, seria necessário considerar explicitamente, além da variável tempo, as variáveis que determinam a posição da população em cada instante de tempo, e assim, trabalharíamos com equações diferenciais parciais. Quanto à propagação da doença, nosso modelo baseia-se nas nas seguintes hipóteses: o vìrus se propaga através de encontros entre mosquitos infecciosos e humanos suscetìveis, transformando estes últimos em humanos expostos (ou infectados), bem como através de encontros entre humanos infecciosos e mosquitos suscetìveis, transformando estes últimos em mosquitos expostos (ou infectados). Tanto os mosquitos quanto os humanos têm um perìodo de incubação, durante o qual eles são classificados como expostos (infectados) mas ainda não são infecciosos, isto é, não transmitem a doença. Além disso, na escala de tempo considerada, os humanos infecciosos podem recuperar-se, tornando-se imunes, mas os mosquitos infecciosos não se recuperam, pois a expectativa de vida do mosquito é muito pequena quando comparada com a do vìrus da dengue e, portanto, uma vez infecciosos, eles sempre poderão transmitir a doença durante o seu perìodo de vida. Nesta escala de tempo, a população de humanos é considerada constante, pois a expectativa de vida dos humanos (dezenas de anos) é muito maior que a dos mosquitos (alguns dias).

Com base nestas hipóteses, a dinâmica populacional pode ser descrita através de um modelocompartimental com 8 equações diferenciais ordinárias, para as seguintes populações: S(t), E(t), I(t), R(t), de humanos suscetìveis, expostos, infecciosos e recuperados, respectivamente; e, para os mosquitos, a população A(t), quando na forma aquática (ovos, larvas e pupas), além das populações de mosquitos fêmeas adultas , M ₁(t), M ₂(t), M ₃(t), de suscetìveis, expostos e infecciosos, respectivamente. A população total de humanos, constante, será representadapor N.

Iremos supor que todos os mosquitos fêmeas adultos contribuam para a oviposição. Para os humanos que, como citamos anteriormente, têm uma expectativa de vida muito maior que a dos mosquitos, não fazemos distinção de faixa etária, e assim supomos que todos possam procriar; humanos sempre nascem suscetíveis.

Definimos, a seguir, diversos parâmetros, cujas unidades representamos usando a notação [.], para unidade de ·, como segue:

• Φ - a taxa per capita de oviposição dos mosquitos fêmeas; [Φ] = ovos por fêmea por unidade de tempo;

• k (0<k<1) - a fração de ovos viáveis que se transformarão em larvas, e f (0<f<1), a fração destes, que são fêmeas; ambos são adimensionais; assim, o produto kf Φ é a taxa de crescimento intrìnseco per capita da população de mosquitos fêmeas na fase aquática;

• C - a capacidade de suporte dos criadouros onde os mosquitos colocam seus ovos; [C] = ovos;

• π_q - taxa per capita de eclosão das pupas, para transformar-se em mosquito suscetìvel; [π_q ] = [t]^-1

• μ_q - taxa per capita de mortalidade das larvas ou das pupas, na fase aquática; [μ_q ] = [t]^-1; assim, 1/μ_q é a expectativa de vida das larvas ou pupas na fase aquática;

• μ_f - taxa per capita de mortalidade dos mosquitos adultos, em qualquer compartimento; [μ_f ] = [t]^-1; assim, 1/μ_f é a expectativa de vida dos mosquitos fêmeas adultos em qualquer compartimento;

• μ - taxa per capita de nascimentos dos humanos que é igual à taxa per capita de mortalidade dos humanos, em qualquer compartimento; [μ] = [t]^-1;

• β_m - frequência dos encontros entre humanos infecciosos e mosquitos suscetìveis, que são eficientes para a propagação do vìrus, isto é, que transformam mosquitos suscetìveis em mosquitos expostos; [β_m ] = mosquitos expostos por encontro por unidade de tempo; o produto β_mI é denominado força de infecção exercida pelos humanos;

• β_h - frequência dos encontros entre mosquitos infecciosos e humanos suscetìveis, que são eficientes para a propagação do vìrus, isto é, que transformam humanos suscetìveis em humanos expostos; [β_h ] = humanos expostos por encontro por unidade de tempo; o produto β_hM ₃ é denominado força de infecção exercida pelos mosquitos;

• γ - taxa per capita com a qual um mosquito exposto passa para infeccioso; [γ] = [t]^-1; assim, 1/ γ é o tempo médio de incubação dos mosquitos;

• α taxa per capita com a qual um humano exposto passa para infeccioso; [α] = [t]^-1; assim, 1/ α é o tempo médio de incubação dos humanos;

• η - taxa per capita de recuperação dos humanos; [η] = [t]^-1; assim, 1/η é o tempo médio de recuperação dos infecciosos, isto é, para adquirirem imunidade.

O sistema de equações diferenciais que modela a dinâmica é, portanto:

(2.1)

A hipótese de que a população total de humanos se conserva, de acordo com S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N, constante, é verificada ao somar as quatro últimas equações de (2.1).

3 PONTOS DE EQUILÍBRIO E STABILIDADE

Representando por

(3.1)

um equilìbrio do sistema (2.1), o qual é obtido igualando a zero todas as taxas de variação, obtemos três equilìbrios biologicamente viáveis, a saber:

1. O equilìbrio S ₀, que é caracterizado pela ausência de mosquitos e a população humana toda suscetìvel.

(A*, M*₁, M*₂, M*₃, S*, E*, I*, R*) = (0. 0; 0; 0; N, 0, 0, 0).

2. O equilìbrio S_m , de coexistência entre as populações de humanos e de mosquitos, porém livre de doença, ou seja, além da fase aquática, as populações de mosquitos e humanos são constituìdas apenas por suscetìveis.

desde que Q ₀, sendo

(3.2)

que pode ser interpretado como o número de descendência básico, pois o fator representa a probabilidade de que, durante o tempo de vida dos mosquitos fêmeas, ovos por estes colocados transformem-se em larvas de mosquitos fêmeas, e o fator representa a probabilidade de que um indivìduo da fase aquática sobreviva transformando-se em um mosquito suscetìvel. Este número é adimensional.

3. O equilìbrio S_d , endêmico, onde

(3.3)

desde que R ₀ >1 e Q ₀ >1_, sendo

(3.4)

onde

(3.5)

é o número de mosquitos suscetìveis no equilìbrio S_m

Podemos observar que R ₀ é o número reprodutivo básico da doença, pois ao introduzirmos um mosquito infeccioso em um meio onde todos são suscetìveis, este mosquito pica um número médio de humanos suscetìveis durante o seu perìodo infeccioso, que é igual a . Portanto, concluìmos que, para termos um caso efetivo da transmissão do vìrus da dengue, é necesssário que um mosquito infectado pique um humano suscetìvel, tornando o humano infeccioso (após passar pelo perìodo de incubação), e este, por sua vez, seja picado por um mosquito suscetìvel, tornando o mosquito infeccioso (também após passar pelo perìodo de incubação)., e então, quando infecciosos, são picados por mosquitos suscetìveis numa média de . Estes humanos, agora expostos, sobrevivem ao perìodo de incubação com probabilidade , durante seu perìodo infeccioso. A probabilidade desses mosquitos expostos sobreviverem o perìodo de incubação e se tornarem infecciosos é dada por

Ao analisar a estabilidade(⁴) de cada um dos equilìbrios do sistema, conclui-se que é assintoticamente linearmente estável se Q0 <1;Sm é assintoticamente linearmente estável se Q0 >1 e R0<1; Sd é assintoticamente linearmente estável se Q0 >1 e R0 >1.

Atribuindo aos parâmetros, valores realìsticos baseados em(⁹) e(¹⁰),

(3.6)

sendo dias a unidade de tempo, obtivemos os gráficos da solução do sistema (2.1) apresentados na Figura 1. Segundo(⁹) e(¹⁰), estes parâmetros constituem condições favoráveis para a proliferação dos mosquitos em uma temperatura ambiente em torno de 30° Celsius. Adotamos como condições iniciais os valores

(3.7)

Figure 1
Gráficos da solução do sistema (2.1), correspondente aos parâmetros especificados na equação (3.6)

Observamos que, passados os transientes, as populações tendem a: A* = 283; M*1 = 253; M*2 = 355; M*3 = 148; S* = 73; E* = 382; I* = 119; R* = 426, que são exatamente os valores obtidos substituindo os parâmetros adotados nas equações (3.3). Além disso, substituìdos em (3.2) e (3.4) confirmamos que ambos são maiores do que 1.

Os gráficos foram construìdos utilizando a resolução numérica de equações diferenciais ordinárias do software Matlab, através do método de Runge-Kutta de quarta ordem.

4 ESTRATÉGIAS DE CONTROLE

Podemos observar, através da Figura 1, que, com os parâmetros utilizados e valores iniciais dados por: apenas 10 mosquitos infectados, apenas 4 mosquitos infecciosos, 980 mosquitos suscetìveis, 270 na fase aquática, juntamente com uma população de 1000 humanos todos suscetìveis, o sistema evoluiu para um equilìbrio endêmico, com grande propagação da doença em ambas as populações.

Com essa motivação, implementaremos nesta seção o uso de uma estratégia de controle de realimentação linear ótimo (optimal linear feedback control), apresentada em(⁷), aplicada à propagação da malária.

O objetivo deste controle é o de alterar o estado assintótico do sistema para , de modo a manter a doença em nìveis mais baixos.

Iremos supor que o controle da dengue se dá basicamente através do controle dos mosquitos. Neste trabalho o controle será efetuado mediante a redução dos mosquitos da dengue tanto na fase aquática (A) quanto nos compartimentos de suscetìveis e infectados da fase adulta (M1 e M2). Para isso introduziremos variáveis de controle Ui, i=1,2,3, para as populações A, M1 e M2 respectivamente; essas variáveis de controle irão variar com o tempo, através das variáveis dependentes do sistema. A primeira corresponde à retirada de criadouros, que pode ser feito através da aplicação de inseticidas na água ou através da remoção de depósitos de água; enquanto que as duas últimas corrrespondem à aplicação de inseticidas no ar.

Dessa forma trabalharemos com o seguinte sistema, obtido a partir de (2.1), introduzindo as variáveis de controle acima citadas:

(4.1)

A seguir consideraremos

(4.2)

de modo que o novo estado de equilìbrio, uma vez fixados os valores de Ã, e desejados, deverá satisfazer o seguinte sistema algébrico com 8 equações e 8 incógnitas:

(4.3)

Com os desvios u_i , i=1,2,3, definidos acima, juntamente com os desvios γ_j , j=1,...,8, definidos por:

(4.4)

obtém-se, a partir do sistema (4.1) juntamente com (4.3), o seguinte sistema de equações diferenciais na forma matricial:

(4.5)

onde Y (t) = [y ₁(t)⁰ y₂ (t)⁰... ⁰ y ₈(t)]^T e U = [u ₁ u ₂ u ₃]^T . As matrizes A, B, H(Y) são dados por:

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Na equação (4.5) para as derivadas dos desvios das populações, o primeiro e o segundo termos correspondem, respectivamente, aos termos lineares e quadráticos nos desvios destas populações, enquanto que o terceiro termo contém os desvios das variáveis de controle.

Para falar em controle ótimo, construìmos o funcional custo que desejamos minimizar, como segue:

(4.9)

onde , L(Y) = Y^T QY- [H(Y)]^T PY- Y^TPH(Y) envolve duas matrizes de

ponderação R e Q, onde Q é de ordem 8 e é relacionada ao custo social das populações. Os termos da matriz R, quadrada de ordem 3, são relativos aos custos dos inseticidas e das retiradas dos criadouros.

O teorema 4.1, retirado de⁵,⁶ e⁷, apresenta condições suficientes para fazer uso de um controle de realimentação linear para sistemas não lineares e estabelece a forma do funcional otimizado.

Teorema 4.1 Se existirem matrizes Q(t) e R(t), positiva definidas, sendo Q simétrica, tais que a função

(4.10)

seja positiva definida, então o controle linear U dado por

(4.11)

onde K = R^-1B^TP é ótimo para transferir o sistema não-linear ( 4.5 ) a partir de qualquer estado inicial ao estado final lim_t→∞Y(t) = 0, minimizando o funciona

(4.12)

onde a matriz simétrica positiva definida P (∀ t ≥ 0) é a solução da formulação matricial da equação algébrica de Riccati

(4.13)

que tem uma única solução positiva simétrica P>0 para quaisquer R>0 e Q ≥ 0 dadas. Além disto, se tomarmos a função de Lyapunov V = Y^TPY, verificamos que é negativa definida, e consequentemente, o sistema controlado ( 4.5 ) tem estabilidade global.

5 SIMULAÇÕES E RESULTADOS

Inicialmente resolvemos o sistema (4.3) usando os mesmos parâmetros especificados na equação (3.6) e escolhendo para e os valores 15, 25 e 5, respectivamente, obtendo o seguinte resultado:

(5.1)

A seguir, usamos a subrotina LQR do software Matlab, que utiliza como entrada as matrizes: A, após substituìdos os valores dos parâmetros e dos equilìbrios B da equação (4.8); as matrizes de ponderação Q e R escolhidas como Q=diag(1,1,110,1,1,1,1,15) e R=diag(1,1,1). Como saìdas, fornece as matrizes P, que é a solução da equação (4.13) e a matriz K, dada por: acima estabelecidos;

com a qual construìmos o controle linear (4.11).

Uma vez obtida essas matrizes e utilizando as mesmas condições iniciais com os quais construìmos a Figura 1, implementamos o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver o sistema (4.5). Para cada passo de tempo, calculamos um novo U a partir da equação (4.11) que após substituìdo na equação (4.5) fornece um novo sistema de equações diferenciais para os desvios, que será resolvido pelo método de Runge-Kutta, e assim por diante. Com essas soluções obtidas com o Matlab, para t ∈ [0, 100], os gráficos das soluções do sistema (4.1) são apresentados na Figura 2.

Figure 2
Gráficos da solução do sistema (4.1) com controle.

Na Figura 2 podemos observar que após 20 dias o sistema atingiu um ponto de equilìbrio, próximo do desejado:

(5.2)

Em relação ao sistema sem controle, Figura 1, houve uma redução significativa das populações do agente causador da dengue, levando o nìvel de mosquitos infecciosos a menos de 2 indivìduos. Na população humana, cujo total é de 1000 indivìduos, aproximadamente 85% mantém-se suscetìvel.

Para complementar, apresentamos na Figura 3, o gráfico do comportamento temporal da função L(Y) da qual pelo teorema 4.1, equação (4.10), exigiu-se positividade para garantir convergência do sistema com controle (4.5).

Figure 3
Evolução temporal da função positiva definida L(Y) dada pela equação (4.10).

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho foram apresentadas estratégias de controle em epidemias de dengue. O controle utilizado foi o controle ótimo linear para sistemas não-lineares. Mostrou-se que as estratégias de controle consideradas, através da retirada do mosquito da dengue do meio, foram eficientes. Embora o teor do trabalho seja teórico, as simulações mostraram eficiência com controle através da aplicação de inseticidas na água e no ar e a retirada de criadouros. Isto é positivo à medida que são a forma de combate mais utilizados atualmente para o controle da dengue.

Com isso conclui-se que é possìvel reduzir as dimensões das epidemias, aprimorando o sistema de vigilância epidemiológica, detectando mais precocemente os surtos da doença e respondendo mais efetivamente no combate ao vetor. No entanto, isso implica em custos, tanto financeiros aos órgãos governamentais como custos sociais pela mobilização das comunidades.

Além de aprimorar as estratégias de controle apresentadas neste trabalho, há interesse em buscar outras estratégias como a liberação de mosquitos geneticamente modificados, que podem ampliar as possibilidades do controle da dengue.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  May-Aug 2016

Histórico

• Recebido
  20 Ago 2013
• Aceito
  01 Abr 2016