Constructions of Dense Lattices over Number Fields

In this work, we present constructions of algebraic lattices in Euclidean space with optimal center density in dimensions 2;3;4;5;6;8 and 12, which are rotated versions of the lattices Λ_n , for $n = 2, 3, 4, 5, 6, 8$ and K ₁₂. These algebraic lattices are constructed through canonical homomorphism via ℤ-modules of the ring of algebraic integers of a number field.

Keywords:
algebric lattices; number fields; sphere packings

Authorship

A.A. ANDRADE ^**Corresponding author: Antonio Aparecido de Andrade - E-mail: antonio.andrade@unesp.br

Departamento de Matemática, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (Ibilce), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de São José do Rio Preto - SP, Brasil. E-mail: antonio.andrade@unesp.brUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”BrasilSão José do Rio Preto, SP, BrasilDepartamento de Matemática, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (Ibilce), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de São José do Rio Preto - SP, Brasil. E-mail: antonio.andrade@unesp.br

http://orcid.org/0000-0001-6452-2236

A.J. FERRARI

Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências (FC), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de Bauru - SP, Brasil. E-mail: agnaldo.ferrari@unesp.brUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”BrasilBauru, SP, BrasilDepartamento de Matemática, Faculdade de Ciências (FC), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de Bauru - SP, Brasil. E-mail: agnaldo.ferrari@unesp.br

http://orcid.org/0000-0002-1422-1416

J.C. INTERLANDO

Department of Mathematics & Statistics, San Diego State University, San Diego, California, USA. E-mail: interlan@sdu.eduSan Diego State UniversityUSASan Diego, California, USADepartment of Mathematics & Statistics, San Diego State University, San Diego, California, USA. E-mail: interlan@sdu.edu

http://orcid.org/0000-0003-4928-043X

R. R. ARAUJO

Instituto Federal de São Paulo, Cubatão - SP, Brasil. E-mail: dearaujorobsonricardo@gmail.comInstituto Federal de São PauloBrasilCubatão, SP, BrasilInstituto Federal de São Paulo, Cubatão - SP, Brasil. E-mail: dearaujorobsonricardo@gmail.com

http://orcid.org/0000-0002-1357-9926

*Corresponding author: Antonio Aparecido de Andrade - E-mail: antonio.andrade@unesp.br

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σ (x) = (σ_{1} (x), \dots, σ_{r_{1}} (x), R (σ_{r_{1} + 1} (x)), \dots, J (σ_{r_{1} + r_{2}} (x))) .

T r_{K} (α) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i} (α)

Λ = \{\sum_{i = 1}^{k} a_{i} v_{i} : a_{i} \in ℤ, for all i = 1, 2, \dots, k\} .

δ (Λ) = \frac{t^{n / 2}}{2^{n} [O_{K} : M] \sqrt{|D_{K}|}},

M = \{a_{0} + a_{1} ζ_{3} : a_{0}, a_{1} \in ℤ\},

T r_{K} (α α) = 2 (a_{0}^{2} - a_{0} a_{1} + a_{1}^{2}),

δ (M) = \frac{{(\sqrt{2} / 2)}^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}},

ℳ = \{a_{0} + a_{1} θ + a_{2} θ^{2} : a_{0} \equiv 0 (m o d 2) and a_{0} + 2 a_{1} + a_{2} \equiv 0 (m o d 3), where a_{0}, a_{1}, a_{2} \in ℤ\},

T r_{K} (α^{2}) = 18 (a_{0}^{2} + a_{0} a_{1} + 5 a_{0} a_{2} + a_{1}^{2} + 5 a_{1} a_{2} + 9 a_{2}^{2}),

δ (M) = \frac{{(\sqrt{18} / 2)}^{3}}{54} = \frac{1}{4 \sqrt{2}},

M = \{a_{0} + a_{1} ζ_{8} + a_{2} ζ_{8}^{2} + {a_{3}}_{8}^{3} : a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} \equiv 0 (m o d 2), where a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in ℤ\},

T r_{K} (α α) = 8 (2 a_{0}^{2} - 2 a_{0} a_{3} + a_{1}^{2} - a_{1} a_{2} + a 2^{2} - 2 a_{2} a_{3} + 2 a_{3}^{2}),

δ (M) = \frac{{(\sqrt{8} / 2)}^{4}}{32} = \frac{1}{8},

ℳ = {a_{0} + a_{1} θ + a_{2} θ^{2} + a_{3} θ^{3} + a_{4} θ^{4} : a_{0} \equiv 0 (m o d 11), 5 a_{2} + a_{3} \equiv 0 (m o d 11) and a_{0} + 15 a_{1} + 11 a_{2} + a_{4} \equiv 0 (m o d 22), where a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in ℤ} . .

T r_{K / ℚ} (α^{2}) = 37752 a_{0}^{2} + 43802 a_{0} a_{1} + 79134 a_{0} a_{2} + 16456 a_{0} a_{3} + 136488 a_{0} a_{4} + 12826 a_{1}^{2} + 46706 a_{1} a_{2} + 10406 a_{1} a_{3} + 79860 a_{1} a_{4} + 44286 a_{2}^{2} + 26136 a_{2} a_{3} + 144716 a_{2} a_{4} + 9438 a_{3}^{2} + 30976 a_{3} a_{4} + 124388 a_{4}^{2} .

δ (M) = \frac{{(\sqrt{242} / 2)}^{5}}{2 \cdot 11^{5}} = \frac{1}{8 \sqrt{2}},

M = {a_{0} + a_{1} ζ_{9} + a_{2} ζ_{9}^{2} + a_{3} ζ_{9}^{3} + a_{4} ζ_{9}^{4} + a_{5} ζ_{9}^{5} : a_{1} - a_{2} + a_{4} - a_{5} \equiv 0 (m o d 3), where a_{0}, a_{1}, . . ., a_{5} \in ℤ},,

T r_{K} (α α) = 18 (a_{0}^{2} + a_{0} a_{1} + a_{0} a_{2} + a_{0} a_{3} + 2 a_{0} a_{4} + 2 a_{0} a_{5} + a_{1}^{2} + a_{1} a_{3} + 3 a_{1} a_{4} + a_{2}^{2} + a_{2} a_{3} + 3 a_{2} a_{5} + a_{3}^{2} + 2 a_{3} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + 3 a_{4}^{2} + 3 a_{5}^{2},

δ (M) = \frac{{(\sqrt{18} / 2)}^{6}}{3^{6} \sqrt{3}} = \frac{1}{8 \sqrt{3}},

M = {a_{0} + a_{1} ζ_{20} + a_{2} ζ_{20}^{2} + a_{3} ζ_{20}^{3} + a_{4} ζ_{20}^{4} + a_{5} ζ_{20}^{5} + a_{6} ζ_{20}^{6} + a_{7} ζ_{20}^{7} : a_{0} + a_{4} \equiv 0 (m o d 4), a_{1} + a_{5} \equiv 0 (m o d 2), a_{2} + a_{3} + a_{6} \equiv 0 (m o d 4) and a_{7} \equiv 0 (m o d 5), where a_{0}, a_{1}, . . ., a_{7} \in ℤ},

T r_{K} (α α) = 20 (2 a_{0}^{2} + 2 a_{0} a_{1} + 5 a_{0} a_{2} + 3 a_{0} a_{3} + 3 a_{0} a_{4} + 2 a_{0} a_{5} + 5 a_{0} a_{6} + 8 a_{0} a_{7} + a_{1}^{2} + 3 a_{1} a_{2} + 2 a_{1} a_{3} + 2 a_{1} a_{4} + a_{1} a_{5} + 3 a_{1} a_{6} + 5 a_{1} a_{7} + 4 a 2^{2} + 4 a_{2} a_{3} + 5 a_{2} a_{4} + 3 a_{2} a_{5} + 7 a_{2} a_{6} + 12 a_{2} a_{7} + 2 a_{3}^{2} + 3 a_{3} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + 5 a_{3} a_{6} + 7 a_{3} a_{7} + 2 a_{4}^{2} + 2 a_{4} a_{5} + 5 a_{4} a_{6} + 8 a_{4} a_{7} + a_{5}^{2} + 3 a_{5} a_{6} + 5 a_{5} a_{7} + 4 a_{6}^{2} + 12 a_{6} a_{7} + 10 a_{7}^{2}),

δ (M) = \frac{{(\sqrt{20} / 2)}^{8}}{2^{4} \cdot 5^{4}} = \frac{1}{16},

M = (ζ_{21}^{6} - ζ_{21}^{2} + 1) a_{0} + (ζ_{21}^{7} - ζ_{21}^{3} + ζ_{21}) a_{1} + (ζ_{21}^{8} - ζ_{21}^{4} + ζ_{21}^{2}) a_{2} + (ζ_{21}^{9} - ζ_{21}^{5} + ζ_{21}^{3}) a_{3} + (ζ_{21}^{10} - ζ_{21}^{6} + ζ_{21}^{4}) a_{4} + (ζ_{21}^{1} 1 - ζ_{21}^{7} + ζ_{21}^{5}) a_{5} + (ζ_{21}^{11} - ζ_{21}^{9} + ζ_{21}^{4} - ζ_{21}^{3} + ζ_{21} - 1) a_{6} + (ζ_{21}^{11} - ζ_{21}^{10} - ζ_{21}^{9} + ζ_{21}^{8} - ζ_{21}^{6} + ζ_{21}^{5} - ζ_{21}^{3} + ζ_{21}^{2} - 1) a_{7} + (- ζ_{21}^{10} + ζ_{21}^{8} - ζ_{21}^{7} - 1) a_{8} + (- ζ_{21}^{11} + ζ_{21}^{9} - ζ_{21}^{8} - ζ_{21}) a_{9} + (- ζ_{21}^{11} + ζ_{21}^{10} - ζ_{21}^{8} + ζ_{21}^{6} - ζ_{21}^{4} + ζ_{21}^{3} - ζ_{21}^{2} - ζ_{21} + 1) a_{10} + (- ζ_{21}^{8} + ζ_{21}^{7} + ζ_{21}^{6} - ζ_{21}^{5} - ζ_{21}^{2} + 1) a_{11}, w h e r e a_{0}, a_{1}, \dots, a_{11} \in ℤ},

T r_{K} (α α) = 28 a_{0}^{2} - 14 a_{0} a_{2} - 14 a_{0} a_{3} - 14 a_{0} a_{4} + 28 a_{0} a_{5} - 28 a_{0} a_{7} - 14 a_{0} a_{9} + 28 a_{0} a_{10} + 28 a_{0} a_{11} + 28 a_{1}^{2} - 14 a_{1} a_{3} - 14 a_{1} a_{4} - 14 a_{1} a_{5} + 28 a_{1} a_{6} - 28 a_{1} a_{8} - 14 a_{1} a_{10} + 28 a_{1} a_{11} + 28 a_{2}^{2} - 14 a_{2} a_{4} - 14 a_{2} a_{5} - 14 a_{2} a_{6} + 28 a_{2} a_{7} - 28 a_{2} a_{9} - 14 a_{2} a_{11} + 28 a_{3}^{2} - 14 a_{3} a_{5} - 14 a_{3} a_{6} - 14 a_{3} a_{7} + 28 a_{3} a_{8} - 28 a_{3} a_{10} + 28 a_{4}^{2} - 14 a_{4} a_{6} - 14 a_{4} a_{7} - 14 a_{4} a_{8} + 28 a_{4} a_{9} - 28 a_{4} a_{11} + 28 a_{5}^{2} - 14 a_{5} a_{7} - 14 a_{5} a_{8} - 14 a_{5} a_{9} + 28 a_{5} a_{10} + 28 a_{6}^{2} - 14 a_{6} a_{8} - 14 a_{6} a_{9} - 14 a_{6} a_{10} + 28 a_{6} a_{11} + 28 a_{7}^{2} - 14 a_{7} a_{9} - 14 a_{7} a_{10} - 14 a_{7} a_{11} + 28 a_{8}^{2} - 14 a_{8} a_{10} - 14 a_{8} a_{11} + 28 a_{9}^{2} - 14 a_{9} a_{11} + 28 a_{10}^{2} + 28 a_{11}^{2},

δ (M) = \frac{{(\sqrt{28} / 2)}^{12}}{3^{3} \cdot 5^{6}} = \frac{1}{3^{3}},

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Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional Rua Maestro João Seppe, nº. 900, 16º. andar - Sala 163 , 13561-120 São Carlos - SP, Tel. / Fax: (55 16) 3412-9752 - São Carlos - SP - Brazil
E-mail: sbmac@sbmac.org.br

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