Scielo RSS <![CDATA[Bolema: Boletim de Educação Matemática]]> http://www.scielo.br/rss.php?pid=0103-636X20150001&lang=en vol. 29 num. 51 lang. en <![CDATA[SciELO Logo]]> http://www.scielo.br/img/en/fbpelogp.gif http://www.scielo.br <![CDATA[Editorial]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100001&lng=en&nrm=iso&tlng=en <![CDATA[Creative Insubordination: an invitation to reinvent the mathematics educator]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100002&lng=en&nrm=iso&tlng=en Neste artigo apresenta-se o conceito de insubordinação criativa com o objetivo de analisar as contribuições que atitudes decorrentes dessa perspectiva podem trazer aos fazeres dos educadores matemáticos. Para isso, colocam-seem pauta discussões a respeito da complexidade educativa, da autonomia profissional, da prática reflexiva e do trabalho colaborativo. Pretende-se suscitar reflexões sobre a questão: Por que considerar a insubordinação criativa para redimensionar as práticas dos educadores matemáticos? Diante desta intenção, busca-se dialogar com teóricos da Educação e da Educação Matemática que se expressam de forma crítica e comprometida com a democracia, a justiça social, a ética e a solidariedade. Assim, justifica-sea necessidade de a comunidade reinventar as práticas da Educação Matemática.<hr/>In this article we introduce the concept of creative insubordination with the goal of analyzing the contributions that this perspective can make in transforming the practices of mathematics educators. The discussion is grounded in considerations of the complexities of education, professional autonomy, reflective practice, and professional collaborations. Our intention is to incite reflections around the question of why the field should consider creative insubordination in reinterpreting the practices of mathematics educators. Critical theories of education and mathematics education, which envision democracy, social justice, ethics, and solidarity as goals of the educational process, are at the heart of our discussions. As such, we justify the need for the community to consider the reinvention of the practices of mathematics educators. <![CDATA[(Ethno)mathematics as discourse]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100003&lng=en&nrm=iso&tlng=en Interpreting mathematics as a discourse includes three claims: that there are forms of mathematics-reality transitions, that mathematics includes actions, and that mathematics includes a political dimension. Through a discussion of different mathematics-based discursive acts, I will substantiate the discursive interpretation of mathematics. Next, by reconsidering ethnomathematics-based discursive acts, I will argue that also ethnomathematics can be interpreted as a discourse. As in the case of mathematics, ethnomathematics-based discursive acts concern the formation of: possibilities, rationality, structures and artefacts, authority, and overlooking. Finally, I will provide a critical perspective on both mathematics and ethnomathematics through the claim that any kind of action is in need of critical reflections.<hr/>Conceber a matemática como discurso implica considerar três elementos: que existem formas de transição entre a matemática e a realidade; que a matemática inclui ações; e que a matemática tem uma dimensão política. A partir de uma discussão sobre diferentes atos discursivos relacionados à matemática, fundamento a interpretação segundo qual a matemática é um discurso, o que chamo de interpretação discursiva da matemática. Em seguida, reconsiderando atos discursivos sobre etnomatemática, argumento que a etnomatemática também pode ser interpretada como discurso. Assim como no caso da matemática, os atos discursivos sobre a etnomatemática dizem respeito à formação de possibilidades, racionalidade, estruturas e artefatos, autoridade e negligência. Finalmente, exponho a perspectiva crítica sobre matemática e etnomatemática, partindo da afirmação de que qualquer tipo de ação necessita de reflexões críticas. <![CDATA[Mathematical Knowledge for Teaching Different Meanings of the Equal Sign: a study carried out with Elementary School Teachers]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100004&lng=en&nrm=iso&tlng=en O objetivo deste artigo é apresentar os principais resultados da pesquisa de mestrado “Conhecimentos de professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental para o ensino dos diferentes significados do sinal de igualdade”, que buscou compreender quai sconhecimentos os professores declaram e demonstram possuir acerca dos diferentes significados do sinal de igualdade. As análises foram desenvolvidas por meio da triangulação de dados produzidos por questionários, pela análise de documentos e por uma dinâmica de interação coletiva. Os resultados revelam limitações dos professores para reconhecer diferentes significados matemáticos do sinal de igualdade; perceber as implicações do ensino dos diferentes significados do sinal de igualdade no e/ou para o currículo; justificar potencialidades do trabalho em pequenos grupos de alunos nas aulas de Matemática. Demonstram também que o estudo analítico dos componentes envolvidos no conhecimento profissional do professor de Matemática pode desvelar necessidades de formação de professores que ensinam Matemática.<hr/>Our goal in this paper is to present the main results of a master's degree research on "Elementary school teachers and their knowledge for teaching the different meanings of the equal sign". This research aimed to understand what knowledge the teachers announce and demonstrate about the different meanings of the equal sign. The analysis were developed using data triangulation produced by questionnaires, by document analysis, and by a social collective interaction. Among results, we have observed that the teachers showed limitations in recognizing the different mathematical meanings of the equal sign; in realizing some implications from teaching the different meanings of the equal sign in/for the curriculum; in justifying potentialities of a collective work in mathematics classes. We highlighted, in the end, that such analytical study of the components involved in the professional knowledge of mathematics teachers could support uncovering necessities on mathematics teacher education. <![CDATA[A Proposal for the Analysis of Prospective Teachers' Mathematical Practices on Derivatives]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100005&lng=en&nrm=iso&tlng=en En el presente trabajo se informa de los resultados obtenidos al analizar las prácticas matemáticas de una muestra de futuros profesores de secundaria/bachillerato a propósito de dos tareas sobre derivadas. Este análisis ejemplifica el uso y alcances de las nociones prácticasmatemáticas y configuración de objetos y procesos, proporcionadas por el Enfoque Onto-Semiótico (EOS) del conocimiento matemático, para la caracterización de los conocimientos del profesorado de matemáticas. Los resultados del análisis evidencian tanto una desconexión entre los distintos significados parciales de la derivada como la necesidad de potenciar el conocimiento del contenido. Este aprendizaje puede hacerse mediante actividades que favorezcan el uso e identificación de objetos matemáticos, sus significados y los procesos involucrados en la solución de tareas matemáticas.<hr/>In this paper, we present results obtained from the analysis of prospective high school teachers' mathematical practices about two tasks on derivatives. This analysis exemplifies the use and scopes of the notions of mathematical practices and configurations of objects and processes, provided by the Onto-Semiotic Approach (OSA) of mathematical knowledge, to characterize the knowledge of mathematics teachers. The analysis of the students' responses show both a disconnection between the different partial meanings of the derivative as well as the need to enhance the content knowledge through activities that encourage the use and identification of mathematical objects, their meanings, and the processes involved in the solution of mathematical tasks. <![CDATA[Dispositif Experimentoteca de Matemática: production in immanence]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100006&lng=en&nrm=iso&tlng=en O presente trabalho é fruto de uma pesquisa cuja intenção é investigar como são potencializados os modos de subjetivação através do dispositivo Experimentoteca de Matemática. Tal dispositivo foi acionado durante os encontros entre bolsistas de um projeto de Treinamento Profissional e escolares de uma escola da rede pública de Juiz de Fora. A pesquisa busca cartografar as linhas de fuga que foram potencializadas durante a produção matemática nas atividades propostas no projeto. Dessa forma, a pesquisa lança olhares para a ligação entre a aprendizagem matemática e os modos de subjetivação potencializados no aprender, ou seja, atenta para a seguinte noção: quando o escolar produz matemática, também é produzido por ela. Uma educação matemática na imanência-vida.<hr/>This study is the result of a research with the intention of investigating how the modes of subjectivation are potencialized through the dispositif Experimentoteca de Matemática. Such dispositif was triggered during a series of meetings between scholarship holders in a Professional Training project and students from a public school in Juiz de Fora. This research aims to trace the different escape routes reinforced during the working of math problems while the activities presented by the project were taking place. The research, therefore, considers the link between math learning and subjectivation modes that are enhanced through the learning process. In other words, this concept is focused on the notion that when a student produces math, he is also produced by it. It is a mathematic education in the immanence-life. <![CDATA[Clock problems. Historical Examples and Didactical Considerations]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100007&lng=en&nrm=iso&tlng=en Abordamos un problema matemático clásico: aquel en el que se trata de calcular el tiempo que debe transcurrir, a partir de una hora determinada, para que las manecillas de un reloj ocupen una posición concreta. En particular, nos centramos en el caso en que la disposición requerida es que las agujas estén superpuestas. En este artículo, presentamos diversos ejemplos extraídos de textos clásicos y del siglo XIX que ilustran distintos contextos en los que se presenta el problema, así como diferentes métodos de resolución. Además, como consecuencia de dicho análisis, presentamos algunas consideraciones didácticas que pueden motivar el trabajo de estos materiales con profesorado en formación.<hr/>We approach a classical Mathematical problem: that of computing the time passed, from a given moment, until the hands of a clock reach certain position. In particular, we focus on the case when the required position is the superposition of both hands. In this paper, we present some examples from classic and nineteenth century texts presenting different contexts where the problem arises as well as different solving methods. In addition, and as a consequence of this analysis, we present some didactical considerations that motivate the use of these resources with prospective teachers. <![CDATA[Teaching Area of Plane Geometric Figures in the Math Curriculum of Urban Program "Projovem"]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100008&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este trabalho discute, sob a ótica da Teoria Antropológica do Didático, o modo como é proposto o estudo da área de figuras geométricas planas no currículo de Matemática do Programa Projovem Urbano e a relação entre esse estudo e os princípios que regem o referido Programa. Para tanto, foram analisados documentos como o Guia de Estudo, o Projeto Pedagógico Integrado e as Propostas Curriculares para a Educação de Jovens e Adultos. Percebemos que a Organização Matemática predominante é o cálculo da área de retângulos, por meio do uso da fórmula, justificada pela contagem de quadradinhos, o que se aproxima da abordagem no ensino regular. Por outro lado, o uso frequente do contexto da construção civil aponta para a conexão com a dimensão da qualificação profissional, preconizada nos princípios que regem o Programa Projovem Urbano.<hr/>This paper discusses, from the perspective of the Anthropological Theory of Didactics, how to study the area of plane geometric figures in the mathematics curriculum of Projovem Urban Program and the relationship between this study and the principles governing the Program. There fore, documents such as the Study Guide, the Integrated Teaching, and Curriculum Design Proposals for the Education of Youth and Adultswere analyzed. We noticed that the prevalent Mathematics Organization is the calculation of the area of rectangles, by using the formula, justified by counting squares, which nears the approach in mainstream education. Moreover, the frequent use of the context of the construction points to the connection with the dimension of professional qualification, advocated the principles governing the specific Urban Program "Projovem". <![CDATA[Specialized Knowledge of One Primary Mathematics Teacher Teaching Rational Numbers]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100009&lng=en&nrm=iso&tlng=en Describimos el conocimiento especializado de un profesor de matemáticas experto de Educación Primaria, que enseña el tema de los números racionales a estudiantes de 11 a 12 años de edad. Realizamos un análisis de contenido de las transcripciones de las 21 sesiones de clase impartidas por el profesor, empleando un sistema de categorías de los subdominios de conocimiento del modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK). Ello nos permitió apreciar los conocimientos manifestados por el docente en su práctica, especialmente en tres subdominios, el conocimiento de los temas matemáticos, de las características del aprendizaje de las matemáticas y de la enseñanza de las matemáticas.<hr/>We describe the specialized knowledge of an expert Primary Education math teacher while teaching the topic of rational numbers to students of 11-12 years old. Using a category system of the subdomains of the Mathematics Teacher's Specialized Knowledge model (MTSK), a content analysis of the transcripts of 21 classes taught was performed. This allowed us to appreciate the knowledge expressed by the teacher in his practice, especially in three subdomains: mathematical content knowledge, characteristics of the learning of mathematics, and knowledge of mathematics teaching. <![CDATA[Students’ Involvement in Mathematical Modelling Activities: relationship to knowledge and <em>possibilities of action</em>]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100010&lng=en&nrm=iso&tlng=en Apresentamos, neste artigo, resultados de uma investigação que buscou compreender o envolvimento de dois alunos, integrantes de um grupo, em uma atividade de modelagem matemática, a partir da relação que eles estabelecem com o saber matemático. Apoiadas no referencial teórico de Bernard Charlot, da relação com o saber, e utilizando uma abordagem qualitativa, analisamos três episódios em que o grupo está desenvolvendo um projeto de modelagem matemática. Além dos episódios, entrevistas possibilitaram entender aspectos referentes ao envolvimento dos alunos. Nossa análise deu origem à construção do conceito de possibilidades de ação. Como resultado, percebemos que a relação de cada aluno com a Matemática desempenha um papel decisivo em suas possibilidades de ação e que seu envolvimento em atividades de modelagem pode ser compreendido não apenas como as ações efetivamente realizadas, mas também como aspossibilidades de ação vislumbradas por eles.<hr/>In this paper, we present the results of an investigation that sought to understand the involvement of two students, members of a group, in a mathematical modelling activity, based on the relationship that they have established with mathematical knowledge. Supported by Bernard Charlot's theoretical framework – the relationship to knowledge – and using a qualitative approach, we analysed three episodes in which the group is developing a modelling project. Besides the episodes, interviews promoted a deep understanding of aspects related to the students’ involvement. Our analysis gave rise to the construction of the concept of possibilities of action. As a result, we noticed that the relationship of each student to mathematical knowledge plays a decisive role in his/her possibilities of action and that students’ involvement in modelling activities can be understood not only as the actions effectively performed by them, but also as the possibilities of action that they glimpse. <![CDATA[Epistemological, Historical, and Didactic Aspects of University Teaching Faculty Professional Knowledge of Probability]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100011&lng=en&nrm=iso&tlng=en La investigación Educativa ha señalado la necesidad de una mayor investigación acerca de los componentes del conocimiento del profesorado, que deben ir más allá del mero conocimiento del contenido matemático. El denominado Conocimiento Profesional del Profesorado incorporaría aspectos relacionados con la propia enseñanza de la disciplina, las perspectivas de los profesores, la historia, las dificultades de los estudiantes etc. Este trabajo aborda los siguientes temas de investigación: Conocimiento Profesional del profesorado sobre Probabilidad, Epistemología e Historia de la Teoría de la Probabilidad y Didáctica de la Teoría de la Probabilidad. Se aborda en primer lugar el problema de identificar los componentes de este Conocimiento Profesional que serán de utilidad al profesorado universitario de Teoría de la Probabilidad para el diseño de secuencias de enseñanza-aprendizaje; y, en segundo lugar, se estudia en qué medida tales componentes son tenidos en cuenta en la enseñanza universitaria. Se ha realizado un análisis fenomenológico de la Teoría de la Probabilidad, incluyendo la fenomenología histórica, y se han estudiado, mediante un cuestionario escrito y entrevistas personales, las propuestas de enseñanza de un grupo de profesores universitarios de estudios de Ingeniería. El análisis ha identificado los siguientes aspectos que deben formar parte del Conocimiento Profesional: el planteamiento de situaciones problemáticas para la introducción de los conceptos; la discusión de las diferentes formulaciones conceptuales de la Probabilidad y sus problemáticas históricas; las implicaciones entre la Ciencia, la Técnica y la Sociedad destinadas a mejorar el interés de los estudiantes; y la toma en consideración de las concepciones alternativas de los estudiantes. El estudio de las propuestas de enseñanza revela una ausencia de estos componentes en el Conocimiento Profesional de los profesores investigados, lo cual evidencia la necesidad de programas de formación que presten atención a los resultados de la investigación en Educación Matemática.<hr/>Educational research has highlighted the need for further research into the knowledge base of university teaching faculty, which needs to go beyond a mere familiarity with mathematical content. What is termed University Teaching Faculty Professional Knowledge would include aspects related to the current teaching of the discipline, such as the perspectives of teachers, the history and difficulties encountered by students, etc. This work addresses the following research topics: professional knowledge of Probability of the teaching staff; Epistemology and History of Probability Theory; and Didactics of Probability Theory. The focus of this study is, firstly, to address the problem of identifying the constituents of this Professional Knowledge, which will be useful to the university teaching faculty delivering lessons of Probability Theory in order to design teaching-learning sequences; and secondly, we look into what extent these constituents are taken into account in university teaching. We conduct a phenomenological analysis of Probability Theory, including historical phenomenology, and we study teaching proposals of a group of university teaching faculty of engineering studies by means of a written questionnaire and face-to-face interviews. Our analysis identifies the following aspects which should be part of the Professional Expertise: setting out scenarios to introduce concepts; discussing various conceptual formulations of Probability and its historical problems; the implications for Science, Technology and Society for raising the interest level of students; and taking into account students' alternative conceptualizations. The study of the teaching proposals reveals that these constituents are lacking in the Professional Knowledge of the teaching faculty studied, which shows the need for training programs that take on account theresearch-based evidence on the Mathematics Education. <![CDATA[Advanced Mathematical Thinking Processes Evidenced in Resolutions of Questions of ENADE]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100012&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este artigo apresenta alguns resultados de uma pesquisa que objetivou descrever e discutir indícios/características dos processos do Pensamento Matemático Avançado evidenciados na produção escrita de estudantes de Matemática ao resolverem questões discursivas do ENADE. Analisamos os registros escritos de duas questões que foram aplicadas em uma turma do quarto ano do curso de Matemática de uma universidade norte paranaense. Concluímos, segundo a teoria de Dreyfus (2002), que: seis estudantes mobilizaram o processo de representação simbólica, três estudantes mobilizaram o processo de visualização, quatro estudantes mobilizaram o processo de mudança de representações e tradução entre elas, dois estudantes mobilizaram o processo de modelação, quatro estudantes mobilizaram o processo de sintetização e nenhum estudante mobilizou o processo de generalização. No entanto, inferimos que nenhum estudante mobilizou todos os processos do Pensamento Matemático Avançado em suas resoluções.<hr/>This article presents some results of a research aimed to describe and discuss clues/characteristics of the Advanced Mathematical Thinking processes evidenced in the written production of Mathematics students to solve discursive questions of the ENADE test. We analyzed the written records of two issues that have been applied in a class of fourth year of mathematics courses in a university north of Paraná. We conclude, on the theory of Dreyfus (2002), that: six students mobilized the process of symbolic representation, four students mobilized the process of switching representations and translating, two students mobilized the process of modeling, four students mobilized the synthesis process and no student mobilized the process of generalization. However, we infer that no student mobilized all the processes of the Advanced Mathematical Thinking in its resolutions. <![CDATA[Enhancement of Fellows of Self-Regulated Learning of PIBID/UFPel's Degree in Mathematics through Pedagogical Workshops]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100013&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este artigo apresenta a síntese de uma pesquisa qualitativa do tipo estudo de caso, que analisou se as oficinas desenvolvidas no Projeto Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência/PIBID, do curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade Federal de Pelotas/UFPel, promoveram a aprendizagem autorregulada das bolsistas de Matemática, qualificando seus processos de aprender e ensinar. Os dados coletados advieram da análise documental realizada a partir do projeto, do relatório das oficinas de Matemática desenvolvidas e das entrevistas semiestruturadas realizadas com três bolsistas de Matemática, que atuaram nas oficinas. Os dados foram submetidos à análise de conteúdo e dela emergiram as seguintes categorias: a) planejamento; b) execução; c) avaliação das oficinas de Matemática realizadas em uma ação colaborativa. Pelos dados analisados, inferiu-se que as bolsistas desenvolveram ações que revelaram sua capacidade de organizar, planejar e programar tarefas a serem realizadas dentro de um prazo estabelecido.<hr/>We conducted a qualitative case study type, trying to analyze whether the workshops developed in the Institutional Scholarship Project Initiation to Teaching/PIBID, the degree course in Mathematics of Federal University of Pelotas/UFPel, promoted self-regulated learning of fellows mathematics, describing their processes of learning and teaching. The collected data were derived from a document analysis performed from the project and the report of workshops developed mathematics and also conducted semi-structured interviews with three fellows who worked on math workshops. The data were subjected to content analysis and it emerged the following categories: a) planning b) execution c) evaluation of math workshops conducted in a collaborative action. Analyzing the data, we inferred that the scholars developed actions that revealed the ability to organize, plan, and schedule tasks to be performed within the given deadline. <![CDATA[The Prospective Kindergarten and Elementary School Teachers' Understanding of the Ratio Concept]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100014&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este artigo centra-se na compreensão que futuros educadores e professores dos primeiros anos de escolaridade evidenciam do conceito de razão. No estudo participaram 81 estudantes do 2º ano da Licenciatura em Educação Básica, de uma universidade portuguesa, aos quais foi aplicado um questionário, incidindo em quatro dimensões: significado de razão; usos do conceito de razão; representação simbólica de razão; e representações para explicação do conceito de razão. Em termos de resultados, as maiores frequências foram obtidas para a: ideia de razão como comparação/relação entre grandezas; crença em que o conceito de razão pode ser usado em contextos diversificados; crença em que pode ser representado através de operações envolvendo letras, números ou apenas os sinais das operações, quando é pedida a sua representação simbólica, e através de diagramas e representações gráficas, quando é solicitada a descrição da sua explicação. Estes resultados revelam fragilidades no conhecimento matemático dos estudantes, sobretudo no que se refere à definição do conceito de razão e às suas representações.<hr/>This paper focuses on the prospective kindergarten and elementary school teachers' understanding of the ratio concept. Eighty-one undergraduates preparing to become kindergarten and primary school teachers, in a Portuguese university, participated in the study. They answered to a questionnaire aiming at evaluating their understanding of the ratio concept based on four dimensions:meaning of ratio; use of the ratio concept; symbolic representations of ratio; and representations for explaining the ratio concept. As far as results are concerned, the highest frequencies were obtained for: the idea of ratio as a comparison/relationship between two magnitudes;the belief that this concept is used in several contexts; the belief that it can be represented through operations with letters, figures or operation signals, as in symbolic representations; and through diagrams and graphical representations, as in representations for explaining the ratio concept. The results show weaknesses in prospective teachers' mathematical knowledge of ratio, namely with regard to its definition and representations. <![CDATA[A Study of the Creation and Development of Undergraduate Mathematics at the Federal University of Mato Grosso do Sul]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100015&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este texto apresenta um estudo da história da Licenciatura em Matemática, da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS). Primeiramente, discutimos a criação e posterior federalização da Universidade e o percurso das Licenciaturas em Matemática nos seus diversos campus. Em seguida, analisamos especificamente a Licenciatura em Matemática do Instituto de Matemática, campus de Campo Grande, tendo como fonte as principais mudanças curriculares ocorridas em 30 anos e um levantamento da quantidade de seus egressos nesse período, bem como de sua atuação profissional. Para isso, foram consideradas fontes documentais diversas e respostas de egressos a questionários. Os resultados mostram que é preciso repensar a formação inicial tendo em vista a necessidade de professores para atuarem na Educação Básica.<hr/>This paper presents a study of the history of the Mathematics major of the Federal University of Mato Grosso do Sul (UFMS). First, we discuss the creation and further federalization of the University and the training course of Mathematics teachers in its various campuses. Secondly, we discuss specifically the Mathematics major of the Institute of Mathematics, located in Campo Grande, having as the main source curricular changes during 30 years time and a survey of the amount of its students in this period, as well as their professional performance. For this, we considered various documentary sources and responses to questionnaires completed by former students. The results show that it is necessary to rethink the initial training in view of the need for teachers to work in basic education. <![CDATA[The Statistical Didactical Knowledge of Two Mathematics Teachers about Bivariate Data]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100016&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este artigo debruça-se sobre o conhecimento didático de duas professoras de Matemática no ensino de dados bivariados e suas relações, no tema da Estatística na disciplina de Matemática A, do ensino secundário em Portugal. Em particular, são analisadas as dimensões do conhecimento do ensino, do conhecimento dos alunos e da aprendizagem e a forma como estas se relacionam entre si e com as outras dimensões do conhecimento didático de cada professora, principalmente a partir da observação da sua prática de sala de aula no 10.° ano. Os resultados evidenciam que, em diversos aspetos, não parece ser considerada pelas professoras a complexidade de que se reveste para os alunos o raciocínio sobre dados bivariados. Verifica-se, também, que existem noções e representações fundamentais que emergem a partir das situações que propõem nas aulas que não são exploradas com a devida profundidade.<hr/>This paper concerns the didactical knowledge of two mathematics teachers while teaching bivariate data and their relationships, when covering the statistics subject of the discipline of Mathematics A, at the secondary level, in Portugal. In particular, we analyze the dimensions of the teaching knowledge and knowledge of students and learning of the teachers' didactical knowledge; we also address how these dimensions relate to each other and to the others dimensions of the teachers' didactical knowledge, mainly through the observation of the teaching practice of both teachers in their 10th grade classes. The results showed that in several aspects, teachers seem not consider how complex it is for students to reason about bivariate data. There are fundamental notions and representations emerging from the situations worked in the classes that are not explored with the appropriate depth. <![CDATA[High-School Students' Use of Intuitive Simple Approximation and Feedback Phenomena in Sequences]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100017&lng=en&nrm=iso&tlng=en Relatamos los pasos seguidos para elaborar un cuestionario destinado a observar los fenómenos de aproximación simple intuitiva y de retroalimentación en las respuestas que dan alumnos de bachillerato**** a cuestiones sobre el límite finito de una sucesión. Presentamos el marco didáctico y metodológico de nuestras investigaciones. En el trabajo de campo descrito, participaron 143 alumnos de tres institutos diferentes de Madrid y su periferia. Incluimos resultados agregados, las categorías usadas para clasificar las respuestas, el uso que los alumnos hacen de los dos fenómenos mencionados y algunas dificultades que nuestras preguntas han planteado a los alumnos.<hr/>We report the steps followed to set up an instrument oriented to detect two phenomena (intuitive simple approximation and feedback)in the answers given by high school students to questions concerning the finite limit of a sequence. We present our research's didactical and methodological frames. Along the field work described, we could collect answers from 143 students in three different high schools, in Madrid andon the outskirts. We include several global results, the criteria used to classify answers, the use that students make of the mentioned phenomena, and some difficulties that the students found when faced with our questions. <![CDATA[Cognitive Competence and Problem-Solving Involving 1st Degree Algebraic Equations]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100018&lng=en&nrm=iso&tlng=en Esta pesquisa investigou a relação entre a competência cognitiva e o desempenho na resolução de problemas com equações algébricas do 1° grau. 38 indivíduos, de 12 a 15 anos, do 8° ano de uma escola pública de Porto Alegre, foram agrupados em dois grupos, alto e baixo nível de competência cognitiva, utilizando-se o WASI. Estes estudantes realizaram a Tarefa de Resolução de Problemas com Equações Algébricas do 1° Grau (TRPEA) para verificarmos a existência de relação entre a competência cognitiva e a resolução de problemas, bem como as diferenças de desempenho entre os grupos. Encontrou-se correlação significativa (p&lt;0,001) entre o WASI e a TRPEA e diferença significativa (p&lt;0,001) entre os dois grupos quanto ao desempenho na TRPEA. Os resultados obtidos confirmam achados anteriores, evidenciando a relação entre a competência cognitiva e o desempenho na resolução de problemas com equações algébricas do 1° grau. Implicações para o ensino escolar são discutidas.<hr/>This investigation explored the relationship between cognitive competence and performance in solving problems with 1st degree algebraic equations. Thirty-eight students, aged 12 to 15, attending the 8th year of primary education in a public school in Porto Alegre, were divided into two groups, according to high or low cognitive competence level, using WASI - Whimbey Analytical Skills Inventory. These students accomplished the Problem Solving 1st Degree Algebraic Equations Task (PSAET) sothe authors could inquire about the existence of connection between cognitive competence and problem solving, as well as to check differences in group performances. The results obtained were: significant correlation (p&lt;0,001) between WASI and PSAET and significant difference (p&lt;0,001) between two groups in reference to the performance in PSAET. Such results confirm previous findings, emphasizing the relationship between cognitive competence and performance in 1st degree algebraic equations problem solving. School education implications are discussed. <![CDATA[Appropriation as a Collective Production into Activity and Internalization as a Result of this Activity: an Example of Elementary Algebra in the Classroom]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100019&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este artigo tem como objetivo discutir uma possível distinção entre o termo apropriação e internalização. O primeiro termo tem por base as contribuições de Bakhtin e o segundo as contribuições de Vigotski. O primeiro termo é defendido como o processo no qual o conhecimento é produzido a partir de uma perspectiva dialógico-argumentativa; o segundo é defendido como o resultado das problematizações correntes no discurso. Para tanto, fizemos uso de um modelo argumentativo a fim de consubstanciar nossa análise, de cunho predominantemente qualitativa. O conteúdo alvo do discurso se constituiu de um fragmento sobre álgebra elementar em sala de aula. Os resultados mostraram que essa distinção é pertinente e pode encontrar eco no trabalho dos dois autores citados.<hr/>This article aims to discuss a possible distinction between the term appropriation and internalization. The first term is based on the contributions of Bakhtin and the second on Vigotski's contributions. The first term is advocated as the process in which knowledge is produced from a dialogical perspective; the second is defended as the result of problematization of the current discourse. To this end, we used an argumentative model of predominantly analytical nature. The target content of the speech consisted of a fragment on elementary algebra in the classroom. The results showed that this distinction is relevant and can find an echo in the work of two authors. <![CDATA[Concepts of non-Euclidean Geometries of a Group of Math teachers From Primary Schools]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100020&lng=en&nrm=iso&tlng=en Este artigo apresenta uma pesquisa em que foram identificadas e analisadas as concepções sobre Geometrias não Euclidianas de um grupo de 27 professores de Matemática, da Educação Básica, que atuam em escolas públicas do Estado do Paraná. Para atingir o objetivo, procurou-se averiguar os conhecimentos, as opiniões, as preferências e as ideias que os participantes da pesquisa apresentam a respeito dessas Geometrias. A escolha desses participantes realizou-se por meio de um questionário, e a coleta dos dados adveio de uma entrevista semiestruturada. Constatou-se que seis professores não apresentam concepções sobre o assunto e, dentre estes, um professor não sabia da inclusão das Geometrias não Euclidianas na estrutura curricular do estado do Paraná. Treze professores apresentam algumas ideias e opiniões sobre as Geometrias não Euclidianas. Os resultados mostram que a inserção e o estudo das Geometrias não Euclidianas ainda não instauraram novas concepções, uma vez que somente oito professores apresentam suas concepções fundamentadas em resultados e/ou conceitos dessas Geometrias.<hr/>Current research identified and analyzed the concepts of non-Euclidean geometries of a group of 27 primary school Math teachers who work in government schools in the state of Paraná, Brazil. Knowledge, opinions, preferences, and ideas on the geometries of the participants were verified. The participants were chosen through a questionnaire and data collection was retrieved from a half-structured interview. Six teachers did not provide any ideas on the subject matter and one male teacher was not aware of the inclusion of non-Euclidean geometries in the curriculum. Thirteen teachers presented some ideas and opinions on non-Euclidean geometries. Results show that the insertion and the study of non-Euclidean geometries have not introduced new concepts since only eight teachers provided concepts based on results and concepts of these geometries. <![CDATA[Professional Development of Mathematics Teacher from their Classroom Tasks proposed in a Teacher Education Course]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100021&lng=en&nrm=iso&tlng=en Parte de un trabajo doctoral, enmarcado dentro de la línea de formación de profesores, es analizar las tareas de enseñanza propuestas por docentes en un curso de formación realizado en Chile, en el año 2012, en donde sus participantes tienen que identificar un problema profesional referido a la enseñanza del álgebra y profundizar sobre el mismo diseñando, implementando y analizando tareas matemáticas para una clase. Luego de presentar algunos descriptores de las tareas, con una metodología cualitativa empleamos el análisis de contenido para describir la evolución de las tareas de enseñanza propuestas por dos profesoras participantes de este curso formativo. El análisis de los datos ponen de manifiesto cómo las docentes afrontan un problema de su práctica, incorporando nuevos elementos de actuación respecto al diseño de tareas, incrementando en sus conocimientos, en específico, en relación con la noción de modelación, avanzando en este proceso en su desarrollo profesional.<hr/>Part of a doctoral work, framed within the teacher training online, is to analyze the tasks proposed by teachers teaching in a training course held in Chile in 2012, where participants have to identify a professional problem referred to teaching algebra and deepen on it designing, implementing and analyzing mathematical tasks for a class. After presenting some descriptors of tasks, with a qualitative methodology we use content analysis to describe the evolution of teaching tasks proposed by two teachers participating in this training course. Analysis of the data show how teachers face a problem of practice, incorporating new elements of action regarding the design of tasks, increasing their knowledge, specifically in relation to the notion of modeling, through this process in their professional development. <![CDATA[Alterações e Manutenções: leituras sobre a geometria como saber escolar]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100022&lng=en&nrm=iso&tlng=en Parte de un trabajo doctoral, enmarcado dentro de la línea de formación de profesores, es analizar las tareas de enseñanza propuestas por docentes en un curso de formación realizado en Chile, en el año 2012, en donde sus participantes tienen que identificar un problema profesional referido a la enseñanza del álgebra y profundizar sobre el mismo diseñando, implementando y analizando tareas matemáticas para una clase. Luego de presentar algunos descriptores de las tareas, con una metodología cualitativa empleamos el análisis de contenido para describir la evolución de las tareas de enseñanza propuestas por dos profesoras participantes de este curso formativo. El análisis de los datos ponen de manifiesto cómo las docentes afrontan un problema de su práctica, incorporando nuevos elementos de actuación respecto al diseño de tareas, incrementando en sus conocimientos, en específico, en relación con la noción de modelación, avanzando en este proceso en su desarrollo profesional.<hr/>Part of a doctoral work, framed within the teacher training online, is to analyze the tasks proposed by teachers teaching in a training course held in Chile in 2012, where participants have to identify a professional problem referred to teaching algebra and deepen on it designing, implementing and analyzing mathematical tasks for a class. After presenting some descriptors of tasks, with a qualitative methodology we use content analysis to describe the evolution of teaching tasks proposed by two teachers participating in this training course. Analysis of the data show how teachers face a problem of practice, incorporating new elements of action regarding the design of tasks, increasing their knowledge, specifically in relation to the notion of modeling, through this process in their professional development. <![CDATA[Pró-Letramento: relações com o saber e o aprender de tutores do pólo Itapecuru-Mirim/MA]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100023&lng=en&nrm=iso&tlng=en Parte de un trabajo doctoral, enmarcado dentro de la línea de formación de profesores, es analizar las tareas de enseñanza propuestas por docentes en un curso de formación realizado en Chile, en el año 2012, en donde sus participantes tienen que identificar un problema profesional referido a la enseñanza del álgebra y profundizar sobre el mismo diseñando, implementando y analizando tareas matemáticas para una clase. Luego de presentar algunos descriptores de las tareas, con una metodología cualitativa empleamos el análisis de contenido para describir la evolución de las tareas de enseñanza propuestas por dos profesoras participantes de este curso formativo. El análisis de los datos ponen de manifiesto cómo las docentes afrontan un problema de su práctica, incorporando nuevos elementos de actuación respecto al diseño de tareas, incrementando en sus conocimientos, en específico, en relación con la noción de modelación, avanzando en este proceso en su desarrollo profesional.<hr/>Part of a doctoral work, framed within the teacher training online, is to analyze the tasks proposed by teachers teaching in a training course held in Chile in 2012, where participants have to identify a professional problem referred to teaching algebra and deepen on it designing, implementing and analyzing mathematical tasks for a class. After presenting some descriptors of tasks, with a qualitative methodology we use content analysis to describe the evolution of teaching tasks proposed by two teachers participating in this training course. Analysis of the data show how teachers face a problem of practice, incorporating new elements of action regarding the design of tasks, increasing their knowledge, specifically in relation to the notion of modeling, through this process in their professional development. <![CDATA[As Geometrias Esférica e Hiperbólica em Foco: sobre a Apresentação de alguns de seus Conceitos Elementares a Estudantes do Ensino Médio]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100024&lng=en&nrm=iso&tlng=en Parte de un trabajo doctoral, enmarcado dentro de la línea de formación de profesores, es analizar las tareas de enseñanza propuestas por docentes en un curso de formación realizado en Chile, en el año 2012, en donde sus participantes tienen que identificar un problema profesional referido a la enseñanza del álgebra y profundizar sobre el mismo diseñando, implementando y analizando tareas matemáticas para una clase. Luego de presentar algunos descriptores de las tareas, con una metodología cualitativa empleamos el análisis de contenido para describir la evolución de las tareas de enseñanza propuestas por dos profesoras participantes de este curso formativo. El análisis de los datos ponen de manifiesto cómo las docentes afrontan un problema de su práctica, incorporando nuevos elementos de actuación respecto al diseño de tareas, incrementando en sus conocimientos, en específico, en relación con la noción de modelación, avanzando en este proceso en su desarrollo profesional.<hr/>Part of a doctoral work, framed within the teacher training online, is to analyze the tasks proposed by teachers teaching in a training course held in Chile in 2012, where participants have to identify a professional problem referred to teaching algebra and deepen on it designing, implementing and analyzing mathematical tasks for a class. After presenting some descriptors of tasks, with a qualitative methodology we use content analysis to describe the evolution of teaching tasks proposed by two teachers participating in this training course. Analysis of the data show how teachers face a problem of practice, incorporating new elements of action regarding the design of tasks, increasing their knowledge, specifically in relation to the notion of modeling, through this process in their professional development. <![CDATA[Educação e tecnologias: o novo ritmo da informação]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000100025&lng=en&nrm=iso&tlng=en Parte de un trabajo doctoral, enmarcado dentro de la línea de formación de profesores, es analizar las tareas de enseñanza propuestas por docentes en un curso de formación realizado en Chile, en el año 2012, en donde sus participantes tienen que identificar un problema profesional referido a la enseñanza del álgebra y profundizar sobre el mismo diseñando, implementando y analizando tareas matemáticas para una clase. Luego de presentar algunos descriptores de las tareas, con una metodología cualitativa empleamos el análisis de contenido para describir la evolución de las tareas de enseñanza propuestas por dos profesoras participantes de este curso formativo. El análisis de los datos ponen de manifiesto cómo las docentes afrontan un problema de su práctica, incorporando nuevos elementos de actuación respecto al diseño de tareas, incrementando en sus conocimientos, en específico, en relación con la noción de modelación, avanzando en este proceso en su desarrollo profesional.<hr/>Part of a doctoral work, framed within the teacher training online, is to analyze the tasks proposed by teachers teaching in a training course held in Chile in 2012, where participants have to identify a professional problem referred to teaching algebra and deepen on it designing, implementing and analyzing mathematical tasks for a class. After presenting some descriptors of tasks, with a qualitative methodology we use content analysis to describe the evolution of teaching tasks proposed by two teachers participating in this training course. Analysis of the data show how teachers face a problem of practice, incorporating new elements of action regarding the design of tasks, increasing their knowledge, specifically in relation to the notion of modeling, through this process in their professional development.