Scielo RSS <![CDATA[Bolema: Boletim de Educação Matemática]]> http://www.scielo.br/rss.php?pid=0103-636X20190001&lang=en vol. 33 num. 63 lang. en <![CDATA[SciELO Logo]]> http://www.scielo.br/img/en/fbpelogp.gif http://www.scielo.br <![CDATA[Consultores <em>Ad hoc</em> – 2018]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100001&lng=en&nrm=iso&tlng=en <![CDATA[Brazilian Society of Mathematics Education, 30 years: subjects, policies and knowledge production]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100002&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo A Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) comemorou, em 2018, seus 30 anos de fundação. Visando celebrar a data, o VII Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM), realizado em novembro de 2018, em Foz do Iguaçu (Paraná, Brasil), organizou, como uma de suas atividades, uma mesa redonda que tinha como tema: A SBEM e a pesquisa em Educação Matemática no Brasil. O interesse pelo registro dessa atividade, fundamentado no reconhecimento da importância da SBEM para a Educação Matemática brasileira, é a principal motivação para a composição deste texto. Nele realizamos uma discussão sobre o envolvimento de nossa Sociedade com a construção de uma comunidade científica em Educação Matemática e problematizamos, com base em uma das falas proferidas no evento, as relações da SBEM com o ensino de Matemática e com a formação de professores que ensinam Matemática a partir de movimentos histórico-políticos que marcam a trajetória da Sociedade, particularmente o engajamento de seus sujeitos com responsabilidades coletivas em diferentes tempos, inclusive os porvir. Esperamos que as compreensões elaboradas neste e nos outros textos que compuseram a mesa, que serão publicados em outras edições do BOLEMA, contribuam para compartilhar e avaliar nossa atuação como Sociedade, compondo e pensando nossa memória coletiva e nosso acúmulo histórico para o enfrentamento dos desafios de nosso tempo.<hr/>Abstract The Brazilian Society of Mathematical Education (SBEM) celebrated the 30th anniversary of its founding in 2018. In order to celebrate the date, the VII International Seminar on Research in Mathematical Education (SIPEM), held in November 2018 in Foz do Iguaçu (Paraná, Brazil), organized as one of its activities a roundtable discussion that had as its theme: SBEM and the research in Mathematics Education in Brazil. The interest in recording that activity, based on the recognition of the importance of SBEM for Brazilian Mathematical Education, is the main motivation for the writing of this text. In this article, we develop a discussion about our society's involvement with the construction of a scientific community in Mathematics Education. Based on one of the speeches given at the event, we aim to discuss the SBEM's relationships with teaching mathematics and with the formation of mathematics teachers from historical-political movements that mark the trajectory of the society, particularly the engagement of its subjects with collective responsibilities at different times, including the times yet to come. We hope that the understandings elaborated in this and other texts presented in this round-table discussion, which will be published in other editions of BOLEMA, contribute to share and evaluate our actions as a Society, constituting and thinking our collective memory and our historical accumulation to face the challenges of our time. <![CDATA[Design and Evaluation of a Hypothetical Learning Trajectory to Confidence Intervals based on Simulation and Real Data]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100003&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen En el presente artículo se discute sobre el diseño de una trayectoria hipotética de aprendizaje para introducir los intervalos de confianza en un curso básico universitario, desde una perspectiva informal basada en datos de encuestas y simulación del muestreo. La trayectoria consta de cuatro actividades y fue evaluada como parte de un primer ciclo de mejora con un grupo de 11 estudiantes (19-21 años) de la carrera de estudios internacionales en una universidad mexicana. Los resultados se obtuvieron del análisis de las hojas de trabajo y los archivos del software entregados por los estudiantes al final de cada actividad, adicionalmente un conjunto de ítems seleccionados de la prueba AIRS (Assessment Inferential Reasoning in Statistics) fueron respondidos por los estudiantes en una evaluación final. Los resultados muestran que es posible razonar adecuadamente con conceptos complejos que subyacen a una inferencia estadística, utilizando datos con contextos reales y herramientas computacionales dinámicas e interactivas que permiten visualizar, en tiempo real, el muestreo y sus resultados. Sin embargo, algunos conceptos resultaron particularmente difíciles para el estudiantado, como la distinción entre población, muestra y distribución muestral de un estadístico, propiedades de las distribuciones muestrales e intervalos de confianza.<hr/>Abstract This article discusses the design of a hypothetical learning trajectory to introduce the confidence intervals in a basic university course, from an informal perspective based on the use of data obtained from surveys and samples simulation. The trajectory consists of four activities and was evaluated as part of a first improvement cycle with a group of 11 students (19-21 years) of international studies career at a Mexican university. The results were obtained from the analysis of the worksheets and software files delivered by the students at the end of each activity, in addition a set of items selected from the AIRS test (Assessment Inferential Reasoning in Statistics), which were answered by the students in a final evaluation. The results show that it is possible to reason adequately with complex concepts that underlie a statistical inference, using data with real contexts and dynamic and interactive computer tools that allow real time visualization of the sampling results. However, some concepts were particularly difficult for the students, as the distinction between population, sample and sampling distribution, properties of sampling distributions and confidence intervals. <![CDATA[Mathematics Teachers Training in Rural Education Graduation Courses: letters, epistemologies and curriculums]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100027&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Este trabalho busca problematizar a formação de professores de Matemática em Licenciaturas em Educação do Campo. Para isso, discutimos questões epistemológicas e curriculares que se situam no deslocamento de uma formação disciplinar, aquela que toma a Matemática como a reunião de um conjunto de saberes historicamente construídos e consolidados pela comunidade científico-acadêmica dos matemáticos, para uma formação por áreas de conhecimento, proposta e desafio colocado às Licenciaturas em Educação do Campo. Junto a narrativas produzidas por alunos da habilitação em Matemática do curso de Licenciatura em Educação do Campo, da UFMG, a partir de um projeto de ensino que envolvia a escrita de cartas, apresentamos considerações sobre como as dimensões da formação por áreas do conhecimento, bem como as dinâmicas de um curso em alternância, desdobram-se em aspectos formativos que, para além de uma abordagem disciplinar, envolvem modos de estar, de conhecer e de ser que rompem com epistemologias e currículos tradicionalmente estabelecidos nos cursos de formação de professores de Matemática.<hr/>Abstract This work aims to problematize mathematics teachers training in Rural Education graduation courses. In order to achieve this, we discussed epistemological and curricular questions that are in the displacement of a disciplinary training, the one that takes mathematics as the gathering of a set of knowledge historically constructed and consolidated by the mathematics scientific-academic community, for a training by area of knowledge, proposal and challenge placed to the Rural Education graduation courses. With the narratives produced by mathematics graduation students from a Rural Education course in a teaching project involving the elaboration of letters, we presented considerations about the dimensions of a training by areas of knowledge. Also, the dynamics of a course in alternation unfold in formative aspects that, in addition to a disciplinary approach, involve ways of being and knowing that break with epistemologies and curriculums traditionally established in mathematics teachers training courses. <![CDATA[Práticas Algébricas no Contexto de Projetos Pedagógicos de Modelagem]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100045&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Apresentamos uma análise do processo de constituição de práticas algébricas no contexto de projetos pedagógicos de modelagem -PPM-. Partimos da ideia de que as práticas algébricas indicam um conjunto de ações orientadas ao tratamento analítico de quantidades indeterminadas, mas, no contexto dos PPM, se constituem mediante a coordenação de processos de covariação espaço–temporal das quantidades intencionalmente escolhidas, com formas de correlação próprias das estruturas conceituais invariantes que tendem a experimentar um caráter “a-espacial” e “atemporal”. Seguindo as ideias da teoria da atividade (ENGESTRÖM, 1999; LEONTIEV, 1978; VYGOTSKY, 1981) e do construto teórico de Seres-Humanos-Com-Mídias (BORBA; VILLARREAL, 2005) consideramos que tal coordenação se desenvolve como um processo interativo de atores humanos (alunos e professor) e não humanos (artefatos culturais) que entram em atividade de modelagem e imbricam, na singularidade de suas ações, diferentes possibilidades de covariação e correlação. Concluímos que o caráter algébrico das práticas se dá mediante a configuração de uma zona de confluência de significação variacional/particular e correlacional/geral através do uso de diferentes formas de representação simbólicas. O processo é exemplificado mediante um dos momentos desenvolvidos por um grupo de alunos de Biologia da UNESP/Campus Rio Claro, estado de São Paulo, Brasil, quando foram convidados a desenvolver projetos de modelagem em uma disciplina de Matemática no segundo semestre do ano de 2013.<hr/>Resumen Presentamos un análisis del proceso de constitución de prácticas algebraicas en el contexto de proyectos pedagógicos de modelación -PPM-. Partimos de la idea que las prácticas algebraicas indican un conjunto de acciones orientadas al tratamiento analítico de cantidades indeterminadas, pero, en el contexto de los PPM, se constituyen mediante una singular coordinación de procesos de covariación espacio-temporal de las cuantidades intencionalmente escogidas, con formas de correlación propias de estructuras conceptuales invariantes que tienden a experimentar un carácter “a-espacial” y “a-temporal”. Con base en las ideas de la Teoría de la Actividad (ENGESTRÖM, 1999; LEONTIEV, 1978; VYGOTSKY, 1981) y del constructo teórico Seres-Humanos-Con-Instrumentos (BORBA; VILLARREAL, 2005), consideramos que tal coordinación se desarrolla como un proceso interactivo de actores humanos (alumnos y profesor) con no humanos (artefactos culturales) que entran en actividad de modelación e imbrican, en la singularidad de sus acciones, diferentes posibilidades de covariación y correlación. Concluimos que el carácter algebraico de las prácticas se da mediante la configuración de una zona de confluencia de significación variacional/particular e correlacional/general a través del uso de diferentes formas de representación simbólica. El proceso es ejemplificado mediante uno de los momentos desarrollados por un grupo de alumnos de Biología de la UNESP/Rio Claro/São Paulo/Brasil, cuando fueron invitados a desarrollar proyectos de modelación en un curso de matemática durante el segundo semestre del 2013. <![CDATA[Contributions of Dynamic Geometry to the notion of function study starting from a geometrical problem: a praxeological analysis]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100067&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen Este trabajo tiene como eje la descripción y análisis praxeológico de un problema planteado en el marco geométrico que permite iniciar el estudio de la noción de función. Para ello, se realiza un análisis previo de los saberes y saberes-hacer que pueden ponerse en juego al estudiar ese problema. Luego, el mismo problema es adaptado y presentado en numerosos talleres y cursos de formación docente, con la particularidad que se incorpora en el proceso de resolución, la Geometría Dinámica. Posteriormente, se realiza un nuevo análisis en base a esas experiencias. La investigación es descriptiva y se enmarca en la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Se concluye que el saber-hacer asociado a la Geometría Dinámica, en los procesos de estudio, permite incorporar las nociones constitutivas del concepto de función con sentido, partiendo de un equipamiento praxeológico mínimo.<hr/>Abstract The objective of this research is to describe and perform a praxeological analysis of a geometrical problem that allows initiating the study of the function concept. We make a previous analysis of the knowledge and knowhow that can be used while studying this problem. Then, the problem is presented in numerous courses for Mathematics teachers, incorporating a Dynamic Geometry software. A subsequent analysis of praxeologies is performed. The research is descriptive and the theoretical framework adopted is the Anthropological Theory of the Didactic. The conclusion is that integrating Dynamic Geometry into the studying process allows learning the function concept starting from minimal praxeological equipment. <![CDATA[Justifying Geometrical Generalizations in Elementary School Preservice Teacher Education]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100088&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Este artigo enquadra-se numa experiência de formação com futuras professoras e educadoras do 2° ano de uma Licenciatura em Educação Básica, desenvolvida em Portugal, em que estas produziram justificações de generalizações num contexto de ensino exploratório. O estudo tem como objetivo compreender a forma como justificam generalizações sobre famílias de figuras geométricas. Os dados foram recolhidos por registros de áudio e vídeo e das produções escritas das formandas, focando-se nos argumentos usados para justificar generalizações sobre famílias de figuras. Na análise, mereceu especial atenção o tipo de argumentos, o seu grau de generalidade, as dificuldades manifestadas e os aspectos que promoveram a aprendizagem deste processo. Os resultados mostram que as formandas revelam algumas dificuldades em construir justificações, em parte pela incompreensão da natureza da justificação. Inicialmente manifestam dificuldades com o objeto de estudo (uma família de figuras em vez de uma figura única), e dificuldades na explicitação completa de argumentos e o seu discurso assenta, sobretudo, em casos particulares. A associação da justificação ao investigar o porquê da generalização, bem como a natureza e o desenho cuidadoso da tarefa e a interação na sala de aula podem potenciar a melhoria das justificações.<hr/>Abstract This article is part of a teacher education experience implemented in Portugal with future teachers and educators of the 2nd year of a basic education degree, in which they have produced evidence of justifications of generalizations in a context of exploratory teaching. The study aims to understand how they justify generalizations about families of geometric figures. Data were collected by audio and video records and from the participants’ written productions, focusing on arguments used to justify generalizations about families of figures. In the analysis, special attention was given to the kind of arguments, its generality degree, the difficulties expressed and the aspects that have promoted the learning of this process. The results show that the participants had some difficulties in building justifications, in part by the lack of understanding about the justification nature. Initially, they expressed difficulties with the study object (a family of figures instead of a unique figure) and difficulties in fully providing arguments and their discourse was mainly based on specific cases. The association of justification to investigate the generalization, as well as the nature and the careful task design and classroom interaction may promote the improvement of justifications. <![CDATA[Types of Problems that Elicit Inductive, Abductive, and Deductive Arguments]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100109&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen En este artículo se presenta una relatión entre tipos de problemas abiertos de conjeturación en geometría, preferiblemente abordados en Entornos de Geometría Dinámica (EGD), y clases de argumentos producidos. Se expone cómo cada tipo de problema provoca la producción de argumentos (inductivos, abductivos o deductivos) durante el proceso de resolución. Para apoyar la idea, se exponen estrategias de solución producidas por estudiantes de un curso de geometría plana de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Colombia), cuando abordan problemas que involucran el objeto mediatriz de un segmento. Usando el modelo de argumento propuesto por Toulmin para analizar dichas estrategias, se identifican los tipos de argumentos asociados a cada tipo de problema. Se señala cómo la tipología de problemas puede contribuir al conocimiento didáctico-matemático del profesor de matemáticas.<hr/>Abstract This paper presents a relation between the types of conjecturing open problems in geometry, preferably solved using Dynamic Geometry Systems, and the types of arguments produced. The aim of this paper is to show how each type of problem can elicit the production of certain types of arguments (inductive, abductive, and deductive) during the problem-solving process. To back this idea, we use examples of specific problems (that involve the geometric object perpendicular bisector of a segment) and show solution strategies produced by students of a plane geometry course included in a pre-service mathematics teacher program (Universidad Pedagógica Nacional, Colombia). Using the argument model proposed by Toulmin to analyze these strategies, we identify the types of arguments associated with each type of problem. Finally, we indicate the typology of problems that can contribute to the didactic-mathematical knowledge of the mathematics teacher. <![CDATA[Valuation Guide of Didactic Suitability of Instructional Processes in Statistic Didactics]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100135&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen Reconociendo el importante rol que cumplen los docentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la estadística y probabilidad, en este artículo abordamos el problema de la valoración de planes de formación de profesores de matemática en didáctica de la estadística. Para ello, se describe el proceso de construcción de una guía que valorice su idoneidad, según una colección de indicadores inferidos por medio de la técnica de análisis de contenido de documentos, de consenso internacional, que rigen u orientan esta etapa formativa. Como consecuencia, la guía resultante se organiza en dos dimensiones de análisis, una que nos permita caracterizar el conocimiento didáctico-matemático del futuro profesor según las expectativas de aprendizaje institucionales de sus estudiantes (faceta epistémica), y una segunda que considera las responsabilidades del formador con los docentes en formación (facetas restantes). Esperamos que este instrumento sea un insumo valioso tanto para formadores como para quienes tengan la tarea de diseñar o evaluar planes formativos para futuros docentes.<hr/>Abstract In order to recognize the important role of teachers in the discipline's teaching and learning processes, in this article, we confront the problem of valuating the teaching planning in statistics didactics. For this, we describe the construction process of a guide that values its suitability according to a collection of indicators inferred through the content analysis technique of international consensus documents that guide this formative stage. As a consequence, the resulting guide is organized into two analysis dimensions, one that allows us to characterize the didactic-mathematical knowledge of the future teacher according to the institutional learning expectations of its students (epistemic facet) and the second that considers the trainer responsibilities with teachers in training (remaining facets). We hope that this instrument is a valuable input for both, trainers and those who have the task of designing or evaluating teaching planning for future teachers. <![CDATA[Appropriation of the Division Concept by Means of Pedagogic Intervention with Active Methodologies]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100155&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Nesse estudo são apresentados os dados de pesquisa que teve por objetivo verificar avanços de estudantes na compreensão da divisão após passarem por intervenção, quando comparados a estudantes que não passaram por tal intervenção. E ainda: observar ocorrência de relação entre aqueles avanços de compreensão com a intervenção realizada de estudantes do 4° ano do Ensino Fundamental na resolução de situação problema envolvendo o conceito de divisão. Doze estudantes após um pré-teste foram alocados em dois grupos. Ao grupo experimental (GE) foi proposta intervenção pedagógica com metodologias ativas: jogos, desafios e situações-problema. Foram 13 encontros semanais de 2 horas de duração. No pré-teste os dois grupos não diferiam entre si, apresentando o mesmo nível de compreensão da operação de divisão. Após a intervenção, os participantes do grupo experimental apresentaram expressivos progressos, nas condutas da divisão. Os participantes do grupo experimental superaram as dificuldades iniciais, o mesmo não sendo observado em relação aos participantes do grupo controle (GC).<hr/>Abstract In this study, we present the data referring to a research aimed at verifying the students' progress in understanding division after going through an intervention, compared to students that did not go through this intervention. Also: we observe the occurrence of a relation-link between the comprehension progress, and the intervention carried out, with students in the 4th grade of elementary education, in the solution of a problem situation involving the division concept. After a pre-test, twelve (12) students were divided into two groups; the experimental group (GE) received a pedagogic intervention with active methodologies: games, challenges and problem situations. We had thirteen two-hour weekly meetings during the research. In the pre-test, both groups presented the same level of understanding of the division process. After the intervention, the experimental group participants made expressive progress in the division sums. The experimental group students overcame their initial difficulties, a fact which was not observed in the control group participants. <![CDATA[Mental Calculus and Arithmetic Teaching in Schools in Rio de Janeiro at the End of the 19th Century]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100177&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo O cálculo mental vem sendo considerado um recurso didático valorizado no Brasil, mais especialmente a partir de 1990, com a publicação de documentos que reforçaram sua importância para o ensino da Matemática na Escola Básica. Entretanto, sugestões para sua utilização já estavam presentes em recomendações curriculares para a escola primária e a secundária desde o século XIX. Incorporado a orientações para a aritmética, o cálculo mental aparece na esteira das propostas de renovação do ensino juntamente com as ideias do método intuitivo, a partir da década de 1870. Neste texto, tem-se como objetivo investigar de que forma o cálculo mental esteve presente nas prescrições para o ensino de aritmética e de que forma foi implementado na prática dos professores em escolas da cidade do Rio de Janeiro. Pretende-se destacar a importância do cálculo mental no ensino de aritmética nos últimos anos do século XIX em documentos oficiais e como o cálculo mental era apresentado em obras didáticas, programas e materiais de ensino.<hr/>Abstract Mental calculus has been considered a didactic resource valued in Brazil, especially since 1990, with the publication of documents that reinforced its importance for Mathematics teaching in elementary education. However, suggestions for its use are already present in the curricular recommendations for elementary and secondary education since the 19th century. Incorporated into guidelines for arithmetic, mental calculus appears in the wake of proposals for teaching renewal together with the intuitive method ideas, beginning in the 1870s. In this text, the objective is to investigate how mental calculus was present in the prescriptions for the arithmetic teaching and how it was implemented in the teachers practice in schools in Rio de Janeiro. It is intended to highlight the importance of mental calculus in arithmetic teaching in the late nineteenth century in official documents and how mental calculus was presented in didactic works, programs and teaching materials. <![CDATA[Strategies in solving algebraic problems in an intercultural context in Higher Education]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100205&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen El presente escrito tiene por objetivo caracterizar las estrategias que utilizan los estudiantes universitarios en un contexto intercultural cuando resuelven problemas algebraicos, previo al tratamiento formal del tema de ecuaciones lineales en este nivel educativo. La investigación adopta un marco conceptual; se definen los constructos estrategias (reflexivas e irreflexivas), problemas y problemas algebraicos. Es un estudio de cinco casos. Para la colecta de datos se utilizaron cuestionarios escritos que plantearon cinco problemas algebraicos y entrevistas audio grabadas. Los resultados indican que los estudiantes utilizan siete estrategias reflexivas (por ejemplo, se apoya de hechos conocidos y genera relaciones, realiza un trabajo hacia atrás, entre otras) y una estrategia irreflexiva, algunas de las cuales han sido identificadas en otras investigaciones. Los resultados invitan a incorporar algunas de las estrategias personales de los estudiantes durante la enseñanza formal en el aula de clases de Matemáticas, como una forma de practicar la interculturalidad y promover la participación de los estudiantes.<hr/>Abstract This paper aims to characterize the strategies that university students use in an intercultural context when solving algebraic problems, previous to the formal instruction of the linear equations topic in this educational level. The research adopts a conceptual framework; defining strategies (reflexive and unreflective), problems and algebraic problems. This is a five-case study. We used written questionnaires which raised five algebraic problems and recorded audio interviews for collecting data. The results indicate that students use seven reflexive strategies (for example, they support on known facts and generate relationships, make backward work, among others) and an unreflective strategy, some of which have been identified in other researches. The results obtained invite to incorporate some of the students' personal strategies during formal instruction in the Mathematics classroom as a way of practicing the interculturality and encouraging students’ participation in the classroom. <![CDATA[Analysis of the Didactic Device Management by a Mathematics Teacher Trainee]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100226&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen En este trabajo describimos resultados de la gestión de un dispositivo didáctico realizada por un estudiante del profesorado en matemática. El estudiante participó de un curso diseñado para la formación didáctico-matemática, en el cual se aboga por un paradigma emergente basado en la investigación. Este adopta una concepción epistemológica de la matemática, que intenta poner en evidencia su utilidad y la vinculación con otras disciplinas. El estudiante llevó a cabo su implementación en un curso de quinto año de la escuela secundaria, en Argentina. La propuesta didáctica gestionada por el estudiante de profesorado posibilitó la realización de algunos gestos propios del paradigma de la investigación en las condiciones actuales de la escuela secundaria.<hr/>Abstract This work is set in the problematic of mathematics trainees. We describe the result of the didactic device management by a mathematics trainee. The student did a course that we designed to the didactic mathematic formation, which adopts a didactic non-traditional model based in research and the link with other disciplines. This student carried out his implementation in a fifth year of an Argentine high school. The didactic device enables the management of some gesture typical of the research and world questions paradigm, in the current condition of the high school. <![CDATA[Mother Tongue and Communication in the Construction of Mathematical Thinking]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100248&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen Este artículo presenta resultados de una investigación cuyo objetivo fue establecer el rol de la lengua materna en la construcción del pensamiento matemático, en un grupo multigrado de área rural. Se hace una discusión teórica sobre la comunicación, el uso de la lengua materna y las representaciones en clase de matemáticas; además, se ilustra respecto a las tareas exploratorio-investigativas de matemáticas. La investigación siguió un enfoque cualitativo, desde la perspectiva de la investigación-acción. Se describe y analiza una tarea exploratorio-investigativa realizada con los niños, de lo cual es posible intuir que la comunicación en la clase de matemáticas a través de la lengua materna es una herramienta fundamental en el manejo concreto, conceptual o simbólico de los conceptos matemáticos. Se percibe que los niños se acercan a los significados desde su lenguaje cotidiano, asignando sentido a lo que leen, escuchan o representan a través de la interacción comunicativa oral o escrita.<hr/>Abstract This article presents results of a research with the objective of establishing the mother tongue's role in the construction of mathematical thought on a multi-grade group of a rural area. There is a theoretical discussion about communication, the use of the mother tongue and representations in math class; it is also illustrated with respect to the exploratory-research mathematics task. The research followed a qualitative approach, from the perspective of action research. The exploratory-investigative task carried out with the children is described and analyzed, from which it is possible to intuit that math class communication through the mother tongue is a fundamental tool in the concrete, conceptual or symbolic handling of mathematical concepts. It is perceived that children construct meaning from their everyday language, assigning meaning to what they read, hear or represent through oral or written communicative interaction. <![CDATA[Developing Elementary Algebraic Reasoning through Counting with Patterns Activities]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100269&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen Las tareas de recuento con patrones son un contexto privilegiado para el desarrollo del razonamiento algebraico. La complejidad ontosemiótica de las tareas permite identificar procesos de estudio para hacer progresar el desempeño en sucesivos niveles de algebrización, desde la manipulación meramente aritmética hasta una práctica con un nivel algebraico consolidado. El objetivo es doble: por un lado, elaborar indicadores que permitan valorar el desempeño de una práctica operatoria y discursiva en la resolución de tareas de recuento de patrones; por otro lado, proponer una secuencia que tenga en cuenta las restricciones epistemológicas, cognitivas y de enseñanza propias de estas prácticas. Un diseño pre-test y post-test mediante un cuestionario de preguntas abiertas y el análisis cualitativo de las respuestas por estudio de casos aporta información relevante sobre el desarrollo del razonamiento algebraico de los sujetos en los sucesivos niveles de algebrización. Se concluye que el Pensamiento Matemático Flexible es un indicador clave de la competencia algebraica de los sujetos, y se aporta una secuencia de enseñanza que parte de una estrategia inicial, basada en manipulaciones concretas y generalizaciones cercanas hasta el análisis de distintas expresiones analíticas.<hr/>Abstract The counting tasks with patterns are a privileged context for the development of algebraic reasoning. The onto-semiotic complexity of tasks allows the identification of study processes to improve performance in successive algebrization levels, from purely arithmetic manipulation to a practice with a consolidated algebraic level. The objective is twofold: on the one hand, to elaborate indicators that allow evaluating the performance of an operative and discursive practice in the task resolution of counting patterns. On the other hand, to propose a sequence that takes into account the epistemological, cognitive, and teaching restrictions common to these practices. A pre-test and post-test design is proposed using an open-ended questionnaire. A qualitative analysis is carried out through a case study, which provides relevant information on the development of the subjects' algebraic reasoning in the successive algebrization levels. It is concluded that Flexible Mathematical Thinking is a key indicator of the subjects’ algebraic competence; we also provided a teaching sequence that start from a basic strategy based on concrete manipulations and close generalizations to the analysis of different analytical expressions. <![CDATA[Letters from Foreign Mathematicians about the Context of Brazil in the 1970's]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100290&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Em 1971, foi realizado o Simpósio Internacional de Sistemas Dinâmicos, em Salvador, com a participação de importantes matemáticos brasileiros e estrangeiros. Steve Smale, renomado matemático e ganhador da Medalha Fields, foi um dos palestrantes destacado no evento. Neste artigo, serão apresentadas a carta que Paul Koosis escreveu a Steve Smale criticando sua ida ao Brasil naquele momento político, a carta de Smale com sua resposta justificando a sua participação no evento e a carta em que Mike Shub descreve suas impressões sobre a atmosfera no Brasil durante o regime militar. Todas as cartas foram divulgadas no boletim informativo Mother Functor, no Departamento de Matemática da Universidade da Califórnia, em Berkeley. A partir das cartas, pretende-se levantar aspectos do contexto do desenvolvimento científico matemático no Brasil em meados das décadas de 1960 e 1970.<hr/>Abstract The International Symposium on Dynamical Systems was held in Salvador, in 1971, with the participation of important Brazilian and foreign mathematicians. Steve Smale, distinguished mathematician and winner of the Fields Medal, was one of the speakers at this event. In this paper, we present the letter Paul Koosis wrote to Steve Smale criticizing his trip to Brazil on that political moment; the response letter from Smale, justifying his participation in the event, and the letter in which Mike Shub describes his impressions about the atmosphere in Brazil during the military dictatorship. All the letters were published on the Mother Functor newsletter, a bulletin that circulated in the Department of Mathematics, at University of California-Berkeley. From the letters’ information, the purpose is to present the context of mathematical scientific development in Brazil in the mid-1960's and beginning of the 1970's. <![CDATA[Statistical Knowledge: a way of perceiving the academic productions of PROFMAT]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100309&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Este artigo destaca uma análise dos Trabalhos de Conclusão de Curso do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, específicamente, os que tratam dos usos do saber estatístico, a partir dos conceitos de discurso e governamentalidade de Michel Foucault. Para tal, na primeira seção do artigo, visibilizamos a inclusão dos números como prática discursiva na sociedade contemporânea. Na segunda, apresentamos o entendimento do saber estatístico como uma tecnologia de governamento. Logo após, na terceira seção, tratamos o discurso como prática. Na quarta, a partir dos conceitos adotados, analisamos as produções acadêmicas dos professores/alunos do Mestrado Profissional. Nessas produções percebemos que os usos do saber estatístico operam ora produzindo, ora reproduzindo saberes que posicionam os sujeitos quando da sua relação com números, índices, taxas, gráficos e tabelas.<hr/>Abstract This paper highlights an analysis in the Conclusion Papers of the Professional Master's Degree Course in Mathematics in National Network, specifically, those that deal with the uses of statistical data, from the concepts of discourse and governmentality of Michel Foucault. With that objective, in the first section of the present paper, we included the numbers as a discursive practice in contemporary society. In the second section, the understanding of statistical knowledge is presented as a governance technology of governance. In the third section, the discourse is dealt as practice. In the fourth section, from the adopted concepts, we analyze the academic productions of the professors/ students of the professional master's degree. In these productions, we noticed that the use of statistical knowledge operate either by producing, or by reproducing the knowledge that positions the subjects in their relationship with numbers, indexes, rates, graphs and tables. <![CDATA[A Study and Research Path for the Study of Simple and Compound Interest Notions]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100327&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Neste artigo, apresentamos um recorte de um estudo sobre as relações pessoais de um grupo de estudantes do Ensino Superior de Tecnologia em Gestão Comercial, submetidos a um Percurso de Estudo e Pesquisa - PEP. Focamos aqui no processo de implementação e experimentação do PEP e a análise dos gestos didáticos encontrados durante este processo. Sendo a engenharia didática de tipo PEP um constructo teórico da Teoria Antropológica do Didático - TAD, consideramos aqui elementos dessa teoria que fundamentaram teoricamente a pesquisa, em particular, as noções relação pessoal, praxeologia e as dialéticas. A pesquisa foi de natureza qualitativa e a experimentação do PEP foi realizada com noventa estudantes de uma universidade particular do estado de São Paulo em oito sessões de uma hora cada. Como resultado, observamos que, em função da nova metodologia utilizada, as noções do domínio da Matemática Financeira foram tratadas pelos estudantes como ferramentas integradas a outras disciplinas, o que não corresponde à forma de desenvolvimento habitual do curso.<hr/>Abstract In this paper, we present a study of the personal relations of a group of higher education business management technology students submitted to a Study and Research Path - SRP. We focused on the SRP implementation and experimentation process and the analysis of didactic gestures found during this process. As the didactic engineering of SRPs is a theoretical construct of the Anthropological Theory of the Didactic - ATD, we consider here the elements of this theory that theoretically grounded the research, in particular, the notions of personal relation, praxeologies, and the inquiry dialectics. The research was of a qualitative nature and the SRP experimentation was carried out with ninety students from a private university of the state of São Paulo in eight one-hour sessions. We observed that, as a result of the new methodology used, the notions of the financial mathematics field were treated by the students as tools integrated to other disciplines, which does not correspond to the usual development of the course. <![CDATA[Mathematical Intradisciplinarity with GeoGebra in School Mathematics]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100348&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Neste artigo discutimos o trabalho intradisciplinar na Matemática escolar e trazemos evidências de que o uso do GeoGebra o favorece. Para tanto, questionamos o processo de disciplinarização da ciência, que contribuiu com o aprofundamento das diversas áreas, ao mesmo tempo em que impulsionou uma crescente dissociação entre elas. De igual modo, a hiper-especialização do saber matemático contribuiu para a fragmentação da Matemática escolar nas ramificações aritmética, geometria e álgebra, o que tem dificultado seu aprendizado pelos alunos. Buscando o equilíbrio entre fragmentação e totalização, investigamos a intradisciplinaridade da Matemática escolar com GeoGebra. A metodologia utilizada é de cunho qualitativo e aqui analisamos uma atividade de exploração do raciocínio proporcional, desenvolvida com professores de Matemática que atuavam nos Anos Finais do Ensino Fundamental. A análise indica que o GeoGebra oportuniza a exploração de múltiplas representações que destacam particularidades das ramificações matemáticas por meio de seus diversos recursos e janelas que apresentam os objetos matemáticos dinamicamente conectados, o que contribui para que as desvantagens de cada representação sejam supridas pelas vantagens das outras, no que se refere ao ensino e à aprendizagem de Matemática. Concluímos que a abordagem matemática intradisciplinar com GeoGebra ressalta o trabalho concomitante entre as diferentes ramificações matemáticas e oferece ao professor a possibilidade de explorá-lo em sua prática pedagógica.<hr/>Abstract In this paper, we discuss the intradisciplinary work in school mathematics and bring evidences that the use of GeoGebra favors it. In order to do so, we question the process of disciplining science that contributed to the deepening of various areas, at the same time as it propelled a growing dissociation among them. Similarly, the hyper-specialization of mathematical knowledge has contributed to the fragmentation of school mathematics in the arithmetic, geometry, and algebra ramifications, which has made it difficult to learn by the students. Seeking the balance between fragmentation and totalization, we investigated the intradisciplinarity of school mathematics with GeoGebra. We used a qualitative research methodology and we analyzed an activity of proportional reasoning exploration developed with mathematics teachers from an elementary school. The analysis indicate that GeoGebra allows for the exploration of multiple representations that highlight particularities of the mathematical fronts through its diverse resources and windows that present the dynamically connected mathematical objects, which contributes in a way that the disadvantages of each representation are satisfied by the advantages of the others in teaching and learning mathematics. We concluded that the intradisciplinary mathematical approach with GeoGebra emphasizes the concomitant work among the different mathematical ramifications and offers the teachers the possibility of exploring it in their pedagogical practice. <![CDATA[Primary Teachers’ Reflection and Collaboration Dynamics in a Mathematics Lesson Study]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100368&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Com este artigo, pretendemos mostrar como é que professoras do 1.° ciclo que ensinam Matemática e que participam num estudo de aula desenvolvem os seus modos de reflexão e colaboração. A investigação é de natureza qualitativa e interpretativa com design de estudo de caso. Os resultados mostram que o envolvimento em momentos de planejamento de tarefas e de análise do trabalho dos alunos, quando as professoras refletem sobre a prática e para a prática, as ajuda a desenvolverem relações de colaboração, passando de narrar e procurar ideias a trabalho em copropriedade. O envolvimento crescente do grupo com o propósito de atingirem objetivos comuns favoreceu também o desenvolvimento dos níveis de reflexão das professoras. Inicialmente, as professoras tendiam a atribuir as dificuldades dos alunos à natureza da Matemática ou à imaturidade dos alunos. No final, identificavam os problemas de aprendizagem dos seus alunos, sugeriam e fundamentavam modos de ajuda-los a ultrapassar essas dificuldades e transpunham essas sugestões para mudanças a serem feitas na sua própria prática.<hr/>Abstract With this article we aim to show how primary teachers teaching that participate in a lesson study in mathematics develop their reflections and collaboration. The research is qualitative and interpretive with a case study design. The results show that the involvement in moments of planning and analysis of the students’ work, where teachers reflect on practice and for practice helps them to develop collaborative relationships, moving from storytelling and scanning to joint work. The growing involvement of the group with the purpose of achieving common goals favored the development of teachers’ reflection levels. Initially, the teachers tended to attribute the students’ difficulties to the nature of mathematics or their immaturity. At the end, they identified their student's learning problems, suggested and justified ways to help them to overcome these difficulties and transposed these suggestions for changes to undertake in their own practice. <![CDATA[Working together with introductory situations of proportional reasoning in primary school. Analysis of a teaching experience centered on the teacher, the student and the content]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100389&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen Aunque suele haber un consenso bastante generalizado en educación matemática a favor de los modelos de instrucción de tipo constructivista, la cuestión de su pertinencia no deja de ser controvertida. Entre los modelos extremos centrados, bien en el estudiante o en el profesor, se pueden encontrar otros modelos de tipo mixto en los que ambos agentes del proceso educativo tienen papel protagonista, dependiendo del contenido cuyo aprendizaje se pretende y de los conocimientos previos de los estudiantes. En este trabajo se describe y fundamenta la implementación de un modelo instruccional de tipo mixto, que contempla una primera fase en la que el profesor adquiere el papel protagonista introduciendo el tema, una segunda fase de trabajo colaborativo entre profesor y alumnos, en la que resuelven conjuntamente una situación-problema, seguida de una tercera fase en la que los alumnos trabajan de manera autónoma. Este modelo ha sido experimentado con alumnos de 5° curso de primaria, siendo su objetivo crearles un primer encuentro con los problemas de proporcionalidad directa. Aunque se trata de un estudio de caso que no permite generalizar los resultados, la evaluación de los aprendizajes logrados permite formular hipótesis sobre la influencia del modelo mixto de instrucción en los aprendizajes de los alumnos, las cuales se pueden contrastar en nuevos ciclos de investigación sobre este tema y en contextos similares.<hr/>Abstract Although there is a fairly generalized consensus in mathematics education in favour of constructivist-type instructional models, their pertinence is controversial. Between the extreme centered models, either on the student or on the teacher, we find other mixed type models, where both educational process agents play a leading role, depending on the intended content and the students’ previous knowledge. In this article, we describe and base the implementation of a three stages mixed-type instructional model: In a first phase, the teacher acquires the leading role by introducing the theme; in a second phase of collaborative work between teacher and students, they jointly solve a situation-problem, and in a third phase the students work autonomously. This model has been experimented with 5th grade primary school students, with the objective of creating a first encounter with direct proportionality problems. Although this is a case study that does not allow the generalization of results, the evaluation of the learning achieved serves to formulate hypotheses about the influence of the instructional mixed model on student learning, which can be tested in new research cycles on this subject and in similar contexts. <![CDATA[Célia Maria Carolino Pires: a mathematical educator and her reflections on curricular proposals]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100411&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo O presente artigo tem como objetivo apresentar, na perspectiva da professora Célia Maria Carolino Pires, alguns elementos que possibilitaram a construção de propostas curriculares de Matemática e seus documentos de implementação, no Estado de São Paulo, na década de 1980. A abordagem ao tema é realizada a partir de trechos de entrevista concedida pela professora que participou ativamente dos processos de elaboração, discussão e implementação das reformas associadas à disciplina de Matemática. Para a construção da narrativa fez-se uso de procedimentos metodológicos da história oral temática, recorrendo-se também à fontes escritas para detalhar as referências mencionadas pela professora, as quais estão evidenciadas nas notas de rodapé. O artigo aborda cinco momentos específicos: Geometria Experimental; Movimento Matemática Moderna; Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas; Guias Curriculares dos anos 1970/Propostas Curriculares dos anos 1980 e, finalmente, a Implementação das Propostas Curriculares. O artigo mostra a importância dos trabalhos com a História Oral na Educação Matemática e acrescenta o ponto de vista de uma importante pesquisadora no campo da Educação Matemática acerca de temas fundamentais para os estudos dos currículos de Matemática e sua história no Brasil.<hr/>Abstract This article aims to present, from teacher Célia Maria Carolino Pires perspective, some elements that made the formulation of mathematics curriculum proposals possible, as well as their implementation documents in the Brazilian state of São Paulo in the 1980s. The approach to the theme is based on excerpts from an interview given by the teacher, who actively participated in the processes to devise, discuss and implement mathematics education reforms. To construct the narrative, we used methodological procedures of thematic oral history and written sources to detail the references mentioned by the teacher, which are made explicit in footnotes. The article covers five specific moments: Experimental Geometry, the New Math Movement, the Coordinating Committee on Teaching Norms and Studies, the 1970s Curriculum Guidelines/the 1980s Curriculum Proposals, and the Implementation of Curriculum Proposals. The article shows the importance of Oral History production in Mathematics Education and adds the viewpoints of an important researcher in Mathematics Education about essential themes in studies on mathematics curricula and their history in Brazil. <![CDATA[Reflections on Mathematics and Truth]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2019000100434&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo O presente artigo busca discutir e problematizar a verdade dentro do contexto do conhecimento matemático e sua intrínseca relação com o desenvolvimento da ciência moderna e da modernidade. Para isso busca apresentar e discutir as ideias apresentadas por Michel Foucault sobre verdade-conhecimento e a noção de imaginário do ponto zero apresentada por Castro-Gómez. Após esta análise inicial, o artigo apresenta a noção de ideologia da certeza, que é uma das formas pelas quais as concepções de verdade apresentadas por Foucault e Castro-Gómez adentram no contexto escolar e da Educação Matemática. Por fim, apresentamos outro tipo de verdade, também proposta por Foucault e denominada verdade-acontecimento e sua relação com o contexto escolar.<hr/>Abstract The article aims to discuss and problematize the truth in the mathematical knowledge context and its intrinsic relation with the development of modern science and the modernity period. In order to do so, we will present and discuss the concepts presented by Michel Foucault on truth-knowledge and the zero-point epistemology notion presented by Castro-Gómez. After this initial analysis, the article presents the certainty ideology notion, which is one of the ways in which this truth conception presented by Foucault and Castro-Gómez in Mathematics enters the school context and Mathematics Education. Finally, we present another kind of truth, also proposed by Foucault and called the ‘truth-event’ and its relation to the school context.