Scielo RSS <![CDATA[Bolema: Boletim de Educação Matemática]]> http://www.scielo.br/rss.php?pid=0103-636X20170003&lang=en vol. 31 num. 59 lang. en <![CDATA[SciELO Logo]]> http://www.scielo.br/img/en/fbpelogp.gif http://www.scielo.br <![CDATA[EDITORIAL]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300001&lng=en&nrm=iso&tlng=en <![CDATA[The Persuasive Power of Refutation in Collective Argumentation]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300861&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen Este estudio está enmarcado en la argumentación matemática en el salón de clases. Tuvo como propósito identificar funciones que cumple la refutación de aserciones en argumentaciones colectivas. Esto se llevó a cabo mediante la implementación de un enfoque teórico metodológico fundamentado en el modelo argumentativo de Toulmin (2003), el cual permitió el estudio de las argumentaciones colectivas y sus estructuras dentro del salón de clases. Conjunto con lo establecido en la teoría se encontró cómo la refutación tiene un poder persuasivo sobre los argumentos de los estudiantes, ésta otra función de la refutación.<hr/>Abstract This study is framed in mathematical classroom argumentation. Its purpose was to identify functions of refutation of claims in collective argumentation. This was done through the implementation of a theoretical methodological approach based on the argumentative model of Toulmin (2003), which allowed the study of the collective argumentation and their structures within the classroom. Along with the theory convictions, we found how refutation has a persuasive power on the student's arguments, with this being another function of refutation. <![CDATA[Mathematical Creativity in the Solutions of Students Participating in a Problem-Solving Competition]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300880&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Assumindo a criatividade como um potencial que pode ser desenvolvido em todos os indivíduos, o objetivo deste estudo consiste em descrever, caracterizar e compreender a criatividade matemática manifestada nas respostas produzidas por alunos do Ensino Básico (10 a 12 anos) num campeonato de resolução de problemas de carácter inclusivo realizado através da Internet. A metodologia é de natureza interpretativa, utilizando a análise de conteúdo num conjunto de 10 resoluções a um dado problema. A análise apoia-se na aplicação de um referencial de criatividade matemática baseado nos parâmetros de originalidade, fluência e flexibilidade, adaptados à resolução de problemas matemáticos. Os resultados revelam diversas características da criatividade matemática nas produções dos participantes do campeonato, sobressaindo a primazia da originalidade que é reforçada pela capacidade de representação e de mobilização de conhecimento matemático. Apesar de ser variável a presença das três dimensões, o seu efeito combinado é determinante na individualização de resoluções matematicamente criativas.<hr/>Abstract Assuming creativity as a potential that can be developed in all individuals, the aim of this study is to describe, characterize, and understand mathematical creativity expressed in the solutions produced by elementary school students (10-12 years-old) in a problem-solving competition of an inclusive character and which runs through the Internet. The research method follows an interpretative approach, using content analysis in a set of 10 solutions to a given problem. The analysis draws on the application of a mathematical creativity framework based on the parameters of originality, fluency, and flexibility, which were adapted to mathematical problem-solving. The results reveal different features of mathematical creativity in the participants’ productions in the competition, with originality standing out albeit reinforced by the ability to represent and retrieve mathematical knowledge. While the presence of the three dimensions is variable, their combined effect determines the unique character of mathematically-creative solutions. <![CDATA[Metacognitive Behaviour of Malaysian Students While Solving Mathematical Problems of Form Three Assessment (PT3)]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300907&lng=en&nrm=iso&tlng=en ABSTRACT Several studies on metacognition have sought to solve mathematical problems. However, in Malaysia, there has yet to be a study investigating the metacognitive behaviour of students in solving mathematical problems of Form Three Assessment (Pentaksiran Tingkatan Tiga - PT3). This study was conducted to identify the metacognitive behaviour of students while solving mathematical problems in PT3 and examine differences in metacognitive behaviour among successful students (SS), partially successful students (PSS), and unsuccessful students (USS). A total of six (6) Form Three students in a school in Johor Bahru participated in this study. The research instrument used was the actual set of 2014's PT3 questions. Data were analysed using the Thinking Aloud method with reference to Foong's Taxonomy (1993), and it was supported by analysis of the students’ written work. Results showed seven types of metacognitive behaviour exhibited by the students, depending on the types of questions given. The analysis also found that each category of students showed different types of metacognitive behaviour while solving their PT3 mathematical problems. The SS group could control their metacognitive behaviour in mathematical problem-solving more regularly and frequently, the PSS students behaved moderately, while the USS group demonstrated limited metacognitive behaviour. As the results indicated differences in metacognitive behaviour among students of different performance levels, teachers should help students with weakness in solving mathematical problems implement metacognitive behaviour to strengthen their mathematical proficiency.<hr/>Resumo Vários estudos sobre metacognição procuraram resolver problemas matemáticos. Assim, na Malásia, existe um estudo investigando o comportamento metacognitivo dos alunos na resolução de problemas matemáticos da Avaliação do Ensino Médio (Pentaksiran Tingkatan Tiga - PT3). Esse estudo foi realizado para identificar o comportamento metacognitivo dos estudantes quanto à resolução de problemas matemáticos no PT3 e analisar as diferenças no comportamento metacognitivo entre os estudantes bem sucedidos (SS), estudantes parcialmente bem sucedidos (PSS) e estudantes não aprovados (USS). Um total de seis (6) estudantes do Ensino Médio em uma escola de Johor Bahru participaram desse estudo. O instrumento de investigação usado foi o conjunto de perguntas do PT3 de 2014. Os dados foram analisados usando o método Thinking Aloud com referência a Taxonomia de Foong (1993) e tendo como suporte a análise do trabalho escrito dos estudantes. Os resultados demonstraram sete tipos de comportamento metacognitivo exibido pelos estudantes, dependendo dos tipos determinados de perguntas. A análise também concluiu que cada categoria de estudantes evidenciou tipos diferentes de comportamento metacognitivo quanto à resolução dos problemas matemáticos de seus PT3. O grupo SS conseguiu controlar seu comportamento metacognitivo na resolução do problema matemático mais regularmente e com mais frequência, o PSS se comportou moderadamente, enquanto o grupo USS demonstrou um comportamento metacognitivo limitado. Como os resultados indicaram diferenças no comportamento metacognitivo entre os estudantes de níveis de desempenho diferentes, os professores deverão ajudar os estudantes com dificuldade em resolver os problemas matemáticos implementando o comportamento metacognitivo para reforçar a proficiência matemática dos mesmos. <![CDATA[The Posing of Mathematical Problems Involving Multiplicative Structures by Elementary School Teachers]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300928&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo O presente estudo investiga como professores do Ensino Fundamental concebem e formulam situações-problema inseridas no campo conceitual das estruturas multiplicativas. Trinta e nove professores do 1° ao 9° ano de escolas públicas foram solicitados a formular problemas matemáticos que pudessem ser resolvidos por meio de multiplicação e/ou de divisão. Os resultados mostram que os professores investigados compreendem o que uma situação multiplicativa significa e formulam problemas apropriadamente, sendo poucos os enunciados em que se omitem informações ou que apresentam imprecisões linguísticas. Verificou-se que a maioria dos problemas era de um mesmo tipo e envolviam apenas um passo para sua resolução. A pouca variabilidade foi observada em relação a todos os professores, independentemente do ano em que lecionavam. Concluiu-se que os professores têm dificuldade em formular problemas que envolvam diferentes relações no âmbito das estruturas multiplicativas, sendo necessário desenvolver no professor do Ensino Fundamental a habilidade de formular problemas.<hr/>Abstract This study investigates how elementary school teachers conceive and formulate problems within the conceptual field of multiplicative structures. Thirty-nine public school teachers (1st to 9th grade) were asked to formulate mathematical problems which resolution would involve multiplication and division. The results have shown that teachers understand what a multiplicative situation is and can formulate verbal problems appropriately. There were only a few cases where relevant information was omitted, or which contained language-related inaccuracies. It was also found that most of the problems were of the same type, and that their resolution required only one step. This lack of variety was observed among all teachers, regardless of the grade they taught. Thus, it has been concluded that teachers have difficulties in posing problems that make use of the various situations characteristic of the multiplicative structures field. It is, therefore, crucial to develop the elementary school teachers’ ability to pose problems. <![CDATA[The Construction of Mathematics for Teaching the Concept of Direct Proportionality from a Systematic Literature Review]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300947&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Neste artigo, apresentamos uma Matemática para o ensino do conceito de proporcionalidade, como um modelo teórico a partir de uma revisão sistemática da literatura. A análise de dezessete artigos mostrou uma diversidade de realizações desse conceito, distribuída em três cenários. No primeiro, o conceito de proporcionalidade foi descrito como razão e realizou-se como comparação entre partes, equivalência de razões, taxa, escala, divisão, vetor e intervalos musicais. No segundo cenário, o conceito de proporcionalidade foi descrito pela igualdade entre razões, sustentado pelo teorema de Tales, cujas realizações foram regra de três e porcentagem. No último cenário, esse conceito foi apresentado como uma função, por meio de relações multiplicativas, taxa de variação, escala e porcentagem.<hr/>Abstract In this article, we present mathematics for teaching the proportionality concept, as a theoretical model from a systematic review of the literature. The seventeen articles analysis showed a diversity of realizations of this concept, distributed in three landscapes. At first, it was described as ratio and held as comparison of parts, equivalence ratios, rate, scale division, vector, and musical intervals. In the second one, it was described by the equality between reasons, supported by the Tales theorem, whose achievements were rule of three and percentage. In the latter landscape, this concept was presented as a function model through multiplicative relations, rate of change, scale, and percentage. <![CDATA[Didactical Reductionism and Teachers’ Beliefs about the Pythagorean Theorem]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300968&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen En este artículo reportamos los resultados de una investigación exploratoria, cuyo interés fue identificar cómo las creencias que sostienen profesores en servicio sobre el Teorema de Pitágoras, son indicadores de un reduccionismo didáctico relativo a este resultado matemático. Se aplicaron cuestionarios a cinco profesores de matemáticas que laboran en un bachillerato público y una entrevista semi-estructurada a un profesor quien imparte cursos de física y matemáticas en una carrera de ingeniería en una universidad pública. Los datos recolectados se analizaron con base en seis categorías de creencias. Un resultado relevante del trabajo es que los profesores conciben al Teorema de Pitágoras como un hecho aislado y no como un conocimiento integrado a una red altamente estructurada de ideas que abarcan una amplia variedad de ramas de la matemática. Por tanto, resulta conveniente que los profesores reflexionen acerca de sus propias creencias y las implicaciones que tienen sobre su actividad docente.<hr/>Abstract In this paper, we report the results of an exploratory research in which the interest was to identify how beliefs that support teachers in service about the Pythagorean Theorem are indicators of a didactical reductionism on this mathematical result. Questionnaires were applied to five public high school mathematics teachers and a semi-structured interview with a teacher who imparts courses of physics and mathematics in an engineering course at a public university. The collected data were analyzed based on six beliefs categories. One relevant result of the work is that teachers conceive the Pythagorean Theorem as an isolated fact and not as an integrated approach to a highly structured network of ideas, covering a wide variety of mathematics knowledge branches. However, it seems suitable that teachers think about their own beliefs and implications that those beliefs have in the teaching activity. <![CDATA[Description of the math teacher change from their own perspective through the experience of open-ended problem-solving]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000300984&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen El siguiente trabajo reporta los resultados de una investigación exploratoria descriptiva sobre el cambio del profesor desde su propia perspectiva, en torno a la implementación de la resolución de problemas de final abierto. Se considera el cambio del profesor como un proceso que implica el sistema de creencias y actitudes y cambios a nivel cognitivo. Por lo anterior, y mediante el uso de entrevistas utilizando viñetas y recuerdo simulado como herramientas metodológicas, se trabajó en la identificación de elementos que favorecen el cambio en el sistema de creencias y la forma de trabajar la resolución de problemas en un grupo de once profesores de primaria, que han participado en un proyecto implementando la resolución de problemas de final abierto, a lo largo de tres años. Hemos observado que los profesores identifican y declaran cambios en la forma en que trabajan en el aula, en ellos mismos y en sus estudiantes.<hr/>Abstract The following paper reports the results of a descriptive exploratory research about the teacher's change from their own perspective through the implementation of open-ended problem-solving. We considered teacher change as an internal and external process, which involves the system of beliefs and attitudes and changes at the cognitive level. Therefore, and by using interviews with vignettes and simulated recall as methodological tools, we worked on identifying elements that favor the change on the belief system around a problem in a group of eleven primary teachers, who participated in a project to implement open-ended problem-solving over three years. We have observed that teachers identify and declare changes in how they work in the classroom, in themselves, and in their students. <![CDATA[Pestalozzi's Intuitive Pedagogy of Elementary School: how Arithmetic was taught?]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000301005&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Este artigo tem por objetivo compreender o arranjo metodológico no ensino da Aritmética na escola elementar de Pestalozzi. Interessa saber como se ensinava Aritmética na escola elementar pestalozziana? Ao transformar alguns textos de Pestalozzi em documentos, notei que o educador suíço sistematizou uma teoria pedagógica que mudou o estatuto da tríade: aluno-saber-professor. Trata-se de uma pedagogia assentada na atividade do espírito humano manifestada pela intuição. Denominei-a de pedagogia intuitiva. Uma pedagogia que psicologizou o saber elementar, sob o pretexto de seguir a natureza humana através das intuições sensível e racional. Colados na forma mais simples, os saberes da Aritmética foram reduzidos, de algum modo, aos elementos palpáveis, visíveis e acessíveis a todos os sentidos.<hr/>Abstract This article aims to understand the methodological arrangement in Pestalozzi's arithmetic teaching in elementary school. The question arises: How arithmetic was taught in the Pestalozzi elementary school way? By transforming some of Pestalozzi texts in documents, I noticed that the Swiss teacher systematized a pedagogical theory that changed the status of the triad: student-knowledge-teacher. This is a pedagogy based in the activity of the human spirit manifested by intuition. I called it intuitive pedagogy. A pedagogy that psychologized the elementary knowledge, under the pretext of following human nature through the sensitive and rational intuitions. Put together in the simplest form, the knowledge of arithmetic has been reduced, in some way, to the tangible, visible and accessible elements to all senses. <![CDATA[Numbers: which is its purpose? Curriculum and Invention in a Math class]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000301032&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Como um conteúdo matemático se torna digno de entrar no currículo escolar? Como isso ocorre? Seria pela sua utilidade? Seria pelo seu valor histórico ou pela força de uma tradição? Seria pelo seu uso dentro da própria matemática? Que conteúdo matemático é digno de ocupar lugar em um currículo? Junto a estas questões uma pesquisa em sala de aula de matemática vai se fazendo, problematizando a matemática como acontecimento na própria sala de aula. O presente artigo surge como desdobra desta pesquisa e foca sua atenção em uma atividade realizada na sala de aula de matemática com turmas de sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental - Anos Finais, de uma escola da Rede Municipal de Ensino, da cidade mineira de Juiz de Fora/MG. Nesta atividade foram disponibilizadas tabelas numeradas de 0 a 99 e lápis de diversas cores. Esperava-se que os alunos colorissem números conhecidos, encontrassem padrões e marcassem na tabela algo que chamasse sua atenção. Foi nesse contexto que Ana e sua colega marcaram os “números mudados”. Com isso, marcaram um currículo, uma matemática, uma escola. Inventaram um currículo, uma matemática, uma escola, uma vida. Invenção de um currículo? Um currículo se inventa? Qual matemática para um currículo em invenção? Arrombamentos de uma atividade.<hr/>Abstract How does a mathematical subject become worthy to enter the school curriculum? How does this occur? Would it be for their usefulness? Would it be for its historical value or force of a tradition? Would it be for its use within math? Which mathematical content is worthy to take place in a school curriculum? Among to these questions, we start researching the mathematics classroom, discussing mathematics as it is happening in the classroom. This article comes to unfold this research and focuses its attention on an activity performed in the mathematics classroom with grades six and seven of an elementary school in the Municipal Education Network of the mining city of Juiz de Fora, MG. In this activity, we provided tables numbered from 0 to 99 and pencils of various colors. Students were expected to color familiar numbers, find patterns, and mark anything on the table that caught their eye. It was in this context that Ana and her colleague marked the "changed numbers." Thus, they marked a curriculum, a math, a school. They invented a curriculum, a math, a school, a life. Invention of a curriculum? Can you invent a curriculum? Which mathematics for a curriculum invention? Breakthroughs of an activity. <![CDATA[Common National Curricular Basis and the Teaching of Mathematics: flexibilization or plastering of the school curriculum]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000301045&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Este artigo analisa o documento “Base Nacional Comum Curricular”, focando nos objetivos de aprendizagem dos conteúdos Álgebra e Funções para o Ensino Médio. Objetiva compreender o processo de elaboração da proposta que deverá se constituir como a base curricular do Ensino de Matemática nas escolas brasileiras. Dialogando com a ideia de tradição curricular e construção de identidade, problematiza a pertinência de uma base nacional comum, compreendendo-a com uma tradição curricular. Destaca os objetivos de aprendizagem propostos na primeira e na segunda versão do documento, salientando as contribuições e opiniões quanto à clareza, relevância e pertinência dos mesmos. Conclui evidenciando a existência de uma lacuna entre a proposta da Base Nacional e as práticas em Educação Matemática, atualmente presentes no currículo, como a Etnomatemática e a História da Matemática, duas abordagens teóricas e metodológicas que têm fecundado o ensino de Matemática na Escola Básica.<hr/>Abstract This article analyzes the Brazilian document “Common National Curricular Basis” focusing on high-school algebra and function learning. It aims at understanding the process of creating a new proposal to be constituted as curricular basis for mathematics teaching in Brazilian schools. Based on idea of curricular tradition and the construction of identity, the study questions the pertinence of a national curricular basis. It highlights the learning objectives in the first and second versions of the document, and stresses the contributions and opinions regarding clarity, relevance, and pertinence of each objective. It concludes by emphasizing the gaps between this proposal and the studies on mathematics education, mainly ethnomathematics and history of mathematics: two theoretical and methodological approaches that have fecundated the teaching practice. <![CDATA[Textbook Analysis on Optimization in Pre-university Educational Levels]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000301061&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen La optimización matemática es un concepto matemático esencial para abordar problemas de la vida cotidiana. En el Currículo del Bachillerato español se emplean las herramientas del Análisis Matemático para solucionar los problemas de optimización, siendo aquí donde aparecen las principales dificultades de aprendizaje de la noción. En este trabajo, en primer lugar, se presentan los resultados de un estudio epistemológico de la evolución de la optimización a lo largo de la historia, con el objetivo de fijar los significados de referencia. Posteriormente, se muestra cómo se desarrolla esta noción en tres libros de texto del citado nivel educativo, todo ello con el fin de poder detectar el significado que se pretende abordar en el aula, así como las dificultades potenciales que los alumnos pueden encontrar en torno a este concepto.<hr/>Abstract Mathematical optimization is an essential concept to manage everyday problems. In the Pre-University Spanish Curriculum, the tools for Mathematical Analysis are used to solve optimization problems. It is exactly in this process where the main teaching difficulties appear. In this article, we present the results of an epistemological study in the evolution of optimization throughout the history of the notion, aiming at fixing the meanings of reference. Then, the notion of optimization is presented in three textbooks, being developed in order to obtain the meaning of this notion in the classroom as well as the potential difficulties the students may find in the concept. <![CDATA[Applications of Mathematics to Everyday Life in Spanish Arithmetic Books Published in the 16th Century]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000301082&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumen Este trabajo presenta un estudio sobre algunos libros de matemáticas publicados en castellano durante el siglo XVI. A lo largo de él, se han identificado y categorizado los ejemplos utilizados en estos manuales y su relación con las situaciones cotidianas de la época. Para ello se ha realizado un análisis histórico-matemático apoyado en la técnica de investigación del análisis de contenido de libros de texto, ampliamente utilizado por diversos autores en investigaciones relativas a la Historia de las Matemáticas y la Educación Matemática. Todas las obras analizadas presentan, en general, bastantes similitudes. En ellas se incluyen un elevado número de ejemplos aunque la gran mayoría de ellos están relacionados con asuntos comerciales y otras situaciones cotidianas de mercaderes y contadores.<hr/>Abstract This paper shows a study about some mathematics books written in Spanish and published during the 16th century. All the examples included in these books and their relations with daily situations from that time have been identified and categorized. In order to do that, we made an historical-mathematical analysis supported by the content analysis technique of textbooks, widely used by authors in researches related to the history of mathematics and mathematics education. In general, all the books included in this study present many similarities. The analysis has highlighted the large number of examples included in each book even though most of them are related to trade and to common situations of accountants and businessmen of that century. <![CDATA[Mathematics Teachers’ Training: a look at BOLEMA's social and intellectual networks]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000301101&lng=en&nrm=iso&tlng=en Resumo Nosso trabalho se insere no campo da Formação de Professores que ensinam Matemática, tendo como proposta analisar a rede social e intelectual dos artigos que tratam sobre o tema, publicados no periódico BOLEMA (1985-2015). Tem aporte teórico na epistemologia fleckiana, considerando que o conhecimento é produzido coletivamente, de forma que os pesquisadores ao compartilharem um problema, referencial teórico e práticas comuns formam um coletivo de pensamento. A pesquisa que dá origem ao texto é quali e quantitativa, desenvolvida a partir da metodologia de Análise de Redes Sociais (ARS) e com o auxílio do software Gephi que forneceu estatísticas para a análise. Apoiada nas categorias fleckianas, a análise nos permite inferir que: a produção do conhecimento disponibilizada no periódico está fortemente vinculada à pós-graduação; a maioria dos artigos é oriunda de instituições da região Sudeste; a rede de coautoria que emerge tem baixa densidade, o que implica em pouca representatividade perante as relações compartilhadas; a rede intelectual concentra-se em três clusters: a Formação Inicial; a Formação Continuada e a Formação Contínua e Desenvolvimento Profissional, as quais apresentam circulação intra e intercoletiva de ideias que possibilitam emergir novas categorias, tratando de questões mais específicas.<hr/>Abstract Our paper is part of the field of Mathematics Teacher's Training, with the purpose of analyzing the social and intellectual network of the articles that approaches the subject, published in the BOLEMA periodic (1985-2015). This study has a theoretical contribution of Fleck's epistemology, considering that knowledge is produced collectively, so that researchers share a problem, theoretical framework and common practices form a collective of thought. The research that gives origin to this text is qualitative and quantitative, developed from the Social Network Analisys (SNA) methodology with the help of the Gephi software, which provided statistics for the analysis. Based on the Fleckian categories, the analysis allows us to infer that: the production of the knowledge available in the periodic is strongly linked to the postgraduate level; most of the articles come from institutions in the Southeast region; the co-authoring network that emerges has low density, which implies in little representativeness before the shared relations; the intellectual network is concentrated in three clusters: the Initial Education; Continuing Education, and Continuous Education and Professional Development, which presents intra and inter collective circulation of ideas that allow the arising of new categories, addressing more specific issues.