Scielo RSS <![CDATA[Bolema: Boletim de Educação Matemática]]> http://www.scielo.br/rss.php?pid=0103-636X20170001&lang=pt vol. 31 num. 57 lang. pt <![CDATA[SciELO Logo]]> http://www.scielo.br/img/en/fbpelogp.gif http://www.scielo.br <![CDATA[EDITORIAL]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100001&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt <![CDATA[NOMINATA]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100002&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt <![CDATA[Reflexões sobre Interação e Colaboração a partir de um Curso Online]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100003&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo O interesse central deste estudo foi investigar processos de interação e de colaboração em uma comunidade online de professores de Matemática. Tomando como fundamentação teórica e metodológica o Modelo dos Campos Semânticos, procuramos dar visibilidade às características e à dinâmica das interações observadas. Para isso, desenvolvemos uma estrutura tecnológica que possibilitou que professores, envolvidos em um curso de difusão do conhecimento, intitulado Curso de GeoGebra, pudessem dialogar com seus pares, e, por meio de suas tomadas de decisões, estabelecer redes colaborativas. Alcançamos uma clara relação entre a autogestão, característica do modo de organização de uma comunidade online que criamos, e aquilo a que viemos designar de interação colaborativa.<hr/>Abstract The central concern of this study was to investigate interaction and collaboration processes in an online community of mathematics teachers. Considering the Model of Semantic Fields as our theoretical and methodological foundation, we tried to give visibility to the characteristics and dynamics of interaction. In order to do so, we have developed a technological structure that made it possible for teachers involved in an extension course, to talk to their peers, and through their decision-making, establish their collaborative networks. We reached a clear characteristic of the self-management feature of the organizational processes of an online community that we created, and that which we called the collaborative interaction. <![CDATA[“Sim, Eu Ouvi o que Eles Disseram”: o Diálogo como Movimento de Ir até Onde o Outro Está]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100004&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo O texto trata de uma pesquisa realizada sobre a aprendizagem do diálogo por futuros professores de matemática. Os objetivos da investigação foram compreender tal processo de aprendizagem e teorizar sobre o diálogo. Baseada nas ideias teóricas de Alrø e Skovsmose a respeito do diálogo em educação matemática, uma disciplina de estágio supervisionado foi desenvolvida para ser o contexto da produção dos dados. A prática de diálogo dos futuros professores foi acompanhada, e episódios de tal prática constituíram um primeiro nível de dados. Em momentos de orientação e imaginação pedagógica, os licenciandos refletiram sobre tais episódios e suas falas constituíram dados sobre dados. Um episódio mostrando a tentativa de uma estagiária de colocar em ação o diálogo com seus alunos é apresentado. Elementos essenciais do diálogo, como escuta ativa, estranhamento e descentramento, são enfatizados. Uma interpretação de diálogo baseada no movimento de ir até onde o outro está é discutida.<hr/>Abstract This text concerns a research on the process of dialogue learning by prospective mathematics teachers. The aim was to understand such learning process and theorize about the dialogue. Based on theoretical ideas about the dialogue from Alrø and Skovsmose, we designed a teaching practice course on mathematics as the context of data production. The dialogue practice of the prospective teachers was followed and the episodes from those practices constituted a first level of data. In moments of supervision and pedagogical imagination, the prospective teachers reflected on such episodes and their conversation constituted data about data. An episode about a prospective teacher's attempt to put the dialogue in action with her students is presented. Essential elements of dialogue such as active listening, estrangement, and decentring are emphasized. We discuss an interpretation for dialogue based on the movement of going where the other is. <![CDATA[O Sujeito Lúdico Produzido pela/na Educação Matemática: Interlocuções com o neoliberalismo]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100005&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Este artigo tem como objetivo problematizar o uso de atividades lúdicas propostas para o ensino de matemática, entendendo a escola como um espaço de formação de subjetividades. O foco de nossa análise volta-se para o sujeito produzido pelo discurso lúdico e suas interlocuções com o neoliberalismo, com base nos estudos de Michel Foucault e de seus comentadores. A partir da Análise do Discurso na perspectiva deste filósofo, analisamos trabalhos publicados nos anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática. As enunciações que destacamos apontam para possíveis entrelaçamentos entre as práticas lúdicas e as características estabelecidas pelo neoliberalismo, como a capacidade de construir suas próprias ideias, pensar de forma independente, ser ativo na construção do conhecimento, ter autoconfiança, ser empreendedor de si mesmo, ter liberdade para tomar decisões, competir e ser um sujeito consumidor. Esta análise nos permitiu outro olhar sobre as verdades naturalizadas, as práticas e as pesquisas no campo da Educação Matemática.<hr/>Abstract This article aims to discuss the use of playful activities proposed for teaching mathematics, having the school as a training space of subjectivities. The focus of our analysis turns to the subject produced by the playful discourse and its interlocution with neoliberalism, based in studies of Michel Foucault and his commentators. From the Discourse Analysis in the perspective of this philosopher, we analyzed XI ENEM's annals (National Meeting of Mathematics Education) published studies. The statements that we highlight point to possible interweavings between the playful practices and the characteristics of neoliberalism, as the ability to build their own ideas, or think independently, be active in the construction of knowledge, have confidence, be an entrepreneur of himself, having freedom to make decisions, compete and be a consumer subject. This analysis allowed us to another look at the naturalized truths, practices, and research in the field of Mathematics Education. <![CDATA[Recuperação Escolar: uma ferramenta de significação no caminho para a seleção de sujeitos sociais]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100006&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Esse texto problematiza os modos pelos quais o discurso da avaliação participa do processo da constituição de alunos e de professores de Matemática enquanto sujeitos de uma prática avaliativa. A produção de sujeitos foi problematizada e analisada em uma perspectiva foucaultiana, aplicada ao tema que envolve relações entre avaliação como prática pedagógica, alunos e professores de Matemática, que movimentam uma ferramenta de significação como micropenalidade no caminho para a seleção de alunos na escola: a recuperação. Na interlocução com as teorizações de Michel Foucault foi possível pensar em outras representações que uma prática avaliativa, produzida em uma racionalidade neoliberal, pode movimentar para controlar, classificar e hierarquizar a produção de indivíduos e sujeitos dentro e fora da escola.<hr/>Abstract This text discusses the ways in which the evaluation of speech participates in the process of formation for students and mathematics teachers, as subjects of an evaluation practice. The production of subjects was questioned and analyzed in a Foucault perspective, applied to the issue involving relations, evaluation and teaching practice, students and teachers of Mathematics, which handle the meaning as micropenalty tool on the way to the selection of students in school: educational probation. In accordance with the theories of Michel Foucault, it was possible to think of other representations that an evaluative practice produced in a neoliberal rationality can move to monitor, classify, and prioritize the production of individuals and subjects in and out of school. <![CDATA[Onto-Semiotic Approach to Mathematics Teacher's Knowledge and Competences]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100007&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen Diversos marcos teóricos proponen sistemas de categorías del conocimiento matemático para la enseñanza que ayudan a describir la práctica docente y a elaborar planes de formación de profesores. En este artículo se describe uno de estos sistemas, que incluye tanto los conocimientos como las competencias del profesor de matemáticas y está basado en el Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos. Las nociones de sistema de prácticas, configuración ontosemiótica, configuración didáctica, dimensión normativa e idoneidad didáctica, introducidas en dicho sistema teórico, son consideradas como herramientas de análisis de las prácticas matemáticas y didácticas. Se utilizan estas nociones como base para delimitar sub-competencias de la competencia general de análisis e intervención didáctica, propia del profesor de matemáticas. Las investigaciones que se vienen realizando usando este modelo teórico de articulación de los conocimientos y las competencias, apoyan la pertinencia y posibilidad de que el profesor conozca, comprenda y esté capacitado para aplicar las herramientas de análisis propuestas en su propia práctica profesional. Se incluye también la descripción sucinta de acciones formativas para lograr el desarrollo de los conocimientos didáctico-matemáticos y la competencia de análisis e intervención didáctica de los profesores de matemáticas.<hr/>Abstract Several theoretical frameworks propose different systems of mathematical knowledge for teaching that help describe teaching practices and develop plans for teacher training. This article describes one of these systems, which includes both knowledge and the competencies of a mathematics teacher, and it is based on the onto-semiotic approach of mathematical knowledge and instruction. The notions of this practices' system, onto-semiotic configuration, didactical configuration, normative dimension, and didactical suitability, are introduced in this theoretical system as analytical tools of mathematical and didactical practices. These tools are used as a basis to define five sub-competencies within the mathematics' teacher general competence of didactic analysis and intervention. Investigations are being carried out with this theoretical framework that articulates knowledge and competencies, and support the relevance and possibility that the teacher knows, understands and is able to apply the tools of analysis. Finally, it also includes a concise description on training actions for developing the didactical-mathematical knowledge, and the competence of analysis and didactical intervention for mathematics teachers. <![CDATA[Mathematic Teachers' Specialized Knowledge about Infinity]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100008&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen El infinito es un concepto subyacente a multitud de conceptos presentes en la matemática escolar. En este artículo exploramos el conocimiento del profesor acerca del infinito desde la óptica del conocimiento profesional que usa para tratarlo en el aula. Para ello se usa la discusión de viñetas de simulación de situaciones en las que se reflejan diferentes tipos de razonamiento usando el concepto. Utilizaremos el modelo MTSK para tener una visión detallada de dicho conocimiento puesto en uso, mostrando que conocer el infinito en un sentido especializado implica conocerlo desde una perspectiva matemática y didáctica.<hr/>Abstract Infinity is a concept underlying many concepts present in school mathematics. In this article, we explore teachers' knowledge about infinity from the perspective of the professional knowledge, which is used to deal with infinity in a classroom. For that purpose, we use the discussion of vignettes of simulated situations where different kinds of understandings of infinity are present. We will use the MTSK model to have a detailed insight of that knowledge, showing that knowing infinity, in a specialized sense, means knowing it both, from a mathematical and didactical perspective. <![CDATA[Teacher Training and Mathematical Proof. Exploratory Study and Implications]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100009&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen En el presente trabajo se aborda el diseño y análisis de una actividad de formación de profesorado de secundaria orientada a analizar el conocimiento sobre la demostración (en el marco del TPACK) de futuros docentes de matemáticas de secundaria en formación. En particular, observamos que los alumnos tienen un buen conocimiento del contenido (CK), así como un buen conocimiento tecnológico (TK), pero aparecen dificultades al introducir la componente pedagógica y, en particular, las interrelaciones entre todas ellas. Estos resultados permiten, finalmente, señalar algunas líneas de actuación en tomo a las que organizar el trabajo sistemático de la demostración en el aula con futuros docentes a nivel de máster.<hr/>Abstract In this paper, we address the design and analysis of a teacher training activity about proof focussed on the analysis of the knowledge (through TPACK) of prospective mathematics secondary school teachers. In particular, we observe that the students have a good knowledge of the content (CK), as well as a good knowledge of the technology (TK). Some difficulties are found when the pedagogical component is introduced and when the interrelations among all of them are considered. These results allow us to point out some action lines in order to organise the systematic work on proof with prospective mathematics teachers in their master's degree. <![CDATA[Intra-Mathematics and Extra-Mathematics Connections that Occur When Solving Calculus Problems in a Context: a Case Study in Higher Level Education]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100010&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen En el presente artículo se reporta una investigación cuyo objetivo fue identificar las conexiones que un grupo de estudiantes universitarios establecen al resolver problemas en contexto. Estos problemas pueden resolverse utilizando la relación entre la derivada y la integral establecida en el Teorema Fundamental del Cálculo. Para identificar las conexiones adoptamos el marco teórico que al respecto plantea Businskas (2008). Como método de investigación utilizamos el estudio de casos y aplicamos un cuestionario integrado por cinco problemas, de cuyas soluciones obtuvimos los datos. Los datos indican que los estudiantes establecen conexiones extramatemáticas e intramatemáticas al resolver problemas en contexto, pero principalmente utilizan las de tipo procedimental y las representaciones diferentes, además notamos una fuerte conexión con sus conocimientos previos aprendidos en los niveles de educación precedentes al nivel superior.<hr/>Abstract This paper reported a research which aims to identify connections that a university student group established to solve problems in a context. These problems can be solved using the relationship between the derivative and integral established in the Fundamental Theorem of Calculus. To identify such connections, we adopted the theoretical framework proposed by Businskas (2008). As a research method, we used the case study and applied a questionnaire which included five problems, the solutions of which we obtained the data. The data indicate that students establish extra-mathematics and intra-mathematics connections when they solve problems in a context, but mainly used the procedural type and the different representations. We also noticed a strong connection with their prior knowledge learned in previous levels of education rather than at the university level. <![CDATA[A Aprendizagem dos Números Racionais com Compreensão Envolvendo um Processo de Modelação Emergente]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100011&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo O estudo que se apresenta neste artigo foca-se no papel que as representações assumem à medida que são usadas e transformadas como modelos de situações contextualizadas e vão evoluindo para modelos de raciocínio, por alunos do 1.° ciclo do Ensino Básico (dos 8 aos 10 anos). Remete para uma aprendizagem dos números racionais com compreensão, enquadrada numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número. É apresentada uma trajetória de aprendizagem que privilegia inicialmente a compreensão da percentagem e são analisadas quatro tarefas de uma experiência de ensino, que segue os procedimentos metodológicos de uma Investigação Baseada em Design. Os dados foram recolhidos através da observação participante, apoiada num diário de bordo, gravações áudio e vídeo das aulas e produções dos alunos. A análise evidencia que a construção comparticipada de modelos a partir de representações, inicialmente associadas à percentagem, fortalece a interpretação de relações e facilita a compreensão de conceitos relativos aos números racionais.<hr/>Abstract The study presented in this paper focus on the role that representations assume as they are taken as models of a contextualized situation and reconstructed as models for reasoning, by primary school students (aged 8 to 10 years old). It regards rational numbers learning with an understanding framed by the development of a number sense perspective. Considering a learning trajectory that emphasizes initially the understanding of percentage, we analyzed four tasks of a teaching experiment that was developed, following the methodological procedures of a Design Based Research. Data were collected through participant observation, supported in a logbook, audio and video recorded lessons and students' productions at the classroom. The analysis highlights that the social construction of models from representations, initially associated with percentage, strengthens the interpretation of relations and facilitates the understanding of concepts related to rational numbers. <![CDATA[A Ação dos Signos e o Conhecimento dos Alunos em Atividades de Modelagem Matemática]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100012&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Este artigo tem como objetivo discutir a relação entre a ação e a produção de signos em atividades de modelagem matemática e o conhecimento dos alunos. Para delimitar o objeto de análise tratamos do conceito retomado por Peirce ao longo de seus trabalhos: a semiose. Considerando elementos relativos ao entendimento de modelagem matemática e à luz de aspectos da teoria peirceana, olhamos para o desenvolvimento de atividade de modelagem realizado por alunos de um curso de Química durante aulas de CDI. A análise da ação e produção de signos na atividade indica que a semiose, como ação que envolve signo, objeto e interpretante, não é limitada. Em vez disso, esta ação e produção revelam que fenômeno e Matemática são indissociáveis e que parece se configurar como uma rede em que signos são produzidos ou acionados pelo conhecimento e também geram novo conhecimento. Nesta rede, podemos caracterizar uma estrutura que associa conhecimento matemático, conhecimento sobre o problema em estudo e conhecimento tecnológico.<hr/>Abstract This article aims to discuss the relationship between the action and the production of signs in mathematical modeling activities and the knowledge of students. To delimit the object of analysis, we discuss the concept taken up by Peirce throughout his work: semiosis. Considering factors relating to the understanding of mathematical modeling and light aspects of Peirce's theory, we look at the development of a modeling activity performed by students in a chemistry course during CDI classes. The analysis of the action and production of signs in the activity indicates that the semiosis as an action that involves sign, object, and interpretant is not limited. Instead, this action and production revealed that the phenomenon and mathematics are inseparable and that seems to be set up as a network in which signs are produced or driven by knowledge and generate new knowledge. In this network, we can characterize a structure that combines mathematical knowledge, knowledge of the problem under study, and technological knowledge. <![CDATA[Analysis of Mathematical Models Produced when Solving Fermi Problems]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100013&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen En este trabajo presentamos un estudio en el que analizamos las producciones escritas de estudiantes de 16 años con diferentes niveles de experiencia en modelización al resolver Problemas de Estimación de Grandes Cantidades (PEGC). Estos problemas son un tipo concreto de los Problemas de Fermi y permiten introducir los procesos de modelización en las aulas de Educación Secundaria. Nuestro análisis se soporta en la caracterización de los modelos matemáticos que producen los alumnos, basada en la definición de modelo matemático propuesta por Lesh y Harel. Los resultados muestran que, a través del análisis de las resoluciones de PEGC, se pueden distinguir aspectos diferenciadores entre los modelos producidos por alumnos sin experiencia modelizadora de aquellos producidos por alumnos con experiencia previa, especialmente en los conceptos y lenguajes utilizados para dar forma a los modelos matemáticos construidos.<hr/>Abstract In this paper, we present an analysis of written productions of 16 year-old students while solving Estimation Problems involving Big Numbers (EPiBN). This kind of problems is a particular type of Fermi problems and allows us to introduce modelling processes in Secondary school classrooms. Our analysis supports on the characterization of mathematical models developed by students based on the model definition of Lesh and Harel. The results show that, through the analysis of EPiBN resolutions, differentiating aspects can be distinguished between the models produced by students without modelling experience of those produced by students with prior experience, especially in the concepts and language used to shape the built mathematical models. <![CDATA[Aprender a Resolver Problemas no 2.° Ano do Ensino Básico]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100014&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Este artigo tem como propósito compreender o modo como alunos do 2.° ano resolvem problemas. Discute-se a importância da resolução de problemas na aprendizagem da Matemática, o entendimento de problema, as etapas do processo de resolução de problemas e as principais estratégias de resolução A investigação subjacente foi realizada em Portugal, numa turma do 2.° ano de uma escola dos arredores de um meio urbano. A pesquisa seguiu uma metodologia qualitativa e a recolha de dados incluiu observação de aulas da turma do 2.° ano e recolha documental a propósito da resolução de seis problemas. Neste artigo são analisadas as resoluções de um dos alunos da turma, Daniel, caracterizando as estratégias que usa, as dificuldades que manifesta e as etapas de resolução por que passa. Os resultados salientam que usa diferentes estratégias, suportadas por representações icónicas e simbólicas. Manifesta dificuldades relacionadas com a interpretação do problema, a utilização de conteúdos matemáticos e o uso da estratégia trabalhar do fim para o princípio. Nem sempre é possível compreender se Daniel percorreu todas as etapas de resolução de problemas.<hr/>Abstract This paper aims to understand how 2nd grade students solve problems. We present an overview about the importance of problem solving in the learning of Mathematics, what is understood as a problem, the phases of problem solving and the main problem-solving strategies. The research was developed in a 2nd grade class of a school situated in Portugal on the outskirts of a city. The research that underlies this paper follows a qualitative methodology. Data collection was carried out by participant observation in a 2nd grade class and document collection about students' problem solving. This article analyses Daniel problem-solving that includes: the characterization of his strategies, the difficulties that he reveals and the phases of problem solving that he goes through. The results show that Daniel uses different strategies supported by iconic and symbolic representations. He has some difficulties related with the interpretation of the problem, the use of mathematical content and the use of work backward strategy. It is not always possible to understand if Daniel went through all the phases of problem solving. <![CDATA[Diferentes Modos de Utilização do GeoGebra na Resolução de Problemas de Matemática para Além da Sala de Aula: evidências de fluência tecno-matemática]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100015&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Este artigo discute a atividade de resolução de problemas de Matemática com tecnologias no âmbito de um campeonato extraescolar a distância. O estudo visa descrever os aspetos subjacentes à utilização simultânea de conhecimento matemático e tecnológico nessa atividade, com foco no desenvolvimento de modelos conceptuais que conduzem às soluções dos problemas. A investigação, de natureza qualitativa, centra-se na análise de um conjunto de produções digitais elaboradas pelos participantes com recurso ao GeoGebra. Os dados mostram que o software é usado de forma livre e voluntária para estruturar e amplificar o pensamento matemático, influenciando os processos de resolução. Para além de suportar a materialização das situações problemáticas e favorecer a transformação de ideias estáticas em ideias dinâmicas, faz emergir matematizações que sustentam modelos conceptuais bastante distintos. Os aspetos subjacentes à existência de diferentes modos de resolver-e-exprimir um dado problema com o GeoGebra são explicados em termos da fluência tecno-matemática de cada participante.<hr/>Abstract This paper addresses a mathematical problem-solving activity with technology in the context of an online beyond school competition. The study aims to describe the underlying aspects of simultaneously resorting to mathematical and technological knowledge in such an activity, focusing on the development of conceptual models for the solutions of problems. The research, following a qualitative approach, is based on the analysis of a set of digital solutions produced with GeoGebra. Main results show that the software is used freely and willingly to structure and amplify the mathematical thinking, influencing the solving and expressing processes. Besides supporting the materialization of the problematic situations and promoting the transformation of static ideas into dynamic ideas, it drives mathematization processes that support quite different conceptual models. The fundamental features that lead to different ways of solving-and-expressing a given problem with GeoGebra are explained in terms of the techno-mathematical fluency of each participant. <![CDATA[<em>Webquest</em> e a Afetividade Presente na Construção de Conhecimento Matemático por Alunos do Ensino Médio]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100016&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Um recurso atual em destaque nas pesquisas sobre o ensino da Matemática é a Webquest, uma proposta didática envolvente, em razão das situações desafiadoras que propõe ao participante. No entanto, como em qualquer proposta, pode deixar o aluno diante de dificuldades gerando, em nível afetivo, ansiedades diversas e, sendo assim, a questão que se coloca é: Como os sentimentos convocados durante sua resolução articularam-se às interações dos alunos com o conhecimento matemático (sobre álgebra linear) e entre o grupo de colegas? Esta pesquisa caracteriza-se como qualitativa e, com base na teoria de Piaget – sobre a construção de conhecimento e sua relação com a afetividade –, analisou como 21 alunos interagiram na aplicação de três desafios da Webquest. Para coleta de dados foram aplicadas questões semiestruturadas: antes, durante e depois da realização de cada desafio. Os resultados indicaram que as interações foram pautadas, sobretudo, por cooperação. No início de cada desafio, prevaleceram sentimentos como interesse, medo e ansiedade. À medida que os alunos avançavam em outros desafios, ora acertando e ora errando, os sentimentos foram: alegria, desânimo, interesse, medo, entre outros. Concluiu-se que os sentimentos foram desencadeadores das ações cognitivas dos alunos e, mesmo aqueles que não conseguiram um resultado positivo, persistiram nas atividades até o final, ou seja, ninguém desistiu e isso ocorreu, em especial, pelo aspecto afetivo instigador e interessante que a Webquest promoveu naquele contexto de aprendizagem matemática.<hr/>Abstract Webquest is a current research proposal for teaching Mathematics. It is a captivating technological resource, which offers challenging situations to its participants. However, as it usually happens to any proposal, students may run into difficulties leading to anxiety at the affective level, and in that case the issue raised here is: How are feelings aroused during its resolution linked to the students' interactions with mathematical knowledge (about linear algebra) and among the group mates? This is a qualitative research based on Piaget's theory - about the acquisition of knowledge and its relationship with affectivity - it analyzed how 21 students interacted in the application of three Webquest challenges. To collect the data, we used semi-structured questions: before, during and after the accomplishment of each challenge. The results showed that the interactions were mainly guided by cooperation. At the beginning of each challenge feelings such as interest, fear, and anxiety prevailed. As the students advanced in other challenges, sometimes being successful, sometimes making mistakes, the feelings aroused were joy, frustration, interest, fear, among others. We concluded that such feelings aroused the students' cognitive actions and even those who had not achieved a positive result persisted in the activities until the end, that is, nobody gave up and that happened due mainly to the instigating and interesting affective feature which Webquest encouraged within that context meant for learning mathematics. <![CDATA[Habilidades Metacognitivas dos Estudantes Malaios na Resolução de Problemas Não Rotineiros de Matemática]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100017&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Abstract Metacognitive skills play an important role in solving mathematical problems. However, there is a lack of empirical studies on the role of metacognitive skills in solving mathematical problems, particularly non-routine ones. Therefore, this study was undertaken to identify students' metacognitive skills and the impact of such skills on non-routine mathematical problem solving. By using a quantitative method, a total of 304 students in Johor Bahru district were involved in the study. A Self-Monitoring Questionnaire (SMQ) and a mathematical test were used in data collection. Data were analysed using descriptive and inferential statistics such as frequency, percentage, mean, the Mann-Whitney U test, and the Kruskal-Wallis H test. Results showed that the level of the students' performance in solving non-routine mathematical problems was very low. There was also a significant difference in the metacognitive skills among students with different performance levels in solving non-routine mathematical problems, and we concluded that these metacognitive skills should be emphasised in this process.<hr/>Resumo As competências metacognitivas desempenham um papel importante na resolução de problemas matemáticos. No entanto, existe falta de estudos empíricos sobre o papel das competências metacognitivas na resolução de problemas matemáticos, em particular os não rotineiros. Portanto, este estudo foi realizado para identificar competências metacognitivas dos alunos e o impacto de tais competências na resolução de problemas matemáticos não-rotineiros. Usando um método quantitativo, um total de 304 estudantes no distrito de Johor Bahru foram envolvidos no estudo. Questionário de Monitorização Autónomo (SMQ) e teste de matemática foram utilizados na recolha de dados. Os dados obtidos foram analisados por meio de estatística descritiva e inferencial, como a frequência, porcentagem, média, o teste de Mann-Whitney e Kruskal-Wallis H. Os resultados mostraram que o nível de desempenho dos alunos na resolução de problemas matemáticos não-rotineiros era muito baixa. Conclui-se uma diferença significativa nas competências metacognitivas entre estudantes com diferentes níveis de desempenho na resolução de problemas matemáticos não rotineiros. Concluiu-se que as competências metacognitivas devem ser enfatizadas no processo de resolução de problemas matemáticos não rotineiros. <![CDATA[Práticas do Professor na Discussão de Tarefas que Visam o Desenvolvimento do Sentido de Número: um estudo no Ensino Básico]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100018&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Este artigo incide sobre as práticas de um professor do 3.° ano do Ensino Básico, no contexto de um projeto colaborativo, visando o desenvolvimento do sentido de número. Concretamente, foca-se nos desafios com que o professor se depara na discussão de tarefas e as suas preocupações relacionadas com o desenvolvimento do sentido de número nos seus alunos. Utilizou-se uma metodologia qualitativa e a recolha de dados incluiu a observação de aulas e sessões de trabalho da equipa do projeto, a análise documental e entrevistas. Os resultados salientam que os principais desafios para o professor na discussão das tarefas são: selecionar os alunos que apresentam as suas estratégias à turma e ordenar essas apresentações, compreender as resoluções dos alunos e “dar-lhes voz”. Sobressaem como preocupações associadas ao desenvolvimento do sentido de número a consciencialização de diversas estratégias por parte dos alunos, o estabelecimento da relação entre os contextos e os cálculos e o uso de métodos eficazes de cálculo.<hr/>Abstract This article focuses on the practices of a third grade primary teacher who participated in a collaborative project, aimed at developing students' number sense. Specifically, it analyzes the challenges that the teacher faced during the tasks' discussion and his concerns related to the development of the students' number sense. We used a qualitative methodology and data collection included observation of classroom and of project team's working sessions, and document analysis and interviews. The results highlight the main challenges that the teacher faces: deciding on which students' written productions should be presented to the class; choosing the order of students' presentations; understanding students' strategies and being able to ‘give them a voice’. The teacher's main concerns regarding the development of the students' number sense that stand out are the awareness of the different strategies that could be used, the identification of relationships between contexts, and calculations and use of effective methods of calculation. <![CDATA[Possibilidades Pedagógicas do Uso da Imagem Fotográfica no Livro Didático de Matemática]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100019&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo A humanidade atravessa um período de intensas mudanças, tendo no uso abundante da imagem uma forma de registrar, expressar e promover os acontecimentos que caracterizam a contemporaneidade. No presente trabalho, temos como questão norteadora: qual o papel que exerce a imagem fotográfica no seu emprego em livros didáticos de Matemática? Utilizamos a abordagem qualitativa do tipo bibliográfica. Como resultado final, verificamos que a imagem fotográfica pode exercer as funções ilustrativa, comunicativa, decorativa e epistêmica em relação aos diversos conteúdos de Matemática, notadamente em Geometria, especialmente no de simetria. Quanto à função epistêmica, detectamos um percentual em torno de 65% das fotografias computadas capazes de mediar, expressar e comunicar elementos relativos ao conteúdo matemático trabalhado, levando-nos a concluir acerca da importância da inserção da imagem fotográfica em livros didáticos de Matemática, de uma maneira intencional e planejada, como forma de contribuir para o processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos.<hr/>Abstract Humanity crosses a period of intense changes, having, with the usage of images, a way to register, express and promote facts that characterize contemporaneity. In the current article, we have, as a guiding question: what is the role of the photographic image in Mathematics didactic books? We used qualitative bibliographic approach. As a result, we have verified that the photographic image can assume illustrative, communicative and epistemic functions regarding several mathematic subjects, mainly in Geometry and, especially in symmetry. As far as the epistemic function, we have detected a percentage of about 65% of computed photos able to mediate, express and communicate elements related to the mathematic subject to be seen, bringing us to the conclusion about the importance of the insertion of photographic images in Mathematics books, in an intentional and planned manner, as a way to contribute to the subjects' teaching and learning process. <![CDATA[A Matemática no Curso Primário: quando o nacional é internacional, França e Brasil (1880–1960)]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100020&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo O objetivo do texto é analisar comparativamente a Matemática da escola primária francesa e brasileira no período compreendido entre 1880 a 1960. Utiliza-se uma perspectiva teórico-comparativa que poderia ser denominada de história internacional, advinda dos estudos recentes do pesquisador D. Matasci. São mobilizadas como fontes de pesquisa para o trabalho, sobretudo, uma documentação oficial relativa à Educação no Brasil; e, no caso francês, resultados de pesquisas advindos desse tipo de material. Os resultados do estudo mostram que a Matemática escolar do curso primário de ambos os países constituem apropriações internacionais vindas das trocas intelectuais ocorridas em congressos, missões e uma série de atividades que colocam em comparação modelos que circulam internacionalmente e são trazidos para orientar propostas nacionais.<hr/>Abstract The purpose of the paper is to analyze the mathematics of French and Brazilian primary schools in the period of 1880 to 1960. It uses a theoretical and comparative perspective that could be called international history, arising from recent studies done by researcher D. Matasci. The study mobilizes, as sources of research, mainly official documentation related to Education in Brazil; and, in the French case, results of research coming from this type of material. The study results show that the primary school mathematics course in both countries are appropriation of international intellectual exchanges that took place at conferences, missions and a number of activities that put in comparison models circulating internationally and are brought to guide national proposals. <![CDATA[O Processo de Construção de Abordagens Históricas na Formação Interdisciplinar do Professor de Matemática]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100021&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo Este artigo apresenta os resultados de uma investigação a respeito da relevância que o processo de construção de abordagens históricas apresenta na formação do professor de Matemática, mais especificamente no que se refere à construção de saberes interdisciplinares. As investigações evidenciam que os conhecimentos teóricos e metodológicos da história da Matemática são importantes para a formação docente. Diante disso, nosso objetivo, neste artigo, é analisar e evidenciar como tais conhecimentos colaboram para a estruturação de saberes interdisciplinares do professor de Matemática. Para isso, entrevistamos seis professores que vivenciaram o processo de construção e aplicação de abordagens históricas em sala de aula e, por meio da análise de conteúdo, estruturamos categorias que evidenciam saberes que colaboram para a formação interdisciplinar do professor.<hr/>Abstract This paper presents the results of an investigation about the importance of the process of building historical approaches has to the process mathematics teachers' formation, specifically in regard to the construction of interdisciplinary knowledge. The investigations show that the theoretical and methodological knowledge of history of mathematics are important for teacher education. Therefore, our objective was to analyze and show how these skills work together to structure interdisciplinary knowledge of the mathematics teacher who has experienced the process of construction and application of historical approaches in the classroom. To this end, we interviewed six teachers who had experienced this process and, by means of content analysis, we structured categories that show the knowledge developed by them and which contribute to interdisciplinary training of teachers. <![CDATA[Reflections on Future Mathematics Teachers about Professional Issues Related to the Teaching of School Algebra]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100022&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen En este estudio se analiza la reflexión de dos futuros profesores de matemáticas, cuando identifican, definen y afrontan problemas profesionales relacionados con la enseñanza y el aprendizaje del álgebra escolar durante las prácticas de enseñanza. Con este propósito se planificó e implementó un módulo formativo en el prácticum de un programa de licenciatura en matemáticas en Colombia, bajo la teoría del aprendizaje realista, para promover la realización de un ciclo reflexivo bajo el modelo ALaCT. Siguiendo el enfoque de la investigación cualitativa, de carácter interpretativo, y usando el análisis de contenido se han examinado las producciones de los participantes, los registros obtenidos en la intervención y del diario de campo del investigador. El estudio muestra que los profesores llevaron a cabo las fases de reflexión, se informa cómo va evolucionando el problema profesional, atendiendo a las características y a la naturaleza objeto de la situación problema y al conocimiento profesional involucrado para fundamentar la definición del problema acerca de la enseñanza del álgebra.<hr/>Abstract In this study, the reflections of two future mathematics teachers is analyzed through the professional problems related to teaching and learning school algebra that they identify, define, and face during teaching practice. For this purpose, we planned and implemented a teacher education module in the practicum of an undergraduate mathematics and physics program in Colombia, under the realistic theory of teacher education to promote a thoughtful ALaCT cycle. Following the approach of qualitative and interpretative research and using content analysis, the productions of the participants, the records obtained in the intervention, and a research journal were reviewed. The study shows that the teachers carried out the phases of reflection and it tells us how the professional problem evolves, according to the characteristics and nature of the problem object and professional knowledge involved to support the definition about teaching algebra. <![CDATA[Conceções de Professores do Ensino Básico sobre a Prova Matemática: influência da experiência profissional]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100023&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo A prova é uma atividade que desempenha um papel fundamental na construção do conhecimento matemático, razão pela qual adquire relevância nos programas escolares de Matemática. Admitindo que as conceções dos professores sobre a prova afetam a forma como ela é tratada em sala de aula, procuramos averiguar as conceções de professores portugueses de Matemática do 3.° ciclo do Ensino Básico (do 7.° ao 9.° ano) sobre diferentes aspetos da prova matemática e a influência que a experiência profissional tem nessas conceções. Adotando uma abordagem metodológica mista, recolhemos os dados através de um questionário, respondido por 72 professores, e de uma entrevista a duas professoras com experiências profissionais diferentes. Os resultados revelam que os professores, sobretudo os que têm menos tempo de docência, consideram que a prova matemática tem uma natureza distinta da de outras disciplinas, é uma atividade essencial para a construção do conhecimento matemático, tem como função verificar e explicar a veracidade de uma afirmação e permite desenvolver o raciocínio e a comunicação matemática. No que respeita à participação dos alunos na atividade de provar, são os professores com mais tempo de docência que mais o destacam, o que permite aos alunos perceberem a natureza desta atividade. Em termos curriculares, são os professores com menos experiência docente que mais concordam com a presença da prova logo nos primeiros anos, embora salientem que esta atividade só faz sentido em alguns tópicos programáticos.<hr/>Abstract Proof is an activity that plays a key role in the construction of mathematical knowledge, which is why it acquires relevance in mathematics programs. Admitting that teachers' conceptions about proof influence how it is handled in the classroom, we tried to investigate the conceptions of Portuguese mathematics teachers from the 3rd cycle of basic education (grade 7 to 9) on different aspects of mathematical proof and the relationship that the teachers' experience has in these conceptions. Adopting a mixed methodological approach, we collected data through a questionnaire answered by 72 teachers, and an interview with two teachers with different professional experience. The results show that teachers, especially those with less experience, consider that mathematical proof has a distinct nature from other disciplines, it is an essential activity for the construction of mathematical knowledge and its function is to verify and explain the truth of a statement by developing reasoning and mathematical communication. With respect to student participation in the activity of proving, teachers with more teaching experience are the ones that most highlight it, which allows students to realize the nature of this activity. In curriculum terms, teachers with less experience are the ones that most agree with the presence of proof in early grades, while emphasizing that this activity only makes sense in some program topics. <![CDATA[Probabilistic Language: A Path for the Development of Probabilistic Literacy. A Case Study in a Primary Education Classroom]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100024&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen En este estudio nos centramos en describir y analizar cómo emergen los primeros elementos lingüísticos durante el proceso de enseñanza y aprendizaje de la probabilidad, entendido este como un lenguaje preciso y especializado que permite expresar, de forma cualitativa, la probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso. Para ello, se ha optado por realizar un estudio exploratorio de un proceso de instrucción con alumnos de segundo curso de Educación Primaria (7-8 años aproximadamente) que no han recibido instrucción previa sobre el tema. En concreto, se analiza la multiplicidad de términos, expresiones orales y escritas, símbolos y representaciones que se usan cuando se pretende que los alumnos aprendan gradualmente la noción de probabilidad y adquieran el respectivo lenguaje probabilístico asociado. Los resultados muestran un fuerte predominio de términos y expresiones verbales provenientes del lenguaje común vinculadas principalmente al significado intuitivo de la probabilidad, que transitan hacia conceptos de corte probabilístico.<hr/>Abstract In this study, we focus on describing and analyzing how the first linguistic elements emerge during the process of teaching and learning probability, understood as a precise and specialized language that allows qualitatively expressions of the probability of occurrence for a certain event. To this end, we chose to undertake an exploratory study on the instruction process of Primary Education sophomores (approximately 7-8 year-old children) who have not received prior instruction on the subject. In particular, we analyzed the multiplicity of terms, oral and written expressions, symbols and representations that are used when it is intended that students gradually learn the notion of probability and acquire the respective probabilistic language. The results show a strong predominance of words and verbal expressions from the common language relating mainly to the intuitive meaning of probability, transiting towards concepts of probability court. <![CDATA[Study of Attitudes Toward Statistics in Psychology Students]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100025&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen La Estadística se ha incorporado en la mayoría de las carreras universitarias y entre ellas en el grado de psicología donde la enseñanza de conceptos estadísticos presenta problemas didácticos específicos debido a que los estudiantes que lo cursan tienen una base matemática muy heterogénea. En este trabajo nos centramos en el estudio de sus actitudes, por su influencia en el proceso de aprendizaje, y las analizamos a través de la Escala de Actitudes hacia la Estadística de Estrada EAEE (ESTRADA, 2002). Los resultados indican actitudes en general moderadas o positivas, con una puntuación promedio global ligeramente superior a la posición teórica de indiferencia. El curso y los estudios previos en esta materia inciden en su actitud. Destacamos que la actitud global hacia la estadística empeora con los años de estudio, aunque las puntuaciones totales más bajas se presentan en los estudiantes que nunca estudiaron estadística, resultados que invitan a la reflexión sobre la manera que se enseñan en los diferentes niveles educativos.<hr/>Abstract Statistics has been incorporated in most university courses and among them in the degree of Psychology, where the teaching of statistical concepts presents specific learning problems, because students enrolled have a very heterogeneous mathematical basis. In this work, we focus on the study of those students' attitudes for their influence on the learning process and we analyze it through the Scale of Attitudes toward Statistics of Estrada, Spanish acronym EAEE (ESTRADA, 2002). The results indicate moderate or positive attitudes in general with an overall average score slightly higher than the theoretical position of indifference. The course and the previous studies in this area affect their attitude. We emphasize that the overall attitude towards statistics is worsened by the increase of the number years of studies, although the total lowest scores are presented in students who never studied statistics, results that invite us to reflect on how statistics has been taught through the different educational levels. <![CDATA[Visualization and Configural Reasoning]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100026&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumen Esta investigación estudia la relación entre la identificación de figuras prototípicas y el conocimiento de geometría durante la resolución de problemas de probar como una manifestación del razonamiento configural. Se han analizado las respuestas de 182 estudiantes para maestro a dos problemas de probar que proporcionaban una configuración geométrica y pedían probar un hecho geométrico. Los resultados indican que la identificación de una figura prototípica en la configuración inicial tiene un efecto heurístico que activa determinados conocimientos de geometría, que favorecen el cambio del anclaje visual al anclaje discursivo en la resolución del problema. Estos resultados subrayan la importancia de la relación entre la visualización y el conocimiento geométrico en el desarrollo del razonamiento configural durante la resolución de problemas de probar. Finalmente, desde estos resultados generamos algunas implicaciones para la formación de los maestros.<hr/>Abstract This research analyses the relationships between the identification of prototypical figures and geometrical knowledge in solving proof problems as a evidence of configural reasoning. We analyze the answers of 182 preservice teachers on two geometrical proof problems, which include a geometrical configuration and a request for proving a geometrical fact. The results indicate that identifying a prototypical figure in the initial configuration has a heuristic effect that determines the path of problem-solving, activating certain geometrical facts and generating the change from visual anchor to anchor discursive. These results allow us to character the relationship between visualization and geometric knowledge in the configural reasoning dining proof problem solving. Finally, we derive some implications for teacher education. <![CDATA[A Busca de um Currículo Interdisciplinar e Contextualizado para Ensino Técnico Integrado ao Médio]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100027&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo A análise da integração da disciplina Matemática juntamente às demais ofertadas no Ensino Médio Integrado a Educação Profissional Técnica consiste no objetivo deste artigo, que apresenta os resultados de uma pesquisa empírica fundamentada em reflexões de autores que discutem o ensino de Matemática e a educação profissional de nível médio. O estudo apontou que existe relação entre as disciplinas técnicas e a Matemática, visto que as primeiras, em alguns casos, necessitam dos conhecimentos da segunda para que seus assuntos sejam apreendidos pelos estudantes. Concluiu-se que é possível elencar os assuntos de Matemática que podem ser ministrados no Ensino Médio Integrado de forma contextualizada e interdisciplinar, a fim de atender a demanda das disciplinas técnicas, da Matemática e o objetivo formativo profissional do educando.<hr/>Abstract The analysis of the mathematics discipline integration along with other disciplines offered in the Integrated High School Technical Professional Education is the purpose of this paper, which presents the results of an empirical research based on reflections of authors who discuss mathematics teaching and the secondary level of professional education. The survey showed that there is a relationship between technical subjects and mathematics, since the first, in some cases, require the knowledge of the second so that its content is understood by students. We concluded that it is possible to list the Mathematics subjects that can be taught in the Integrated School in a context and interdisciplinary manner in order to meet the demand of technical disciplines, of mathematics and the professional educational purpose of the course. <![CDATA[O Papel das Tecnologias Digitais em Disciplinas de Álgebra Linear a Distância: possibilidades, limites e desafios]]> http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2017000100028&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Resumo A análise da integração da disciplina Matemática juntamente às demais ofertadas no Ensino Médio Integrado a Educação Profissional Técnica consiste no objetivo deste artigo, que apresenta os resultados de uma pesquisa empírica fundamentada em reflexões de autores que discutem o ensino de Matemática e a educação profissional de nível médio. O estudo apontou que existe relação entre as disciplinas técnicas e a Matemática, visto que as primeiras, em alguns casos, necessitam dos conhecimentos da segunda para que seus assuntos sejam apreendidos pelos estudantes. Concluiu-se que é possível elencar os assuntos de Matemática que podem ser ministrados no Ensino Médio Integrado de forma contextualizada e interdisciplinar, a fim de atender a demanda das disciplinas técnicas, da Matemática e o objetivo formativo profissional do educando.<hr/>Abstract The analysis of the mathematics discipline integration along with other disciplines offered in the Integrated High School Technical Professional Education is the purpose of this paper, which presents the results of an empirical research based on reflections of authors who discuss mathematics teaching and the secondary level of professional education. The survey showed that there is a relationship between technical subjects and mathematics, since the first, in some cases, require the knowledge of the second so that its content is understood by students. We concluded that it is possible to list the Mathematics subjects that can be taught in the Integrated School in a context and interdisciplinary manner in order to meet the demand of technical disciplines, of mathematics and the professional educational purpose of the course.