Osciladores clássicos com massa dependente da posição

Classical oscillators with position-dependent mass

Resumos

Neste trabalho estudamos osciladores clássicos com massa dependente da posição (OMDP). A correspondência entre as soluções do OMDP e do oscilador com massa constante (OMC) é obtida através do método de fatoração do hamiltoniano. Os resultados são ilustrados para o sistema com m(x) = m0(x² + a²), onde analisamos as trajetórias no espaço de fase.

oscilador harmônico; massa dependente da posição; espaço de fase

In this work we study from the classical point of view the position-dependent mass (PDM) oscillators. The correspondence between the solutions of the PDM and the constant mass (CM) oscillator is obtained by means of the factorization of the Hamiltonian. The results are illustrated by considering the system with m(x) = m0(x² + a²), where we analyze its phase space trajectories.

harmonic oscillator; position dependent-mass; phase space

ARTIGOS GERAIS

Osciladores clássicos com massa dependente da posição

Classical oscillators with position-dependent mass

J.P.G. Nascimento^I; I. Guedes^II,1

^IDepartamento de Física, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, CE, Brasil

^IISeara da Ciência, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, CE, Brasil

RESUMO

Neste trabalho estudamos osciladores clássicos com massa dependente da posição (OMDP). A correspondência entre as soluções do OMDP e do oscilador com massa constante (OMC) é obtida através do método de fatoração do hamiltoniano. Os resultados são ilustrados para o sistema com m(x) = m₀(x² + a²), onde analisamos as trajetórias no espaço de fase.

Palavras-chave: oscilador harmônico, massa dependente da posição, espaço de fase.

ABSTRACT

In this work we study from the classical point of view the position-dependent mass (PDM) oscillators. The correspondence between the solutions of the PDM and the constant mass (CM) oscillator is obtained by means of the factorization of the Hamiltonian. The results are illustrated by considering the system with m(x) = m₀(x² + a²), where we analyze its phase space trajectories.

Keywords: harmonic oscillator, position dependent-mass, phase space.

1. Introdução relação de vínculo

Nos livros básicos de física, o estudo do oscilador harmônico é feito considerando a massa (m) da partícula independente tanto do tempo quanto da posição. Entretanto, existem diversos sistemas que para serem adequadamente descritos, a massa deve depender do tempo ou da posição. Sistemas onde a massa depende do tempo, ou de forma mais geral, sistemas descritos por hamiltonianos dependentes do tempo aparecem em diversas áreas da física como, por exemplo: ótica quântica, física molecular, química quântica, teoria quântica de campos, e física de plasmas [1-5]. Sistemas onde a massa depende da posição são utilizados no estudo das propriedades eletrônicas de semicondutores [6], cristais homogêneos [7], pontos [8] e líquidos quânticos [9]

Do ponto de vista da mecânica quântica, ao estudarmos sistemas onde a massa depende da posição devemos ter cuidado ao escrever o operador energia cinética (T), haja visto que, agora, a massa e o operador momentum não comutam. De acordo com vonRoos [10], para que o hamiltoniano que descreve o sistema seja hermitiano, o operador energia cinética deve ser escrito como

onde m = m(x), p = -i^d/_dx e α, β e γ satisfazem a relação de vínculo

O operador hamiltoniano para um sistema com massa dependente da posição é dado por

onde T(x) é o operador energia cinética dado pela Eq. (1) e V(x) é o termo de potencial. A equação de Schrödinger independente do tempo (ES) para estados estacionários é dada por

Considerando por simplicidade α = γ = 0 e β = −1, obtemos

Substituindo as Eqs. (5) e (3) na Eq.(4), e considerando o sistema de unidades no qual

2 = 2, obtemos a seguinte ES para o operador energia cinética generalizado

onde m' = dm/dx Agora, considerando atransformação

encontramos

que é a ES para uma partícula de massa constante e potencial efetivo

ou seja, o problema de uma partícula com massa dependente da posição em um potencial V(x) pode ser transformado através da Eq. (7), no problema de uma partícula com massa unitária em um potencial efetivo, V_eƒ.

E do ponto de vista da mecânica clássica, que mudanças devem ocorrer ao escrevermos o hamiltoniano do sistema? Considere o caso mais simples do movimento de uma partícula com massa unitária que desliza sob a ação da gravidade e sem atrito em um fio parabólico [11]. Escolhendo x como a coordenada generalizada e da equação da parábola y = , temos que a lagrangiana é dada por

Como a energia cinética está na forma quadrática em ², o hamiltoniano (H = T + V), é dado por

Observe que na expressão da energia cinética aparece um termo de "massa", m(x) = (1 + x²), e, nesse caso, o momento canónico é dado por p = (1 + x²) . Devido ao vínculo y = o potencial torna-se parabólico. A Eq. (10) é interpretada como a hamiltoniana de uma partícula com massa dependente da posição movendo-se em um potencial harmónico. A Eq. (10) indica que não há problema em escrever a expressão o para a energia cinética como T = . Mas, de uma maneira geral, dada uma distribuição de massa (m(x)) como obter uma expressão para o potencial V(x)?

A resposta foi dada por Cruz y Cruz, Negro e Nieto. [12, 13] que utilizaram o método de fatoração do hamiltoniano do sistema em consideração para encontrar a seguinte relação

onde X₀ é uma constante de integração.

Estes autores estudaram, tanto classicamente quanto quanticamente, três sistemas com massa dependente da posição, a saber [12]: (i) m₁ (x) = , (ii) m₂(x) = , e (iii) m₃(x) = . Pouco tempo depois, estes mesmos autores [13] apresentaram um estudo similar para os seguintes osciladores: (i) m₁ (x) = m₀ = , (ii) m₂ (x) = m₀ tanh² (λx), e (iii) m₃ (x) = .

Nosso objetivo neste trabalho é utilizar o método de fatoração apresentado nas Refs. [12, 13] no sistema onde m(x) = m₀(x² + a²) e estudar suas trajetórias no espaço de fase (x(t),p(t)) Esta dependência é importante não apenas do ponto de vista teórico, mas também do ponto de vista prático, pois pode ser utilizada na modelagem de heteroestruturas abruptas ou suaves [14, 15]. Na seção 2 discutimos o método de fatoração apresentado nas Refs. [12, 13], na seção 3 apresentamos e discutimos os resultados, e, por fim, na seção 4 apresentamos alguns comentários finais.

2. O método de fatoração

Nosso objetivo é encontrar a correspondência entre os hamiltonianos do oscilador harmónico com massa constante (OMC) e com massa dependente da posição (OMDP). Inicialmente vamos desenvolver o método de fatoração para o OMC. Considere o seguinte hamiltoniano para o OMC

onde X e P (= ) são, respectivamente, as variáveis canónicas de posição e momentum. Observe que ao escrevermos a Eq. (12) utilizamos um sistema de unidades no qualm = ω = 1 . Através das relações

H pode ser fatorado nas formas

onde (a^-)* = a⁺. As novas variáveis canónicas a^- e a⁺ obedecem à álgebra de Heisenberg com os parênteses de Poisson [14], a saber

Podemos obter as integrais primeiras de movimento definindo as variáveis

com isto H = Q⁺Q^-. No presente caso, a energia cinética é uma função puramente quadrática da velocidade e a função energia potencial independe da velocidade. Sendo assim, a hamiltoniana H é igual à energia mecânica total do sistema, H = E, que é conservada. Escrevendo Q⁺ = , onde φ é uma fase a ser determinada pelas condições iniciais, e utilizando as Eqs. (17) e (13), obtemos as expressões usuais para X e P a saber

e

Agora considere que de forma geral o hamiltoniano para um OMDP escreve-se

onde m(x) é uma função arbitrária da posição e V(x) é o potencial a ser determinado a partir da forma de m(x). O método utilizado por Cruz y Cruz, Negro e Nieto [12, 13] supõe que o hamiltoniano dado pela Eq. (20) também possa ser fatorado da mesma forma que foi feito para o OMC. Assim, considerando que

obtemos

ou seja, V(x) = W²(x). O próximo passo é considerar que as variáveis A⁺ e A^- também obedeçam à álgebra de Heisenberg, isto é

onde W' = ^dW/_dx. Da Eq. (23) encontramos a seguinte relação

onde X₀ é uma constante a ser determinada. Usualmente considera-se X₀ = 0, de forma que V (0) = 0. Como V (x) = W² (x), temos

e o hamiltoniano clássico para o OMDP passa a ser escrito como

Ao compararmos as Eqs. (12) e (27), vemos que

e

Das Eqs. (28) e (29) podemos obter as trajetórias no espaço de fase x(t) e p(t) a partir das relações

onde X^-1 é a função inversa de X obtida a partir da Eq. (28).

3. Resultados e discussão

Suponha que a massa dependa da posição de acordo com a relação m (x) = m₀ (x² + a²) Substituindo a expressão para m (x) na Eq. (26) e considerando m₀= 1 e X₀ = , obtemos a seguinte expressão para H (ou E)

Poderíamos obter as trajetórias no espaço de fase utilizando as equações de Hamilton, mas não é difícil perceber que as equações para e obtidas a partir da Eq. (32) são equações não lineares cujas soluções são não-triviais. Por exemplo, para a partícula com massa unitária que desliza sob a ação da gravidade e sem atrito em um fio parabólico (veja Eq. (10)) as equações de Hamilton são expressas por

De outra forma, poderíamos tentar utilizar as Eqs. (30) e (31). Entretanto obter X^-1 neste caso é também complicado em face da expressão de m(x). Assim, vamos analisar as trajetórias no espaço de fase utilizando diretamente a Eq. (32).

Nas Figs. 1(a)-(d) mostramos o gráfico de V (x) para o OMC (m(x) = 1) e para o OMDP com a = 0, a = 0,25 e a = 1,0, respectivamente. Observe que V (x) ∞ x⁴ para o OMDP.

Nas Figs. 2(a)-(d) mostramos o diagrama de fase para o OMC (m(x) = 1) e para o OMDP (a = 0) para alguns valores de E. Devido ao sistema de unidades utilizado (m = ω = 1) as trajetórias de fase para o OMC são circunferências concêntricas, ao invés de elipses. Já para o OMDP com a = 0 , observamos que as trajetórias de fase são deformadas próximo à origem e tendem a zero, evidenciando o fato que neste limite a massa tende à zero, e, por conseguinte, o momentum canónico, p = m(x)

 

O comportamento mostrado na Fig. 2(b) é muito semelhante ao exibido pelo OMDP com m²(x) = tanh² (λx) estudado por Cruz y Cruz e Negro e Nieto. [13], onde as trajetórias no espaço de fase são obtidas da equação

As trajetórias no espaço da fase para a = 0, 25 e a = 1,0 são mostradas nas Fig. 2(c) e 2(d), respectivamente. Nestes casos a massa não vai à zero para x = 0. As trajetórias mostradas na Fig. 2(c) ainda são deformadas, mas não tendem à zero quando x → 0 . Na Fig. 2(d) as trajetórias não são mais deformadas. A velocidade da partícula em todos os casos só se anula nos pontos de retorno.

4. Comentários finais

Neste trabalho mostramos o procedimento de fatoração do hamiltoniano que deve ser seguido quando estudamos sistemas com massa dependente da posição. Este procedimento desenvolvido por Cruz y Cruz e Negro e Nieto. [12, 13] consiste em decompor o hamiltoniano em termos de duas variáveis a⁺ e a^- que satisfazem à álgebra de Heisenberg. Admitindo que a decomposição possa ser feita tanto no OMDP quanto no OMC, vemos que a correspondência entre os sistemas é dada pelas transformações canónicas expressas pelas Eqs. (28) e (29).

Em particular investigamos o sistema com m (x) = m₀(x² + a²) . Obtivemos as trajetórias no espaço de fase a partir da Eq. (32) para a = 0, 0,25 e 1,0. Observamos que para a = 0 as trajetórias de fase são deformadas próximo à origem devido ao fato que m(x) → 0 quando x → 0. Para a ≠ 0, a deformação diminui e praticamente desaparece para a = 1,0 . Mostramos assim que para sistemas nos quais as soluções das equações de Hamilton fiquem muito complicadas ou não possamos obtê-las a partir das Eqs. (30) e (31), a análise das trajetórias no espaço de fase fornece uma boa descrição da dinâmica do sistema em consideração.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq pelo auxílio financeiro.

Recebido em 20/2/2014

Aceito em 26/6/2014

Publicado em 3/10/2014

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Nov 2014
• Data do Fascículo
  Dez 2014

Histórico

• Recebido
  20 Fev 2014
• Aceito
  26 Jun 2014