Uma abordagem teórica e experimental do oscilador harmônico em duas dimensões utilizando as curvas de Lissajous

Theoretical and experimental approach to the harmonic oscillator using the Lissajous curves

ARTIGOS GERAIS

Uma abordagem teórica e experimental do oscilador harmônico em duas dimensões utilizando as curvas de Lissajous

Theoretical and experimental approach to the harmonic oscillator using the Lissajous curves

Cícero R. CenaI, ¹; Omar C.N. Pereira^II; Vítor M. Pereira^II; Thalita A. Canassa^III; Ronaldo C. Viscovini^II

^IUniversidade Tecnológica Federal do Parana, Campus de Cornélio Procopio, Cornélio Procopio, PR, Brasil

^IIUniversidade Estadual de Maringó, Campus de Goioere, Goioere, PR, Brasil

^IIIUniversidade Estadual Paulista "Julio de Mesquita Filho", Campus de Ilha Solteira, Ilha Solteira, SP, Brasil

RESUMO

O estudo de fenômenos oscilatórios e de grande importância em diversas áreas do conhecimento. A solução ou o entendimento de muitos problemas que cientistas e engenheiros enfrentam no dia-a-dia sao equacionados, analógica ou literalmente, atraves de um movimento do tipo oscilatório. A descrição de movimentos desta natureza possui notária contribuiçao para a formacao matematica e conceitual do estudante e para a resolução de problemas do dia-a-dia nas mais diversas areas. Neste trabalho, propomos uma abordagem teorica e experimental envolvendo o fenômeno de oscilacoes harmonicas em duas dimensões que pode ser facilmente realizada em sala de aula em curso de mecanica classica. A trajetoria descrita a partir das possíveis solucoes para a equacao do movimento oscilatorio em duas dimensoes foi demonstrada utilizando as curvas de Lissajous. As curvas estudadas foram obtidas atraves de um aparato experimental relativamente simples e acessível na maioria dos laboratórios didaticos de física.

Palavras-chave: oscilador harmonico, curvas de Lissajous.

ABSTRACT

The study of oscillatory phenomena is an important topic in several areas of knowledge. The understanding and the solution of many problems that scientists and engineers confront nowadays can be formulated, at least as an analogy, in terms of an oscillatory movement. The description of the motion of this nature has remarkable contributions to the mathematical and conceptual formation of the students and for solving daily problems in several areas. In this paper we propose a theoretical and experimental approach involving the phenomenon of harmonic oscillations in two dimensions. Lissajous curves were used as experimental demonstration of the resulting trajectories. These curves were obtained from relatively simple experimental apparatus, which is affordable in most teaching laboratories of physics.

Keywords: harmonic oscillator, Lissajous curves.

1. Introdução

Definem-se como movimentos oscilatórios aqueles que apresentam periodicidade de uma ou mais grandezas que descrevem o movimento. Estas grandezas apresentam um valor maximo definido como amplitude que por sua vez possui um caráter inversor (apresentando valores positivos e negativos). Deste modo, a grandeza que caracteriza o movimento varia entre maximos valores positivos e negativos. Se a periodicidade da oscilação ocorrer de forma ordenada e regular, o fenômeno e conhecido como harmônico, mesmo que a amplitude de oscilacão possa ser constante ou variavel [1].

Os diferentes movimentos harmônicos sao definidos em termos dos tipos de forcas que atuam sobre o sistema, isto e, sob a açcãao de uma forcça restauradora interna (movimento harmonico simples - MHS), juntamente com uma forcça amortecedora externa (movimento harmonico amortecido - MHA) ou ainda sob a acçaão conjunta de uma forcça impulsora externa (movimento harmônico forcado - MHF) [1].

O estudo de movimentos oscilatorios de diferentes naturezas constitui um profícuo panorama para a formacçaão do estudante. A abordagem destes problemas pode ser contextualizada uma vez que esta relacionada a fenômenos comuns e/ou aplicacães nas mais diversas areas do conhecimento [1, 2]. Este estudo pode envolver ainda um formalismo e calculos matematicos [3] que se tornam gradativamente mais complexos, a medida que novas variaveis sao consideradas e/ou envolvidas no problema, possibilitando assim uma evoluçao gradual no desenvolvimento, analise e soluçao dos problemas.

Poucos trabalhos na literatura tem abordado movimentos oscilatórios de diferentes tipos propondo experimentos simples que possibilitem seu estudo em laboratorio didatico de física [37]. Embora seja constantemente apontado como um importante tóopico para o ensino e constantemente desvalorizado ou ainda simplificado de modo extremo, prejudicando o processo de aprendizagem e desenvolvimento do aluno [1,5]. Alguns tópicos relacionados a movimento oscilatorio sequer são discutidos em livros textos usuais de Física inclusive de nível mais avançado [4].

Neste contexto uma ferramenta muito util para auxiliar a atividade docente íe o uso de experimentos didaticos simplificados que assumem um importante papel no processo de ensino e aprendizagem. Alguns autores [1] apontam que fatores como: ausencia de so-fisticacao instrumental tem acarretado um desencanto por parte de estudantes com a atividade proposta em laboratoírio, entretanto nem todo experimento didaítico íe passível de uma coleta de dados criteriosa que possibilite uma anaílise concreta dos dados obtidos, assumindo assim um papel mais qualitativo no intuito de demonstrar a fenomenologia abordada.

O experimento proposto neste trabalho assume em primeiro instante um caraíter qualitativo, no qual o resultado de um movimento oscilatoírio em duas di-mensãoes íe representado em termos da trajetíoria descrita por um ponto de luz laser, resultando nas conhecidas curvas de Lissajous. Este simples experimento pode ser utilizado como ferramenta em sala de aula, para demonstrar a trajetória final descrita por corpo sujeito a um movimento harmônico simples em 2D.

A abordagem qualitativa de experimentos pode causar determinadas dificuldades inerentes a sua anólise [8]. Nesse sentido, torna-se importante vincular a imagem observada com aquilo que foi predito pela teoria ensinada, podendo assim melhor predispor o aluno a compromissos epistemológicos tais como a coerência e a procura por generalizacçoães [4,8].

As curvas de Lissajous podem tambóem ser utilizadas em outros temas de aulas, não só como auxílio a mecânica classica, mas tambem em estudos de ondu-latóoria e atóe mesmo em laboratoório de fósica para exemplificar o funcionamento de um osciloscopio. Entretanto, o foco deste trabalho estóa na anóalise das soluçcãoes matematicas do movimento e demonstração prótica (representacao) destas solucães por meio das curvas de Lissajous.

As curvas de Lissajous saão assim chamadas em homenagem a Jules Antoine Lissajous (1822-1880), Fig. 1(a). Lissajous graduou-se pela Ecole Nórmale Supérieure de Paris na França em 1841 tornando-se mais tarde professor de fósica na Lycee Saint-Louis em Paris [9]. Seus principais estudos foram dedicados a óarea de vibraçcoães e som.

Em 1855 J.A. Lissajous desenvolveu um simples móetodo óoptico para estudar de vibracçãoes, descrito na Fig. 1(b). Ao prender um pequeno espelho em um objeto em vibracçãao (diapasaão) isto fornecia uma vibraçcaão ao feixe em determinada direcçaão. O mesmo feixe de luz continuando sua trajetoória era focado em outro espelho fornecendo mais uma direçcãao de vibracçãao diferente da primeira [9].

Como resultado desta configuração era possível ao projetar o feixe em um anteparo visualizar um padrão bidimensional formado como resultado visual da combinação de 2 vibrações [9]. Esta ideia simples - foi precursora do moderno osciloscópio - foi uma novidade no tempo de Lissajous, ate então o estudo do som era restrito a processo de audicao, isto e, ao ouvido humano, assim Lissajous literalmente tornou possível "ver o som" [9].

O trabalho de Lissajous foi parabenizado por seus contemporaneos, discutido e utilizados por muitos físicos em seus trabalhos sobre acústica [9]. Em 1873 lhe rendeu o premio "Lacaze Prize" por seus belíssimos experimentos e seu metodo chegou a ser exibido na Paris Universal Exposition em 1867 [9].

Neste trabalho apresentaremos um arranjo experimental bastante simples e de baixo custo, acessúível em grande parte dos laboratoúrios didúaticos de fúísica, e tambem que tenha como objetivo possibilitar ao aluno uma visualizacçaão praútica da trajetoúria resultante de um movimento oscilatúrio bidimensional (2D). Esta tra-jetoúria foi inicialmente prevista pela teoria e determinada pela solucçaão das equaçcãoes de movimento, obtidas aplicando as leis de Newton, para dadas condiÇôes. O desenvolvimento teoúrico foi apresentado neste trabalho sem omitir a sua complexidade, evitando o uso de sim-plificaçoes que possam vir a atrapalhar o processo de aprendizagem e aplicaçcãao de determinados conceitos.

2. Abordagem teórica

Consideremos o movimento de uma partúícula de massa M que possui dois graus de liberdade, e se encontra sujeita a acçãao de forcças restauradoras proporcionais ao deslocamento. A Fig. 2 ilustra um modelo que descreve a situaçcãao proposta.

A força restauradora F atuante sobre a massa M pode ser expressa pela Eq. (1), onde k representa a constante elastica da mola e r o vetor posicao que localiza a massa M no sistema cartesiano xy

Reescrevendo o r em termos de suas componentes, obtemos para F

A Eq. (2) indica que atuando sobre a partícula de massa M existem duas forças restauradoras distintas, cuja açao conjunta resulta no movimento observado sob acao da forca resultante F. Assim, para facilitar a análise de movimento podemos estudar o movimento da partícula separadamente ao longo do eixo x e depois ao longo do eixo y, o resultado da sobreposiçao destes dois movimentos resulta no movimento final descrito pela partícula. Este raciocínio e analogo ao realizado no estudo de lancçamento de projíeteis, no qual resolvemos e compreendemos o movimento final analisando o que ocorre com o projetil ao longo da horizontal e depois ao longo da vertical, ou vice-versa.

Desprezando o caráter vetorial, temos então

• em x:

• em y:

Note que as Eqs. (3) e (4) sao matematicamente idênticas, fisicamente descrevem um movimento harmônico simples em direções distintas, e possuem mesmo tipo de solucõo. Adotemos a Eq. (3) para determinar sua solucçaõo.

Definindo: ; como sendo a frequencia angular de oscilaçao, temos a Eq. (3) reescrita como

A Eq. (5) e uma equação diferencial homogenea de segunda ordem cuja soluçcãao descreveraú o movimento da partúcula M ao longo eixo x. A funçcaão soluçcãao da Eq. (5) deve ser derivúavel atúe segunda ordem e satisfazer a condicçaão de que a soma da proúpria funcçaão com a sua segunda derivada seja igual à zero. Esta condição soú serúa satisfeit a se a funçcãao ao ser derivada apresente como parte do resultado da derivaçcãao a prúopria funçcãao [12].

A funçcaão que pode satisfazer estas condiçcãoes seraú uma funcçãao do tipo exponencial, assim temos

k é uma constante pertencente ao conjunto dos nuúmeros reais.

Derivando a Eq. (6) obtemos

Substituindo a Eq. (6) e o resultado de sua segunda derivada na Eq. (5), obtemos

Para que a Eq. (7) seja satisfeita e necessário que

Logo

Desta forma a Eq. (6) torna-se

ou ainda

Utilizando a identidade de Euler

e um pouco de desenvolvimento algebrico,

Note que os termos que sao constantes na equação são renomeados de acordo com a necessidade não afetando a solução da equação ou o significado físico que representa. Assim, definimos

Substituindo as definicães da Eq. (13) na Eq. (12), utilizando a relaçcaão trigonomúetrica [cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sen (a) sen (b)] e um pouco de desenvolvimento algúebrico, obtemos

A Eq. (14) e a solucão da Eq. (5), esta descreve o movimento da partúícula M ao longo do eixo x. O jangulo a descreve o angulo de fase do movimento. Analogamente temos para o eixo y

Logo, a partícula M apresenta um movimento oscilatório bidimensional de mesma frequência wo mas, amplitudes e fases diferentes.

Para descrever o caminho percorrido pela partícula no plano xy, ou seja, a trajetória descrita. Devemos combinar as Eqs. (14) e (15) eliminando o termo referente ao tempo nas duas equacoes [13]. Somando zero [-a + a] na Eq. (15) e com algum desenvolvimento algíebrico, temos

Definindo e utilizando a Eq. (14) onde cos

Elevando ao quadrado e rearranjando os termos

A Eq. (18) representa a trajetória descrita pela partícula M, considerado a mesma frequencia angular de oscilação para as direções x e y. Nestas condkçães a forma do movimento da partícula seraí determinada pela amplitude (A e/ou B) e ângulo de fase da oscilacão.

Abordagens anaílogas para a solucçaão do problema de oscilacçaão harmoânica em duas dimensoães, aqui proposto e apresentado, podem tambíem ser facilmente encontradas em livros textos de mecânica classica [12-15].

3. Parte experimental

O experimento proposto neste trabalho foi baseado em um conhecido aparato comumente utilizado em feiras de ciâencias para demonstrar a formacçãao das curvas de

Lissajous utilizando um laser e uma lata, conforme descrito na literatura [16].

O experimento empregado para produzir as Curvas de Lissajous foi montado utilizando os materiais ilustrados na Fig. 3. Como fonte de "vibracão" empregamos um alto-falante do tipo oval da Bravox, Fig. 3(a), este alto-falante foi alimentado por um gerador de funcçoães com amplificador interno, Fig. 3(b).

Utilizando uma luva de latex cirárgica a parte superior do alto-falante foi envolvida, formando uma espíecie de cama elastica sobre a "boca" do alto-falante, e sobre a superfície esticada da luva que forma a "cama elastica" foi colado 3 (três) espelhos planos em diferentes posicçãoes, Fig. 3(c) Uma caneta laser vermelho foi fixa em um suporte universal de modo a regular o âangulo de incidâencia do laser sobre o espelho e posicionamento do feixe incidente, Fig. 3(d).

A Fig. 4 ilustra o aparato final montado com des-cricçaão de cada um de seus componentes. A operacçãao do experimento foi bastante simples, apíos incidir o feixe de laser sobre o espelho desejado, no gerador de funcçoães foi alterado a frequâencia da onda fornecida para o alto-falante girando o botãao de controle da frequâencia do canal de saída que estaí conectado ao alto-falante.

Nesta configuracão o tipo de onda fornecida (quadrada, senoidal ou triangular) nao influencia o resultado observado, pois o alto-falante possui apenas um modo de vibração (perpendicular ao seu "raio"). Normalmente em laboratíorios de ensino utiliza-se uma configuracao analoga àquela montada por Jules A. Lissa-jou, onde dois alto-falantes saão utilizados para o experimento no lugar dos diapasoes da Fig. 1, assim a forma de onda empregada influenciará o resultado observado.

Em nosso experimento o efeito observado sería resultado da vibraçcãao da superfície elaística da luva, que causa o movimento em 2 ou 3 dimensoes do espelho a ela acoplado, responsavel pela formacao das figuras observadas

Finalmente com as luzes da sala apagada o feixe de laser foi projetado no teto da sala regulando o angulo de incidencia sobre o espelho assim foi observada a formacao das curvas de Lissajous. O registro das imagens foi realizado atraves de fotos utilizando camera digital comum.

4. Resultados

Os resultados obtidos foram constituídos de diferentes formas geometricas, a Tabela 1 apresenta as fotos das curvas de Lissajous obtidas. Considerando que os movimentos oscilatorios nas direções xy possuam a mesma frequencia de oscilaçõo w_n, as formas geometricas obtidas para a trajetória resultante dependera apenas da diferença de fase γ entre eles. A resoluçõo da Eq. (18) considerando w_x = w_y = w_o e diferentes valores de γ tambem estao apresentados na Tabela 1 para com-paraçcõao.

Os resultados demonstram que as formas geometricas, previstas pela solucõo da Eq. (18), de reta (γ = 0ou γ = ±π) e elipse (γ = ±π/2) foram obtidas com sucesso em nosso experimento, apenas para a forma circular (A = B e γ = ±π/2) que exigia uma amplitude de oscilacao na direçõo x e y iguais que foi observado uma sutil distorçao no formato do círculo, possivelmente associado a uma pequena diferencça entre as amplitudes A e B.

As figuras obtidas inicialmente exigem como condição de movimento algo muito particular, ou seja, que as frequencias angulares de oscilacao sejam iguais (w_x = w_y = w₀). Entretanto, a maioria dos movimentos oscilatorios bidimensionais, em geral, apresentam frequencias angulares de oscilacao diferentes de modo que as Eqs. (14) e (15) devem ser reescritas como

Nestas situações a trajetória do movimento se torna uma curva um tanto mais complexa de difícil solucõo matemaótica. A curva formada seróa fechada se o movimento se repetir em intervalos regulares de tempo e a relacçaõo entre as frequôencias angulares forem uma fraçcõao racional, caso contraírio obtíem-se uma curva aberta e a partícula em movimento nunca passaraí duas vezes pelo mesmo ponto [13].

A Tabela 2 mostra algumas condicoes para o movimento resultante da partícula quando w_y = 2w_x (musicalmente falando, quando as 2 vibracçoões saõo uma oitava parte [9]). Nesta γ = α - β.

Supondo um caso onde a = π/2 e β = 0, podemos reescrever as Eqs. (19) e (20) como

Utilizando a identidade trigonométrica cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sen (a) sen (b) na Eq. (21), obtemos

Utilizando tambem a identidade trigonometrica cos (2u) = 1 - 2.sen²(u) na Eq. (22), obtemos

Combinando as Eqs. (23) e (24), encontramos para a trajetória resultante

A Eq. (25) descreve uma paríabola, conforme ilustrado na Fig. 2, o formato da paríabola dependeraí da diferençca de fase γ e das amplitudes do movimento.

Os resultados obtidos que demonstram a formaçcãao de curvas aproximadamente paraboílicas estãao ilustrados na Tabela 2. A obtenção de curvas do tipo pa-raboílico apresentou uma distorcçãao mais acentuada em comparação com as curvas anteriores. Para que estas curvas sejam formadas a solucçaão do movimento exige que parâametros, como a frequâencia angular de oscilaçcãao apresente determinadas condicçoães para sua formaçcaão. Este íe um parâametro que nãao temos liberdade de controle no experimento, fato que leva a um maior grau de dificuldade na obtençao destas curvas.

A sutil distorçcaão observada nas curvas obtidas, embora pequenas, foram evidentes. Entretanto, ainda assim o experimento demonstra grande potencial para exemplificaçao do fenâmeno de oscilacão bidimensional e possibilita discussoes em torno da influencia do novo paraâmetro que foi alterado sobre a trajetíoria resultante descrita e fatores que podem estar contribuindo para as distorçcoães observadas.

Usualmente, as curvas de Lissajous exibem formatos mais complexos formando belííssimos padroães de movimento. Tais padrãoes saão normalmente apresentados em feiras de ciâencia, onde um caríater mais luídico do experimento íe tomado como foco.

O experimento aqui proposto tambíem íe apto a gerar curvas deste tipo, conforme ilustrado pela Fig. 5, entretanto a soluçcaão matemaítica para este caso assume grande complexidade naão sendo abordada neste trabalho.

A abordagem qualitativa do experimento serve como um exemplo praítico daquilo que foi observado a partir da abordagem teoírica do problema. A "sim-plificacao" das curvas obtidas nao devem afetar o processo de construçcãao conceitual e matemaítica do aluno, e sim evidenciar que movimentos desta natureza podem ser obtidos ajustando determinados paraâmetros expe- rimentais. Objetivando analisar quais os fatores que podem contribuir ou afetar o formato da imagem.

As curvas obtidas neste trabalho foram idôenticas para os espelhos posicionados práoximos a borda do alto-falante, onde mudançcas na frequôencia de onda fornecida para o alto-falante afetava significativamente o formato das figuras. O espelho central foi pouco afetado pelas mudancças na frequôencia da onda, gerando imagens similares aquela ilustrada na Fig. 4, nao sendo possável controlar a imagens formadas de modo a obter os padrãoes apresentados nas Tabelas 1 e 2.

Para o leitor que deseje se familiarizar mais com a teoria e a obtençcaão de curvas em diferentes formatos, recomendamos como ferramenta complementar para o estudo o sítio "Math World Wolfram" [17].

5. Conclusões

As curvas de Lissajous geradas pelo experimento proposto sao passíveis de manipulacão quanto a sua forma pela simples alteracçaão na frequôencia da onda fornecida para o alto-falante. As imagens obtidas puderam ser comparadas com aquelas previstas pela teoria, o que possibilita grande abertura para discussaão dos dados e parôametros experimentais que afetam o movimento oscilatáorio bidimensional.

Recebido em 19/7/2013

Aceito em 16/1/2014

Publicado em 11/5/2014

• [1] Mario S. Haga, Osciladores do Tipo Massa-Mola Reais com Registrador Eletro-Mecanico X-T. Núcleos de Ensino (Editora Unesp, Sao Paulo, 2006), v. 1, p. 846862.
• [2] T.P. Pavlic. Introduction to instrumentation. Lissajoú figures, p. 1-2, 2007, Disponível em http://www.tedpavlic.com/teaching/osu/ece209/labi_intro/labi_intro_issajous.pdf, acesso em 10/5/2013.
• [3] V.P. Barros, Revista Brasileira de Ensino de Física 29, 549 (2007).
• [4] A.J. Santiago, Revista Brasileira de Ensino de Física 27, 245 (2005).
• [5] M.G. Rodrigues, Revista Brasileira de Ensino de Física 32, 4304 (2010).
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• [8] A. Villani, Revista de Ensino de Física 16, 98 (1994).
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• [10] Figura disponível em www.uh.edu/engines/musicforawhile/images/lissaexp.gif; acesso em 9/7/2013.
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• [11] Figura disponível em apprendre-math.info/history/photos/Lissajous_2.jpeg acesso em 9/7/2013.
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• [12] Kleber Daum Machado, Equações Diferenciais Aplicadas (Editora Toda Palavra, Ponta Grossa, 2012), v. 1, p. 360-368.
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• [16] Eduardo C. Valadares, Física Mais que Divertida: Inventos Eletrizantes Baseados em Materiais Reciclados e de Baixo Custo (Editora UFMG, Belo Horizonte, 2000), 1^a ed., p. 106-107.
• [17] E.W. Weisstein, "Lissajous Curve' em Math World-A Wolfram web resource. Disponível em http://http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.htmlehttp://www.wolframalpha. com/input/?i=lissajous+curve

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  03 Jul 2014
• Data do Fascículo
  Jun 2014

Histórico

• Recebido
  19 Jul 2013
• Aceito
  16 Jan 2014