Resumos
Dada uma planta Gol(s) linear e invariante no tempo com uma entrada e q saídas, sendo q > 1, é proposto um método, baseado no Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, para a obtenção de uma matriz constante F ? Rq em série com a saída, de modo que o sistema FGol(s) seja de fase mínima. A partir desta solução, o sistema FGol(s) é representado em espaço de estados por {A,B,FC} e é obtida uma matriz constante de realimentação da saída Ko ? R¹, de modo que o sistema realimentado {A-BKoC,B,FC} seja Estritamente Real Positivo (ERP). O procedimento proposto fornece condições necessárias e suficientes para os dois problemas. Inicialmente, é analisado o caso geral, com q genérico. Em seguida, são estudados os casos particulares q = 2 e q = 3.
Sistemas ERP; Fase Mínima; Critério de Routh-Hurwitz; Realimentação da Saída
Given a linear time-invariant plant Gol(s) with one input and q outputs, where q > 1, a method based on the Routh-Hurwitz Stability Criterion is proposed to obtain a constant tandem matrix F ? Rq, such that FGol(s) is a minimum-phase system. From this solution, the system FGol(s) is represented in state space by {A,B,FC} and a constant output feedback matrix Ko ? R¹ is obtained such that the feedback system {A-BKoC,B,FC} is Strictly Positive Real (SPR). The proposed procedure offers necessary and sufficient conditions for both problems. Initially, the general case, with a generic q, is analyzed. Following, the particular cases q = 2 and q = 3 are studied.
SPR Systems; Minimum Phase; Routh-Hurwitz Criterion; Output Feedback
TEORIA DE CONTROLE
Síntese de Sistemas Estritamente Reais Positivos através do Critério de Routh-Hurwitz
SPR Systems Synthesis Through Routh-Hurwitz Criterion
Márcio Roberto CovacicI; Marcelo Carvalho Minhoto TeixeiraII; Edvaldo AssunçãoII; Rodrigo CardimII
IDepartamento de Engenharia Elétrica, Centro de Tecnologia e Urbanismo, Universidade Estadual de Londrina, UEL Caixa Postal 6001, 86051-970, Londrina - PR. marciocovacic@uel.br
IIDepartamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP - Univ Estadual Paulista, Av. José Carlos Rossi 1370, 15385-000, Ilha Solteira - SP. marcelo@dee.feis.unesp.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, rcardim@dee.feis.unesp.br
RESUMO
Dada uma planta Gol(s) linear e invariante no tempo com uma entrada e q saídas, sendo q > 1, é proposto um método, baseado no Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, para a obtenção de uma matriz constante F ∈ Rq em série com a saída, de modo que o sistema FGol(s) seja de fase mínima. A partir desta solução, o sistema FGol(s) é representado em espaço de estados por {A,B,FC} e é obtida uma matriz constante de realimentação da saída Ko ∈ R1, de modo que o sistema realimentado {ABKoC,B,FC} seja Estritamente Real Positivo (ERP). O procedimento proposto fornece condições necessárias e suficientes para os dois problemas. Inicialmente, é analisado o caso geral, com q genérico. Em seguida, são estudados os casos particulares q = 2 e q = 3.
Palavras-chave: Sistemas ERP, Fase Mínima, Critério de Routh-Hurwitz, Realimentação da Saída.
ABSTRACT
Given a linear time-invariant plant Gol(s) with one input and q outputs, where q > 1, a method based on the Routh-Hurwitz Stability Criterion is proposed to obtain a constant tandem matrix F ∈ Rq, such that FGol(s) is a minimum-phase system. From this solution, the system FGol(s) is represented in state space by {A,B,FC} and a constant output feedback matrix Ko ∈ R1 is obtained such that the feedback system {A-BKoC,B,FC} is Strictly Positive Real (SPR). The proposed procedure offers necessary and sufficient conditions for both problems. Initially, the general case, with a generic q, is analyzed. Following, the particular cases q = 2 and q = 3 are studied.
Keywords: SPR Systems, Minimum Phase, Routh-Hurwitz Criterion, Output Feedback.
1 INTRODUÇÃO
A importância dos sistemas ERP na análise e projeto de sistemas de controle é comprovada pelos resultados obtidos a respeito da estabilidade destes sistemas, como a hiperestabilidade assintótica de Popov (Anderson, 1968). Estes resultados possuem uma ampla gama de aplicações, como no projeto de sistemas de controle adaptativos (Barkana et al., 2006; Hsu et al., 1994; Huang et al., 1999; Kaufman et al., 1994; Landau, 1979; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989), em sistemas de controle com estrutura variável (Cardim et al., 2008; Cardim et al., 2009; Collado et al., 2007; Covacic, Teixeira, Assunção e Cardim, 2008; DeCarlo et al., 1988; Shu et al., 2008; Teixeira, 1990; Teixeira, 1993; Teixeira et al., 2000; Teixeira et al., 2002; Teixeira et al., 2006) e na estabilização de sistemas incertos com realimentação da saída (Cunha et al., 2003; Steinberg e Corless, 1985; Xiang et al., 2005).
Um problema relacionado com este método de projeto é a chamada síntese ERP: dada uma planta linear invariante no tempo, {A,B,C}, controlável e observável, com m variáveis de entrada e p variáveis de saída, o objetivo é obter uma matriz constante de realimentação da saída Ko e uma matriz constante F em série com a saída, de modo que o sistema controlado {A-BKoC,B,FC} seja ERP. A matriz F combina as saídas da planta, tornando o sistema compatível com a igualdade BTP = FC, que é uma das condições para um sistema ERP. Em (Teixeira, 1989; Teixeira, 1990), foi demonstrado que este problema é equivalente a um problema de estabilização com realimentação da saída. Para plantas com o mesmo número de variáveis de entrada e de saída, a condição necessária e suficiente para este problema é que todos os zeros de transmissão tenham parte real negativa e que det(CB) ≠ 0 (Kaufman et al., 1994; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989).
Em (Boyd et al., 1994; Choi, 1997; Choi, 1998; Choi, 1999; Huang et al., 1999; Teixeira et al., 2000; Teixeira et al., 2002), foi estudada a solução deste problema usando Inequações Matriciais Lineares (LMIs). A vantagem deste método é que as LMIs, quando factíveis, podem ser resolvidas facilmente através de programas computacionais como Matlab (Gahinet et al., 1995) e LMISol (de Oliveira et al., 1997). Estes métodos permitem, também, outras especificações de projeto, como taxa de decaimento, restrições na entrada e na saída (Bernussou et al., 1999; Teixeira et al., 2000; Teixeira et al., 2002). Para o problema acima, com p > m, são conhecidas apenas condições suficientes (Teixeira et al., 2002).
Outra ferramenta útil para a análise da estabilidade de um sistema é o Critério de Routh-Hurwitz (Dorf e Bishop, 1998; Ogata, 1997). Uma das suas mais importantes aplicações é a determinação da faixa de valores de um parâmetro k ∈ tais que todas as raízes de um polinômio d(s,k) possuam parte real negativa. Outras aplicações para o Critério de Routh-Hurwitz estão disponíveis na literatura. Em (Blondel e Lundvall, 1995), o critério é utilizado para determinar se um sistema é estabilizável, isto é, se existe um controlador que torna o sistema estável. Em (Peña, 2004), são apresentados alguns testes para checar as condições de Routh-Hurwitz e a positividade total de uma matriz, transformando-a em uma matriz triangular superior. Em (Hwang e Yang, 1999), o Critério de Routh-Hurwitz é utilizado para testar a propriedade Hurwitz de um segmento de polinômios (1 - λ)po(s) + λp1(s), sendo que 0 < l < 1. Em (Bose, 1989; Yang e Hwang, 2002), o método é estendido para combinações convexas de polinômios complexos. Em (Barmish, 1984; Białas e Garloff, 1985; Guiver e Bose, 1983), é apresentado um método para a análise da estabilidade de polinômio, cujos coeficientes sofrem perturbações. Em (Hwang e Yang, 1999; Bandyopadhyay et al., 1994; Bandyopadhyay et al., 1997), o método é estendido para determinar modelos de intervalos de ordem reduzida para sistemas lineares em que cada coeficiente de n(s) e d(s) pertence a um intervalo. Em (Wei e Yedavalli, 1987), os coeficientes do polinômio característico dependem de um conjunto de parâmetros, com cada parâmetro pertencente a um intervalo. Existem outros métodos, por exemplo o teorema de Hermite-Biehler (Oliveira et al., 2003; Oliveira et al., 2009), que permitem a análise da estabilidade para plantas com ou sem atrasos de transporte.
Em (Teixeira et al., 2007), é apresentado um procedimento, baseado no Critério de Routh-Hurwitz (Dorf e Bishop, 1998; Ogata, 1997), para a determinação da faixa de valores de k (condições necessárias e suficientes) que tornam estável um sistema com uma entrada e uma saída (SISO) realimentado através de um controlador proporcional Gc(s) = k. O método reúne as raízes reais de todos os numeradores e denominadores da primeira coluna da tabela de Routh-Hurwitz e agrupa-os em ordem crescente, considerando os valores repetidos apenas uma vez. São obtidos, assim, os intervalos entre as raízes reais. Para obter a faixa de estabilidade, basta analisar um ponto de cada intervalo. A ideia foi estendida para o projeto de outros tipos de controladores, como o proporcional-integral-derivativo (PID) e é apresentado, também, em (Teixeira et al., 2007), um programa em Matlab que implementa este método, que está disponível na internet (http://www.dee.feis.unesp.br/docentes/marcelo/fxestab/english/index.html).
Em (Covacic, Teixeira e Assunção, 2008), é proposto um método baseado no Critério de Routh-Hurwitz para o estudo da estabilidade de sistemas incertos = (Ao + αΔA)x, através da determinação da faixa de valores de α que garantem a estabilidade assintótica do sistema. O método também é utilizado para a determinação da faixa de valores de k que garantem a estabilidade de sistemas de malha fechada
= (A - BKC)x, com K = kI.
Neste trabalho, o Critério de Routh-Hurwitz é utilizado para a obtenção de uma matriz F ∈q, que combina as q saídas de uma planta {A,B,C} com uma entrada, de modo que todos os zeros de transmissão do sistema {A,B,FC} possuam parte real negativa. A partir deste sistema de fase mínima, é obtida, através de LMIs, uma matriz Ko que torna ERP o sistema {A-BKoC,B,FC}. Após a análise do caso geral, com q genérico, são estudados os casos particulares q = 2 e q = 3.
Na Seção 2, são apresentados os conceitos básicos sobre sistemas ERP. Na Seção 3, o Critério de Routh-Hurwitz é aplicado para a obtenção de um sistema de fase mínima. A partir deste sistema de fase mínima, pode ser obtido um sistema ERP, como é apresentado na Seção 4. A Seção 5 mostra dois exemplos de aplicação do método e a Seção 6 apresenta as conclusões finais.
2 SISTEMAS ERP
Considere a planta linear, invariante no tempo, controlável e observável dada por (1).
sendo x ∈n o vetor das variáveis de estado, u ∈
m a entrada de controle, y ∈
m a saída da planta, A ∈
n×n a matriz característica, B ∈
n×m a matriz de entrada e C ∈
m×n a matriz de saída da planta.
O conceito de sistemas ERP é apresentado em (Anderson, 1968), assim como o Lema 1, que fornece a condição necessária e suficiente para que o sistema (1) seja ERP.
Lema 1(Anderson, 1968) A matriz de transferência do sistema (1), Gol(s) = C(sI-A)-1B, é ERP se e somente se existir uma matriz P = PT, tal que:
O Teorema 2 estabelece condições necessárias e suficientes para a existência de uma matriz K que torna ERP o sistema de malha fechada da Fig. 1, com entrada V(s) e saída Y(s).
Teorema 2 (Kaufman et al., 1994; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989): Considere a Fig. 1. Então, existe uma matriz constante K, tal que o sistema da Fig. 1, com entrada V(s) e saída Y(s), dado pela matriz de transferência (I+Gol(s)K)-1Gol(s), seja ERP, se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i)CB = (CB)T > 0;
(ii)todos os zeros de transmissão da planta {A,B,C} apresentam parte real negativa.
Como definido em (Chen, 1999), os zeros de transmissão de um sistema cujo número de saídas p é maior ou igual ao número de entradas m são os valores de s ∈ tais que:
Com base no Lema 1, foi proposto o seguinte problema:
Problema 1 Dada a planta {A,B,C} linear, invariante no tempo, controlável e observável, com p > m, posto(C) = p e posto(B) = posto(CB) = m, obtenha condições necessárias e/ou suficientes, usando LMIs, para a existência de matrizes constantes F e Ko ∈m×p, para que o sistema descrito na Fig. 2, dado pela matriz de transferência F(I+Gol(s)K)-1Gol(s), seja ERP.
Na Seção 3, é apresentado um método para a obtenção de um sistema de fase mínima através do Critério de Routh-Hurwitz, para plantas com uma entrada e q saídas, sendo q > 1. Na Seção , é descrita a obtenção de um sistema ERP a partir do sistema de fase mínima obtido.
3 OBTENÇÃO DE SISTEMAS DE FASE MÍNIMA ATRAVÉS DO CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ
Considere uma planta Gol(s) = N(s)D(s)-1, controlável e observável, com uma entrada e q saídas, sendo D(s) = d(s) e N(s) = [ n1(s) n2(s) ... nq(s) ]T matrizes polinomiais, com:
sendo que n1(s),...,nq(s) e d(s) não possuem raízes comuns (neste caso, N(s) e D(s) são coprimas à direita (Chen, 1999)).
De acordo com o Teorema 2, existem matrizes F e Ko, sendo Ko = KF, tais que o sistema {A-BKoC,B,FC} é ERP se e somente se existir F tal que FCB = (FCB)T > 0 e {A,B,FC} for um sistema de fase mínima, isto é, os zeros de transmissão de {A,B,FC}, que são os zeros de FGol(s), apresentarem parte real negativa.
Seja F = [ f1f2 ... fq ] ∈q. Então, o produto FGol(s) é dado por:
sendo:
A condição FCB = (FCB)T > 0 ocorre somente quando o grau relativo de FGol(s) = FC(sI-A+BKoC)-1B é igual a 1 (Owens et al., 1987; Slotine e Li, 1991), isto é, grau(f1n1(s)+f2n2(s)+...+fqnq(s)) = grau(d(s))-1. Isto ocorre se e somente se:
Se n1(n-1) = n2(n-1) = ... = nq(n-1) = 0, o grau relativo do sistema é maior que 1, para qualquer F ∈q. Então, não existem matrizes F e Ko que tornam o sistema ERP.
Os zeros de transmissão da planta Gol(s) são os valores de s ∈ tais que N(s) = [ 0 0 ... 0 ]T. Sejam zp1, zp2,..., zpk os zeros de transmissão da planta. Então,
sendo
1(s),...,![](https://minio.scielo.br/documentstore/0103-1759/h3vmkZs3jyr9RyQZjnRwL6z/092285598479b43b44c95b48bd0c3924208c2fc8.gif)
Então, os zeros de transmissão do sistema FGol(s) são as raízes de np(s) e as raízes de [f1
1(s)+f22(s)+...+fqq(s)]. Logo, se np(s) possui pelo menos uma raiz com parte real não-negativa, não existe uma matriz F ∈![](https://minio.scielo.br/documentstore/0103-1759/h3vmkZs3jyr9RyQZjnRwL6z/fafc1c191efcb6eb4d301735ca254f28ec0af682.gif)
Se f1≠ 0, então:
sendo fki = , para i = 2,...,q.
Se todas as raízes de np(s) apresentam parte real negativa, então os valores de fk ∈ tais que o sistema FGol(s) seja de fase mínima, se existirem, são tais que todas as raízes do polinômio:
apresentam parte real negativa. Os resultados propostos em (Teixeira et al., 2007) permitem o estudo da posição das raízes do polinômio FN(s).
3.1 Sistemas com Duas Saídas
Considere, agora, uma planta Gol(s) = N(s)D(s)-1 com uma entrada e duas saídas, sendo D(s) = d(s) e N(s) = [ n1(s) n2(s) ]T matrizes polinomiais coprimas à direita. Seja F = [ f1f2 ] ∈ 2. Considerando que f1≠ 0, então, de (3), os zeros de transmissão do sistema FGol(s) são as raízes de:
sendo fk = . A faixa de valores de fk ∈
tais que o sistema FGol(s) é de fase mínima, se existirem, pode ser determinada com exatidão através do Critério de Routh-Hurwitz, com o método descrito em (Teixeira et al., 2007). O Exemplo 1 ilustra este procedimento.
3.2 Sistemas com Três Saídas
Considere, agora, uma planta Gol(s) = N(s)D(s)-1 com uma entrada e três saídas, sendo N(s) e D(s) matrizes polinomiais coprimas à direita, D(s) = d(s)I e N(s) = [ n1(s) n2(s) n3(s) ]T. Seja F = [ f1f2f3 ] ∈3. Considerando que f1≠ 0, então, de (3), os zeros de transmissão do sistema FGol(s) são as raízes de:
sendo fk2 = e fk3 =
. Novamente, utilizando-se o método proposto em (Teixeira et al., 2007), é possível determinar o lugar geométrico dos ganhos do controlador, no plano (fk2, fk3), que torna estável o sistema realimentado. Para alcançar este objetivo, pode-se escolher um intervalo de valores para fk3, no qual deseja-se analisar a estabilidade. Então, fixando-se um valor de fk3 neste intervalo, pode-se obter os valores de fk2 (condições necessárias e suficientes) para a estabilidade do sistema de malha fechada, para o ganho fk3 escolhido. Este procedimento pode ser repetido quantas vezes forem necessárias, para uma boa visualização da região de estabilidade. O Exemplo 2 ilustra este procedimento.
Observação 1 Note que, na Subseção 3.1, quando o número de saídas da planta é q = 2, o método permite a determinação rápida da faixa de valores do parâmetro fk que torna FGol(s) um sistema de fase mínima. Quando q = 3, foi visto, na Subseção 3.2, que é necessário fixar um parâmetro (fk3) para obter a faixa de valores do outro parâmetro (fk2) para que FGol(s) seja de fase mínima. No caso geral, com q saídas, existem q - 1 parâmetros e q - 2 parâmetros devem ser fixados em intervalos dados para a busca de valores de um parâmetro que soluciona o problema. Esta busca pode tornar-se computacionalmente lenta, à medida que q aumenta. Este fato motiva o estudo de métodos que evitem buscas em regiões nas quais não existem soluções. Por exemplo, a busca pode utilizar o fato bem conhecido sobre a necessidade de um polinômio Hurwitz apresentar todos os coeficientes com o mesmo sinal, para restringir a região de busca. Este é um tópico para pesquisas futuras.
4 OBTENÇÃO DE UM SISTEMA ERP A PARTIR DE UM SISTEMA DE FASE MÍNIMA
Na Seção 3, foi apresentado um método baseado no Critério de Routh-Hurwitz para determinar exatamente uma matriz F ∈ 1×q de modo que todas as raízes do polinômio FN(s), que correspondem aos zeros de transmissão do sistema FGol(s), sendo Gol(s) = N(s)D(s)-1, possuam parte real negativa.
Obtida a matriz F de modo que o sistema FGol(s) seja de fase mínima, o segundo passo é determinar uma matriz de realimentação da saída Ko que torna ERP o sistema {A-BKoC,B,FC}. A solução deste problema é garantida através do Teorema 3, obtido diretamente do Lema 1. A solução do problema através de LMIs permite a adição de outras especificações, como taxa de decaimento, restrições na entrada e na saída.
Teorema 3Considere F tal que o sistema {A,B,FC} seja de fase mínima. Então, uma solução para o Problema 1 é obtida através das seguintes LMIs, em termos de Ko e P = PT:
Observação 2 Quando as condições do Teorema 3 são factíveis, o software LMISol (de Oliveira et al., 1997) pode ser utilizado para a determinação de Ko, F e P = PT. A condição (6) é uma igualdade matricial linear e existem softwares, por exemplo, o LMI Control Toolbox do Matlab (Gahinet et al., 1995), que não permitem, diretamente, esta restrição.
5 EXEMPLOS
5.1 Exemplo 1
Considere a planta Gol(s), descrita por:
sendo:
De acordo com (Chen, 1999), uma representação da planta Gol(s) é dada por (1), sendo:
O objetivo deste exemplo é a determinação de matrizes Ko e F para que o sistema {A-BKoC,B,FC} torne-se ERP.
As raízes de n1(s) são -6 e 1 e as raízes de n2(s) são -6,1401 e 1,1401. Portanto, n1(s) e n2(s) não são polinômios Hurwitz. Então, é necessário encontrar uma matriz F = [ f1f2] = f1[ 1 fk ], sendo fk = f2/f1, tal que o sistema FGol(s) seja de fase mínima. Os zeros de transmissão do sistema FGol(s) são as raízes do polinômio:
De acordo com o Critério de Routh-Hurwitz, utilizando o método proposto em (Teixeira et al., 2007), o sistema FGol(s) é de fase mínima se e somente se:
Escolhendo-se fk = -0,9 e f1 = 1, tem-se F = [ 1 -0,9 ] e FN(s) = 0,1s2+0,5s+0,3. Os zeros de transmissão do sistema são z1 = -4,3028 e z2 = -0,6972. Logo, o sistema FGol(s) é de fase mínima.
Com a matriz F definida acima, as matrizes P e Ko foram obtidas através do Teorema 3. A solução obtida com o LMISol foi:
Os autovalores de P são λ1 = 5,8492, λ2 = 1,6196 e λ3 = 0,0229. Os zeros de transmissão do sistema {A-BKoC,B,FC} são z1 = -4,3028 e z2 = -0,6972 e os autovalores de (A-BKoC) são p1 = -0,9777+j0,4273, p2 = -0,9777-j0,4273 e p3 = -3,4032. Portanto, o sistema é ERP, como indica o diagrama de Nyquist da Fig. 3.
5.2 Exemplo 2
Considere, agora, um sistema mecânico descrito em (Ogata, 2003), página 761, e dado por (1), sendo:
A função de transferência do sistema de malha aberta é dada em (8), sendo:
O objetivo deste exemplo é a determinação de matrizes Ko e F para que o sistema {A-BKoC,B,FC} torne-se ERP.
As raízes de n1(s) são -0,15±j4,24, a raiz de n2(s) é -60 e as raízes de n3(s) são -0,15±j4,24 e 0. Portanto, como n1(s) e n2(s) não são polinômios de terceira ordem e n3(s) não é um polinômio Hurwitz, é necessário encontrar uma matriz F = [ f1f2f3 ] = f1[ 1 fk2fk3 ], sendo fk2 = f2/f1 e fk3 = f3/f1, tal que o sistema FGol(s) seja de fase mínima. Os zeros de transmissão do sistema FGol(s) são as raízes do polinômio:
A Fig. 4 mostra o lugar geométrico dos pares de valores de fk2 e fk3 tais que o sistema FGol(s) seja de fase mínima, de acordo com o Critério de Routh-Hurwitz, utilizando o método proposto em (Teixeira et al., 2007).
Escolhendo-se fk2 = 0, fk3 = 2 e f1 = 1, tem-se F = [ 1 0 2 ] e FN(s) = 2s3+1,6s2+36,3s+18. Os zeros de transmissão do sistema são z1 = -0,5 e z2 = = -0,15+j4,24. Logo, o sistema FGol(s) é de fase mínima.
Com a matriz F definida acima, as matrizes P e Ko foram obtidas através do Teorema 3. A solução obtida com o LMISol foi:
Os autovalores de P são λ1 = 32,0592, λ2 = 4,3310, λ3 = 1,8480 e λ4 = 0,6860. Os zeros de transmissão do sistema {A-BKoC,B,FC} são z1 = -0,5, z2 = -0,15+j4,24 e z3 = -0,15-j4,24 e os autovalores de (A-BKoC) são p1 = -0,7945+j4,4055, p2 = -0,7945-j4,4055, p3 = -1,8071+j0,8611 e p4 = -1,8071-j0,8611. Portanto, o sistema é ERP, como indica o diagrama de Nyquist da Fig. 5.
6 CONCLUSÕES
Foi proposto um novo método baseado no Critério de Routh-Hurwitz para a obtenção (condições necessárias e suficientes) de um sistema de fase mínima a partir de uma planta com uma variável de entrada e duas de saída e de uma matriz F ∈ 2. O método foi inicialmente concebido para determinar todos os valores reais de fk tais que todos os zeros de transmissão do sistema FGol(s), sendo Gol(s) a matriz de transferência da planta (com uma entrada e duas saídas) e F = f1[ 1 fk ], possuam parte real negativa. A partir do sistema de fase mínima obtido, foi projetado um sistema ERP (foram apresentadas condições necessárias e suficientes) a partir de uma matriz de realimentação da saída Ko.
O problema foi analisado, também, para plantas com três ou mais variáveis de saída, sendo que o esforço computacional aumenta com o número de variáveis de saída. Os exemplos, para plantas com duas e três variáveis de saída, comprovam a eficiência do método.
Pelo conhecimento dos autores, a literatura especializada não apresenta condições necessárias e suficientes para este problema, baseadas somente em LMIs.
Os resultados apresentados podem ser diretamente aplicados no projeto de sistemas de controle com incertezas e/ou não-linearidades, utilizando-se controladores adaptativos e/ou com estrutura variável.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o apoio financeiro da FAPESP e do CNPq.
Artigo submetido em 17/12/2008 (Id.: 00934)
Revisado em 29/04/2009, 14/10/2009, 04/03/2010
Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Alexandre Bazanella
- Anderson, B. D. O. (1968). A simplified viewpoint of hyperstability, IEEE Transactions on Automatic Control 13: 292294.
- Bandyopadhyay, B., Ismail, O. e Gorez, R. (1994). Routh pade approximation for interval systems, IEEE Transactions on Automatic Control 39(12): 24542456.
- Bandyopadhyay, B., Upadhye, A. e Ismail, O. (1997). γ - δ Routh approximation for interval systems, IEEE Transactions on Automatic Control 42(8): 11271130.
- Barkana, I., Teixeira, M. C. M. e Hsu, L. (2006). Mitigation of symmetry condition in positive realness for adaptive control, Automatica 42: 16111616.
- Barmish, B. R. (1984). Invariance of the strict Hurwitz property for polynomials with perturbed coefficients, IEEE Transactions on Automatic Control AC-29(10): 935936.
- Bernussou, J., Geromel, J. C. e de Oliveira, M. C. (1999). On strict positive real systems design: guaranteed cost and robustness issues, Systems & Control Letters 36: 135 141.
- Bialas, S. e Garloff, J. (1985). Stability of polynomials under coefficient perturbations, IEEE Transactions on Automatic Control AC-30(3): 310312.
- Blondel, V. e Lundvall, C. (1995). A rational test for strong stabilization, Automatica 31(8): 11971198.
- Bose, N. K. (1989). Tests for Hurwitz and Schur properties of convex combination of complex polynomials, IEEE Transactions on Circuits and Systems 36(9): 1245 1247.
- Boyd, S., Ghaoui, L., Feron, E. e Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia.
- Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. e Covacic, M. R. (2008). Variable Structure Control of Switched Systems Based on Lyapunov-Metzler-SPR Systems, Proceedings of the 2008 International Workshop on Variable Structure Systems, Antalya, Turkey, pp. 1823.
- Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. e Covacic, M. R. (2009). Variable-structure control design of switched systems with an application to a DC-DC power converter, IEEE Transactions on Industrial Electronics 56(9): 35053513.
- Chen, C. T. (1999). Linear System Theory and Design, 3rd edn, Oxford University Press, Inc.
- Choi, H. H. (1997). A new method for variable structure control system design: a linear matrix inequality approach, Automatica 33(11): 20892092.
- Choi, H. H. (1998). An explicit formula of sliding surfaces for a class of uncertain dynamic systems with mismatched uncertainties, Automatica 34(8): 10151020.
- Choi, H. H. (1999). On the existence of linear sliding surfaces for a class uncertain dynamic systems with mismatched uncertainties, Automatica 35(10): 17071715.
- Collado, J., Lozano, R. e Johansson, R. (2007). Using an observer to transform linear systems into strictly positive real systems, IEEE Transactions on Automatic Control 52(6): 10821088.
- Covacic, M. R., Teixeira, M. C. M. e Assunção, E. (2008). Análise de estabilidade de sistemas incertos através do critério de routh, Semina: Ciências Exatas e da Terra 29(2): 119128.
- Covacic, M. R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. e Cardim, R. (2008). Comparative study of LMI-based output feedback SPR synthesis for plants with different number of inputs and outputs, Proceedings of the 2008 International Workshop on Variable Structure Systems, Antalya, Turkey, pp. 130135.
- Cunha, J. P. V. S., Hsu, L., Costa, R. R. e Lizarralde, F. (2003). Output-feedback model-reference sliding mode control of uncertain multivariable systems, IEEE Transactions on Automatic Control 48(12): 22452250.
- de Oliveira, M. C., Farias, D. P. e Geromel, J. C. (1997). LMISol, User's Guide, UNICAMP, Campinas-SP, Brasil.
- DeCarlo, R. A., ak, S. H. e Mathews, G. P. (1988). Variable structure control of multivariable systems: a tutorial, Proceedings of IEEE 76(3): 212232.
- Dorf, R. C. e Bishop, R. H. (1998). Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA.
- Gahinet, P., Nemirovski, A., Laub, A. J. e Chilali, M. (1995). LMI Control Toolbox - For Use with Matlab, The Math Works, Inc.
- Guiver, J. P. e Bose, N. K. (1983). Strictly Hurwitz property invariance of quartics under coefficient perturbation, IEEE Transactions on Automatic Control AC-28(1): 106107.
- Hsu, L., Araújo, A. e Costa, R. R. (1994). Analysis and design of I/O based variable-structure adaptive-control, IEEE Transactions on Automatic Control 39(1): 421.
- Huang, C. H., Ioannou, P. A., Maroulas, J. e Safonov, M. G. (1999). Design of strictly positive real systems using constant output feedback, IEEE Transactions on Automatic Control 44(3): 569573.
- Hwang, C. e Yang, S. F. (1999). Comments on the computation of interval Routh approximants, IEEE Transactions on Automatic Control 44(9): 17821787.
- Kaufman, H., Barkana, I. e Sobel, K. (1994). Direct Adaptive Control Algorithms: Theory and Applications, Communications and Control Engineering Series, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg.
- Landau, I. (1979). Adaptive Control - The Model Reference Approach, Marcel Dekker, New York, NY, USA.
- Ogata, K. (1997). Modern Control Enginnering, Prentice Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.
- Ogata, K. (2003). Engenharia de Controle Moderno, Pearson Prentice Hall, São Paulo, Brasil.
- Oliveira, V. A., Cossi, L. V., Teixeira, M. C. M. e Silva, A. M. F. (2009). Synthesis of PID controllers for a class of time delay systems, Automatica 45(7): 17781782.
- Oliveira, V. A., Teixeira, M. C. M. e Cossi, L. (2003). Stabilizing a class of time delay systems using the Hermite-Biehler theorem, Linear Algebra and its Applications 369: 203216.
- Owens, D. H., Prätzel-Wolters, D. e Ilchmann, A. (1987). Positive-real structure and high-gain adaptive stabilization, IMA Journal of Mathematical Control & Information 4(2): 167181.
- Peña, J. M. (2004). Characterizations and stable tests for the Routh-Hurwitz conditions and for total positivity, Linear Algebra and its Applications 393: 319332.
- Shu, Z., Lam, J., Gao, H., Du, B. e Wu, L. (2008). Positive observers and dynamic Output-Feedback controllers for interval positive linear systems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I 55(10): 32093222.
- Slotine, J. J. e Li, W. (1991). Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ.
- Steinberg, A. e Corless, M. (1985). Output feedback stabilization of uncertain dynamical systems, IEEE Transactions on Automatic Control 30(10): 10251027.
- Teixeira, M. C. M. (1989). Sistemas reais positivos e controle adaptativo, Tese de doutorado, PUC-RJ, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
- Teixeira, M. C. M. (1990). Condições para tornar um sistema estritamente real positivo e aplicação no controle com EVMD utilizando somente as saídas da planta, 8ş Congresso Brasileiro de Automática, pp. 291296.
- Teixeira, M. C. M. (1993). Output control with dynamical compensators and strictly positive real systems, International Journal of Control 57(5): 11011105.
- Teixeira, M. C. M., Assunção, E. e Covacic, M. R. (2007). Proportional controllers: Direct method for stability analysis andMATLAB implementation, IEEE Transactions on Education 50(1): 7478.
- Teixeira, M. C. M., Covacic, M. R. e Assunção, E. (2006). Design of SPR systems with dynamic compensators and output variable structure control, Proceedings of the 2006 International Workshop on Variable Structure Systems, Alghero, Italy, pp. 328333.
- Teixeira, M. C. M., Covacic, M. R., Assunção, E. e Lordelo, A. D. S. (2002). Design of SPR systems and output variable structure controllers based on LMI, Advances in Variable Structure Systems: Analysis, Integration and Applications - Proceedings of the 7th IEEE International Workshop on Variable Structure Systems, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, pp. 133144.
- Teixeira, M. C. M., Lordelo, A. D. S. e Assunção, E. (2000). On LMI based design of SPR systems and output variable structure controllers, Advances in Variable Structure Systems: Analysis, Integration and Applications - Proceedings of the 6th IEEE Internationa lWorkshop on Variable Structure Systems,World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, pp. 199208.
- Wei, K. H. e Yedavalli, R. K. (1987). Invariance of strict Hurwitz property for uncertain polynomials with dependent coefficients, IEEE Transactions on Automatic Control AC-32(10): 907909.
- Xiang, J., Su, H. e Chu, J. (2005). Robust sliding mode output feedback control design using ILMI approach, Proceedings of 2005 American Control Conference, Portland, OR, USA, pp. 40784083.
- Yang, S. F. e Hwang, C. (2002). A test for robust Hurwitz stability of convex combination of complex polynomials, Journal of the Franklin Institute 339: 129144.
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
29 Jun 2010 -
Data do Fascículo
Jun 2010
Histórico
-
Aceito
04 Mar 2010 -
Revisado
29 Abr 2009 -
Recebido
17 Dez 2009