Acessibilidade / Reportar erro

A quadratic boundary element for 3D elastodynamics

Abstract

This article presents novel non-singular influence functions for homogeneous media. These solutions are displacement and stress fields of a three-dimensional, isotropic full-space under time-harmonic vertical and horizontal loads, which can be used within the framework of boundary element methods to solve elastodynamics problems in engineering practice. In order to account for sharply-varying contact tractions that may occur in such problems, the solutions in this article consider a biquadratic distribution of the loads within the loaded surface. In the present derivation, sets of Fourier transforms are used to uncouple the medium's equation of motion and enable the incorporation of boundary conditions directly as traction discontinuities. The article brings selected numerical results for various geometric and constitutive parameters.

Keywords:
Green’s functions; boundary elements; numerical methods

Graphical Abstract

1 INTRODUCTION

Boundary element methods are typical choices of methods to model unbounded media such as the soil. This success is partly due to their ability to comply with radiation conditions of unbounded media (Sommerfeld, 1949Sommerfeld, A. (1949). Partial differential equations in physics, volume 1. Academic press.) and because they do not require discretization of the unbounded domain (Kuzuoglu and Mittra, 1997Kuzuoglu, M. and Mittra, R. (1997). Investigation of nonplanar perfectly matched absorbers for finite element mesh truncation. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 45(3):474-486.). The Direct Boundary Element Method (DBEM) is one example of such methods. In DBEM formulations, a discretized boundary integral equation is used to approximate the solution of the problem. In elastodynamic problems, for example, this equation relates displacement and stress Green's functions, which comprise the displacement fields and stress tensors of the medium of interest in response to point loads.

A comprehensive literature review of Green's functions for elasticity has been presented by Pan (2019)Pan, E. (2019). Green’s functions for geophysics: A review. Reports on Progress in Physics, 82(10):106801.. A well-known difficulty in DBEM schemes is dealing with singularities resulting from collocation of Green's functions at the boundary of the domain (Dumont, 1994Dumont, N. A. (1994). On the efficient numerical evaluation of integrals with complex singularity poles. Engineering Analysis with Boundary Elements, 13(2):155-168.). One way to avoid this difficulty is by using non-singular influence functions, which can be collocated at the boundary without resulting in singularity problems. These functions can be used in Indirect-BEM (IBEM) schemes, in which displacement and stress influence functions are related through sets of fictitious loads, rather than by a boundary integral equation. Some of these non-singular influence functions have been derived by the authors of this article and their work group in the past decades. These solutions include isotropic (Mesquita et al., 2012bMesquita, E., Romanini, E., and Labaki, J. (2012b). Stationary dynamic displacement solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full space - Part I: Formulation. Mathematical Problems in Engineering, 2012.) and anisotropic media (Barros and Mesquita, 1999Barros, P. and Mesquita, E. (1999). Elastodynamic Green’s functions for orthotropic plane-strain continua with inclined axes of symmetry. International journal of solids and structures, 36(31-32):4767-4788.), harmonic and transient excitations (Mesquita et al., 2003Mesquita, E., Adolph, M., Barros, P., and Romanini, E. (2003). Transient Green’s functions and distributed load and solutions for plane strain, transversely isotropic and viscoelastic layers. Latin American Journal of Solids and Structures, 1(1):75-100.), concentrated (Mesquita et al., 2009aMesquita, E., Adolph, M., Carvalho, E. R., and Romanini, E. (2009a). Dynamic displacement and stress solutions for viscoelastic half-spaces subjected to harmonic concentrated loads using the Radon and Fourier transforms. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 33(18):1933-1952.) and distributed loads, for half-spaces (Mesquita et al., 2012aMesquita, E., Antes, H., Thomazo, L. H., and Adolph, M. (2012a). Transient wave propagation phenomena at visco-elastic half-spaces under distributed surface loadings. Latin American Journal of Solids and Structures, 9(4):453-474.) and full-spaces (Labaki et al., 2019Labaki, J., Adolph, M., and Mesquita, E. (2019). A derivation of nonsingular displacement and stress fields within a 3D full-space through Radon transforms. Engineering Analysis with Boundary Elements, 106:624-633.), and with a variety of different methods of derivation (Adolph et al., 2007Adolph, M., Mesquita, E., Carvalho, E. R., and Romanini, E. (2007). Numerically evaluated displacement and stress solutions for a 3D viscoelastic half space subjected to a vertical distributed surface stress loading using the Radon and Fourier transforms. Communications in Numerical Methods in Engineering, 23(8):787-804.; Romanini et al., 2019Romanini, E., Labaki, J., Mesquita, E., and Silva, R. (2019). Stationary dynamic stress solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full-space. Mathematical Problems in Engineering, 2019.). Extensive investigations into the numerical evaluation of such solutions (Labaki et al., 2012Labaki, J., Romanini, E., and Mesquita, E. (2012). Stationary dynamic displacement solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full space - Part II: Implementation, validation, and numerical results. Mathematical Problems in Engineering, 2012.) and strategies to deal with their high computational cost (Mesquita et al., 2009bMesquita, E., Labaki, J., and Ferreira, L. (2009b). An implementation of the Longman’s integration method on graphics hardware. CMES-Computer Modeling In Engineering & Sciences.) have been presented as well. In view of soil media applications, other groups have also invested significant effort to model influence functions that represent the soil's transversely isotropic, layered, and poroelastic characteristics. Selected examples of these functions, together with their applications within IBEM frameworks, are models of the dynamic response of rectangular plates embedded in layered, transversely isotropic soils (Fu et al., 2017Fu, J., Liang, J., and Han, B. (2017). Impedance functions of three-dimensional rectangular foundations embedded in multi-layered half-space. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 103:118-122.; Fu et al., 2019Fu, J., Liang, J., and Ba, Z. (2019). Non-singular boundary element method on impedances of three-dimensional rectangular foundations. Engineering Analysis with Boundary Elements, 99:100-110.), models of the response of strip foundations on transversely isotropic, layered, elastic (Ba et al., 2018aBa, Z., Liang, J., Lee, V. W., and Hu, L. (2018a). IBEM for impedance functions of an embedded strip foundation in a multi-layered transversely isotropic half-space. Journal of Earthquake Engineering, 22(8):1415-1446.) and poroelastic (Ba et al., 2018bBa, Z., Liang, J., Lee, V. W., and Kang, Z. (2018b). Dynamic impedance functions for a rigid strip footing resting on a multi-layered transversely isotropic saturated half-space. Engineering Analysis with Boundary Elements, 86:31-44.) soils, and models of the seismic response of alluvial basins (Ba et al., 2020Ba, Z., Wang, Y., Liang, J., and Lee, V. W. (2020). Wave scattering of plane P, SV, and SH waves by a 3D alluvial basin in a multilayered half-space. Bulletin of the Seismological Society of America, 110(2):576-595.).

Solutions for uniformly-distributed loading cases such as those presented by Romanini et al. (2019)Romanini, E., Labaki, J., Mesquita, E., and Silva, R. (2019). Stationary dynamic stress solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full-space. Mathematical Problems in Engineering, 2019., however, face a difficult challenge when used to model discontinuous contact problems. Such problems are common in multi-media and multi-body interaction applications, and the challenge is to represent sharply-varying contact tractions that occur at the edges and interfaces between different bodies and media (Barros and Mesquita, 2000Barros, P. and Mesquita, E. (2000). Singular-ended spline interpolation for two-dimensional boundary element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47(5):951-967.). Figure 1 illustrates this problem. It shows the horizontal and vertical contact tractions tX and tZ at the interface between a rigid strip footing and a half-space, resulting from the application of an external rocking moment MY on the footing. These results were computed by Barros and Mesquita (2000)Barros, P. and Mesquita, E. (2000). Singular-ended spline interpolation for two-dimensional boundary element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47(5):951-967. for the normalized frequency of excitation a0=ω/cs=1, in which cs is the shear wave speed in the half-space.

Figure 1
Sharply-varying contact traction distribution at the interface between a half-space and rigid strip footing under rocking moment.

Modeling quantities like these using uniformly-distributed loading solutions requires large numbers of elements and results in high computational cost, and in some problems is altogether unattainable (Barros and Mesquita, 2009Barros, P. and Mesquita, E. (2009). The response of an elastic half-space with circular trenches around a rigid surface foundation subjected to dynamic horizontal loads. Proceedings of the 10th International Conference on Boundary Element Techniques.). A contribution toward improved representation of sharply-varying contact quantities has been recently presented by Romanini et al. (2021)Romanini, E., Labaki, J., Vasconcelos, A., and Mesquita, E. (2021). Influence functions for a 3D full-space under bilinear stationary loads. Engineering Analysis with Boundary Elements, 130:286-299., in which bilinearly-varying loadings were considered. The solution in this article is a significant improvement in that regard.

This article presents displacement and stress solutions for a three-dimensional, isotropic full-space under time-harmonic vertical and horizontal excitation. External loads can have arbitrary biquadratic distribution over a rectangular patch within the full-space. Within DBEM and IBEM contexts, these non-singular influence functions correspond to quadratic boundary elements, which can be used in elastostatic and elastodynamic analyses with improved accuracy, convergence, and computational cost. The article presents original numerical results for various geometric and constitutive parameters, and shows that the presented implementation can be used within formulations of the boundary element method.

2 PROBLEM DEFINITION

Consider a three-dimensional, isotropic full-space, under horizontal (x- and y-directions) and vertical (z-direction) time-harmonic loads of circular frequency ω. In the absence of body forces, the equation of motion of this medium is given by

μ 2 u + ( λ + μ ) ( u ) = ω 2 ρ u , (1)

in which μ and λ are Lamé's constants and ρ is the mass density of the medium, and u=u(x) is the displacement vector of point x=(x,y,z). The corresponding stress field σ=σ(x) can be obtained from u=u(x) through the constitutive relation

σ i j = λ ( u ) δ i j + μ ( u i , j + u j , i ) , (2)

in which δij is the Kroenecker Delta.

In this work, we derive solutions for both u and σ for the loading case illustrated in Figure 2: the loaded surface is a square patch defined by |x|<A; |y|<B; z=0, over which arbitrary, biquadratically-varying loads are applied.

Figure 2
Biquadratically-varying load distribution within the full-space.

3 SOLUTION PROCEDURE

The strategy to derive solutions for u and σ in this paper is based on the Helmholtz decomposition (Helmholtz, 1858Helmholtz, H. (1858). About integrals of hydrodynamic equations related with vortical motions. J. für die reine Angewandte Mathematik, 55:25.). Each term ui of the displacement field u=uiêi (i=x,y,z) is expressed as the linear superposition

u i = 1 k L 2 Δ , i + 2 k S 2 e i m n Ω n , m , (3)

in which Δ and Ω are independent fields, and kL22ρ/(λ+2μ) and kS22ρ/μ are primary and secondary wave numbers of the full-space. Equation 2 can be rewritten in terms of the scalar dilatation field Δ and the vector rotation field Ω as

σ i j μ = δ i j 1 2 n 2 n 2 Δ 2 k L 2 Δ , i j + 2 k S 2 e i k l Ω l , k j + e j k l Ω l , k i , (4)

in which n2=kL2/kS2. Trial solutions for Δ and Ω can be written in the wave number domain (β, γ) as

Δ ( 1,2 ) = A ( 1,2 ) k L 2 e ± α L z + i β x + γ y , (5)
Ω j ( 1,2 ) = B j ( 1,2 ) k S 2 e ± α S z + i β x + γ y , (6)

in which the super-indices m=1,2 indicate m=1 (−∞<z≤0) and m=2 (0≤z<+∞) halves of the full-space. The solutions expressed in Eqs. 5 and 6 satisfy the condition that u must vanish for x→±∞ (Sommerfeld, 1949Sommerfeld, A. (1949). Partial differential equations in physics, volume 1. Academic press.).

In view of the properties of Δ and Ω, Eqs. 5 and 6 yield

α L , S 2 = β 2 + γ 2 k L , S 2 , (7)
B 3 ( 1,2 ) = i α S β B 1 + γ B 2 . (8)

The passage from Eqs. 5 and 6 to Eqs. 7 and 8 is detailed in Appendix A APPENDIX A This appendix expands the mathematical manipulation that yields Eqs. 7 and 8 from Eqs. 5 and 6. The rotational Ω of the displacement field u is a vector given by Ω = e i j k u k ê i = u 3,2 − u 2,3 u 1,3 − u 3,1 u 2,1 − u 1,2 T , (27) for i,j,k=x,y,z. On the other hand, the dilatation Δ of the vector field u is a scalar given by Δ = u i , i = u 1,1 + u 2,2 + u 3,3 . (28) Consider the following identity about the vector field Ω: e i m n Ω n , m , i = ∂ ∂ x 1 Ω 3,2 − Ω 2,3 + ∂ ∂ x 2 Ω 1,3 − Ω 3,1 + ∂ ∂ x 3 Ω 2,1 − Ω 1,2 = Ω 3,21 − Ω 2,31 + Ω 1,32 − Ω 3,12 + Ω 2,13 − Ω 1,23 = Ω i , i = 0, (29) since Ω3,21=Ω3,12, Ω2,31=Ω2,13, and Ω1,32=Ω1,23, which can be easily verified from Eq. 27. In view of Eq. 29, computing the gradient of the displacement field u (Eq. 3) yields Δ = ∇ • u = u i , i = − 1 k L 2 Δ , i i + 2 k S 2 e i m n Ω n , m , i = − 1 k L 2 Δ , i i , (30) or Δ + 1 k L 2 Δ , i i = 0. (31) Equation 5 expresses an Ansatz solution for Δ. Substituting 5 into 31 yields A k L 2 e q + 1 k L 2 ∂ 2 ∂ x 2 A k L 2 e q + ∂ 2 ∂ y 2 A k L 2 e q + ∂ 2 ∂ z 2 A k L 2 e q = A k L 2 e q + 1 k L 2 − A k L 2 β 2 e q − A k L 2 γ 2 e q + A k L 2 α L 2 e q = 0, (32) in which eq=e±αLz+iβx+γy, and the superindices (1,2) have been omitted from A(1,2) for conciseness. Since eq≠0 and A(1,2)=0 is the trivial solution, Eq. 32 yields the portion of Eq. 7 referring to αL: α L 2 = β 2 + γ 2 − k L 2 . (33) Additionally, in view of Eq. 28, one can show that e i j k Δ , k = 0, (34) since e i j k Δ , k = e i j k u 1,1 k + u 2,2 k + u 3,3 k = u 1,132 + u 2,232 + u 3,332 − u 1,123 − u 2,223 − u 3,323 i ^ + u 1,113 + u 2,213 + u 3,313 − u 1,131 − u 2,231 − u 3,331 j ^ + u 1,121 + u 2,221 + u 3,321 − u 1,112 − u 2,212 − u 3,312 k ^ = 0, (35) since um,ijk=um,ikj=um,jik=um,jki=um,kij=um,kji (m=1,2,3). In view of Eq. 34, computing the rotational of the displacement field u (Eq. 3) yields, for each of its components i, e i j k u k = e i j k − 1 k L 2 Δ , k + e i j k 2 k S 2 e k m n Ω n , m = 2 k S 2 e i j k e k m n Ω n , m . (36) The left-hand side of Eq. 36 is (Graff, 2012) e i j k u k , j = 2 Ω i , (37) since eijkuk is simply the rotational of the displacement field written in index notation (Eq. 27). Omitting the term 1/k2S for conciseness, the rotational terms in the right-hand side of Eq. 36 can be expanded into e i j k e k m n Ω n , m = e i j k Ω 3,2 − Ω 2,3 Ω 1,3 − Ω 3,1 Ω 2,1 − Ω 1,2 T = Ω 2,12 − Ω 1,22 − Ω 1,33 + Ω 3,13 i ^ + Ω 3,23 − Ω 2,33 − Ω 2,11 + Ω 1,21 j ^ + Ω 1,31 − Ω 3,11 − Ω 3,22 + Ω 2,32 k ^ . (38) Consider initially the term of Eq. 38 in the î-direction. The following expansion can be made: Ω 2,12 − Ω 1,22 − Ω 1,33 + Ω 3,13 = − Ω 1,11 − Ω 1,22 − Ω 1,33 + Ω 1,11 + Ω 2,12 + Ω 3,13 . (39) In view of the terms Ω1, Ω2 and Ω3 of Ω expressed in Eq. 27, then Ω1,11=u3,211−u2,311, Ω2,12=u1,312−u3,112, and Ω3,13=u2,113−u1,213. Therefore, − Ω 1,11 − Ω 1,22 − Ω 1,33 + Ω 1,11 + Ω 2,12 + Ω 3,13 = − Ω 1,11 + Ω 1,22 + Ω 1,33 + u 3,211 − u 2,311 + u 1,312 − u 3,112 + u 2,113 − u 1,213 = − Ω 1,11 + Ω 1,22 + Ω 1,33 . (40) The same expansions can be made for the terms of Eq. 38 in the other directions. In view of these expansions, Eq. 38 yields e i j k e k m n Ω n , m = − Ω 1,11 + Ω 1,22 + Ω 1,33 i ^ − Ω 2,11 + Ω 2,22 + Ω 2,33 j ^ − Ω 3,11 + Ω 3,22 + Ω 3,33 k ^ = − Ω i , j j . (41) Therefore, in view of Eqs. 37 and 41, Eq. 36 results in Ω i + 1 k S 2 Ω i , j j = 0. (42) Equation 6 expresses an Ansatz solution for Ω. Substituting 6 into 42 yields B k S 2 e p + 1 k S 2 ∂ 2 ∂ x 2 B k S 2 e p + ∂ 2 ∂ y 2 B k S 2 e p + ∂ 2 ∂ z 2 B k S 2 e p = B k S 2 e p + 1 k S 2 − B k S 2 β 2 e p − B k S 2 γ 2 e p + B k S 2 α S 2 e p , (43) In which ep=e±αSz+iβx+γy, and the superindices (1,2) have been omitted from B(1,2) for conciseness. Since ep≠0 and B(1,2)=0 is the trivial solution, Eq. 43 yields the portion of Eq. 6 referring to αS: α S 2 = β 2 + γ 2 − k S 2 . (44) Finally, consider the condition that Ω i , i = 0, (45) shown in Eq. 29. Substituting Eq. 6 into 45 yields ∂ ∂ x B 1 k S 2 e p + ∂ ∂ y B 2 k S 2 e p + ∂ ∂ z B 3 k S 2 e p = i B 1 k S 2 β e p + i B 2 k S 2 γ e p ± B 3 k S 2 α S e p = 0. (46) Since ep≠0 and k2S≠0, Eq. 46 yields Eq. 8: B 3 ( 1,2 ) = ∓ i α S β B 1 ( 1,2 ) + γ B 2 ( 1,2 ) . (47) . Substituting Eqs. 5 and 6 into 3 and 4 yields

u X ( 1,2 ) = A ( 1,2 ) i β e ± α L z ± 2 α S B 1 ( 1,2 ) β γ + B 2 ( 1,2 ) γ 2 α S 2 e ± α S z e i β x+ γ y (9)
u Y ( 1,2 ) = A ( 1,2 ) i γ e ± α L z ± 2 α S B 1 ( 1,2 ) β 2 + α S 2 B 2 ( 1,2 ) β γ e ± α S z e i β x+ γ y (10)
u Z ( 1,2 ) = A ( 1,2 ) α L e ± α L z 2 i B 1 ( 1,2 ) γ B 2 ( 1,2 ) β e ± α S z e i β x+ γ y (11)
σ X X ( 1,2 ) = μ A ( 1,2 ) β 2 γ 2 α S 2 + 2 α L 2 e ± α L z ± 4 i β α S B 1 ( 1,2 ) β γ + B 2 ( 1,2 ) γ 2 α S 2 e ± α S z e i β x+ γ y (12)
σ X Y ( 1,2 ) = 2 μ A ( 1,2 ) β γ e ± α L z ± i α S B 1 ( 1,2 ) γ 2 β + β α S 2 β 3 + B 2 ( 1,2 ) γ 3 γ α S 2 β 2 γ e ± α S z e i β x+ γ y (13)
σ X Z ( 1,2 ) = 2 μ i A ( 1,2 ) β α L e ± α L z + 2 B 1 ( 1,2 ) β γ + B 2 ( 1,2 ) γ 2 α S 2 β 2 e ± α S z e i β x+ γ y (14)
σ Y Y ( 1,2 ) = μ A ( 1,2 ) γ 2 β 2 α S 2 + 2 α L 2 e ± α L z ± 4 i γ α S B 1 ( 1,2 ) α S 2 β 2 B 2 ( 1,2 ) β γ e ± α S z e i β x+ γ y (15)
σ Y Z ( 1,2 ) = 2 μ i A ( 1,2 ) γ α L e ± α L z + B 1 ( 1,2 ) α S 2 + γ 2 β 2 2 B 2 ( 1,2 ) β γ e ± α S z e i β x+ γ y (16)
σ Z Z ( 1,2 ) = μ A ( 1,2 ) γ 2 + β 2 + α S 2 e ± α L z 4 i α S B 1 ( 1,2 ) γ B 2 ( 1,2 ) β e ± α S z e i β x+ γ y , (17)

in which A(m) and Bn(m) (m=1,2; n=1,2,3) are arbitrary functions that depend on specific boundary conditions.

4 BOUNDARY CONDITIONS

Solutions for the full-space (−∞<z<+∞) are obtained from Eqs. 9 to 17 by imposing continuity and equilibrium conditions at the interface between media m=1 and m=2. The former is imposed for all displacement components uj (j=x,y,z) as

u j ( 1 ) x , y , z = 0 = u j ( 2 ) x , y , z = 0 , (18)

while the latter is imposed for all stress components σZj as

σ Z j ( 1 ) x , y , z = 0 σ Z j ( 2 ) x , y , z = 0 = P j x , y , (19)

in which Pj(x,y)=pjei(βx+γy) are external loads of amplitude pj in the j-direction (j=x,y,z) applied at the interface between media m=1 and m=2 (Fig. 2). The solution of all six algebraic equations involved in Eqs. 18 and 19 results in A(m) and Bn(m) for the full-space boundary-value problem:

A ( 1,2 ) = 1 2 i β p X β , γ α L μ k S 2 + 1 2 γ p Y β , γ α L μ k S 2 ± 1 2 p Z β , γ μ k S 2 , (20)
B 1 ( 1,2 ) = 1 4 p Y β , γ μ k S 2 + 1 4 γ p Z β , γ α S μ k S 2 , (21)
B 2 ( 1,2 ) = ± 1 4 p X β , γ μ k S 2 1 4 i β p Z β , γ α S μ k S 2 . (22)

4.1 Biquadratic external loads

The external load distribution shown in Fig. 2, which is defined by its values at the nine points ti (i=1:9) can be described by direct biquadratic interpolation over pj(Qi)=ti:

p j x , y , z = 0 = 1 4 A 2 B 2 T 1 x 2 y 2 + T 2 B x 2 y + 2 T 3 B 2 x 2 + T 4 A B x y + T 5 A x y 2 + 2 T 6 A B 2 x + 2 T 7 A 2 y 2 + 2 T 8 A 2 B y + 4 T 9 A 2 B 2 , (23)

for|x|<A and |y|<B, and pj(x,y,z=0)=0 otherwise, in which

T 1 = t 1 + t 3 + t 5 + t 7 + 4 t 9 2 t 2 + t 4 + t 6 + t 8 ,
T 2 = t 1 + 2 t 4 + t 7 t 3 + t 5 + 2 t 8 ,
T 3 = t 2 + t 6 2 t 9 ,
T 4 = t 1 + t 5 t 3 + t 7 ,
T 5 = t 1 + t 3 + 2 t 6 2 t 2 + t 5 + t 7 ,
T 6 = t 2 t 6 ,
T 7 = t 4 + t 8 2 t 9 ,
T 8 = t 4 + t 8 ,
T 9 = t 9 .

In order to allow its incorporation into Eq. 19, Eq. 23 must be written in the transformed (β, γ) space, which is obtained through its direct Fourier transform with respect to (x, y):

p ¯ j β , γ = 1 2 A 2 B 2 π β 3 γ 3 i = 1 9 p ¯ i j , (24)

in which

p ¯ 1 j T 1 = β 2 A 2 2 γ 2 B 2 2 sin β A sin γ B + 2 B γ β 2 A 2 2 sin β A cos γ B + 2 β A γ 2 B 2 2 cos β A sin γ B + 4 A B β γ cos β A cos γ B ,
p ¯ 2 j T 2 i γ B = β 2 A 2 2 sin β A sin γ B + B γ β 2 A 2 2 sin β A cos γ B 2 β A cos β A sin γ B + 2 A B β γ cos β A cos γ B ,
p ¯ 3 j 2 T 3 β 2 γ 2 = β 2 A 2 2 sin β A sin γ B + 2 A β cos β A sin γ B ,
p ¯ 4 j T 4 A B β γ = sin β A sin γ B + γ B sin β A cos γ B + A β cos β A sin γ B A B β γ cos β A cos γ B ,
p ¯ 5 j T 5 i A β = γ 2 B 2 2 sin β A sin γ B 2 B γ sin β A cos γ B + A β γ 2 B 2 2 cos β A sin γ B + 2 A B β γ cos β A cos γ B ,
p ¯ 6 j 2 T 6 i A B 2 β γ 2 = B γ sin β A sin γ B + A B β γ cos β A sin γ B ,
p ¯ 7 j 2 T 7 A 2 β 2 = γ 2 B 2 2 sin β A sin γ B + 2 B γ sin β A cos γ B ,
p ¯ 8 j 2 T 8 i A 2 B β 2 γ = sin β A sin γ B + B γ sin β A cos γ B ,
p ¯ 9 j 4 T 9 A 2 B 2 β 2 γ 2 = sin β A sin γ B .

5 FINAL SOLUTIONS

Substituting Eqs. 20 to 22 into 9 to 17, together with Eq. 24, results in u(kβ,kγ) and σ(kβ,kγ). Applying the inverse Fourier transform into u(kβ,kγ) and σ(kβ,kγ) yields u(x) and σ(x), the displacement and stress fields in the physical domain. In order to improve the readability of this article, the final expressions for u(x) and σ(x) are listed in Appendix B APPENDIX B This appendix lists the final expressions for the displacement and stress fields in the physical domain. The displacement components are given by u X Z D N z z = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (48) u Y Z D N z z = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (49) and u Z Z D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (50) due to loads in the z-direction, u X Y D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 1 c γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ (51) u Y Y D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (52) due to loads in the y-direction, and u X X D N = T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (53) due to loads in the x-direction, with uZX=uXZ, uZY=uYZ, and uYX=uXY, in which k β = A a 0 β , k γ = A a 0 γ , D N = − η r + i η i 2 μ π 2 B 2 a 0 2 , a 0 = A ω ρ μ , s β x = sin a 0 A k β x , s γ y = sin a 0 A k γ y , c β x = cos a 0 A k β x , c γ y = cos a 0 A k γ y , s β A = sin a 0 k β , s γ B = sin a 0 b 0 k γ , c β A = cos a 0 k β , c γ B = cos a 0 b 0 k γ , α ¯ L 2 = k β 2 + k γ 2 − k L * / k S * 2 η r + i η i , α ¯ S 2 = k β 2 + k γ 2 − 1 η r + i η i , F 1 = e − a 0 A α ¯ L z − e − a 0 A α ¯ S z , F 2 = α ¯ L α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − k β 2 + k γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , F 3 = α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , F 4,5 = k γ , β 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z + k β , γ 2 − α ¯ S 2 α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , F β 1 = a 0 2 k β 2 − 2 s β A + 2 a 0 k β c β A , Fβ2=−sβA+a0kβcβA,Fγ1=b02a02kγ2−2sγB+2b0a0kγcγB, and Fγ2=−sγB+b0a0kγcγB. The corresponding stress fields in the physical domain are: σ X X Z D T z z = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (54) σ Y Y Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (55) σ Z Z Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (56) σ X Y Z 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (57) σ X Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (58) and σ Y Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (59) due to loads in the z-direction, σ X X X D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (60) σ Y Y X D T = T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (61) σ Z Z X D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (62) σ X Y X D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (63) σ X Z X D T z z = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (64) and σ Y Z X 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (65) due to loads in the x-direction, and σ X X Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (66) σ Y Y Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (67) σ Z Z Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (68) σ X Y Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (69) σ X Z Y 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (70) and σ Y Z Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (71) due to loads in the y-direction, in which D T = η r + i η i 2 π 2 a 0 2 B 2 , G 1,2 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 ∓ α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ L z ∓ 2 k β , γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 3 k β , k γ = k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ L z − 2 k β 2 + k γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 4 k β , k γ = e - a 0 A α ¯ L z − e − a 0 A α ¯ S z , G 5,8 k β , k γ = ∓ k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ S , L z ± 2 α ¯ L α ¯ S e − a 0 A α ¯ L , S z , G 6,12 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 ∓ α ¯ S 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z ± 2 k γ , β 2 − α ¯ S 2 α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , G 7,11 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ∓ 2 α ¯ L 2 ± α ¯ S 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z ± 2 α ¯ L k γ , β 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 9,13 k β , k γ = 2 k β , γ 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − 2 k β , γ 2 − 1 η r + i η i α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , G 10,14 k β , k γ = 2 k β , γ 2 e − a 0 A α ¯ L z ± k γ 2 − k β 2 ∓ α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ S z . . Two selected components are shown here in order to illustrate the general aspect of these solutions:

u X Z D N z z = T 1 A 3 a 0 3 0 0 F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 0 0 F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 A B 2 a 0 0 0 F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 0 0 F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 5 A 3 a 0 2 0 0 F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 6 2 A B 2 0 0 F 1 F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 3 a 0 0 0 F 1 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B 0 0 F 1 s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 A B 2 a 0 0 0 F 1 s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (25)

the horizontal (x-direction) displacement due to vertical (z-direction) loads, and

σ Y Z Y D T z z = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 14 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 14 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 14 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (26)

the shear stress in the y-z plane due to horizontal (y-direction) loads. The parameters involved in Eqs. 25 and 26 are listed in Appendix B APPENDIX B This appendix lists the final expressions for the displacement and stress fields in the physical domain. The displacement components are given by u X Z D N z z = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (48) u Y Z D N z z = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (49) and u Z Z D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (50) due to loads in the z-direction, u X Y D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 1 c γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ (51) u Y Y D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (52) due to loads in the y-direction, and u X X D N = T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (53) due to loads in the x-direction, with uZX=uXZ, uZY=uYZ, and uYX=uXY, in which k β = A a 0 β , k γ = A a 0 γ , D N = − η r + i η i 2 μ π 2 B 2 a 0 2 , a 0 = A ω ρ μ , s β x = sin a 0 A k β x , s γ y = sin a 0 A k γ y , c β x = cos a 0 A k β x , c γ y = cos a 0 A k γ y , s β A = sin a 0 k β , s γ B = sin a 0 b 0 k γ , c β A = cos a 0 k β , c γ B = cos a 0 b 0 k γ , α ¯ L 2 = k β 2 + k γ 2 − k L * / k S * 2 η r + i η i , α ¯ S 2 = k β 2 + k γ 2 − 1 η r + i η i , F 1 = e − a 0 A α ¯ L z − e − a 0 A α ¯ S z , F 2 = α ¯ L α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − k β 2 + k γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , F 3 = α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , F 4,5 = k γ , β 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z + k β , γ 2 − α ¯ S 2 α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , F β 1 = a 0 2 k β 2 − 2 s β A + 2 a 0 k β c β A , Fβ2=−sβA+a0kβcβA,Fγ1=b02a02kγ2−2sγB+2b0a0kγcγB, and Fγ2=−sγB+b0a0kγcγB. The corresponding stress fields in the physical domain are: σ X X Z D T z z = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (54) σ Y Y Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (55) σ Z Z Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (56) σ X Y Z 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (57) σ X Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (58) and σ Y Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (59) due to loads in the z-direction, σ X X X D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (60) σ Y Y X D T = T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (61) σ Z Z X D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (62) σ X Y X D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (63) σ X Z X D T z z = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (64) and σ Y Z X 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (65) due to loads in the x-direction, and σ X X Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (66) σ Y Y Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (67) σ Z Z Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (68) σ X Y Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (69) σ X Z Y 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (70) and σ Y Z Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (71) due to loads in the y-direction, in which D T = η r + i η i 2 π 2 a 0 2 B 2 , G 1,2 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 ∓ α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ L z ∓ 2 k β , γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 3 k β , k γ = k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ L z − 2 k β 2 + k γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 4 k β , k γ = e - a 0 A α ¯ L z − e − a 0 A α ¯ S z , G 5,8 k β , k γ = ∓ k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ S , L z ± 2 α ¯ L α ¯ S e − a 0 A α ¯ L , S z , G 6,12 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 ∓ α ¯ S 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z ± 2 k γ , β 2 − α ¯ S 2 α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , G 7,11 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ∓ 2 α ¯ L 2 ± α ¯ S 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z ± 2 α ¯ L k γ , β 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 9,13 k β , k γ = 2 k β , γ 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − 2 k β , γ 2 − 1 η r + i η i α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , G 10,14 k β , k γ = 2 k β , γ 2 e − a 0 A α ¯ L z ± k γ 2 − k β 2 ∓ α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ S z . as well.

Notice that these solutions are expressed in the [0,+∞) interval, rather than in the original Fourier transform (−∞,∞) interval. This can be obtained after careful consideration of whether the integrand of each term is an odd or even function. Moreover, the term z/|z| is incorporated into some components so that a single expression for each component can represent the entire full-space, rather than separate solutions for each media m=1,2. Both these modifications entail arduous mathematical manipulations and are aimed at facilitating the numerical evaluation of these expressions.

6 NUMERICAL RESULTS

A detailed description of the numerical scheme used in this work to evaluate Eqs. 48 to 71 (Appendix B APPENDIX B This appendix lists the final expressions for the displacement and stress fields in the physical domain. The displacement components are given by u X Z D N z z = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (48) u Y Z D N z z = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 1 s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (49) and u Z Z D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (50) due to loads in the z-direction, u X Y D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 1 c γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ (51) u Y Y D N = − T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (52) due to loads in the y-direction, and u X X D N = T 1 A 3 a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A 2 B a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 3 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 A B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 3 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A 2 B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 A B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (53) due to loads in the x-direction, with uZX=uXZ, uZY=uYZ, and uYX=uXY, in which k β = A a 0 β , k γ = A a 0 γ , D N = − η r + i η i 2 μ π 2 B 2 a 0 2 , a 0 = A ω ρ μ , s β x = sin a 0 A k β x , s γ y = sin a 0 A k γ y , c β x = cos a 0 A k β x , c γ y = cos a 0 A k γ y , s β A = sin a 0 k β , s γ B = sin a 0 b 0 k γ , c β A = cos a 0 k β , c γ B = cos a 0 b 0 k γ , α ¯ L 2 = k β 2 + k γ 2 − k L * / k S * 2 η r + i η i , α ¯ S 2 = k β 2 + k γ 2 − 1 η r + i η i , F 1 = e − a 0 A α ¯ L z − e − a 0 A α ¯ S z , F 2 = α ¯ L α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − k β 2 + k γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , F 3 = α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , F 4,5 = k γ , β 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z + k β , γ 2 − α ¯ S 2 α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , F β 1 = a 0 2 k β 2 − 2 s β A + 2 a 0 k β c β A , Fβ2=−sβA+a0kβcβA,Fγ1=b02a02kγ2−2sγB+2b0a0kγcγB, and Fγ2=−sγB+b0a0kγcγB. The corresponding stress fields in the physical domain are: σ X X Z D T z z = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 1 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (54) σ Y Y Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 2 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (55) σ Z Z Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 3 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (56) σ X Y Z 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (57) σ X Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (58) and σ Y Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (59) due to loads in the z-direction, σ X X X D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (60) σ Y Y X D T = T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (61) σ Z Z X D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (62) σ X Y X D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (63) σ X Z X D T z z = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 10 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (64) and σ Y Z X 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (65) due to loads in the x-direction, and σ X X Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (66) σ Y Y Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (67) σ Z Z Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (68) σ X Y Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ − T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (69) σ X Z Y 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (70) and σ Y Z Y D T = − T 1 A 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 3 2 B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 4 A B ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ − T 7 2 A 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ − T 9 4 B 2 a 0 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ G 14 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (71) due to loads in the y-direction, in which D T = η r + i η i 2 π 2 a 0 2 B 2 , G 1,2 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 ∓ α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ L z ∓ 2 k β , γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 3 k β , k γ = k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ L z − 2 k β 2 + k γ 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 4 k β , k γ = e - a 0 A α ¯ L z − e − a 0 A α ¯ S z , G 5,8 k β , k γ = ∓ k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ S , L z ± 2 α ¯ L α ¯ S e − a 0 A α ¯ L , S z , G 6,12 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 ∓ α ¯ S 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z ± 2 k γ , β 2 − α ¯ S 2 α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , G 7,11 k β , k γ = k β 2 − k γ 2 ∓ 2 α ¯ L 2 ± α ¯ S 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z ± 2 α ¯ L k γ , β 2 e − a 0 A α ¯ S z , G 9,13 k β , k γ = 2 k β , γ 2 α ¯ S e − a 0 A α ¯ L z − 2 k β , γ 2 − 1 η r + i η i α ¯ L e − a 0 A α ¯ S z , G 10,14 k β , k γ = 2 k β , γ 2 e − a 0 A α ¯ L z ± k γ 2 − k β 2 ∓ α ¯ S 2 e − a 0 A α ¯ S z . ) is presented by the authors in Labaki et al. (2012)Labaki, J., Romanini, E., and Mesquita, E. (2012). Stationary dynamic displacement solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full space - Part II: Implementation, validation, and numerical results. Mathematical Problems in Engineering, 2012.. In summary, a combination of two routines is used: an adaptive quadrature scheme is used to integrate a finite region of the integrand containing singularities, while an extrapolation-based scheme is used to integrate the oscillatory-decaying remainder portion of the integrand (Piessens et al., 2012Piessens, R., de Doncker-Kapenga, E., Überhuber, C. W., and Kahaner, D. K. (2012). QUADPACK: a subroutine package for automatic integration, volume 1. Springer Science & Business Media.). Additionally, a small damping factor η=0.001 is incorporated into the constitutive parameters according to λ*=λ(1+iη) and μ*=μ(1+iη) (Christensen, 2010Christensen, R. M. (2010). Theory of Viscoelasticity: Second Edition (Dover Civil and Mechanical Engineering). Dover Publications.), which then replace μ and λ in Eq. 1. This causes the integration path to evade the real-axis singularities via a small detour through the complex plane (Michalski and Mosig, 2016Michalski, K. A. and Mosig, J. R. (2016). Efficient computation of Sommerfeld integral tails - methods and algorithms. Journal of Electromagnetic Waves and Applications, 30(3):281-317.).

All results in this section consider μ=1, ρ=1, ν=0.25, and A=B=1, unless otherwise stated.

6.1 Verification

Figure 3 shows a comparison of displacement components uYY and uZX with the dynamic Kelvin solution (Kitahara, 2014Kitahara, M. (2014). Boundary integral equation methods in eigenvalue problems of elastodynamics and thin plates. Elsevier.). For this comparison, Kelvin's unit point-load solution was numerically integrated over a square 2A×2B area, and this case can be simulated with the present solution by making t1:9=1. These results were computed at point x=y=z=1.5, in terms of the normalized frequency a0=ω/cS=1, in which cS=√μ/ρ is the shear wave speed in the half-space. The root-mean-square errors (RMSE) between the present and the reference Kelvin solution are 2.43⋅10−5 and 4.65⋅10−6 for the real and imaginary parts of uYY, respectively (Fig. 3a), and 3.32⋅10−5 and 2.97⋅10−5 for the real and imaginary parts of uZX, respectively (Fig. 3b). Since both solutions are synthetized numerically, they both have intrinsic numerical errors. These quantitative comparisons serve merely to verify that the solutions produce comparable results, rather than to validate them against some exact solution, since no such solution is available for this problem.

Figure 3
Comparison of selected displacement components with the Kelvin solution.

As for the stress components, Figure 4a shows a comparison of selected components with the classical static, point-load Kelvin solution (Kane, 1994Kane, J. H. (1994). Boundary element analysis in engineering continuum mechanics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994.). For this comparison, we considered A=B=0.01, y=0.3, and z=0.5. Additionally, Fig. 4b shows a comparison with Barros and Mesquita's (1999)Barros, P. and Mesquita, E. (1999). Elastodynamic Green’s functions for orthotropic plane-strain continua with inclined axes of symmetry. International journal of solids and structures, 36(31-32):4767-4788. 2D plane-strain problem for various frequencies. In this comparison, t1:9=1, B/A=50, x=0.8, z=0.5, and y=0. The RMSE between the present and the reference solution is 8.47⋅10−5, 2.09⋅10−4 and 1.34⋅10−4 for σYYZ, σXXX and σXXY, respectively (Fig. 4a), and 3.11⋅10−4 and 3.24⋅10−4 for the real and imaginary parts of σXXZ, respectively (Fig. 4b). This shows that the present solution yields results that are comparable to the ones obtained by a variety of different methods.

Figure 4
Comparison of selected stress components with (a) Kelvin problem solution and (b) Barros and Mesquita (1999)Barros, P. and Mesquita, E. (1999). Elastodynamic Green’s functions for orthotropic plane-strain continua with inclined axes of symmetry. International journal of solids and structures, 36(31-32):4767-4788. 2D problem.

Figure 5 shows a verification of the compliance of the stress components with the boundary conditions prescribed in Eq. 19. These results show that as the line in which these solutions are measured approaches the loaded surface (z=0), the stress components tend to the traction discontinuity prescribed at that surface. This is the static case, and results are measured on the x-z plane (y=0). Figures 5a and b consider respectively ti=i, and t1:8=0; t9=1.

Figure 5
Compliance of the stress solution with prescribed boundary conditions.

Finally, an additional verification of the displacement components is obtained by comparing stress components that were directly evaluated from the solutions in this article with stress components that were synthesized numerically from displacement components. These numerically-synthesized equivalents, indicated by the superscript D, are obtained by computing strain components through the numerical derivation of displacement components, and subsequent computation of stress components through Hooke's Law. This scheme is shown in detail in Romanini et al. (2021)Romanini, E., Labaki, J., Vasconcelos, A., and Mesquita, E. (2021). Influence functions for a 3D full-space under bilinear stationary loads. Engineering Analysis with Boundary Elements, 130:286-299..

Figure 6 shows selected comparisons for a0=2 and ti=i. Figures 6a and b consider respectively stresses along the line x=y=0.5; 2≤z≤8 and y=z=0.5; 1≤x≤5. The RMSE between the stress components evaluated directly from Eqs. 57 and 71 and the numerically-synthesized stress components is 7.72⋅10−5 and 1.77−4 for the real and imaginary parts of σXYZ, respectively (Fig. 6a), and 5.61⋅10−2 and 4.60⋅10−2 for the real and imaginary parts of σYZY, respectively (Fig. 6b). The considerably larger discrepancy between the two results in the case of σYZY could be initially thought to be due to the increased difficulty in evaluating stress influence function near the loaded surface (x→A). However, we have shown in Fig. 5 that these solutions can be accurately computed even very close to the loaded surface. This indicates that the discrepancy in these results must come from numerical difficulties that are intrinsic to the finite difference scheme used to evaluate the numerically-synthesized solutions (Romanini et al., 2021Romanini, E., Labaki, J., Vasconcelos, A., and Mesquita, E. (2021). Influence functions for a 3D full-space under bilinear stationary loads. Engineering Analysis with Boundary Elements, 130:286-299.).

Figure 6
Comparison between stress components and displacement-based stress components.

6.2 Comparison between load distributions

Figures 8 to 11 show displacement and stress fields due to various load distributions. Cases A, B, and C consider ti=1/(4AB) (i=1:9) (constant load distribution), ti=3i/(80AB), and t1:8=0; t9=9/(16AB) (Figure 7). These were selected to have unit net magnitude, that is,

Figure 8
Effect of different load distributions on uXZ.
Figure 11
Effect of different load distributions on σXYZ.
Figure 7
Load distributions considered in this section.
A A B B p x , y d x d y = 1,

so that the effect of the load distribution itself could be studied separately. All cases consider a0=1.

These results show that displacement and stress fields are strongly dependent on the load distribution. Non-uniformly distributed loads result in much sharper variation of displacements than the uniformly-distributed load case. Stress states are more strongly dependent on the load distribution under the loading area (x,y<A), outside which the effect of load distribution quickly becomes negligible. As expected, the overall magnitude of the direct displacement and stress components uZZ and σXXX is larger than that of the cross displacement and stress components uXZ and σXYZ, regardless of the load distribution, which is physically consistent. It is also physically consistent that the shear stress due to vertical load σXYZ is nearly zero in the uniformly-distributed load case, due to the symmetry of the load and to the proximity of the measuring line (0<x<5; y=z=0.05) to the x-z plane.

Figure 9
Effect of different load distributions on uZZ.
Figure 10
Effect of different load distributions on σXXX.

6.3 Quality of the implementation

Formulations of boundary element methods, the main applications of influence functions, often require such influence functions to be evaluated for relatively high frequencies and for field (measuring) points relatively far from the source (loaded) points. Figures 12 and 13 show selected displacement and stress components evaluated at distant field points, while Figure 14 and 15 show selected components evaluated at high frequencies. All results in this section consider ti=i.

Figure 12
Selected results from the evaluation of far-field displacement components.
Figure 13
Selected results from the evaluation of far-field stress components.
Figure 14
Selected results from the evaluation of high-frequency displacement components.
Figure 15
Selected results from the evaluation of high-frequency stress components.

Even though, due to the lack of comparable solutions in the literature, the results in this section cannot be verified in terms of accuracy, they are physically consistent. Some aspects showing this physical consistency are the overall decrease in the magnitude of the solutions for increasing distances from the source point and for increasing frequencies of excitation, and direct stress and displacement components posessing larger magnitude than their cross counterparts. The results are well-behaved, smooth curves, even for large values of x and a0. These results show that the strategy described in this paper for the computational implementation of these functions is able to handle a wide range of input data and parameters without failing, and that small changes in the input data do not lead to large changes in the output.

7 CONCLUSIONS

This article introduced original non-singular influence functions for three-dimensional, homogeneous, isotropic full-spaces. These solutions are aimed at facilitating the representation of sharply-varying quantities, such as contact tractions between soil and foundations, which routinely occur in soil—structure interaction problems. In order to represent these quantities, the solution considered biquadratically-distributed loads applied to the full-space, since loads that vary according to higher-order polynomials are better suited to represent sharply-varying quantities than uniformly-distributed loads. These time-harmonic external loads were imposed in the Fourier transformed domain, in which uncoupled stress and displacement components are accessible separately. Selected numerical results showed that the solution yields physically consistent results, and that the proposed numerical evaluation scheme yields viable solutions. This improved representation comes at the cost of lengthy solutions to be implemented. These influence functions can be used as quadratic boundary elements, with improved representation of sharply-varying quantities, for elastodynamic analyses.

APPENDIX A

This appendix expands the mathematical manipulation that yields Eqs. 7 and 8 from Eqs. 5 and 6. The rotational Ω of the displacement field u is a vector given by

Ω = e i j k u k ê i = u 3,2 u 2,3 u 1,3 u 3,1 u 2,1 u 1,2 T , (27)

for i,j,k=x,y,z. On the other hand, the dilatation Δ of the vector field u is a scalar given by

Δ = u i , i = u 1,1 + u 2,2 + u 3,3 . (28)

Consider the following identity about the vector field Ω:

e i m n Ω n , m , i = x 1 Ω 3,2 Ω 2,3 + x 2 Ω 1,3 Ω 3,1 + x 3 Ω 2,1 Ω 1,2 = Ω 3,21 Ω 2,31 + Ω 1,32 Ω 3,12 + Ω 2,13 Ω 1,23 = Ω i , i = 0, (29)

since Ω3,213,12, Ω2,312,13, and Ω1,321,23, which can be easily verified from Eq. 27. In view of Eq. 29, computing the gradient of the displacement field u (Eq. 3) yields

Δ = u = u i , i = 1 k L 2 Δ , i i + 2 k S 2 e i m n Ω n , m , i = 1 k L 2 Δ , i i , (30)

or

Δ + 1 k L 2 Δ , i i = 0. (31)

Equation 5 expresses an Ansatz solution for Δ. Substituting 5 into 31 yields

A k L 2 e q + 1 k L 2 2 x 2 A k L 2 e q + 2 y 2 A k L 2 e q + 2 z 2 A k L 2 e q = A k L 2 e q + 1 k L 2 A k L 2 β 2 e q A k L 2 γ 2 e q + A k L 2 α L 2 e q = 0, (32)

in which eq=e±αLz+iβx+γy, and the superindices (1,2) have been omitted from A(1,2) for conciseness. Since eq≠0 and A(1,2)=0 is the trivial solution, Eq. 32 yields the portion of Eq. 7 referring to αL:

α L 2 = β 2 + γ 2 k L 2 . (33)

Additionally, in view of Eq. 28, one can show that

e i j k Δ , k = 0, (34)

since

e i j k Δ , k = e i j k u 1,1 k + u 2,2 k + u 3,3 k = u 1,132 + u 2,232 + u 3,332 u 1,123 u 2,223 u 3,323 i ^ + u 1,113 + u 2,213 + u 3,313 u 1,131 u 2,231 u 3,331 j ^ + u 1,121 + u 2,221 + u 3,321 u 1,112 u 2,212 u 3,312 k ^ = 0, (35)

since um,ijk=um,ikj=um,jik=um,jki=um,kij=um,kji (m=1,2,3). In view of Eq. 34, computing the rotational of the displacement field u (Eq. 3) yields, for each of its components i,

e i j k u k = e i j k 1 k L 2 Δ , k + e i j k 2 k S 2 e k m n Ω n , m = 2 k S 2 e i j k e k m n Ω n , m . (36)

The left-hand side of Eq. 36 is (Graff, 2012Graff, K. F. (2012). Wave motion in elastic solids. Courier Corporation.)

e i j k u k , j = 2 Ω i , (37)

since eijkuk is simply the rotational of the displacement field written in index notation (Eq. 27). Omitting the term 1/k2S for conciseness, the rotational terms in the right-hand side of Eq. 36 can be expanded into

e i j k e k m n Ω n , m = e i j k Ω 3,2 Ω 2,3 Ω 1,3 Ω 3,1 Ω 2,1 Ω 1,2 T = Ω 2,12 Ω 1,22 Ω 1,33 + Ω 3,13 i ^ + Ω 3,23 Ω 2,33 Ω 2,11 + Ω 1,21 j ^ + Ω 1,31 Ω 3,11 Ω 3,22 + Ω 2,32 k ^ . (38)

Consider initially the term of Eq. 38 in the î-direction. The following expansion can be made:

Ω 2,12 Ω 1,22 Ω 1,33 + Ω 3,13 = Ω 1,11 Ω 1,22 Ω 1,33 + Ω 1,11 + Ω 2,12 + Ω 3,13 . (39)

In view of the terms Ω1, Ω2 and Ω3 of Ω expressed in Eq. 27, then Ω1,11=u3,211−u2,311, Ω2,12=u1,312−u3,112, and Ω3,13=u2,113−u1,213. Therefore,

Ω 1,11 Ω 1,22 Ω 1,33 + Ω 1,11 + Ω 2,12 + Ω 3,13 = Ω 1,11 + Ω 1,22 + Ω 1,33 + u 3,211 u 2,311 + u 1,312 u 3,112 + u 2,113 u 1,213 = Ω 1,11 + Ω 1,22 + Ω 1,33 . (40)

The same expansions can be made for the terms of Eq. 38 in the other directions. In view of these expansions, Eq. 38 yields

e i j k e k m n Ω n , m = Ω 1,11 + Ω 1,22 + Ω 1,33 i ^ Ω 2,11 + Ω 2,22 + Ω 2,33 j ^ Ω 3,11 + Ω 3,22 + Ω 3,33 k ^ = Ω i , j j . (41)

Therefore, in view of Eqs. 37 and 41, Eq. 36 results in

Ω i + 1 k S 2 Ω i , j j = 0. (42)

Equation 6 expresses an Ansatz solution for Ω. Substituting 6 into 42 yields

B k S 2 e p + 1 k S 2 2 x 2 B k S 2 e p + 2 y 2 B k S 2 e p + 2 z 2 B k S 2 e p = B k S 2 e p + 1 k S 2 B k S 2 β 2 e p B k S 2 γ 2 e p + B k S 2 α S 2 e p , (43)

In which ep=e±αSz+iβx+γy, and the superindices (1,2) have been omitted from B(1,2) for conciseness. Since ep≠0 and B(1,2)=0 is the trivial solution, Eq. 43 yields the portion of Eq. 6 referring to αS:

α S 2 = β 2 + γ 2 k S 2 . (44)

Finally, consider the condition that

Ω i , i = 0, (45)

shown in Eq. 29. Substituting Eq. 6 into 45 yields

x B 1 k S 2 e p + y B 2 k S 2 e p + z B 3 k S 2 e p = i B 1 k S 2 β e p + i B 2 k S 2 γ e p ± B 3 k S 2 α S e p = 0. (46)

Since ep≠0 and k2S≠0, Eq. 46 yields Eq. 8:

B 3 ( 1,2 ) = i α S β B 1 ( 1,2 ) + γ B 2 ( 1,2 ) . (47)

APPENDIX B

This appendix lists the final expressions for the displacement and stress fields in the physical domain. The displacement components are given by

u X Z D N z z = T 1 A 3 a 0 3 0 0 F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 0 0 F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 A B 2 a 0 0 0 F 1 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 0 0 F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 5 A 3 a 0 2 0 0 F 1 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 6 2 A B 2 0 0 F 1 F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 3 a 0 0 0 F 1 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B 0 0 F 1 s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 A B 2 a 0 0 0 F 1 s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (48)
u Y Z D N z z = T 1 A 3 a 0 3 0 0 F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 2 A 2 B a 0 2 0 0 F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 3 2 A B 2 a 0 0 0 F 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 0 0 F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 0 0 F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 A B 2 0 0 F 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ T 7 2 A 3 a 0 0 0 F 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 8 2 A 2 B 0 0 F 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 9 4 A B 2 a 0 0 0 F 1 s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (49)

and

u Z Z D N = T 1 A 3 a 0 3 0 0 F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 0 0 F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 A B 2 a 0 0 0 F 2 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A 2 B a 0 0 0 F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 0 0 F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 0 0 F 2 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 3 a 0 0 0 F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B 0 0 F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 A B 2 a 0 0 0 F 2 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (50)

due to loads in the z-direction,

u X Y D N = T 1 A 3 a 0 3 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 2 A 2 B a 0 2 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 3 2 A B 2 a 0 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ T 4 A 2 B a 0 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 5 A 3 a 0 2 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 6 2 A B 2 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ T 7 2 A 3 a 0 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 8 2 A 2 B 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 1 c γ y d k γ T 9 4 A B 2 a 0 0 0 F 3 α ¯ L α ¯ S s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ (51)
u Y Y D N = T 1 A 3 a 0 3 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A 2 B a 0 2 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 A B 2 a 0 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A 2 B a 0 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 3 a 0 2 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 A B 2 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 3 a 0 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A 2 B 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 A B 2 a 0 0 0 F 4 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (52)

due to loads in the y-direction, and

u X X D N = T 1 A 3 a 0 3 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 2 A 2 B a 0 2 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 A B 2 a 0 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A 2 B a 0 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 5 A 3 a 0 2 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 6 2 A B 2 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 3 a 0 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 8 2 A 2 B 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 A B 2 a 0 0 0 F 5 α ¯ L α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ (53)

due to loads in the x-direction, with uZX=uXZ, uZY=uYZ, and uYX=uXY, in which

k β = A a 0 β , k γ = A a 0 γ , D N = η r + i η i 2 μ π 2 B 2 a 0 2 , a 0 = A ω ρ μ ,
s β x = sin a 0 A k β x , s γ y = sin a 0 A k γ y , c β x = cos a 0 A k β x , c γ y = cos a 0 A k γ y ,
s β A = sin a 0 k β , s γ B = sin a 0 b 0 k γ , c β A = cos a 0 k β , c γ B = cos a 0 b 0 k γ ,
α ¯ L 2 = k β 2 + k γ 2 k L * / k S * 2 η r + i η i , α ¯ S 2 = k β 2 + k γ 2 1 η r + i η i ,
F 1 = e a 0 A α ¯ L z e a 0 A α ¯ S z , F 2 = α ¯ L α ¯ S e a 0 A α ¯ L z k β 2 + k γ 2 e a 0 A α ¯ S z , F 3 = α ¯ S e a 0 A α ¯ L z α ¯ L e a 0 A α ¯ S z ,
F 4,5 = k γ , β 2 α ¯ S e a 0 A α ¯ L z + k β , γ 2 α ¯ S 2 α ¯ L e a 0 A α ¯ S z , F β 1 = a 0 2 k β 2 2 s β A + 2 a 0 k β c β A ,
Fβ2=sβA+a0kβcβA,Fγ1=b02a02kγ22sγB+2b0a0kγcγB, and Fγ2=sγB+b0a0kγcγB.

The corresponding stress fields in the physical domain are:

σ X X Z D T z z = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 1 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 1 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 1 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 1 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 1 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (54)
σ Y Y Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 2 A B a 0 0 0 G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 2 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 5 A 2 a 0 0 0 G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 2 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 2 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 8 2 A B a 0 0 0 G 2 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 2 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (55)
σ Z Z Z D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 2 A B a 0 0 0 G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 3 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 5 A 2 a 0 0 0 G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 3 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 3 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 8 2 A B a 0 0 0 G 3 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 3 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (56)
σ X Y Z 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (57)
σ X Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 2 A B a 0 0 0 G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 5 α ¯ S F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 5 α ¯ S F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 8 2 A B a 0 0 0 G 5 α ¯ S s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 5 α ¯ S s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (58)

and

σ Y Z Z D T = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 5 α ¯ S F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 5 A 2 a 0 0 0 G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 5 α ¯ S F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 5 α ¯ S s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (59)

due to loads in the z-direction,

σ X X X D T = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 5 A 2 a 0 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 6 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (60)
σ Y Y X D T = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 2 A B a 0 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 8 2 A B a 0 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 7 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (61)
σ Z Z X D T = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 2 A B a 0 0 0 G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 8 α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 8 α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 8 2 A B a 0 0 0 G 8 α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 8 α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (62)
σ X Y X D T = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 2 A B a 0 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 8 2 A B a 0 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 9 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (63)
σ X Z X D T z z = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 10 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 10 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 10 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 10 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 10 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (64)

and

σ Y Z X 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (65)

due to loads in the x-direction, and

σ X X Y D T = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 2 A B a 0 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 8 2 A B a 0 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 11 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (66)
σ Y Y Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 5 A 2 a 0 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 12 α ¯ S α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (67)
σ Z Z Y D T = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 8 α ¯ L F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B s γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ T 5 A 2 a 0 0 0 G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 8 α ¯ L F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 8 α ¯ L s β A k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ , (68)
σ X Y Y D T = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 5 A 2 a 0 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L F β 2 k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 13 α ¯ S α ¯ L s β A s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (69)
σ X Z Y 2 D T z z = + T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 3 2 B 2 0 0 G 4 F β 1 k β 2 s β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 4 A B 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 4 F β 2 k β c β x d k β s γ B s γ y d k γ + T 7 2 A 2 0 0 G 4 s β A s β x d k β F γ 1 k γ 2 s γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 4 s β A s β x d k β F γ 2 k γ c γ y d k γ + T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 4 s β A s β x d k β s γ B s γ y d k γ , (70)

and

σ Y Z Y D T = T 1 A 2 a 0 2 0 0 G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 2 A B a 0 0 0 G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 3 2 B 2 0 0 G 14 F β 1 k β 3 c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 4 A B 0 0 G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ + T 5 A 2 a 0 0 0 G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 6 2 B 2 a 0 0 0 G 14 F β 2 k β 2 s β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ T 7 2 A 2 0 0 G 14 s β A k β c β x d k β F γ 1 k γ 3 c γ y d k γ + T 8 2 A B a 0 0 0 G 14 s β A k β c β x d k β F γ 2 k γ 2 s γ y d k γ T 9 4 B 2 a 0 2 0 0 G 14 s β A k β c β x d k β s γ B k γ c γ y d k γ , (71)

due to loads in the y-direction, in which

D T = η r + i η i 2 π 2 a 0 2 B 2 , G 1,2 k β , k γ = k β 2 k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 α ¯ S 2 e a 0 A α ¯ L z 2 k β , γ 2 e a 0 A α ¯ S z , G 3 k β , k γ = k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e a 0 A α ¯ L z 2 k β 2 + k γ 2 e a 0 A α ¯ S z , G 4 k β , k γ = e - a 0 A α ¯ L z e a 0 A α ¯ S z ,
G 5,8 k β , k γ = k β 2 + k γ 2 + α ¯ S 2 e a 0 A α ¯ S , L z ± 2 α ¯ L α ¯ S e a 0 A α ¯ L , S z ,
G 6,12 k β , k γ = k β 2 k γ 2 ± 2 α ¯ L 2 α ¯ S 2 α ¯ S e a 0 A α ¯ L z ± 2 k γ , β 2 α ¯ S 2 α ¯ L e a 0 A α ¯ S z ,
G 7,11 k β , k γ = k β 2 k γ 2 2 α ¯ L 2 ± α ¯ S 2 α ¯ S e a 0 A α ¯ L z ± 2 α ¯ L k γ , β 2 e a 0 A α ¯ S z ,
G 9,13 k β , k γ = 2 k β , γ 2 α ¯ S e a 0 A α ¯ L z 2 k β , γ 2 1 η r + i η i α ¯ L e a 0 A α ¯ S z ,
G 10,14 k β , k γ = 2 k β , γ 2 e a 0 A α ¯ L z ± k γ 2 k β 2 α ¯ S 2 e a 0 A α ¯ S z .

ACKNOWLEDGMENTS

The research leading to this article has been funded by the São Paulo Research Foundation (Fapesp) through grants 2022/02753-5 and 2013/08293-7 (CEPID). The support of PROPP/UFMS is also gratefully acknowledged.

References

  • Adolph, M., Mesquita, E., Carvalho, E. R., and Romanini, E. (2007). Numerically evaluated displacement and stress solutions for a 3D viscoelastic half space subjected to a vertical distributed surface stress loading using the Radon and Fourier transforms. Communications in Numerical Methods in Engineering, 23(8):787-804.
  • Ba, Z., Liang, J., Lee, V. W., and Hu, L. (2018a). IBEM for impedance functions of an embedded strip foundation in a multi-layered transversely isotropic half-space. Journal of Earthquake Engineering, 22(8):1415-1446.
  • Ba, Z., Liang, J., Lee, V. W., and Kang, Z. (2018b). Dynamic impedance functions for a rigid strip footing resting on a multi-layered transversely isotropic saturated half-space. Engineering Analysis with Boundary Elements, 86:31-44.
  • Ba, Z., Wang, Y., Liang, J., and Lee, V. W. (2020). Wave scattering of plane P, SV, and SH waves by a 3D alluvial basin in a multilayered half-space. Bulletin of the Seismological Society of America, 110(2):576-595.
  • Barros, P. and Mesquita, E. (1999). Elastodynamic Green’s functions for orthotropic plane-strain continua with inclined axes of symmetry. International journal of solids and structures, 36(31-32):4767-4788.
  • Barros, P. and Mesquita, E. (2000). Singular-ended spline interpolation for two-dimensional boundary element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47(5):951-967.
  • Barros, P. and Mesquita, E. (2009). The response of an elastic half-space with circular trenches around a rigid surface foundation subjected to dynamic horizontal loads. Proceedings of the 10th International Conference on Boundary Element Techniques.
  • Christensen, R. M. (2010). Theory of Viscoelasticity: Second Edition (Dover Civil and Mechanical Engineering). Dover Publications.
  • Dumont, N. A. (1994). On the efficient numerical evaluation of integrals with complex singularity poles. Engineering Analysis with Boundary Elements, 13(2):155-168.
  • Fu, J., Liang, J., and Ba, Z. (2019). Non-singular boundary element method on impedances of three-dimensional rectangular foundations. Engineering Analysis with Boundary Elements, 99:100-110.
  • Fu, J., Liang, J., and Han, B. (2017). Impedance functions of three-dimensional rectangular foundations embedded in multi-layered half-space. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 103:118-122.
  • Graff, K. F. (2012). Wave motion in elastic solids. Courier Corporation.
  • Helmholtz, H. (1858). About integrals of hydrodynamic equations related with vortical motions. J. für die reine Angewandte Mathematik, 55:25.
  • Kane, J. H. (1994). Boundary element analysis in engineering continuum mechanics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994.
  • Kitahara, M. (2014). Boundary integral equation methods in eigenvalue problems of elastodynamics and thin plates. Elsevier.
  • Kuzuoglu, M. and Mittra, R. (1997). Investigation of nonplanar perfectly matched absorbers for finite element mesh truncation. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 45(3):474-486.
  • Labaki, J., Adolph, M., and Mesquita, E. (2019). A derivation of nonsingular displacement and stress fields within a 3D full-space through Radon transforms. Engineering Analysis with Boundary Elements, 106:624-633.
  • Labaki, J., Romanini, E., and Mesquita, E. (2012). Stationary dynamic displacement solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full space - Part II: Implementation, validation, and numerical results. Mathematical Problems in Engineering, 2012.
  • Mesquita, E., Adolph, M., Barros, P., and Romanini, E. (2003). Transient Green’s functions and distributed load and solutions for plane strain, transversely isotropic and viscoelastic layers. Latin American Journal of Solids and Structures, 1(1):75-100.
  • Mesquita, E., Adolph, M., Carvalho, E. R., and Romanini, E. (2009a). Dynamic displacement and stress solutions for viscoelastic half-spaces subjected to harmonic concentrated loads using the Radon and Fourier transforms. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 33(18):1933-1952.
  • Mesquita, E., Labaki, J., and Ferreira, L. (2009b). An implementation of the Longman’s integration method on graphics hardware. CMES-Computer Modeling In Engineering & Sciences.
  • Mesquita, E., Antes, H., Thomazo, L. H., and Adolph, M. (2012a). Transient wave propagation phenomena at visco-elastic half-spaces under distributed surface loadings. Latin American Journal of Solids and Structures, 9(4):453-474.
  • Mesquita, E., Romanini, E., and Labaki, J. (2012b). Stationary dynamic displacement solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full space - Part I: Formulation. Mathematical Problems in Engineering, 2012.
  • Michalski, K. A. and Mosig, J. R. (2016). Efficient computation of Sommerfeld integral tails - methods and algorithms. Journal of Electromagnetic Waves and Applications, 30(3):281-317.
  • Pan, E. (2019). Green’s functions for geophysics: A review. Reports on Progress in Physics, 82(10):106801.
  • Piessens, R., de Doncker-Kapenga, E., Überhuber, C. W., and Kahaner, D. K. (2012). QUADPACK: a subroutine package for automatic integration, volume 1. Springer Science & Business Media.
  • Romanini, E., Labaki, J., Mesquita, E., and Silva, R. (2019). Stationary dynamic stress solutions for a rectangular load applied within a 3D viscoelastic isotropic full-space. Mathematical Problems in Engineering, 2019.
  • Romanini, E., Labaki, J., Vasconcelos, A., and Mesquita, E. (2021). Influence functions for a 3D full-space under bilinear stationary loads. Engineering Analysis with Boundary Elements, 130:286-299.
  • Sommerfeld, A. (1949). Partial differential equations in physics, volume 1. Academic press.

Edited by

Editors: Marco Lucio Bittencourt and Josué Labaki

Publication Dates

  • Publication in this collection
    13 Oct 2023
  • Date of issue
    2023

History

  • Received
    03 Jan 2023
  • Reviewed
    19 July 2023
  • Accepted
    07 Aug 2023
  • Published
    16 Aug 2023
Individual owner www.lajss.org - São Paulo - SP - Brazil
E-mail: lajsssecretary@gmsie.usp.br