A geometria dinâmica do círculo de Apolônio

The dynamic geometry of Apollonius circle

Resumos

Neste trabalho, apresento uma nova questão referente à aplicação do círculo de Apolônio no contexto do design de games. Ao invés de determinarmos o ponto de encontro a partir das condições iniciais; na nova questão proposta decidiremos previamente o ponto de encontro/interceptação e calcularemos o instante em que o torpedo deve ser lançado. Na questão proposta em [¹] o torpedo e o navio partem ao mesmo tempo (em trajetória retilínea) rumo a interceptação. E se esperarmos um certo tempo $t$ para lançarmos o torpedo? Ou então, e se apontarmos o torpedo para uma determinada posição e desejarmos saber em que instante o navio será interceptado nesta posição? Estas são as novas questões trazidas nesta nota.

Palavras-chave:
problemas de perseguição; simulação computacional; simulação com software educacional

In this paper, I present a new application of the Apollonius circle in a game design context. Instead of determining the meeting point from the initial conditions, in the present proposal a previously prescribed interception point is given and I calculate the instant of time that the torpedo must be launched. In the problem proposed in reference [¹] the torpedo and the ship start at the same time (on a straight path) towards the point of interception. Now I pose the following question: What happens if we wait a certain time $t$ to launch the torpedo? What happens if we aim the torpedo to a certain point and we want to know the instant the ship is hit when passing through this point? These are the new questions addressed to in this note.

Keywords:
pursuit problems; computational simulation; educational software

No trabalho [¹] foi apresentado, como uma aplicação do círculo de Apolônio, a solução para a interceptação entre dois objetos a uma velocidade constante (um torpedo e um navio porta-aviões).

Na figura 1 o navio (N) está na posição (0,0) em $t=0$ de um plano cartesiano. O eixo x a partir da origem, cruza a posição do torpedo (T). A reta NAB é a suposta direção a ser seguida pelo navio. Os pontos A e B são os pontos onde N intercepta o círculo de Apolônio. Se o navio e o torpedo partirem ao mesmo tempo de suas posições iniciais, eles se interceptarão em A ou B para um dado $k=\frac{V_N}{V_T}$. Onde $V_N$ é a velocidade escalar do navio e $V_T$ é a velocidade escalar do torpedo. Para mais detalhes sobre este problema ver ref. [¹].

Figura 1
Círculo de Apolônio Estático para k = 0.7

Neste artigo apresento uma nova questão: e se resolvermos esperar um pouco para atirarmos o torpedo, quais seriam as novas possibilidades de interceptação? O navio ainda parte da origem do plano cartesiano xy (figura 1) e o torpedo ainda está em T. A nova situação se dá pelo fato do torpedo não partir ao mesmo tempo que o navio.

Considere o navio na origem do plano xy e o torpedo sobre o eixo x na posição T (figura 1). Para este caso o círculo de Apolônio é dado pela equação [¹]:

(1) $${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=R^2$$

onde:

(2) $$x_0=\frac{-x_T}{k^2-1},y_0=0$$

e

(3) $$R=\frac{k{x}_T}{|1-k^2|},k\ne 1$$

Imaginemos agora que o navio continue a navegar e o torpedo ainda não tenha sido lançado. Precisamos saber como determinar a cada instante as novas possibilidades de interceptação. Dada a posição de N em $t>0$, para mantermos a mesma solução que a apresentada em (1) devemos traçar um novo plano cartesiano x'y'. Para a construção deste plano x'y' rotacionamos e transladamos o eixo xy (Figura 2). Observamos assim que o centro do círculo de Apolônio também será rotacionado e transladado. O novo centro do círculo de Apolônio em $t>0$ será C'. Sendo assim as possibilidades de interceptação entre N e T serão nos pontos A' e B' conforme mostrado na figura 3. Observe ainda nesta figura que o ponto N, que indica a posição do navio já está em um pouco mais a frente do que quando $t=0$.

Figura 2
Eixo cartesiano x'y'

Figura 3
Círculo de Apolônio para $k<1$ em um instante $t>0$.

Nesta figura o raio do círculo de Apolônio é menor do que a solução em $t=0$. O raio da circunferência de acordo com (3) depende da posição de T. Como na figura 3 a posição, no novo sistema x'y', muda a cada instante o raio também mudará. Na figura 4 podemos observar a evolução temporal da circunferência.

Figura 4
Em linhas tracejadas temos o círculo de Apolônio em $t=0$ conforme mostrado na figura 1 e em linha sólida temos o círculo depois de um tempo $t>0$ conforme mostrado na figura 3

Sendo assim, se o torpedo demorar um tempo $t>0$ para ser atirado, a nova possibilidade de interceptação será em B' ou em A'.

Com o avanço de softwares matemáticos podemos observar que antes problemas estáticos e imóveis, agora podem ser animados tornando o aprendizado da matemática mais significativo e interessante. Não são poucos os problemas onde nossos alunos têm que ”imaginar”rotações, translações das figuras geométricas estáticas do quadro negro. Assim, utilizei o software Geogebra para tornar o problema do círculo de Apolônio, um applet interativo. O link da aplicação especialmente criada para este trabalho está neste endereço¹. Para acessar a aplicação não é necessário ter o software Geogebra instalado.

A fim de complementar os estudos realizados sobre o círculo de Apolônio, já apresentado nesta revista [¹], apresentei a solução de mais uma questão que emergiu a respeito do tema. A nova questão surge a partir da implementação do círculo de Apolônio como algorítimo na programação de jogos de tiro. O jogo a ser desenvolvido é uma releitura do jogo lançado pela Atari em 1977, o Air-Sea Battle [²]. Neste jogo o jogador controla um canhão anti aéreo e deve atingir aviões que passam por cima da cidade. Ambos míssil e avião viajam em trajetórias retilíneas. Sabendo a velocidade do míssil e do avião (ou pelo menos sabendo a razão entre as velocidades) surge a pergunta: quanto tempo devemos esperar para que o míssil intercepte o avião?

O interessante é notar que desta vez, diferente da proposição feita em [¹] desejamos previamente definir a posição de interceptação. Refazendo a pergunta em termos matemáticos seria: Em que instante as trajetórias do míssil e do avião interceptarão o círculo de Apolônio? Para resolver esta questão se fez necessário entender como o círculo de Apolônio (e as condições de interceptação) evoluem com o tempo.

• 1
  http://ggbtu.be/m1325441

Referências

• ^[1]
  R. Lopes e A.C. Tort, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 3502 (2014).
• ^[2]
  Air-Sea Battle, disponível em https://en.wikipedia.org/wiki/Air-Sea_Battle
  » https://en.wikipedia.org/wiki/Air-Sea_Battle

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  2016

Histórico

• Recebido
  22 Fev 2016
• Revisado
  21 Jun 2016
• Aceito
  30 Jun 2016