Grafos Associados aos Emparelhamentos de Arestas de Polígonos Regulares

RESUMO

A combinação entre cirurgias de emparelhamentos de arestas de polígonos regulares e a troca de arestas do grafo de emparelhamentos sobre a superfície, permite determinar de forma mais eficiente as famílias de grafos de emparelhamentos sobre superfícies fechadas e orientadas com gênero $g\ge 2$.

Palavras-chave:
emparelhamentos de arestas; polígonos regulares; superfícies orientadas

ABSTRACT

The combination between surgeries of the pairing of edges of regular polygons (over on a closed and orientable surface) and the exchange of edges of the graph on the surface, allows more efficiently the families of graphs pairing on surfaces with genus $g\ge 2$.

Keywords:
pairing of edges; regular polygons; orientable surface

1 INTRODUÇÃO

Emparelhamentos de arestas de um polígono regular corresponde a uma aplicação quociente que identifica pares de arestas do bordo do polígono sobre uma superfície fechada. A imagem do bordo do polígono sobre a superfície corresponde a um grafo conexo imerso nesta superfície, cujo complemento é simplesmente conexo. Esse grafo é chamado grafo de emparelhamentos de arestas de polígono regular. Diante do breve exposto, surge uma pergunta natural: quais grafos conexos admitem um mergulho sobre uma superfície fechada e orientada, de forma que a sua imagem pode ser vista como algum grafo de emparelhamentos de arestas de um polígono regular? Em ⁶, Jorgensen-Naatanen mostraram que para o bitoro existem cinco grafos trivalentes não isomorfos, associados a oito diferentes emparelhamentos do polígono regular com 18 lados (ver Figura 7). Para o tritoro, Nakamura mostrou em ⁸ que existem 65 grafos trivalentes associados a 927 diferentes emparelhamentos do polígono regular com 30 lados. Esses grafos de emparelhamentos trivalentes podem estar relacionados à tesselação {12g − 6, 3} (ver ^{1), (4), (5}).

Em ², foram determinadas algumas famílias de grafos trivalentes associados a emparelhamentos de arestas em superfícies com gênero $g>3$. Em ⁴, foram introduzidas duas cirurgias de emparelhamentos com grafos trivalentes, S ₁ e S ₂ (ver Figura 12), para determinar novos grafos de emparelhamentos para superfícies com gênero predeterminado. Essa técnica permitiu demonstrar que todo grafo resultante dessas cirurgias entre um número finito de grafos de emparelhamentos trivalentes é também um grafo trivalente de emparelhamentos de arestas. Essas cirurgias permitem determinar as possíveis famílias de grafos com 4g − 2 vértices, para $g>3$, que podem ser decompostas nos grafos trivalentes determinados em ⁶ e ⁸. Com o objetivo de determinar os possíveis grafos (trivalentes ou não) de emparelhamentos de polígonos regulares sobre uma superfície fechada e orientada, em ³ foram introduzidas a extensão e a contração de grafos sobre superfícies, provando que todo grafo de emparelhamentos de arestas sobre uma superfície fechada e orientada, com gênero$g>0$, pode ser obtido pela extensão, sobre a superfície, de algum grafo de emparelhamentos com único vértice e 2g arestas.

Neste trabalho, foram introduzidas a nova cirurgia de emparelhamentos de arestas S ₃ e a troca de arestas, sobre a superfície, no grafo de emparelhamentos de arestas. A combinação dos resultados apresentadas em ⁴ e ³, junto à cirurgia e à troca de arestas, contribuiu para otimizar a construção dos grafos de emparelhamentos, para $g>1$, permitindo a determinação dos grafos K-regulares (todos os vértices possuem grau K), para $K>2$ e $g>3$. Para tanto, organiza-se o trabalho da seguinte forma: na Seção 2, é elaborado um resumo sobre grafos de emparelhamentos de arestas de polígonos regulares. Na Seção 3, apresentam-se a extensão e a contração de grafos e uma combinação destas, denominada como troca de arestas. Na Seção 4, exibe-se o resumo sobre as cirurgias introduzidas em ⁴, além de ser descrita a nova cirurgia S ₃, com os respectivos efeitos dessas cirurgias sobre os grafos trivalentes entre outros. Por fim, na Seção 5, demonstrase o efeito sobre os emparelhamentos da combinação entre cirurgias entre emparelhamentos, extensões de grafos e troca de arestas.

2 EMPARELHAMENTOS DE ARESTAS

Seja M _g uma superfície fechada e orientada com gênero g. Seja $\iota :G⟶M_g$ um mergulho do grafo conexo G. A imagem ι(G) será denotado por 𝒢. Em ³ foram introduzidas a extensão e a contração do grafo 𝒢 sobre a superfície M _g , aplicada aos grafos de emparelhamentos de arestas de polígonos regulares.

Seja G(V, A), ou simplesmente G, um grafo com V vértices e A arestas. Alguns conceitos básicos sobre um grafo G, são

1. Um ciclo de comprimento n no grafo G é um caminho fechado {v ₀ v ₁ , v ₁ v ₂ , . . . , v _n−1 v _n }, onde os vértices v ₁ , . . . , v _n são todos diferentes.

2. Um laço no grafo G é uma aresta que conecta duas vezes o mesmo vértice.

3. O grau de um vértice v de G, denotado por deg(v), é o número de arestas incidentes a v, sendo que o laço conta duas vezes no grau do vértices no qual é incidente.

4. G será dito grafo K-regular se todos os seus vértices tiverem grau K.

5. A característica de Euler de G é dada por $\chi \left(G\right)=V-A$.

O gênero do grafo G é o menor número g para o qual existe um mergulho de G em M _g . Se G tem gênero $m\le g$, então existe um mergulho $\iota :G⟶M_g$. O complemento do grafo 𝒢 em M _g será denotado por $M_g\setminus \mathcal{G}$. O número de componentes conexas de $M_g\setminus \mathcal{G}$ será denotado por F. Esse número é sempre menor que o número de ciclos do grafo e depende do mergulho $\iota :G⟶M_g$. A característica de Euler de uma superfície fechada e orientada M _g é dada por $\chi \left(M_g\right)=2-2g$. Se todas as F componentes de $M_g\setminus \mathcal{G}$ são regiões simplesmente conexas, então $\chi \left(M_g\right)=V-A+F$ e $\chi \left(G\right)=2-2g-F$ (ver ⁷).

Definição 2.1. Uma aresta $uv\in \mathcal{G}$ é dita uma extensão do vértice$w\in {\mathcal{G}}_1$ sobre a superfície M _g , quando os vértices $u,v\in \mathcal{G}$ e a aresta uv podem ser obtidos por um “estiramento” do vértice w. Nesse caso, dizemos que 𝒢 é uma extensão de 𝒢 ₁ sobre M _g , ou que 𝒢 ₁ é uma contração de 𝒢 (ver Figura 1).

Figura 1:
Exemplos de extensões de grafos sobre o toro.

Figura 2:
Exemplo local de emparelhamentos de arestas.

Note que se w é uma contração da aresta uv, então $deg\left(w\right)=deg\left(u\right)+deg\left(v\right)-2$. O estiramento de um vértice de grau 3 resulta em um vértice de grau 3 e um vértice de grau 2. Em ³, vimos que a extensão e a contração de grafos sobre uma superfície preservam o número de ciclos livres do grafo, denotado por $\beta =1-V+A$, e também não altera o número de componentes conexas do complemento $M_g\setminus \mathcal{G}$, como se pode observar na Figura 1. Consequentemente, todo grafo conexo mergulhado em M _g , com β ciclos livres, pode ser contráıdo sobre M _g em um grafo com um único vértice e β arestas. Como exemplos, citam-se as sequências inversas na Figura 1.

Seja M _g uma superfície fechada, orientada e com gênero g e 𝒫 um polígono regular com 2A lados. Os emparelhamentos de arestas de polígonos regulares 𝒫, sobre a superfície M _g , são aplicações quocientes $q:\mathcal{P}⟶M_g$ que levam pares de arestas (a _i , a _j ), do bordo de 𝒫, sobre um arco de curva α _s em M _g e leva k vértices de 𝒫 sobre um ponto v _n de M _g . A aplicação q é injetora no interior do polígono 𝒫.

O conjunto dos arcos de curvas α _s (s = 1, · · · , A) e os pontos v _n (n = 1, · · · ,V ) sobre M _g correspondem, respectivamente, às arestas e aos vértices do grafo 𝒢, com V vértices e A arestas, e o número k corresponde ao grau do vértice v _n de 𝒢.

Definição 2.2. Um grafo 𝒢 sobre M _g é dito grafo de emparelhamentos de arestas do polígono 𝒫, se existe uma aplicação $q:\mathcal{P}⟶M_g$, onde 𝒢 é a imagem do bordo de 𝒫. Se 𝒢 tem único vértice, então 𝒢 será dito grafo de emparelhamento canônico sobre M _g .

Note que, em um emparelhamento canônico $q:\mathcal{P}⟶M_g$, todos os vértices do polígono 𝒫 são identificados por q num único ponto sobre a superfície M _g . O próximo resultado é consequência imediata dos resultados provados em ³.

Proposição 2.1.Seja 𝒢(V, A) um grafo de emparelhamentos de arestas. Então

1. $V-A=1-2g$ .

2. Se A = 2g, então q é um emparelhamento canônico.

3. $A=V-1$ se, e somente se, $M_g={\mathcal{S}}^2$ .

Definição 2.3. Seja 𝒢(V, A) um grafo de emparelhamentos de arestas do polígono regular 𝒫. Um diagrama de emparelhamentos de arestas associado a 𝒢(V, A) (ou a 𝒢) é o conjunto de segmentos de retas sobre 𝒫, onde cada segmento de reta conecta um par de aresta no bordo de 𝒫 que são identificados pela aplicação quociente $q:\mathcal{P}⟶M_g$.

Definição 2.4. Sejam q ₁ e q ₂ dois emparelhamentos de arestas do polígono regular 𝒫 sobre a superfície M _g . Dizemos que q ₁ e q ₂ são equivalentes, se o diagrama associado a q ₂ pode ser obtido do diagrama associado a q ₁ por movimentos de rotação e reflexão sobre o plano.

Dois grafos associados a diferentes emparelhamentos de arestas podem ser isomorfos. A Figura 3 ilustra dois emparelhamentos canônicos não equivalentes sobre o toro, como se pode observar em seus diagramas, mas os grafos são isomorfos, pois ambos têm único vértice e o mesmo número de arestas. O mesmo ocorre com os emparelhamentos canônicos do tritoro ilustrados na Figura 4.

Figura 3:
Exemplos de emparelhamentos canônicos sobre o bitoro.

Figura 4:
Exemplos de emparelhamentos canônicos sobre o tritoro.

Os emparelhamentos de arestas com grafos K-regulares podem estar associados a alguma tesselação. Para K = 3 os grafos são chamados grafos trivalentes estão associados à tesselação {12g − 6, 3}, sendo que 12g − 6 corresponde ao número total de lados do polígono e o número 3 corresponde ao número de vértices do polígono que são identificados em um único ponto de M, ou seja, o grau dos vértices do grafo.

Definição 2.5. Seja 𝒢 um grafo de emparelhamentos de arestas de um polígono regular. Se 𝒢 é K-regular, então diremos que 𝒢 é um grafo de emparelhamentos de arestas K-regular.

As Figuras 5, 6 e 7 ilustram diferentes diagramas com grafos de emparelhamentos K-regulares (não equivalentes) sobre o bitoro, para K igual a 5, 4 e 3, respectivamente. Sendo que os oito diagramas de emparelhamentos ilustrados na Figura 7, associados aos cinco grafos trivalentes (3-regulares), foram determinados por Jorgensen-Naatanen em ⁶. A Figura 8 ilustra alguns diagramas (não equivalentes) com grafos de emparelhamentos 7-regular sobre o tritoro. Em ⁸, Nakamura determinou 927 diagramas de emparelhamentos associados a 65 grafos trivalentes (com 10 vértices e 15 arestas) sobre o tritoro. Alguns desses grafos trivalentes estão ilustrados na Figura 13.

Figura 5:
Exemplos de emparelhamentos sobre o bitoro com grafos 5-regulares.

Figura 6:
Diagramas de emparelhamentos sobre o bitoro com grafos 4-regulares.

Figura 7:
Diagramas de emparelhamentos sobre o bitoro com grafos trivalentes.

Figura 8:
Exemplos de diagramas de emparelhamentos sobre o tritoro.

Definição 2.6. Seja G um grafo conexo e $\iota :G⟶M_g$ um mergulho. Nesse sentido, G é um grafo de emparelhamentos de arestas sobre M _g se o complemento $M_g\setminus \mathcal{G}$ é uma região simplesmente conexa (homeomorfa a um disco).

Proposição 2.2.Seja 𝒢 (V, A) um grafo de emparelhamentos de arestas K-regular sobre a superfície M _g , do polígono regular 𝒫 com n lados. Então$V=\frac{2(2g-1)}{K-2},A=\frac{K(2g-1)}{K-2}$ e $n=\frac{K(4g-2)}{K-2}$

3 EXTENSÃO DE GRAFOS E TROCA DE ARESTAS

A extensão e a contração de grafos foram introduzidas em ³. Acrescenta-se a troca de arestas de grafos sobre uma superfície, que também é uma ferramenta para auxiliar na determinação de novos grafos de emparelhamentos.

O menor grau que pode ter cada vértice de um grafo K−regular de emparelhamentos de arestas é 3, pois um grafo 2−regular é homeomorfo ao círculo e não é grafo de emparelhamentos de arestas. A extensão de grafos pode determinar os mais diversos grafos de emparelhamentos, entre estes estão os grafos K-regulares.

Proposição 3.3.³Todo grafo de emparelhamentos de arestas sobre a superfície$M_g(g>0)$pode ser obtido pela extensão de algum emparelhamento canônico com grafo 𝒢(1, 2g) sobre M _g .

A Figura 9 ilustra sequências de extensões de grafos de emparelhamentos de arestas sobre o bitoro, partindo de um grafo emparelhamento canônico, chegando a cinco grafos trivalentes não isomorfos, determinados em ⁶. Verifica-se que as extensões são feitas todas dentro de uma região homeomorfa a um disco sobre o bitoro.

Figura 9:
Exemplos de extensões de grafos sobre o bitoro.

A extensão de grafos sobre a superfície, além de ajudar na determinação dos possíveis grafos de emparelhamentos, também ajuda a determinar os possíveis diagramas de emparelhamentos. A proposta aqui não é determinar todos os possíveis grafos de emparelhamentos sobre M _g , para um dado g, nem determinar todos os possíveis diagramas de emparelhamentos associado a um determinado grafo de emparelhamento. O objetivo aqui é apresentar ferramentas que possam contribuir para a determinação dos grafos e dos diagramas de emparelhamentos para g predeterminado.

A extensão de grafos, a partir de um emparelhamento canônico, pode chegar a vários grafos isomorfos, que podem estar associados a emparelhamentos equivalentes ou não equivalentes. Determinar quais grafos que não são isomorfos pode exigir muito trabalho. Por exemplo, o tritoro tem pelo menos oito emparelhamentos canônicos diferentes, como ilustrado na Figura 4. Os emparelhamentos trivalentes não podem ser obtidos pela extensão de somente um dos emparelhamentos canônicos e não é fácil escolher em qual emparelhamento que será aplicado a extensão para obter o grafo desejado.

Se o objetivo é determinar por extensão de grafos todos os possíveis diagramas de emparelhamentos K-regulares sobre uma superfície M _g , uma sugestão é algorítimo:

seguir o seguinte

1. Determinar todos os possíveis grafos de emparelhamentos canônicos sobre M _g .

2. Determinar todos os possíveis grafos K-regulares por extensões dos grafos canônicos sobre M _g .

3. Determinar os diagramas de emparelhamentos associados a esses grafos.

4. Para cada grafo, determinar o conjunto de diagramas não equivalentes.

Seja γ um caminho sobre o grafo 𝒢 com extremos nos dois vértices u e v, sobre a superfície M _g . Seja a uma aresta conectada ao vértice u em 𝒢, onde $deg\left(u\right)>3$. Suponha que exista um grafo 𝒢' que difere de 𝒢 somente pela aresta a que conecta o vértice v em vez de conectar o vértice u (ver Figura 10).

Figura 10:
Exemplo local de troca de arestas no grafo.

Definição 3.7. O grafo 𝒢' é obtido de 𝒢 pela troca de aresta entre os dois vértices u e v, sobre a superfície M _g , se ao arrastar a aresta a, de u para v ao longo do caminho γ, a aresta a não intercepta nenhuma outra aresta de 𝒢, conforme ilustrado na Figura 10.

Note que a troca de arestas é composta por extensões e contrações de vértices sobre a superfície M _g , permitindo fazer as alterações nos grafos de uma forma mais rápida (ver Figura 11). A troca de arestas deixa invariante o número de componentes conexas de $M_g\setminus \mathcal{G}$, tendo-se, como consequência imediata, o referido resultado.

Figura 11:
Exemplos de troca de arestas do grafo sobre o bitoro.

Proposição 3.4. Todo grafo obtido por trocas de arestas de algum grafo de emparelhamento 𝒢, sobre a superfície M _g , é também um grafo de emparelhamento sobre M _g .

4 CIRURGIAS DE EMPARELHAMENTOS DE ARESTAS

Em ⁴ foram introduzidas duas cirurgias de emparelhamentos trivalentes, denotadas por S ₁ e S ₂. Essas cirurgias permitem obter famílias de grafos de emparelhamentos trivalentes, a partir de grafos de emparelhamentos já conhecidos. Faz-se um resumo sucinto de tais cirurgias, sem entrar em detalhes sobre os diagramas. Adicionalmente, é introduzida outra cirurgia, denotada por S ₃ .

Sejam $q_1:{\mathcal{P}}_1⟶M_{g_1}$ e $q_2:{\mathcal{P}}_2⟶M_{g_2}$ emparelhamentos de arestas com os respectivos grafos associados 𝒢 ₁ e 𝒢 ₂. Na cirurgia $S_i(i=1,2)$ entre q ₁ e q ₂, ocorre a soma conexa entre as superfícies M _g1 e M _g2 ao mesmo tempo que conecta os grafos 𝒢(V ₁ , A ₁) e 𝒢(V ₂ , A ₂). Denotase a cirurgia $S_i(i=1,2)$ entre q ₁ e q ₂ por $q_1{+}_{S_i}{q}_2$, por $\mathcal{G}(V_1,A_1){\oplus }_{S_i}\mathcal{G}(V_2,A_2)$ e $M_{g_1}{\#}_{S_i}{M}_{g_2}$ os respectivos grafos e a superfície resultante da cirurgia S _i . Denota-se a superfície resultante da cirurgia S _i (i = 1, 2, 3) por $M_{g_1}{\#}_{S_i}{M}_{g_2}$ e o grafo resultante dessa cirurgia por $\mathcal{G}(V_1,A_1){\oplus }_{S_i}\mathcal{G}(V_2,A_2)$. Note que $M_{g_1}{\#}_{S_i}{M}_{g_2}$ é homeomorfa a superfície M _g1+g2 . As cirurgias S ₁ e S ₂ ocorrem da seguinte forma (ver Figura 12):

1. Considera-se uma superfície N homeomorfa a esfera com um grafo trivalente H com dois vértices. Retiram-se dois discos em N, obtendo uma superfície N' com dois bordos. Denota-se por H' o ”subgrafo”obtido de H pela retirada dos dois arcos contidos nos discos. Os dois discos devem ser retirados de forma que H' seja conexo.

2. Retira-se de $M_{g_i}(i=1,2)$ um disco centrado em uma aresta de 𝒢 _i , obtendo a superfície $M{\text{'}}_{g_i}(i=1,2)$ com um bordo. Denota-se por $\mathcal{G}{\text{'}}_1$ e $\mathcal{G}{\text{'}}_2$ os respectivos ”subgrafos”obtidos de 𝒢 ₁ e 𝒢 ₂, pela retirada do arcos contidos nos discos.

3. Identifica-se um bordo de N' com o bordo da superfície $M{\text{'}}_{g_i}$ , unindo ao mesmo tempo o grafo H' com os grafos $\mathcal{G}{\text{'}}_1$ e $\mathcal{G}{\text{'}}_2$ .

Figura 12:
Exemplos de cirurgias entre emparelhamentos de arestas.

As regiões complementares aos subgrafos H' , $\mathcal{G}{\text{'}}_1$ e $\mathcal{G}{\text{'}}_2$ são todas simplesmente conexas. Em ⁴, foi mostrado que a união destas regiões, pela cirurgia, resulta em uma única região simplesmente conexa, como pode ser observado na Figura 12. As cirurgias são denotadas por:

• S₁: quando o grafo H tem dois laços (aresta conecta duas vezes o mesmo vértice) e os discos retirados de N estão centrados cada um em um dos laços de H.

• S₂: quando as três arestas do grafo H conectam os dois vértices e cada um dos discos retirados em N está centrado em uma aresta de H.

Proposição 4.5.Sejam 𝒢₁ e 𝒢 ₂ grafos de emparelhamentos sobre as respectivas superfícies M _g1 e M _g2 . Então, o grafo${\mathcal{G}}_j{\oplus }_{S_i}{\mathcal{G}}_2(i,j=1,2)$, obtido pela cirurgia S _i , é um grafo de emparelhamento sobre a superfície M _g1+g2 .

Teorema 4.1. ⁴ Todo grafo resultante de um número finito de cirurgias S ₁ e S ₂ entre grafos de emparelhamentos trivalentes é, também, um grafo de emparelhamento trivalente.

Corolário 4.1.1.Sejam 𝒢(V₁, A₁) e 𝒢(V₂, A₂) grafos de emparelhamentos trivalentes sobre as respectivas superfícies M_g1e M_g2. Então, o grafo$\mathcal{G}(V_1,A_1){\oplus }_{S_i}\mathcal{G}(V_2,A_2)(i=1,2)$é um grafo de emparelhamento trivalente sobre a superfície M_g1+g2.

A Figura 13 ilustra grafos de emparelhamento trivalentes sobre o tritoro, obtidos por cirurgias S ₁ e S ₂ entre o grafo $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_i}\mathcal{G}(2,3)(i=1,2)$ e o grafo 𝒢(2, 3). De acordo com os grafos sinalizados, nota-se que podem ocorrer grafos isomorfos, até mesmo para grafos obtidos de diferentes cirurgias entre grafos distintos.

Figura 13:
Exemplos de cirurgias de grafos de trivalentes

Proposição 4.6.Se 𝒢(2, 3) é um grafo de emparelhamento, então existe um grafo de emparelhamento trivalente (não isomorfo) resultante de$\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_i}\mathcal{G}(2,3)$e 10 grafos de emparelhamentos trivalentes não isomorfos resultantes de duas cirurgias$S_i(i=1,2)$entre três grafos 𝒢(2, 3).

Proof. A Figura 7 ilustra os possíveis grafos de emparelhamentos com seis vértices sobre o bitoro (ver ⁶. Dois desses grafos podem ser obtidos pela cirurgia $S_i(i=1,2)$ entre dois grafos base 𝒢(2, 3), onde $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_1}\mathcal{G}(2,3)$ e $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_2}\mathcal{G}(2,3)$ resultam em dois grafos não isomorfos. A Figura 13 ilustra os possíveis grafos de emparelhamentos com 10 vértices, que foram determinados em ⁸. Os dois grafos $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_1}\mathcal{G}(2,3)$ e $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_2}\mathcal{G}(2,3)$ são simétricos em relação a uma das arestas. Assim, é possível fazer três cirurgias S _i para i = 1, 2, entre 𝒢(2, 3) e $G(2,3){\oplus }_{S_j}G(2,3)$, para j = 1, 2. Qualquer outra cirurgia será equivalente a uma dessas. Note que, dos 12 grafos resultantes dessas cirurgias, um grafo de $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_1}\left(\mathcal{G}\right(2,3\left){\oplus }_{S_1}\mathcal{G}\right(2,3)$ é isomorfo a um grafo de $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_2}\left(\mathcal{G}\right(2,3\left){\oplus }_{S_1}\mathcal{G}\right(2,3)$. Dois grafos de $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_2}\left(\mathcal{G}\right(2,3\left){\oplus }_{S_1}\mathcal{G}\right(2,3)$ são isomorfos a dois grafos de $\mathcal{G}(2,3){\oplus }_{S_1}\left(\mathcal{G}\right(2,3\left){\oplus }_{S_2}\mathcal{G}\right(2,3)$. Logo, dos 12 grafos, nove são não isomorfos. □

Uma pergunta pode ser feita sobre tais cirurgias: são equivalentes os diagramas associados a grafos isomorfos obtidos de diferentes cirurgias de emparelhamentos? Para grafos trivalentes, a resposta para g = 2 está em ⁶ e para g = 3 está em ⁸. As técnicas apresentadas aqui não pretende responder qualquer caso para $g>3$ e sim apresentar ferramentas que podem contribuir para este estudo.

Sejam $q_1:{\mathcal{P}}_1⟶M_{g_1}$ e $q_2:{\mathcal{P}}_2⟶M_{g_2}$ dois emparelhamentos de arestas com os respectivos grafos 𝒢 ₁ e 𝒢 ₂. Na cirurgia S ₃ entre q ₁ e q ₂, similar às cirurgias S ₁ e S ₂ (ver Figura 12), ocorre a soma conexa $M_{g_1}{\#}_{S_3}{M}_{g_2}$ ao mesmo tempo que ocorre a soma dos grafos $\mathcal{G}(V_1,A_1){\oplus }_{S_3}\mathcal{G}(V_2,A_2)$. A cirurgia

• S₃: ocorre quando o grafo H em N (superfície homeomorfa a esfera que conecta Mg1 e M _g2 ) tem um único vértice e dois laços. Os dois discos retirados em N, para obter a superfície N' e o ”subgrafo”conexo H', está centrado em um dos laços de H.

Na cirurgia S ₃ é identificado o bordo de $M{\text{'}}_{g_i}$, com o “subgrafo” $\mathcal{G}{\text{'}}_i(i=1,2)$, com um dos bordos de N', unindo os “subgrafos” H', $\mathcal{G}{\text{'}}_1$ e $\mathcal{G}{\text{'}}_2$. Nessa identificação, une duas regiões de N' \ H' com a região de M _g i \ 𝒢 'i (i = 1, 2), sendo que cada uma das regiões de N' \ H' identifica com um “lado” de $M_{g_i}\setminus \mathcal{G}{\text{'}}_i$, resultando na região simplesmente conexa complemento de ${\mathcal{G}}_1{\oplus }_{S_3}{\mathcal{G}}_2$ (ver Figura 12). Uma consequência imediata é o seguinte resultado.

Lema 4.1. Todo grafo resultante da cirurgia S ₃ entre dois grafos de emparelhamentos de arestas 𝒢 ₁ e 𝒢 ₂ sobre as respectivas superfícies M _g1 e M _g2 é também um grafo de emparelhamento de arestas sobre a superfície M _g1+g2 .

Proposição 4.7.Todo grafo resultante de n cirurgias S₃entre grafos de emparelhamentos 4regular 𝒢(1, 4) sobre o toro é também um grafo emparelhamento de arestas 4-regular sobre o$n+1$-toros.

Proof. Se o grafo 𝒢(1, 4) é um grafo de emparelhamento sobre o toro, então, pela Proposição 4.1, $\mathcal{G}(1,4){\oplus }_{S_3}\mathcal{G}(1,4)$ é um grafo emparelhamento sobre o bitoro 4-regular, pois S ₃ acrescenta um único vértice de grau 4. Da mesma forma, $\mathcal{G}(1,4){\oplus }_{S_3}\mathcal{G}(1,4){\oplus }_{S_3}\mathcal{G}(1,4)$ também é um grafo emparelhamento 4-regular sobre o tritoro, pela Proposição 4.1. Por indução, verifica-se que n cirurgias entre $n+1$ grafos 𝒢 (1, 4) é um grafo emparelhamento 4-regular sobre o $n+1$−toro. □

Como consequência imediata do Teorema 4.1 e do Lema 4.1

Teorema 4.2. Todo grafo resultante de um número finito de cirurgias S ₁ , S ₂ e S ₃ entre grafos de emparelhamentos é, também, um grafo de emparelhamento.

5 CIRURGIAS, EXTENSÕES E TROCAS DE ARESTAS

As cirurgias permitem construir famílias de grafos a partir de grafos de emparelhamentos já conhecidos, enquanto a extensão e a contração de grafos podem determinar os possíveis grafos de emparelhamentos sobre M _g , por meio de um emparelhamento canônico com 2g arestas (ver ³). Contudo, isso requer um trabalho exaustivo, a depender do tamanho de g. Combinar cirurgias com trocas de arestas, para $g\le 3$, constitui uma técnica mais eficiente para a determinação de novos emparelhamentos. Uma consequência imediata é o resultado apresentado a seguir.

Teorema 5.3. Todo grafo resultante da combinação de um número finito de cirurgias $S_i(i=1,2,3)$ , entre grafos de emparelhamentos arestas, e de troca de arestas sobre superfície é, também, um grafo de emparelhamentos arestas.

O emparelhamento de arestas com grafo 5-regular sobre o bitoro, como exibido na Figura 11, também pode ser obtido pela cirurgia S ₃ entre dois emparelhamentos 𝒢(1, 4) sobre o bitoro, passando pela extensão e contração de vértices para chegar ao emparelhamento 5-regular.

Proposição 5.8. Sejam 𝒢 ₁ e 𝒢 ₂ grafos de emparelhamentos sobre as respectivas superfícies M _g1 e M _g2 e $\mathcal{G}{\oplus }_{S_i}\mathcal{G}$ o grafo obtido pela cirurgia $S_i(i=1,2,3)$ entre os dois emparelhamentos, então:

1. se 𝒢 ₁ e 𝒢 ₂ são grafos trivalentes, nota-se que o grafo obtido de $\mathcal{G}{\oplus }_{S_3}\mathcal{G}$ pela extensão é também um grafo de emparelhamento trivalente sobre M _g1+g2 .

2. se 𝒢₁e 𝒢₂são grafos 4-regulares, então o grafo$\mathcal{G}{\oplus }_{S_i}\mathcal{G}$, para i = 1, 2, pela contração dos dois vértices trivalentes é, também, um grafo 4-regular de emparelhamentos de arestas sobre a superfície M _g1+g2

6 CONCLUSÃO

A extensão de grafos de emparelhamentos de arestas sobre uma superfície de genero g permite construir as famílias todos os grafos de emparelhamento. Para $g>3$ não é fácil ter controle sobre os grafos não isomorfos e também sobre o conjunto dos diferentes diagramas de emparelhamentos associado a cada um destes grafos. As cirurgias entre os emparelhamentos com $g\le 3$ permitem construções de famílias de emparelhamentos para qualquer $g>3$. Além disso, as cirurgias e a extensão podem contribuir para determinar se um dado grafo G(V, A) está associado a algum emparelhamento de arestas sobre a superfície M _g , com $g=(1-V+A)/2$.

REFERÊNCIAS

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  27 Jun 2022
• Data do Fascículo
  Apr-Jun 2022

Histórico

• Recebido
  08 Jun 2021
• Aceito
  07 Dez 2021