Eficiência dos Métodos Multigrid Algébricos para a Solução da Equação do Fluxo Livre Estacionário em Domínio Georreferenciado

RESUMO

Neste artigo o método multigrid algébrico baseado em agregação suavizada, o método clássico de Ruge-Stuben e o método GMRES pré-condicionado por multigrid algébrico foram utilizados para a solução da equação do fluxo livre estacionário em domínio georreferenciado. A disponibilidade dos códigos computacionais permitiu avaliar a aproximação de elementos finitos sob a perspectiva dos métodos multigrid algébricos e respectiva combinação, como pré-condicionante, com o método GMRES. As diferenças máximas entre soluções por diferentes métodos, o tempo necessário para obter as soluções dos sistemas lineares associados, em cada uma das iterações de Picard, os residuais de cada um dos métodos iterativos e os residuais em cada uma das iteradas de Picard são apresentados e discutidos. Como resultado da análise, os métodos pré-condicionados são mais eficientes no sentido do menor tempo computacional aliado à estabilidade do número de iterações. A análise dos residuais das iterações de Picard permite comparar a evolução dos diferentes métodos de solução dos sistemas lineares. O detalhamento dos residuais dos métodos iterativos em cada passo das iterações de Picard permitiu uma visão mais abrangente e uma análise da convergência. Em detalhes, o método baseado em agregação suavizada necessita de um número expressivamente menor de iterações quando comparado ao método clássico de Ruge Stüben nas primeiras iterações de Picard. O pré-condicionamento reduz o número de iterações em relação às iterações iniciais e há uma persistência da redução do número de iterações do método baseado em agregação em relação ao método clássico.

Palavras-chave:
elementos finitos; FEniCs; Python; métodos iterativos

ABSTRACT

In this paper, the algebraic multigrid method based on smoothed aggregation, the classical method of Ruge-Stúben and the method GMRES preconditioned by algebraic multigrid were used to solve the steady-state free flow equation in a georeferenced domain. The availability of computer codes allowed us to evaluate the approximation of finite elements from the perspective of algebraic multigrid methods and their combination, as preconditioning, with the GMRES method. The maximum differences between solutions by different methods, the time required to obtain the solutions of the associated linear systems, in each of the Picard iterations, the residuals of each of the iterative methods and the residuals of each of the Picard iterations are presented and discussed. As a result of the analysis, the preconditioned methods are more efficient in the sense of less computational time combined with the stability of the number of iterations. The analysis of the residuals of Picard iterations allows comparing the evolution of the different methods of solving linear systems. The detailing of the residuals of the iterative methods in each step of Picard’s iterations allowed a more comprehensive view and an analysis of convergence. In detail, the method based on smoothed aggregation needs a significantly smaller number of iterations when compared to the classical method of Ruge Stüben in the first iterations of Picard. The preconditioning reduces the number of iterations in relation to the initial iterations and there is a persistence of the reduction in the number of iterations of the aggregation-based method in relation to the classical method.

Keywords:
finite elements; FEniCs; Python; interative methods

1 INTRODUÇÃO

Os modelos computacionais para previsão do comportamento de contaminantes em meio poroso saturado dependem das equações governantes de processos físicos, tais como dispersão, difusão e advecção, químicos e biológicos envolvidos no fluxo do fluido. Estes podem ser traduzidos matematicamente em equações diferenciais, solucionadas por métodos numéricos ou analíticos. Um dos principais elementos da equação do transporte e nos processos de difusão no meio poroso é o campo de velocidades, o qual determina as trajetórias preferenciais para o contaminante. O campo de velocidade de um fluido é uma variável que pode ser definida em função das coordenadas espaciais e do tempo, influenciando na dispersão e na classificação do regime de escoamento.

Assim, a adequada determinação do campo de velocidades é essencial ao processo de simulação. Ao integrar um Sistema de Informação Geográfica (SIG), o domínio irregular delimitado por um conjunto discreto de pontos, as condições de fronteira e os demais elementos presentes na equação do fluxo ocasionam novas dificuldades técnicas, tanto para a geração da malha de elementos finitos, quanto para a definição adequada das condições de fronteira. Além disso, é necessário, a adequada caracterização dos parâmetros de condutividade, poços de bombeamento e zonas de recarga. Finalmente, há a necessidade de encontrar uma solução para os sistemas algébricos que surgem da utilização dos métodos de aproximação, tais como diferenças finitas ou elementos finitos.

Neste contexto, o artigo foca na utilização dos métodos multigrid algébricos para a solução dos sistemas lineares associados às iterações do Método de Picard, o qual foi originado da aproximação de elementos finitos da equação do fluxo livre estacionário. Especificamente, os métodos clássico de Ruge-Stüben (RS), o método baseado em agregação suavizada (SA) e o método GMRES pré-condicionado por ambos RS, GMRES _RS , e SA , GMRES _SA , foram comparados. O tempo de solução dos sistemas lineares associados às iterações de Picard, os residuais dos métodos iterativos em cada uma das iteradas de Picard e o perfil dos resíduos das iterações de Picard foram obtidos para todos os métodos citados e os resultados são analisados em detalhe.

2 EQUAÇÃO MODELO

Neste artigo, o modelo matemático que determina a distribuição de cargas hidráulicas h em meio poroso saturado sob a influência de regiões de recarga W e de poços de bombeamento f é dada por (Ver ² para maiores detalhes):

$-\nabla \left(Kh·\nabla h\right)+W=f,\text{em}\Omega$ (2.1)

em que K representa a condutividade hidráulica do meio e Ω é o domínio computacional. A imposição das condições de fronteira do tipo Neumann, Dirichlet ou ambas, possibilita obter a solução h = h(x, y), que fornece a distribuição de cargas hidráulicas sobre o domínio e, por meio da Lei de Darcy, o campo de velocidades v = (v _x , v _y ).

A aproximação de elementos finitos da equação (2.1), obtida por meio da formulação variacional, gera um sistema algébrico de equações em que a função h = h(x, y) agora representa a solução de elementos finitos. Ao utilizar o método de aproximações sucessivas de Picard, o sistema não-linear, da forma A(h) · h = b, é convertido em uma sequência de sistemas lineares, denotados convenientemente por:

$A\left(h^k\right)·h^{k+1}=b^{k+1},k=1,2,\dots ,N_k,$ (2.2)

em que as sucessivas aproximações h ¹, h ², ..., $h^{N_k}$ foram obtidas por meio de métodos diretos ou iterativos e h ⁰ é uma aproximação inicial para o método de Picard. Um detalhamento da formulação matemática da formulação variacional pode ser encontrada em ^{6), (10), (17}.

3 MÉTODO MULTIGRID ALGÉBRICO

A solução de elementos finitos de 2.1 é $h=h^{N_k}$, solução de 2.2, e tal que a norma das diferenças $||h^{N_k}-h^{N_k-1}||<\epsilon$.

Ao utilizar um método direto para obter as soluções h ^k , k = 1, 2, ..., N _k , os erros de solução são aqueles provenientes da aritmética de ponto flutuante. Por outro lado, um método iterativo calcula uma solução aproximada h ^k* por meio de uma sequência de soluções $h_0^{k*},h_1^{k*},\dots ,h_{N_k}^{k*}$. O critério de parada, em geral, está atrelado a norma da diferença de duas aproximações sucessivas $||h_{N_k}^{k*}-h_{N_k-1}^{k*}||$. Uma discussão detalhada sobre os métodos iterativos pode ser encontrada em ¹.

Dentre as possibilidades de escolha dos métodos iterativos estão os métodos multigrid. Estes podem ser classificados em geométricos ou algébricos e são diferenciados pela respectiva forma estrutural de solução do sistema linear. Segundo Stüben, ³, no método geométrico a estratégia que gera a sequência de malhas é fixa e as interpolações dos resultados entre as malhas têm por base a estrutura geométrica da sequência. Por outro lado, o método algébrico assume um método iterativo (Gauss-Seidel) e têm objetivo na construção dos operadores de transferência e restrição com foco nos coeficientes da matriz do sistema linear. A construção dos operadores de restrição e prolongamento, a qual é dependente das hipóteses adotadas sobre a representação do erro na malha grossa, conduz aos métodos clássicos de Ruge-Stüben e aos métodos baseados em agregação (Ver ³ para mais detalhes). Estes, ao adicionar um processo de suavização dos operadores, fornecem os métodos multigrid baseados em agregação suavizada (SA). Discussões mais detalhadas sobre os métodos multigrid podem ser encontradas em ^{3), (5), (16), (4}.

4 IMPLEMENTAÇÃO

O domínio georreferenciado, a geração da malha de elementos finitos, a condição de fronteira de Dirichlet e as coordenadas dos poços juntamente com os respectivos valores discretos de carga hidráulica são provenientes de ⁸. As informações podem ser complementadas por meio das referências ⁷⁾ e ⁽⁹.

Considerando a metodologia do Projeto FEniCS ¹³, a qual é baseada na utilização das formas linear e bilinear originadas da formulação variacional, a implementação do método de elementos finitos pode ser executada. O código computacional Python^R para a equação modelo (2.1) e iteradas de Picard com Fatoração LU é disponibilizado em ¹⁴ e apresentado na Figura 1.

Figura 1:
Código Python para implementação do método de elementos finitos seguindo metodologia FEniCS ¹³.

Os critérios de parada estabelecidos para as iterações de Picard foram o valor $\epsilon =max\left|u^{k+1}-u^k\right|$ ou um máximo de iterações ¹³. Neste artigo, o número máximo de iterações de Picard permitido foi maxiter = 400 e tolerância ε = 10^-6. A estimativa inicial do método de Picard, h ⁰, foi aquela obtida por meio de funções de bases radiais com dados da fronteira e poços de observação dentro do domínio computacional, conforme delineado em ⁸. Por sua vez, a estimativa inicial, $h_0^{k*}$, para os métodos iterativos, na iteração k do método de Picard, foram aquelas provenientes da aproximação de Picard da iteração k − 1. Esta estratégia é baseada na hipótese de que a distribuição de cargas h ^k-1 é uma estimativa mais adequada do que uma estimativa aleatória ou nula.

A disponibilidade dos dados e dos códigos permitiu inserir modificações para considerar um método iterativo para a solução dos sistemas algébricos gerados. O método GMRES é proveniente do pacote linalg, disponível em SciPy ¹⁸, enquanto que os métodos multigrid RS e SA são provenientes de PyAMG ¹². Para fins de comparação, todos os métodos iterativos utilizaram os mesmos critérios de parada: tolerância ε = 10^-12 e número de iterações maxiter = 10000.

Os resultados gráficos utilizaram os recursos disponíveis em FEniCS ¹³ e na biblioteca Matplotlib ¹¹, enquanto que as manipulações dos vetores de soluções numéricas foram realizadas por meio da biblioteca NumPy ¹⁵.

5 RESULTADOS

Inicialmente, o sistema de equações algébricas, obtido da aproximação do equacionamento do fluxo livre e estacionário, foi resolvido com o método SA e com o método RS. Em seguida os métodos GMRES _RS e GMRES _SA foram utilizados. O código computacional foi modificado de modo a inserir um termo de recarga na região retangular |x − 12000.0| < 1500.0 e |y− 15000.0| ≤ 1000.0.

A superfície que fornece a distribuição de cargas hidráulicas h = h(x, y) é apresentada na Figura 2 por meio das ferramentas disponíveis em FeniCS ¹³. A aplicação da Lei de Darcy à função h gera o campo de velocidades de água subterrânea. A sobreposição das linhas equipotenciais ou curvas de nível da função h ao campo de vetores normalizados, representando o campo de velocidades, são apresentados na Figura 3. Neste caso, o campo de vetores é apresentado por meio de uma amostra de pontos da malha e respectivos valores numéricos da Lei de Darcy de modo a fornecer uma visão geral do campo de velocidades e ainda estabelecer um equilíbrio na quantidade de vetores nas regiões de baixa densidade de pontos da malha. Ressalta-se que a utilização de todos os pontos ocasiona dificuldades para a visualização da estrutura vetorial e das linhas equipotenciais. Ambas as Figuras 2 e 3 contém informações que favorecem a análise qualitativa da função h e, por consequência, o comportamento do escoamento. A função h possibilita identificar as áreas de recarga e áreas de rebaixamento e o delineamento da estrutura do campo de velocidades.

Figura 2:
Solução numérica da equação do fluxo em domínio georreferenciado.

Figura 3:
Campo de velocidades e curvas de nível da solução numérica da equação do fluxo em domínio georreferenciado.

Por sua vez, a Figura 3 identifica a direção do escoamento e permite avaliar mais detalhes do respectivo comportamento. De posse dos resultados gráficos é possível inferir o deslocamento de uma substância presente no meio poroso, analisar a influência do conjunto de poços ou zonas de recarga sobre o fluxo subterrâneo. Ressalta-se que estes resultados diferem daqueles apresentados em ⁸ devido à presença do termo de recarga.

A seguir são apresentados alguns resultados numéricos do processo de solução dos sistemas lineares associados à obtenção da solução de elementos finitos h. É necessário observar que parâmetros idênticos para o número máximo de iterações e tolerância foram adotados tanto para o método de Picard quanto para os métodos iterativos; os parâmetros multigrid dos métodos RS e SA são mantidos idênticos para os respectivos métodos GMRES _RS e GMRES _SA .

As Figuras 4 e 5 mostram os respectivos parâmetros multigrid, sendo que a descrição de cada elemento pode ser encontrada em ¹².

Figura 4:
Parâmetros para o método multigrid algébrico baseado em agregação suavizada (SA).

Figura 5:
Parâmetros para o método multigrid algébrico clássico (RS).

A análise dos resultados inicia-se na comparação das soluções numéricas obtidas. Considere que h _Lu , h _RS , h _SA , h _GmresRS e h _GmresSA são as soluções de elementos finitos obtidas por meio do métodos da fatoração LU e métodos RS, SA, GMRES _RS GMRES _SA , respectivamente. A análise qualitativa das soluções, que correspondem àquela obtida após atingir o critério de parada para as iterações de Picard, não mostrou evidência significante para as diferenças, as quais podem ser confirmadas pelas máximas diferenças entre as soluções: max |h _Lu − h _RS | = 1.67 · 10⁻⁴ , max |h _Lu − h _SA | = 3.32 · 10⁻⁰⁶ , max |h _Lu − h _GmresRS | = 2.96 · 10⁻¹¹ , max |h _Lu − h _GmresSA | = 3.32 · 10⁻⁰⁶ , max |h _RS − h _GmresRS | = 1.67 · 10⁻⁴ , max |h _SA −h _GmresSA | = 0.00 e max |h _GmresRS −h _GmresSA | = 3.32 · 10⁻⁶ .

O comportamento ou evolução dos resíduos de todas as soluções das iterações de Picard são ilustrados na Figura 6. Os valores são visualmente idênticos nas primeiras iterações, mas há uma aparente divergência a partir da décima iteração. A aparente divergência no número de iterações é consequência do valor nulo obtido na última iteração de Picard para os métodos SA e RS, o qual não pode ser mostrado em escala logarítmica. Em outras palavras, os métodos RS e SA não são capazes de introduzir nova informação entre duas soluções sucessivas do método de Picard, ou seja, o processo iterativo atinge um estado estacionário.

Figura 6:
Resíduos em cada uma das iterações do método de Picard em escala logarítmica no eixo Y.

A Figura 7 mostra os tempos necessários para calcular as soluções dos sistemas lineares, gerados pela aproximação de elementos finitos, em cada iteração do método de Picard. Como consequência, segue que o método RS requer cerca de 7 vezes mais tempo na primeira iteração com redução dessa magnitude nos passos subsequentes. Apesar do comportamento decrescente, o menor tempo é equivalente, ao menos aproximadamente, ao tempo dos métodos SA e GMRES _SA . Por sua vez, os métodos SA e GMRES _SA possuem tempos aproximadamente iguais durante todo o processo. Finalmente, o método GMRES _RS segue o mesmo padrão que o método GMRES _SA , mas com um tempo ligeiramente maior. O maior tempo gasto pelo método RS em relação ao respectivo pré-condicionado está ligado ao número de iterações necessárias para a convergência, conforme apresentado na sequência e em conjunto com a análise dos residuais dos métodos iterativos para todas as iterações de Picard.

Figura 7:
Tempo requerido em cada iteração do método de Picard para o método multigrid algébrico baseado em agregação, SA, o método multigrid clássico de Ruge-Stüben, RS, e o método GMRES pré-condicionado por SA e RS.

As Figuras 8 e 9 ilustram a redução residual relativa dos métodos multigrid para a primeira iteração do método de Picard. Neste caso, os residuais são aqueles provenientes da aplicação sucessiva do processo iterativo dos métodos multigrid algébricos SA e RS e, respectivamente, dos pré-condicionados GMRES _RS e GMRES _SA .

Figura 8:
Residuais dos métodos iterativos: multigrid algébrico baseado em agregação suavizada, SA, e o método clássico de Ruge-Stüben, RS, para a primeira iteração do método de Picard.

Figura 9:
Residuais dos métodos iterativos GMRES pré-condicionado por SA e RS para a primeira iteração do método de Picard.

Da análise da Figura 8 resulta que o número de iterações necessárias para a convergência do método SA é muito menor do que aquele requerido pelo método RS. Uma consequência do maior número de iterações é o tempo associado à solução do sistema linear. Neste caso, tanto os parâmetros do método RS quanto do método SA foram escolhidos arbitrariamente e sem qualquer tipo de procedimento para otimização. Deve ser ressaltado que ambos os métodos são influenciados pela escolha dos parâmetros e, portanto, configurações distintas podem afetar a performance de ambos tanto no número de iterações quanto no processo de convergência em si devido ao surgimento de valores não numéricos. Os respectivos parâmetros adotados são aqueles apresentados nas Figuras 4 e 5.

Uma argumentação similar pode ser feita ao comparar os resultados mostrados na Figura 9. Ainda é evidente que o número de iterações necessárias para a convergência do método GMRES _SA é muito menor que aquele requerido pelo método GMRES _RS , porém a magnitude da diferença entre os números de iterações é menor. Também há um menor tempo associado à solução do sistema linear, mas a diferença temporal não é tão expressiva como no caso anterior dos métodos RS e SA. A comparação entre SA, GMRES _SA e RS, GMRES _RS também direciona para a conclusão de que o método pré-condicionado executa menos iterações. Por fim, a comparação entre os métodos pré-condicionados favorece o método SA ao levar em conta o número de iterações, o tempo e o residual.

Por fim, os resultados dos residuais das iterações dos métodos multigrid, nas iterações de Picard iter = 0, 1, ..., 9, são apresentadas nas Figuras 10, 11, 12 e 13. Dessa forma, os resultados analisados na Figura 8 correspondem à iteração iter = 0 nas Figuras 10 e 11, enquanto que os resultados analisados na Figura 9 correspondem à iteração iter = 0 nas Figuras 12 e 13.

Figura 10:
Residuais do multigrid algébrico clássico RS para todas as iterações de Picard.

Figura 11:
Residuais do multigrid algébrico baseado em agregação suavizada para todas as iterações de Picard.

Figura 12:
Residuais do método GMRES pré-condicionado por multigrid algébrico clássico RS, GMRES _RS , para todas as iterações de Picard.

Figura 13:
Residuais do método GMRES pré-condicionado por multigrid algébrico baseado em agregação suavizada (SA), GMRES _SA , para todas as iterações de Picard.

A análise conjunta das quatro figuras não permite afirmar um comportamento qualitativo similar àquele apresentado nas Figuras 8 e 9 para todas as iteradas de Picard, pois o número de iterações dos métodos RS e SA decrescem a uma unidade na última iteração, que é quando não há mudança de valores entre as soluções na iteração de Picard de número 10 e 11. Dessa forma, os resultados da Figura 7 podem ser justificados de forma consistente, ou seja, a redução do tempo do método RS está associada à redução no número de iterações executadas. Por sua vez, a análise do método SA em conjunto com o número de iterações executadas mostra o custo computacional de uma iteração é maior que o custo de uma iteração do método RS. Em palavras, até a sétima iteração de Picard, o método RS executa uma quantidade extra de iterações que compensa o custo computacional. A partir deste ponto, o tempo gasto por RS em iter ₆ = 17 é menor que o tempo gasto por SA para executar iter ₆ = 9. Em ambos os casos, a redução do número de iterações parece estar diretamente associada ao fato de ocorrer uma diferença nula nas duas últimas iterações de Picard e tal assunto não foi explorado.

A análise das Figuras 12 e 13 evidenciam comportamentos mais estáveis no sentido do número de iterações. Há uma redução no número de iterações, mas não é tão expressiva quanto no caso dos métodos RS e SA. Diferentemente do caso anterior, a aplicação dos métodos GMRES _SA e GMRES _RS produzem soluções distintas em todas iterações de Picard, ou seja, h _i+1 = A ⁻¹ · b ≠ h _i , i = 0, 1, ..., 11 ao passo que a aplicação dos métodos RS e SA produzem soluções tais que as diferenças entre as iterações são nulas, ou seja, h ₁₁ = A(h ₁₀)⁻¹ · b = h ₁₀. Portanto, ao balancear a análise anterior à análise o tempo gasto na solução dos sistemas lineares, na convergência das iterações de Picard e estabilidade do número de iterações que proporciona uma diferenciação das soluções até atingir a tolerância desejada no método de Picard, pode ser concluído que o método pré-condicionado possui melhores características no problema em questão. Ao comparar entre os métodos pré-condicionados, a tendência está em favor do método SA devido ao menor número de iterações executadas.

6 CONCLUSÕES

Os métodos multigrid algébrico de Ruge-Stüben, Agregação Suavizada e o GMRES pré- condicionado por multigrid algébrico de Ruge-Stüben e agregação suavizada foram avaliados quanto ao tempo de solução dos sistemas algébricos provenientes da aproximação de elementos finitos da equação do fluxo livre estacionário. A utilização em um domínio georreferenciado apenas reforça a questão técnica e computacional, pois impõe uma dificuldade adicional para a geração das malhas, definição das condições de fronteira, etc. A análise dos métodos foi pautada pelas máximas diferenças obtidas entre as diversas soluções; pela avaliação dos residuais em cada solução do sistema linear associado à respectiva iteração de Picard; pela comparação entre o número de iterações e convergência das soluções tanto a nível do método iterativo quanto ao nível das iterações de Picard e, finalmente, pela avaliação do tempo computacional. Por fim, a análise conjunta dos elementos apresentados no artigo apontou o favorecimento dos métodos pré- condicionados em favor dos métodos não pré-condicionados ao levar em conta o tempo computacional e a estabilidade do número de iterações e consequente redução residual alcançada tanto na iteração de Picard quanto no método iterativo. Ao comparar os métodos pré-condicionados, faz-se a opção pelo método baseado em agregação.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  14 Nov 2022
• Data do Fascículo
  Oct-Dec 2022

Histórico

• Recebido
  23 Dez 2021
• Aceito
  21 Abr 2022