Solução iterativa dos sistemas lineares do método de pontos interiores

Solução iterativa dos sistemas lineares do método de pontos interiores

C.T.L.S. Ghidini^{I, *}; A.R.L. Oliveira^II; M. Silva^III

^IFCA – Faculdade de Ciências Aplicadas, UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas, 13484-350 Limeira, SP, Brasil. E-mail: [e-mail]

^IIDepartamento de Matemática Aplicada, IMECC – Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas, 13083-859 Campinas, SP, Brasil. E-mail: [e-mail]

^IIIDepartamento de Matemática Aplicada, IMECC – Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas, 13083-859 Campinas, SP, Brasil. E-mail: [e-mail]

RESUMO

Nesse trabalho, consideramos o método preditor-corretor, que é uma das variantes mais importante do método de pontos interiores devido à sua eficiência e convergência rápida. No método preditor-corretor, é preciso resolver dois sistemas lineares a cada iteração para determinar a direção preditora-corretora. A resolução desses sistemas é o passo que requer mais tempo de processamento, devendo assim ser realizada de maneira eficiente. Para obter a solução dos sistemas lineares do método preditor-corretor consideramos dois métodos iterativos de Krylov: MINRES e método dos gradientes conjugados. Para que estes métodos convirjam mais rapidamente um pré-condicionador especialmente desenvolvido para os sistemas lineares oriundos dos métodos de pontos interiores é usado. Experimentos computacionais em um conjunto variado de problemas de programação linear foram realizados com o intuito de analisar a eficiência e robustez dos métodos de solução dos sistemas.

Palavras-chave: métodos de pontos interiores, sistemas lineares, métodos iterativos.

ABSTRACT

In this paper, we consider the predictor-corrector method, which is one of the most important variants of the interior point methods due to its efficiency and fast convergence. In the predictor-corrector method it is necessary to solve two linear systems at each iteration to determine the search direction. The solution of such systems is the step that requires more processing time and should therefore be carried out efficiently. Two iterative Krylov methods are considered to solve these linear systems of: the MINRES and the conjugate gradient method. A preconditioner specially developed for the linear systems arising from the interior point methods is used so that the iterative methods converge faster. Computational experiments in a some sets of linear programming problems are performed in order to analyse the efficiency and robustness of the linear systems solution methods.

Keywords: interior point methods, linear systems, iterative methods.

1 INTRODUÇÃO

O trabalho de Karmarkar em 1984 [6] revolucionou a área de programação linear por apresentar um algoritmo com complexidade polinomial e excelente desempenho quando aplicado em problemas lineares de grande porte. A partir daí, foi desenvolvido uma nova linha de pesquisa: os métodos de pontos interiores. Esses métodos buscam a solução ótima de um problema de programação linear, percorrendo o interior da região de factibilidade, determinada pelas restrições do problema. Eles podem ser classificados em primal, dual e primal-dual ou ainda por métodos afim escala, método de redução de potencial e métodos de trajetória central.

Neste trabalho, estamos considerando o método preditor-corretor, que é um método do tipo primal-dual de trajetória central. O passo mais importante do método preditor-corretor consiste em encontrar as direções preditora (direção afim escala) e corretora. Para isso, alguns sistemas de equações lineares devem ser resolvidos a cada iteração, o que requer grande esforço computacional.

Uma forma de diminuir a complexidade computacional consiste em reduzir esses sistemas a sistemas de equações normais ou sistemas aumentados e depois aplicar algum método iterativo para resolvê-los.

Para resolver os sistemas de equações normais e aumentado foi feita uma implementação cuidadosa do método MINRES com reortogonalização [16]. Esta implementação foi comparada com uma implementação do método dos gradientes conjugados (GC) já existente [15]. Ambos métodos utilizam o subespaço de Krylov como subespaço de busca para encontrar uma solução aproximada do sistema, o que é uma estratégia vantajosa, uma vez que esse subespaço pode ser muito menor que o subespaço de busca completo.

Para que os métodos iterativos tenham um melhor desempenho é realizado o pré-condicionamento da matriz de restrições dos sistemas utilizando o pré-condicionador separador. Além disso, com o intuito de resolver um número maior de problemas e de forma mais eficiente é considerada uma abordagem que utiliza, inicialmente, o GC e depois de um certo número de iterações, se o critério pré-estabelecido para troca for satisfeito, o MINRES passa a ser utilizado. Mais detalhes sobre essa técnica são fornecidos na Seção 5.

2 MÉTODO DE PONTOS INTERIORES – PRIMAL DUAL

Considere o problema de programação linear na forma padrão:

em que A ∈ ^m×n, posto(A) = m, x ∈ ⁿ , c ∈ ⁿ e b ∈ ^m. Associado ao problema (2.1), denominado de problema primal, temos o seguinte problema dual:

em que y ∈ ^m é o vetor de variáveis duais livres e z ∈ ⁿ de variáveis de folga.

As condições de otimalidade de primeira ordem (Karush-Kuhn-Tucker) de (2.1) e (2.2) são dadas por [18]:

sendo X = diag(x), Z = diag(z) e e ∈ ⁿ, tal que e = (1,1,...,1)^t .

Os métodos de pontos interiores do tipo primal-dual consistem em aplicar o método de Newton às condições de otimalidade (2.3), partindo de um ponto interior e mantendo interior a cada iteração. A direção afim escala (direção de Newton) é obtida resolvendo o seguinte sistema:

em que r_p = b – Ax, r_d = c – A^t y – z, r_a= –XZe. Eliminando a variável z, obtemos o sistema aumentado:

em que D = XZ^–1. A forma mais usada para resolver o sistema (2.4) consiste em reduzi-lo, por meio da eliminação da variável x, a um sistema de equações normais AD^–1 A^t:

Em geral, não é possível realizar um passo completo ao longo da direção de Newton, visto que (x, z) > 0 deve ser satisfeita. Dessa forma, o novo ponto é dado por:

(x^k+1, y^k+1, z^k+1) = (x^k, y^k , z^k) + (x^k, y^k, z^k),

em que = (_p, _d, _d)^t. Os passos _pe _dsão os passos primal e dual que preservam a não negatividade das variáveis x e z, respectivamente. Esses valores são determinados da seguinte forma:

em que τ ∈(0, 1).

2.1 Método Preditor-Corretor

O método preditor-corretor desenvolvido por Mehrotra [9] consiste em utilizar uma direção composta por três componentes: direção afim escala, direção de centragem e direção de correção não linear [12]. Fazendo acorreção não linear e introduzindo a perturbação para centragem, temos o sistema:

em que µ = .

Mehrotra em [9] sugere p = 2 ou p = 3. Além disso, ao tomar _p= _d= 1, obtemos um ponto primal e dual factível. Assim, r_p = r_d= 0 e r_ana restrição de complementariedade é dado por r_a

_x

_ze em que _x = diag(x) e z = diag(z).

A direção preditora-corretora é dada por: d = + e determinada resolvendo o sistema:

Adx = r_p

A^tdy + dz = r_d

Zdx +Xdz = r_s,

em que r_s = r_a+ µe – _x

_ze.

2.2 Pré-condicionador Separador

Para uma convergência mais rápida dos métodos iterativos o pré-condicionamento da matriz de restrições do sistema linear se faz necessário. O pré-condicionador separador [14] é específico para os sistemas lineares oriundos dos métodos de pontos interiores. Quando aplicado ao método dos gradientes conjugados evita o cálculo da matriz de equações normais e sua fatoração. Apresenta resultados muito bons próximos a uma solução do problema, mas não é eficiente nas primeiras iterações. Este pré-condicionador é calculado como segue: Considere a matriz de equações normais em (2.5). Tome A = [BN]P, em que P ∈ ^n×n é uma matriz de permutação tal que B ∈ ^m×m é não singular, então

O pré-condicionador é dado por:

B^-1 e a matriz pré-condicionada M é como segue:

em que

Note que próximo a uma solução pelo menos n – m elementos em D^–1 são grandes. Dessa forma, uma escolha adequada das colunas de B faz com que os elementos em e D_Nsejam muito pequenos nesta situação. Neste caso, G aproxima-se da matriz nula, M se aproxima da matriz identidade e ambos, o menor e o maior autovalor de M, se aproximam do valor 1, assim como o número de condição κ₂(M)¹.

3 MÉTODOS DO SUBESPAÇO DE KRYLOV

Considere o sistema linear:

em que b é um vetor do ^m e A é uma matriz m × n. Sejam K e L dois subespaços do ⁿ de dimensão n.Uma técnica de projeção consiste em encontrar em K uma solução aproximada para (3.1), de forma que o resíduo b – Ax seja ortogonal à L, em que L denota o espaço de restrições.

Métodos do subespaço de Krylov são baseados em processos de projeção em subespaços de Krylov. O subespaço de Krylov de ordem m associado à A e b é o subespaço gerado pelos vetores da sequência de Krylov: K^m(A, b) = span{b, Ab, A²b, ..., A^m–1b}. Nos métodos de Krylov, K^m é dado por: K^m(A, r⁰ ) = span{r⁰, Ar⁰, A²r⁰, ..., A^m–1r⁰}, em que r⁰ = b – Ax⁰ é o resíduo da solução inicial x⁰.

As diferentes versões dos métodos do subespaço de Krylov surgem a partir de diferentes escolhas do subespaço L^m e das formas pelas quais o sistema é pré-condicionado. Os métodos GC e MINRES foram originados escolhendo L^m = AK^m.

3.1 Método de Arnoldi

O método de Arnoldi é um método de projeção ortogonal [10] utilizado para construir uma base ortonormal para o subespaço de Krylov K^m(A, b). Este procedimento começa com v₁ = . Em seguida, calcula-se Av₁ e a partir dele constrói-se um vetor ortogonal a v₁. Normaliza-se este vetor e obtém-se v₂. Dessa forma, se v₁, ..., v_j for uma base ortogonal para K ^j (A, r⁰ ), então para encontrar v_j + 1 basta calcular t = Av_j e ortonormalizá-lo com respeito a v₁, ..., v_j. Isto produz um método para a criação de uma base ortonormal para K ^j+1(A, r₀). Os vetores v₁, ..., v_j + 1 formam uma base para K ^j+1(A, r₀), a menos que t seja igual a zero. A ortogonalização gera a relação expressa em termos de v_j : AV_m–1 = V_m H_{m, m–1}, em que V_mdenota a matriz com colunas v₁ até v_m. A matriz H_{m, m–1} é uma matriz Hessenberg superior de ordem m × m – 1, em que os elementos h_{i, j}são definidos pelo método de Arnoldi.

A princípio o processo de ortogonalização pode ser realizado de diferentes formas, mas normal-mente a abordagem mais usada é o processo de Gram-Schimidt [4].

3.2 Método de Lanczos

Assim como o método de Arnoldi, o método de Lanczos [8] é utilizado para gerar uma base ortonormal para um subespaço de Krylov associado à A e b.Porém, em Lanczos A deve ser uma matriz simétrica. Note que se A é simétrica, então = H_m–1,m–1= AV_m–1 é uma matriz tridiagonal. Assim, durante o processo de ortogonalização de A, vários termos h_ijse anulam, o que reduz H a uma matriz tridiagonal simétrica e faz com que o custo computacional associado à ortogonalização e ao armazenamento sejam reduzidos, em comparação ao método de Arnoldi.

O processo de Lanczos aproxima uma matriz simétrica A em uma matriz simétrica tridiagonal T_k+1,k² com uma linha adicional na parte inferior.

Se definirmos T_kcomo sendo as primeiras k linhas de T_k+1,k,então T_ké uma matriz quadrada e simétrica. Dessa forma:

em que representa o vetor canônico. O processo Lanczos determina o vetor v_k+1 tomando como vetor inicial v₀ = 0 e β₁v₁ = b, em que β₁ serve para normalizar v₁: β_k+1v_k+1 = p_k– α_kv_k– β_kv_k–1, em que α_k= p_k e p_k = Av_k. O valor β_k+1 é usado para normalizar v_k+1. Na forma matricial,

Em aritmética exata, as colunas de V_ksão vetores colunas ortonormais. O processo termina quando β_k+1 = 0 (k < n),então obtemos AV_k = V_kT_k.

Seja A ∈ ^n×n uma matriz simétrica e v₁∈ ⁿ um vetor unitário. Então, a partir do processo de Lanczos, obtemos a relação garantida pelo Teorema 9.11 em [4]: AV_k = V_kT_k+ r_ke^t_k .

3.3 Método dos Gradientes Conjugados

O método dos Gradientes Conjugados (GC) resolve sistemas de equações lineares, cuja matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva. Este método é baseado em Lanczos, a partir do qual é obtida uma base ortogonal de vetores para o subespaço de Krylov K^k(A, r₀). Além disso, o método GC é um método fundamentado na abordagem de Ritz-Galerkin. Na condição de Ritz-Galerkin, o novo resíduo b – Ax_k+1 deve ser ortogonal ao subespaço gerado por v₁, ..., v_k, ou seja, V_k^t (b – Ax_k) = 0.

Sejam b =β₁v₁e e₁ o primeiro vetor canônico unitário em ^k, segue que

V_k^tb = V_k^t (β₁v₁) = β₁ = β₁e₁,

visto que os vetores v₁, ..., v_k formam uma base ortonormal para o subespaço de Krylov K^k(A, b). Procuramos por uma solução aproximada x_kpara o sistema Ax = b tal que x_k∈ K^k(A, b). Dessa forma, podemos escrever x_kcomo uma combinação dos vetores da base de K^k(A, b), ou seja, x_k = V_k y. Portanto, a condição V_k^t(b – Ax_k) = 0 pode ser reescrita como: V_k^t AV_k y =β₁e₁.

Claramente, precisamos construir a matriz V_k^t AV_k. Entretanto, da relação AV_k = V_kT_k, obtida a partir do processo de ortogonalização de Lanczos, segue que V_k^t AV_k = T_k. Assim, obtemos x_k, tal que r_k⊥K^k(A, r₀), resolvendo o seguinte sistema: T_k y =β₁e₁.

Em cada iteração do método dos Gradientes Conjugados,de acordo com [4, Seção 9.31], podemos resolver o sistema T_k y_k= β₁e₁ aplicando a fatoração de Cholesky na matriz T_kdo processo de Lanczos.

3.4 Método MINRES

O método MINRES resolve sistemas lineares simétricos indefinidos. Métodos baseados na norma mínima residual, como o MINRES, determinam a solução aproximada x_k∈ K^k(A, r₀) do sistema Ax = b de tal forma que a norma Euclidiana ||b – Ax_k||₂ seja mínima sobre K^k(A, r₀).

Nas Seções 3.1 e 3.2, apresentamos dois processos de construção de uma base ortogonal para um subespaço de Krylov K(A, r⁰) que produziram a relação AV_k = V_k+1H_k+1,k, em que V_ké uma matriz cujas colunas v₁, ..., v_k formam a base do subespaço K^k(A, r₀). Dessa forma, dado β₁v₁ = b e x_k = V_k y_k, a expressão ||b – Ax_k||₂ pode ser reescrita como:

||b – Ax_k||₂ = ||β₁v₁ – AV_k y_k||₂ = ||V_k+1(β₁e₁ – H_k+1,ky_k)||₂.

Por construção, os vetores colunas da matriz V_k+1 são ortonormais. Portanto, V_k+1 é uma transformação ortogonal com respeito ao subespaço de Krylov K^k+1(A, r₀),então:

||b – Ax_k||₂ = ||β₁e₁ – Hk+1,k y_k ||₂.

Quando A é simétrica a matriz H_k+1,k reduz a uma matriz tridiagonal T_k+1,k.

O método MINRES é construído utilizando o processo de Lanczos. Dentro de cada etapa de Lanczos, resolvemos o subproblema de quadrados mínimos

aplicando a fatoração QR

em que Q_k = Q_{k, k+1} ··· Q_2,3Q_1,2 é um produto de matrizes ortogonais, construídas para eliminar β_k+1 da subdiagonal de T_k+1,k e t_k= [τ₁τ₂ ··· τ_k]^t . Assim, a solução de quadrados mínimos de (3.3) obtida via fatoração QR é definida pelo seguinte sistema triangular: R_k y_k = t_k, em que ||r_k||₂ = ||b –Ax_k||₂ = .Cada Q_{i, i+1} é isto é definida em termos de c_i e s_i, isto é,

A partir das Rotaçõesde Givens [4, Seção 5.1.8] podemos construir a matriz Q_k, tal que Q_kT_k+1,k seja uma matriz triangular superior. Como a matriz T_k+1,k é tridiagonal é preciso eliminar a linha abaixo da diagonal principal, assim dados t_iie t_i+1,i, elementos da matriz T_k+1,k, obtemos os fatores c_ie s_i: (Givens(t_ii , ti + 1, i) → (c_i , s_i , t_ii)). O MINRES determina a solução aproximada x_k∈K^k(A, b) do problema original Ax = b da seguinte forma: x_k = V_k y_k. Pela relação R_k y_k = t_ktemos que y_k = R_k^–1t_k. Logo,

em que V_k R_k^–1 = D_k, ou melhor, V_k = D_k R_ke

4 IMPLEMENTAÇÕES

Considere o sistema de equações lineares simétrico Ax = b e um pré-condicionador para este sistema M = L^tL. Então o sistema pré-condicionado é equivalente a ao sistema (L^–1 AL^–t)(L^tx) = L^–1b, em que L^–AL^–t é uma matriz simétrica e definida positiva. Dado o sistema linear Ax = b, obtemos MINRESP (MINRES pré-condicionado) aplicando MINRES ao sistema equivalente  = , em que  =L^–1AL^–1, = L^–1x e = L^–1b. Seja ∈ K(Â, ), ₀ = 0 e ₁

₁ = . Definimos _k= _kL_ke _k= _kL–1_ktal que M_k= _k. Então,

Visto que M^–1 = (L^t)^–1L^–1 e M_k = _ktemos _k= . Dessa forma, obtemos o processo de Lanczos pré-condicionado:

Temos que q_k é a solução do sistema M_k = _k. Assim, multiplicando a equação _k+1

_k+1 por L, obtemos:

Dados o pré-condicionador M e maxit (número máximo de iterações), obtemos a partir do Algoritmo 1 uma solução aproximada x para o sistema Ax = b.

O método MINRESP é construído utilizando o processo de Lanczos pré-condicionado. A cada etapa de Lanczos pré-condicionado, resolvemos o subproblema de quadrados míni-mos equivalente ao apresentado em (3.3) associado ao sistema  = . Para atualizar a solução do problema original basta multiplicar as equações equivalentes à (3.4) e (3.5), resultadas do MINRES aplicado ao sistema pré-condicionado  = , por L^–1:

Um pré-condicionador adequado para GC deve ser simétrico e definido positivo. A ideia do método do GC pré-condicionado (GCP) consiste em aplicar o método GC, como apresentado na Seção 3.3, para resolver um sistema pré-condicionado. Considere o sistema simétrico e definido positivo Ax = b. Pré-condicionando esse sistema obtemos o sistema equivalente:  = , em que L étrica e definida positiva. Definimos o pré-condicionador simétrico e definido positivo M por: M = L^tL. Seja r_k = b – Ax_ko resíduo do sistema original e z_ko resíduo do sistema pré-condicionado tal que Mz_k = r_k. Obtemos o processo iterativo do GCP aplicando o GC para resolver o sistema equivalente, isto é,

Visto queamatriz AD A^t do sistema de equações normais (2.5) é simétrica e definida positiva, podemos utilizaro GCP para determinar as direções de Newton nos métodos de pontos interiores. Esta versão do método do GCP fornece uma solução aproximada do sistema original diretamente sem ter que calculá-la a partir da solução aproximada do sistema de pré-condicionado. Os resultados teóricos e experimentais apresentados em [2] fornecem evidências que muitas vezes, em sistemas simétricos e definido positivo, o MINRES pode parar muito mais cedo que o GC. Em alguns casos, o MINRES pode convergir mais rapidamente que o GC. Porém, geralmente o GC converge mais rapidamente do que o MINRES considerando tanto ||x* – x_k||_A³ quanto ||x* – x_k||₂. Nos trabalhos [13] e [5], são feitas comparações entre os métodos MINRES, CG e também outros métodos de resolução de sistemas. A seguir, apresentamos o Algoritmo 3 para a nova abordagem proposta, a qual utiliza os métodos GCP e MINRESP juntos.

Para resolver um sistema Ax = b, o Algoritmo 3 utiliza, inicialmente, o GCP. Se este método não convergir até um certo número de iterações (it) pré-determinado, então o MINRESP passa a ser utilizado para resolver o sistema. Nos experimentos, consideramos it = número de linhas da matriz dos coeficientes.

5 EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS

Para comparar o desempenho do método preditor-corretor ao resolver problemas de programação linear usando os métodos iterativos GC e MINRES, ambos pré-condicionados pelo pré-condicionador separador e uma nova abordagem híbrida, a qual utiliza, inicialmente, o CGP e em seguida o MINRESP, foram realizados experimentos computacionais em um Intel Core i5, 4 GB RAM, 2,3 GHZ, 225 GB HD, com sistema operacional Linux. O código foi implementado em linguagem C e os 63 problemas de programação linear testados, pertencentes as coleções Netlib [3], Qaplib [1], Kennington [7], STOCHLP [17] e MISC [11], que estão no formato MPS, foram lidos usado callable library do CPLEX.

O pré-condicionador separador requer o cálculo da fatoração LU da matriz do sistema. Uma nova fatoração LU é calculada de uma iteração para a outra sempre que os métodos GCP e MINRESP necessitam muitas iterações para atingir a convergência. Em [14] é proposto calcular uma segunda fatoração LU(refatoração) quando a primeira fatoração é muito densa a fim de melhorar o desempenho. Esta técnica foi considerada nos experimentos. As Tabelas 1 e 2 comparam o tempo total e número de iterações, respectivamente, do método preditor-corretor ao resolver os problemas de programação linear usando os métodos ite-rativos GCP e MINRESP. Foram resolvidos 38 problemas pelo GCP e/ou MINRESP. Nas colunas Refact. a refatoração está sendo realizada.

Os primeiros experimentos foram feitos considerando apenas o sistema aumentado e depois o sistema de equações normais. No primeiro caso, o método GCP não convergiu para nenhum problema enquanto o MINRESP mostrou-se mais robusto e apresentou bons resultados resolvendo 25 problemas, sendo que 2 deles foram resolvidos somente nesse caso. Considerando o sistema de equações normais os dois métodos apresentaram resultados satisfatórios e equilibrados. Quando a refatoração e feita, o GCP resolveu 3 problemas a mais que o MINRESP e em menos tempo em 50% dos problemas, porém a diferença no tempo entre os métodos não foi muito significante. Com relação ao número de iterações o GCP fez menos iterações em 9 problemas contra 6 problemas do MINRESP.

Considerando o caso em que a refatoração não é feita, observa-se um melhor desempenho do MINRESP, que foi mais rápido em todos os problemas resolvidos por ambos métodos. A diferença nos tempos foi bem significante, chegando a ser 23 vezes menor em um dos problemas. Com relação ao número de iterações os resultados foram muito próximos.

Na Tabela 2, foram apresentados os resultados somente dos problemas em que houveram diferenças no número total de iterações. Com os experimentos já realizados, observamos que aproximadamente 34% dos problemas testados foram resolvidos somente por um dos métodos MINRESP ou GCP. Isso motivou a realização de mais um teste considerando o Algoritmo 3.

De acordo com os resultados obtidos, temos que o método MINRESP sem refatorar e usando o sistema de equações normais apresentou o melhor desempenho com relação ao tempo e como o GCP não funciona bem com o sistema aumentado, decidimos utililizar o método híbrido com sistema de equações normais e sem refatoração. A Tabela 3 compara os resultados desse novo teste.

O método híbrido resolveu 61 dos 63 problemas testados, o que significa que 25 problemas passaram a ser solucionados com a nova abordagem. Além disso, este método foi mais rápido em 62% dos problemas, o MINRESP em 27% e o GCP em aproximadamente 2% dos problemas. O número de iterações foi menor em 59% dos problemas para o híbrido, 6% para o MINRESP e em torno de 2% para o GCP. Considerando os problemas resolvidos apenas pelo GCP e híbrido, vemos que somente um deles foi resolvido em menor tempo pelo GCP. Com relação ao número de iterações, o valor foi menor ou igual para o híbrido em todos os problemas. Comparando os resultados do MINRESP com o híbrido vemos que somente 2 problemas foram resolvidos mais rápido pelo híbrido e apenas 3 problemas tiveram o número de iterações menor.

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho,para a resolução dos sistemas lineares a cada iteração do método preditor-corretor consideramos tanto o sistema aumentado quanto o sistema de equações normais. O método MINRESP com reortogonalização foi implementado e comparado com o método dos gradientes conjugados, ambos métodos foram pré-condicionados pelo pré-condiciona-dor separador. Experimentos computacionais foram realizados com o objetivo de determinar qual método émais eficiente e robusto. Os resultados mostraram que o MINRESP é mais robusto que o GCP quando somente o sistema aumentado é considerado. Para o sistema de equações normais com e sem refatoração os resultados foram semelhantes para o número de iterações, porém o tempo foi menor ou igual em todos os problemas para o MINRESP sem refatorar. Um método híbrido também foi considerado, o qual resolveu 40% a mais de problemas (inclusive problemas de dimensões maiores) além de ser mais rápido e fazer menos iterações que os métodos GCP e MINRESP para o sistema de equações normais sem refatoração. Dessa forma, concluímos que este método é o mais robusto e eficiente e será ainda mais investigado e utilizado em trabalhos futuros.

AGRADECIMENTOS

Ao CNPq e a FAPESP pelo apoio financeiro.

Recebido em 28 novembro, 2013

Aceito em 27 agosto, 2014

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*

Autor correspondente: Carla Ghidini

1

O número de condição de uma matriz

M é definido por: κ

₂(

M) = ||

M||

₂||

M

^–1||

₂.

2

T

_k+1,k =

, em que α

_j = h_ij, β

_j = h

_j–1,j.

3

A norma-A é definida como: ||

w||

_A=

.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  09 Fev 2015
• Data do Fascículo
  Dez 2014

Histórico

• Recebido
  28 Nov 2013
• Aceito
  27 Ago 2014