Relação custo/volume/lucro para multiprodutos

ARTIGO

Relação custo/volume/lucro para multiprodutos

Magnus Amaral da Costa

Professor na FEA/USP e FEA/PUCSP

1. INTRODUÇÃO

Tradicionalmente, estuda-se a questão de equilíbrio, em contabilidade e ciências afins, entre as receitas e as despesas, sob a forma de "ponto de equilíbrio" (ou com outras denominações: ponto de ruptura, ponto de nivelamento, ponto crítico ou break-even -point).

Por conseguinte, se a empresa produz e vende um único produto, incorrendo em custos e despesas fixos e variáveis, na hipótese linear, temos a quantidade de equilíbrio determinada pela fórmula

a receita de equilíbrio determinada pela fórmula

Entretanto, as fórmulas citadas são utilizadas também para empresas que produzem e vendem mais de um produto (o caso normal), a primeira para os casos nos quais se identificam custos e despesas fixos diretamente relacionados aos produtos, calculando-se pontos de equilíbrio por produto, enquanto a segunda é utilizada generalizadamente, quando se obtém a margem de contribuição em porcentagem do preço de venda a partir de uma situação específica.

De posse do ponto de equilíbrio, obtemos um indicador denominado "margem de segurança" que mostra, em termos relativos ou quantitativos (cruzados ou unidades físicas), o afastamento da situação atual àquele ponto.

Objetivamos, neste trabalho, alertar os que se utilizam desses números a respeito de suas limitações e, ao mesmo tempo, sugerir uma fórmula que supomos mais adequada para o cálculo da margem de segurança.

2. O CONJUNTO DE POSSIBILIDADE DE EQUILÍBRIO

Quando a empresa produz e vende dois produtos, na existência de custos e despesas fixos e variáveis, na hipótese linear, o lucro da empresa é obtido pela venda da quantidade X_A do produto A e da quantidade x_B do produto B, ambas multiplicadas pelas respectivas margens de contribuição unitárias a e b, e cujo resultado é deduzido dos custos e despesas fixos, c.

Considerando o lucro como π, temos a seguinte fórmula:

Como o equilíbrio é obtido quando o lucro é igual a zero (π = 0), a equação acima se transforma em:

Tendo em vista quedem (2) temos uma equação e duas incógnitas, x_A e x_B, e considerando a, b e c positivos, observa-se que não existe um ponto de equilíbrio, dado que a igualdade é sempre válida para qualquer x'_A ou x'_B especificado.

Geometricamente (veja figura 1), trata-se de uma reta que intercepta o eixo x_A em c/a e o eixo x_B em c/b, posto que x_A = c/a - x_B b/a e x_B = c/b - x_A a/b.

Figura 1 Qualquer combinação linear da reta definida por (2) no semiplano definido por x_A, x_B> 0 é um ponto de equilíbrio e, como qualquer segmento de reta tem infinitos pontos, há infinitos pontos de equilíbrio para uma empresa que produz e vende dois produtos, se a unidade de produção de ambos for uma variável contínua, ou finitos pontos, se a unidade de produção de um deles for uma variável discreta.

Á esse conjunto de pontos de equilíbrio denominamos "conjunto de possibilidade de equilíbrio".

Entretanto, podemos também encontrar uma equação de receita total, R_t, se associarmos às quantidades vendidas os respectivos preços de venda, P_A e P_B:

Desta forma, dado um ponto x'_A e x'_B de equilíbrio, há uma R'_t de equilíbrio especificada, que somente será constante dentro do conjunto de possibilidade de equilíbrio quando as retas R_t e π no plano definido por x_A e x_B forem coincidentes. Nos demais casos, ocorre somente um ponto (x'_A, x'_B), como se verifica na figura 2.

Pode-se visualizar no gráfico que, vendendo x"_A e X"_B, a empresa obtém uma receita igual àquela R'_t considerada de equilíbrio. Contudo, x_A de equilíbrio para x"_B de equilíbrio seria x+_A, e x⁺_A é maior que x"_A; donde se conclui que a empresa rena, naquele ponto, um prejuízo no montante de a(x⁺_A - x"_A).

Ainda se visualiza no gráfico que, vendendo x"_A e x"_B, a empresa obtém uma receita igual àquela R'_t considerada de equilíbrio. Porém, x_A de equilíbrio para x"'_B seria x⁺⁺_A que é menor que x'"_A, donde se conclui que a empresa naquele ponto teria um lucro no montante de a(x'"_A - x⁺⁺_A).

Entretanto, existe uma família de retas de receita de equilíbrio e, por conseguinte, infinitos pontos de receita de equilíbrio.

Posto que a probabilidade de o ponto ocorrer (dado um segmento de reta) é zero, conclui-se que obter a receita de equilíbrio calculada para uma empresa que vende dois produtos é preocupar-se com uma informação de valor bem limitado, senão de nenhum valor, a não ser em casos especiais nos quais o mix de produção tenha pequenas alterações no período de validade daquele conjunto de possibilidade de equilíbrio, ou, então, quando as declividades das duas retas forem quase iguais. Nesses casos, é melhor obterem-se duas receitas de equilíbrio para pontos (x'_A, x'_B) e (x"_A e x"_B) que definam aquele intervalo razoável no qual possa oscilar o mix, como se observa nas figuras 3a e 3b.

Qualquer ponto de equilíbrio daquele conjunto pode ser determinado a partir da equação (2), posto que a taxa de substituição de A por B, ou vice-versa, pode ser facilmente encontrada a partir de uma solução básica da equação (2) reduzida à forma escalonada, como se segue:

a) taxa de substituição de A por B: dividindo-se a equação (2) por a, temos:

= x_A + x_B

b/a representa, então, a taxa de substituição de A pela entrada de uma unidade de B;

b) taxa de substituição de B por A: dividindo-se a equação (2) por b, temos:

= x_A + x_B

a/b representa, então, a taxa de substituição de B pela entrada de uma unidade de A.

Ilustrando os argumentos acima, vejamos um exemplo numérico, graficamente solucionado na figura 4, no qual a empresa tenha um montante de custos e despesas fixos de Cz$ 100 mil, fabrique os produtos A e B, com os preços, custos e despesas variáveis e margens de contribuição unitárias discriminados no quadro 1.

Neste quadro, a equação de equilíbrio fica a seguinte:

Um intervalo de equilíbrio poderia ser o que se segue:

para x"_A = 0 x"_B = 10.000 e para x'_B = 0 x'_A = 5.000

Logo, obtemos:

a) equação da reta de receita de equilíbrio no ponto inferior:

b) equação da reta de receita de equilíbrio no ponto superior:

Observa-se na figura 4 que a receita de equilíbrio é no ponto onde x_A = 5.000 e x_B = 0, enquanto a receita de equilíbrio máxima é no ponto onde x_A = 0 e x_B = 10.000, acusando montantes respectivos de Cz$500 mil e Cz$800 mil, valores determinados por substituição nas equações de equilíbrio e receita total:

Para x'_A (= 5.000) e x'_B (= 0)

Para x"_A (= 0) e x"_B (= 10.000)

Verifica-se, portanto, que, para receitas que variam entre Cz$500 mil e Cz$800 mil, podemos ainda encontrar infinitos pontos de receita de equilíbrio, sendo aqueles os limites mínimo e máximo.

Entretanto, para uma receita de Cz$500 mil, verificamos infinitos pontos de combinação entre x_A e x_B, que apresentam prejuízo; e para uma receita de Cz$800 mil, verificamos infinitos pontos que apresentam lucro.

Desta forma, a receita de equilíbrio só é válida para um determinado ponto, que pertence ao conjunto de possibilidade de equilíbrio e, ao mesmo tempo, à reta de receita, cujos montantes x_A e x_B são encontrados pela interseção das duas retas citadas.

Por exemplo, se R_t = Cz$ 620.000,00, teríamos:

620.000 = 100x_A+ 80x_B

100.000 = 20x_A + 10x_B

Resolvendo o sistema, encontramos o ponto x_A 3.000 e x_B = 4.000, um dos pontos de equilíbrio do conjunto de possibilidade de equilíbrio.

3. MARGEM DE SEGURANÇA

Até quando as quantidades vendidas atualmente poderão cair e a empresa não ter prejuízo? E a receita? E a margem de contribuição?

A resposta a esta questão é o que se denomina de margem de segurança.

Se o nível de atividade for x'_A e x da figura 5, mantendo-se x'_A, verificamos que x_B pode cair até x. Mantendo-se x, observamos que x_A pode cair até . A distância de (x'_A, x'_B), nível de atividade atual, à reta de equilíbrio varia para cada ponto definido naquela.

Entretanto, pode-se calcular a menor distância de um ponto a uma reta e, desta forma, a menor margem de segurança.

Porém, observada a figura 6, notar-se-á que a distância da reta de lucro atual para a reta de equilíbrio é única e, por conseguinte, temos uma única margem de segurança para redução de margem de contribuição, independentemente do mix considerado.

Se detectamos a reta de lucro (π = e) que passa pelo ponto P(x'_A, x'_B) e que é paralela à reta de equilíbrio (π = 0), basta calcularmos sua distância d₁ à origem (π = c), conforme figura 6, e deduzirmos da distância d₂ à origem, e teremos a margem de segurança da empresa, d₃.

Note-se que d₁ é perpendicular à reta de lucro atual (π = e) e à reta de equilíbrio (π = 0) e, por conseguinte, d₃ mede a menor distância do ponto atual P(x'_A, x'_B) que gera π = e à reta de equilíbrio, medindo, por conseguinte, o montante de margem de contribuição que pode ser diminuído da margem atual antes que a empresa tenha prejuízo.

Em números relativos, a margem de segurança seria:

Como e = ax_A + bx_B - c, a sua distância à origem seria dada pelo teorema

enquanto que d₂ seria dado por

e a margem de segurança, por

A fórmula (4) representa a razão entre a diferença da margem de contribuição atual (c + e) e a margem de contribuição do conjunto de possibilidade de equilíbrio (c), que é igual aos custos e despesas fixos, pela margem de contribuição atual (c + e); isto é, o lucro atual dividido pela margem de contribuição atual.

Se em vez de (4) utilizássemos o conceito de receita atual e receita de equilíbrio, chegaríamos ao mesmo resultado, posto que a reta que define a receita atual é a mesma que define a margem de contribuição atual, e a reta que define a receita de equilíbrio mantém a mesma combinação do mix atual, isto é:

A demonstração de (4) é a que se segue: como

temos

A demonstração de (5) é a que se segue: considere que as quantidades x'_A e x'_B de equilíbrío sejam proporcionais às quantidades vendidas atualmente, e x.

Assim, encontramos

Isto implica que

Fazendo = β temos que qualquer x_B = βx_A.

Como R_t de equilíbrio é dada por

substituindo x por , temos:

Por outro lado, as quantidades de equilíbrio poderiam ser determinadas a partir da equação (2):

Substituindo x por β, temos:

donde

Multiplicando ambos os termos por P_A + P_B, encontramos:

Igualando as equações (6) e (7), obtemos:

donde

e, então verificamos

Aplicando ao exemplo ilustrativo anterior e considerando um volume de vendas atual de x_A = 4.000 e x_B = 5.000, temos:

Fazendo e = Cz$ 30.000,00, a reta de lucro para aquele montante é dada por:

Sua distância à origem é

e a distância de π = 0 (reta de equilíbrio) à origem é

Logo, a margem de segurança já pode ser determinada:

Como a margem de contribuição atual é de Cz$ 130.000,00 [= 20(4.000) + 10(5.000)], poder-se-ia reduzi-la em um máximo de 23,07%, ponto no qual a empresa não teria lucro ou prejuízo, isto é, 23,07% de Cz$ 130.000, um montante de Cz$ 30.000,00.

Aplicando a redução de 23,07% ao mix atual e avaliando em cruzados, obtemos:

Entretanto, se tivéssemos utilizando o conceito tradicional de margem de segurança em relação ao volume das receitas, teríamos:

• receita atual = 100(4.000)+ 80(5.000) =
Cz$ 800.000,00

• margem de

contribuição

atual

= 20(4.000)+ 10(5.000) =
Cz$ 130.000,00 • receita de
equilíbrio = 100.000 Cz$ 615.384,00
130.000
800.000 • margem de
segurança =

23,07%

O que demonstra a assertiva de que a receita de equilíbrio encontrada na forma usual tem utilidade somente para se detectar a margem de segurança, já que esta se dá pela redução de volumes em A e B acompanhando o mix atual, porém interpretada para redução da margem de contribuição para qualquer mix do conjunto de possibilidade de equilíbrio, e jamais como redução da receita, posto que há infinitas receitas de equilíbrio e, para cada receita verificada de equilíbrio, há somente um ponto no qual a receita de equilíbrio pertence ao conjunto de possibilidade de equilíbrio, e infinitos pontos daquela que não pertence, senão vejamos no exemplo: podemos obter uma receita de Cz$ 615.384, e ocorrer lucro (observem a figura 4), como, por exemplo, fazendo x_A = 6153,84 e x_B = 0. Substituindo na equação (1), encontramos

4. ALAVANCAGEM OPERACIONAL

Mede a variação no lucro decorrente de uma variação infinitesimal na quantidade vendida.

Considerando (1), temos que

Como se observa na figura 7, o grau de alavancagem varia em função da taxa de substituição de A por B, ou de B por A, posto que, sendo

o acréscimo no lucro decorrente de Δ x_A (π = 63) seria menor que o acréscimo no lucro decorrente de Δ x_B (π = e₄).

Porém, se considerarmos que a variação nas quantidades se dá a uma taxa constante para ambos os produtos, mantendo-se a combinação contida no mix atual, obtemos:

x = βx β = x = βx β =

Substituindo x e x em (8), temos:

isto é, a margem de contribuição atual dividida pelo lucro atual.

Aplicando ao exemplo anterior, temos:

AO =

4,3

Logo, um acréscimo de 1% na quantidade vendida, considerando o mix atual, implica um acréscimo de 4,3% no lucro da empresa.

Com um aumento de 10% nas quantidades vendidas atualmente, x_A = 4.000 e xg = 5.000, temos x_A = 4.400 e x_B = 5.500 e

Então, Δ π = 13.000, AO 4,3 e Δ π/π 43%, isto é, AO multiplicado por 10%.

5. CONCLUSÕES

Existe um conjunto de possibilidade de equilíbrio nas empresas que produzem e vendem dois produtos (como também para as que têm três ou mais produtos) e, por este motivo, o conceito de ponto de equilíbrio só é válido em raríssimos casos, se houver algum.

Na prática, pode-se calcular um intervalo de equilíbrio, a partir de um mix possível, considerando-se as possibilidades de mudança, identificando-se dois pontos (ou mais) daquele intervalo, mais importante que um simples ponto (cuja probabilidade de ocorrência é zero).

Quanto à margem de segurança, o método tradicional, aplicado empiricamente, dado pela razão entre a diferença de receita atual e a de equilíbrio, e a receita atual, é adequada e produz o mesmo resultado que a fórmula alternativa proposta

porém interpretada em relação à margem de contribuição atual e jamais em relação à receita atual.

Já a alavancagem operacional, calculada pelas fórmulas tradicionais, é válida somente quando o mix relativo de produção é mantido e, para os demais casos, só pode ser calculada para situações especificadas, variando para cada uma delas.

Cabe, finalmente, a observação de que a margem de segurança é a alavancagem operacional inversa, isto é

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Jun 2013
• Data do Fascículo
  Mar 1988