Geração de oscilações auto-sustentadas em inversores monofásicos

ELETRÔNICA DE POTÊNCIA

Geração de oscilações auto-sustentadas em inversores monofásicos

Maurício dos Santos Kaster^I; Daniel Juan Pagano^II

^ICentro Federal de Educação Tecnológica do Paraná - CEFET/PR, Unidade de Ponta Grossa- Curso Superior de Tecnologia Eletrônica - 84016-210 - Ponta Grossa - PR - Brasil; [e-mail]

^IIUniversidade Federal de Santa Catarina - UFSC - Departamento de Automação e Sistemas - DAS - 88040-100 - Florianópolis - SC - Brasil; [e-mail]

RESUMO

O presente trabalho apresenta uma nova técnica de controle por modo deslizante para a geração de oscilações autônomas em um inversor monofásico. A técnica de controle proposta utiliza a abordagem de modelagem de energia e nenhum sinal de referência senoidal externo é necessário. São apresentados resultados de simulação e experimentais obtidos considerando cargas resistiva e não linear.

Palavras-chave: Conversor CC-CA, Controle não linear, Sistemas de estrutura variável, Controle por modo deslizante.

ABSTRACT

A new sliding-mode control scheme for the generation of autonomous oscillations in a single-phase inverter is presented. The proposed control scheme is based on an energy shaping approach and no external sinusoidal reference signal is required. Simulation and experimental results obtained considering resistive and nonlinear loads are presented.

Keywords: CC-CA Converter, Nonlinear control, Variable structure systems, Sliding mode control, Energy shaping.

1 INTRODUÇÃO

O uso de controladores de modo deslizante em aplicações de geração de sinais senoidais de saída em inversores monofásicos tem sido bastante estudado (Takahashi et al., 1999; Biel et al., 2001; Biel et al., 2003; Morvan et al., 2004). Em (Carpita and Marchesioni, 1996) é enfatizado o uso de uma superfície de comutação baseada no sinal de erro e sua derivada para obter um sistema robusto com boa dinâmica de resposta. Esta modalidade de controle é conhecida como controle por "tracking", no sentido de que o sinal de saída é levado a seguir a referência por meio da ação de controle.

Várias formas de controle por tracking tem sido propostas na literatura para conversão CC-CA, dependendo de qual processamento é aplicado ao sinal de erro (Kawamura and Hoft, 1984; Maussion et al., 1989; Jezernik et al., 1989; Biel et al., 2003; Olm, 2003; Aracil et al., 2002; Leung et al.,2005). Em todos estes casos, o projeto de controle é baseado em um modelo de estágio de potência conduzindo a formas de onda de saída sensíveis às variações nos parâmetros deste estágio, tais como variações de carga.

O projeto dos sistemas baseados no esquema de controle por tracking também irá exigir a implementação de um gerador senoidal programável de baixa potência atuando como sinal de referência.

Como uma alternativa, partindo do esquema de controle por tracking, alguns trabalhos apresentam uma metodologia que conduz a uma lei de controle de modo deslizante para a geração de um sinal AC no inversor onde nenhum sinal de referência externo é necessário. Devido à ausência de um sinal de referência, esta modalidade de controle autônomo tem sido referida como um esquema de controle de "geração" de oscilações auto-sustentadas (Takahashi et al., 1999; Biel et al., 2001).

Embora apresente as propriedades de robustez com respeito às variações dos parâmetros da técnica de controle de modo deslizante, a lei de controle de "geração", por ser dependente apenas dos estados, não tem assegurada a manutenção da fase do sinal senoidal inicial devido a pequenos deslocamentos de fase causados pelas perturbações, o que não acontece com os esquemas de controle de modo deslizante baseados em tracking.

Em contrapartida, por não depender da informação de fase do sinal de referência, esta forma de controle propicia tempos menores de recuperação de perturbações, pois na técnica de controle por tracking o sinal controlado deve novamente entrar em fase com a referência.

Este artigo apresenta um método para gerar oscilações auto-sustentadas estáveis em um dado sistema através da formulação tipo hamiltoniano onde se utiliza uma função de energia como candidata a função de Lyapunov.

Definindo tensão e corrente sobre o capacitor de saída do inversor como variáveis de estado, dado que ambas são funções senoidais (em quadratura), a representação destas no diagrama de estados é uma elipse, que deve estar relacionada com um ciclo-limite estável. A aplicação da função hamiltoniana ao inversor conduz à obtenção de um sistema oscilatório estável através de uma ação de controle apropriada.

Takahashi et al. (1999) e Biel et al. (2001) apresentam métodos de obtenção da lei de controle que dependem de mais de uma superfície de comutação e do sinal da corrente do capacitor. Essa segunda exigência é necessária para que se possa tornar a superfície de comutação atrativa em toda a sua extensão. Entretanto, um pequeno adiantamento de fase ocorre a cada troca de sinal da corrente. Este efeito indesejado é minimizado com o aumento da freqüência de operação do controle mas pode provocar um aumento do chattering.

O método aqui apresentado permite obter de uma forma relativamente simples uma lei de controle baseada em uma única superfície de comutação para um inversor. O controle pode ser realizado puramente em modo deslizante, mas aparece o problema do chattering. Pela dificuldade em se realizar analogicamente operações como quadrados e raízes quadradas, o emprego de controle digital microprocessado se faz necessário. Deste modo, a freqüência do chattering é limitada pela largura de banda de operação do processador digital diretamente relacionada com o ciclo de processamento do programa implementado. Também é apresentado o uso de modulação PWM como limitadora da freqüência de operação.

O trabalho está organizado da seguinte maneira: na seção é apresentada a fundamentação teórica sobre o hamiltoniano de uma função de energia e seu emprego na geração de oscilações auto-sustentadas. Na seção é aplicada esta teoria no projeto de controladores de inversores monofásicos visando a obtenção de uma saída senoidal estável e robusta sem a utilização de referências externas, apenas dos próprios estados do sistema. Na seção são apresentados os resultados de simulação da operação de tal sistema operando em modo deslizante e com PWM. Na seção são apresentados resultados obtidos a partir de um protótipo de laboratório. Para testar sua capacidade de rejeição de perturbações e robustez, o inversor foi submetido uma variação abrupta de carga resistiva e a uma carga não linear. Finalmente, na seção são apresentadas as conclusões sobre o trabalho.

2 HAMILTONIANO COMO FUNÇÃO DE LYAPUNOV

Seja a função parametrizada

onde A, B e m são os parâmetros de uma elipse no plano das variáveis de estado (x₁,x₂).

Seja também a função H definida por

A função H é uma função descritiva de energia¹ onde o seu valor mínimo é obtido quando P = 0. De acordo com o valor do parâmetro m, existem duas situações possíveis para o sistema:

1. Para m < 0, o valor mínimo de H ocorre em um único ponto, na origem do espaço de estados (x₁,x₂). Esse ponto corresponde a um equilíbrio estável do sistema (figura 1).

2. Para m > 0, o valor mínimo de H ocorre sobre uma curva fechada formando uma trajetória elíptica em torno da origem. Essa elipse corresponde a um ciclo-limite estável do sistema e a origem passa a ser um equilíbrio instável (figura 2).

O valor m = 0 corresponde a uma bifurcação de Hopf. A varredura do parâmetro m evidencia tratar-se de uma bifurcação de Hopf supercrítica. O interesse de estudo se dá nos casos onde o parâmetro torna o sistema resultante oscilatório, ou seja, existe um ciclo-limite estável (Aguilar, 2002).

A figura 2 mostra a função H quando m > 0. Da figura tem-se que o conjunto G = {(x₁,x₂) Î ²/P = 0} descreve uma elipse cujos semi-eixos são dados por 1/ e 1/.

A forma de H nos leva a considerar sistemas onde H seja uma função de Lyapunov. Para isso, define-se um sistema Hamiltoniano generalizado modificado como:

onde k_a > 0 é um termo dissipativo (coeficiente de amortecimento) (Aguilar, 2002).

O sistema resulta em

A derivada temporal de H é

onde T é o transposto e x = (x₁,x₂).

Para o caso em que k_a = 0 (ausência de amortecimento), obtém-se = 0 indicando um sistema conservativo. Para o caso k_a > 0 temos

Sendo H uma função de Lyapunov, como H > 0 e < 0 para todo (x₁,x₂) ¹ (0,0), o sistema é globalmente assintoticamente estável.

Substituindo-se P de (1) em (4) e (5) obtém-se

Verifica-se aqui que o termo sgn(P)k_aBx₂ é derivado da existência de dissipação na função de energia H. Ele se anula quando o sistema alcança um equilíbrio estável, que normalmente é a condição de energia mínima, que pode ser um ponto (m < 0) ou um ciclo-limite (m > 0). A nulidade deste termo acontece quando sgn(P) = 0 ou x₂ = 0.

Considerando m > 0, em regime permanente a trajetória dos estados do sistema deverá descrever uma elipse em torno da origem. Isso implica que, nos pontos da trajetória onde x₂¹ 0, o termo sgn(P) = 0. Em sistemas físicos reais, o que se verifica é que P tende a zero, e seu sinal nunca é nulo. Nas imediações de P = 0, P troca de sinal continuamente configurando um modo deslizante. Deste modo, P representa a superfície de comutação do sistema comutado (6)-(7).

3 APLICAÇÃO DO MÉTODO AO CONTROLE DE UM INVERSOR

A figura 3 mostra o diagrama de um inversor típico.

Para cargas resistivas, o sistema pode ser descrito pelas equações

onde x₁ = v_c é a tensão sobre o capacitor (tensão de saída), x₂ = i_c é a corrente sobre o capacitor e u = qE, onde q Î {-1,1}, é o controle. A variável q é definida como:

q =0 quando S1,S4:OFF e S2,S3:ON

q =1 quando S1,S4:ON e S2,S3:OFF.

Será considerado inicialmente um sistema genérico na forma

Neste caso, g(u) é visto como o termo dissipativo que faz o sistema alcançar a mínima energia quando g(u) = 0. Para que esse sistema assuma o comportamento dado pelas equações (6) e (7), define-se

g(u) = -sgn(P)k_aBx₂.

Para que esta equação seja satisfeita para o sistema dado por (8) e (9), a entrada de controle deve ser

Deste modo, o sistema (10)-(11) assume a forma

Observe que o termo

x₂ cancela o segundo termo de (9). Isto também evidencia que o controle é dependente dos parâmetros do inversor e da carga. A dependência do valor da carga é um fator indesejado. A robustez do sistema só poderá ser garantida se a sua significância for pequena no controle. O segundo termo da equação de controle (12) apresenta um parâmetro de ajuste k_a que pode ser definido convenientemente grande de modo a garantir o funcionamento esperado diante das variações de carga, o que será visto na próxima seção. k_a é um parâmetro relacionado com a intensidade de convergência das trajetórias do sistema à superfície.

A entrada de controle (12) é um sinal contínuo que deve sofrer modulação PWM, portanto, este sinal deve ser normalizado para uma razão cíclica equivalente, que será usada para gerar o sinal PWM que comandará os interruptores. O esquema para geração do sinal PWM a partir do sinal de controle está representado na figura 4. Pode-se normalizar a entrada u para corresponder a uma razão cíclica fazendo

d = , 0 < d < 1.

Embora a entrada de controle seja um sinal contínuo, para valores elevados de k_a essa entrada assume valores que saturam o modulador PWM fazendo o controle se comportar como em modo deslizante puro.

4 RESULTADOS DE SIMULAÇÃO

Para o sistema (8) e (9) o objetivo de controle é obter os seguintes sinais

v_c = V_c sin wt

i_c = wCV_c cos wt

onde V_c é a amplitude da tensão de saída e w é a freqüência em rad/s.

Partindo deste objetivo, a trajetória de v_c e i_c no diagrama de estados deve representar uma elipse com semi-eixos V_c e wCV_c, dada pela função

Essa é a mesma função P da equação (1) onde

Esta função é aqui vista como uma superfície de comutação elíptica que atrai as trajetórias dos estados do sistema em torno dela.

Assim sendo, pela análise feita na seção anterior, a ação de controle deve ser

Para o inversor, foram adotados os valores: L = 0,02H, C = 47mF e E = 30V. Para o controlador, foram adotados os valores: k_a = 7000, f= 60Hz Þ w = 2pf e V_c = 20V. Em uma primeira análise, será observado o comportamento do sistema próximo do ideal adotando-se uma freqüência de comutação elevada: f_s = 1 MHz.

A figura 5-a mostra as formas de onda da tensão e da corrente sobre o capacitor do inversor alimentando uma carga resistiva R = 100W.

O seguimento da superfície de comutação é mostrado na figura 5-b. O parâmetro k_a determina o grau de atratividade desta superfície e seu valor deve ser suficientemente grande para garantir a atratividade da superfície em toda a sua extensão. Da equação (7) fica claro que o termo dissipativo é função de k_ax₂. Para valores grandes de x₂ o valor do parâmetro k_a não precisa ser muito elevado. Entretanto, há problemas quando x₂ se aproxima de zero. Em uma primeira abordagem, por simplicidade, foi adotado um valor constante bastante elevado para k_a (7000), suficiente para levar o pico da forma de onda de tensão a 19,98V, sendo o erro de 0.1%.

As figuras 6-a e 6-b mostram o detalhe do diagrama de estados onde v_c = 20V. Neste detalhe é possível observar a incapacidade da superfície ser atrativa próximo aos valores de pico da tensão justamente pelo fato de x₂ estar muito próximo de zero. Para valores pequenos de k_a essa incapacidade é acentuada na vizinhança de x₂ = 0. Em contrapartida, para valores grandes de k_a, o controle opera fortemente saturado nos pontos da trajetória dos estados onde x₂ é grande.

Uma possível solução para este problema é definir o ganho k_a como sendo

Substituindo a eq. (13) na eq. (7) e considerando que sgn(x₂) = x₂/|x₂|, tem-se

2 = -Ax₁-aB sgn(P) sgn(x₂),

de onde se verifica que o termo dissipativo se tornou constante e não depende mais da amplitude de x₂, apenas do seu sinal.

Esta modificação também se reflete no sinal de controle, que agora passa a ser

com B =

A figura 6-c mostra o detalhe do diagrama de estados nas proximidades de v_c = 20V onde se pode verificar a eficácia da modificação proposta, com manutenção da atratividade da superfície para valores de x₂ próximos de zero. A figura 7 mostra as formas de onda do sistema utilizando esta modificação e submetido a uma variação de carga de 50%.

Os resultados obtidos até aqui se referem ao sistema operando em uma freqüência de comutação PWM muito elevada, da ordem de 1 MHz. A operação em freqüências bastante elevadas permite que o efeito do controle sobre o sistema seja considerado contínuo. Entretanto, dadas as desvantagens em se trabalhar com freqüências muito elevadas, deve-se buscar alternativas que permitam ao sistema operar satisfatoriamente com freqüência mais baixa. A modulação PWM permite o acionamento do estágio de potência a uma freqüência fixa determinada.

Em uma segunda análise, será observado o comportamento mais realístico do sistema, usando-se freqüências de comutação PWM de 50 KHz e 100 KHz.

A figura 8-a mostra as formas de onda de tensão e corrente sobre o capacitor com PWM operando a 50 KHz submetido a uma perturbação de carga de 30%. O diagrama de estados é mostrado na figura 8-b. O sistema se mostrou eficaz na rejeição às perturbações mas a forma de onda de corrente apresenta pequenas descontinuidades nas proximidades de i_c= 0 que, por conseqüência, deformam levemente os picos da forma de onda de tensão. O efeito corresponde a pequenos deslocamentos de fase causando uma leve alteração na freqüência de oscilação.

A figura 9-a mostra as formas de onda de tensão e corrente do sistema com PWM operando a 100 KHz submetido à mesma perturbação de carga. O sistema se mostrou eficaz na rejeição às perturbações e possui um comportamento bastante próximo do ideal.

Na eq. (14) observa-se que a lei de controle depende do valor da carga, o que não é desejável. Entretanto, o efeito do termo de cancelamento

x₂ é compensado pelo termo descontínuo aLB sgn(P) sgn(x₂) cuja significância sobre a lei de controle é tanto maior quanto maior o valor de a, até os limites de saturação do controle. Para valores apropriados de a, esse termo de cancelamento pode até ser totalmente retirado da lei de controle que, ainda assim, o sistema é capaz de operar satisfatoriamente. Observa-se pelas figuras 7, 8 e 9 que o sistema demonstrou ser capaz de permanecer funcionando com carga diferente da inicialmente estabelecida no termo de cancelamento da lei de controle.

5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

O protótipo construído para os testes é mostrado na figura 10. Este sistema utiliza L = 0,02H, C = 50mF, R = 25W e E = 30V, operando a uma freqüência de comutação PWM de f_s = 33KHz.

O protótipo não possui a pretensão de ser um inversor comercial, apenas de servir como protótipo de testes em escala reduzida com a finalidade de validar a técnica de controle. Deste modo, a escolha de L e de C foi definida a partir da especificação da variação percentual máxima da corrente no indutor (20%) e da variação percentual máxima da tensão de saída (5%). Devido à baixa potência envolvida, os valores resultantes de L e C que atendem a estas especificações são consideravelmente grandes, resultando em uma freqüência de corte da ordem de 164 Hz. Isto implica em uma pequena atenuação da fundamental, o que exige uma margem adicional necessária da tensão de entrada em relação à tensão de saída. Para inversores de maior potência, o valor de L deve ser menor. Isto faz crescer a ondulação da corrente no indutor e, por conseqüência, no capacitor. A tendência é o aumento da distorção nas proximidades do valor de pico da tensão de saída. A solução é o aumento do valor do capacitor, o que causa a diminuição do valor da freqüência de corte, ou o aumento da freqüência de comutação. Diversas simulações demonstraram que, para operação satisfatória a uma freqüência de comutação de 30 a 50 KHz, a freqüência de corte resulta situar-se entre 100 e 250 Hz.

A robustez do sistema foi verificada através de mudanças de carga entre 25/50 W, conforme esquematizado na figura 11-a, com as formas de onda de tensão e corrente sobre a carga mostradas na figura 12. Também foi utilizada uma carga não linear representando uma fonte CC típica esquematizada na figura 11-b, com as formas de onda de tensão e corrente sobre a carga mostradas na figura 13 e com o diagrama de estados das variáveis (v_c,i_c) mostrado na figura 14. Note que os sinais de corrente mostrados nas figuras 13 e 14 não são os mesmos.

As perturbações que aparecem no diagrama de estados da figura 14 correspondem ao momento em que o capacitor começa a ser carregado em cada semiciclo da forma de onda senoidal de saída do inversor.

O uso de filtros, embora consiga reduzir os níveis de ruído capturados pelos sensores devido à comutação, introduzem um atraso mascarando a exata posição dos estados. O ruído ocorre no momento da comutação e rapidamente se atenua. Neste sentido, o melhor momento para amostrar os sensores é imediatamente antes da comutação. Portanto, a filtragem do ruído é feita realizando-se a amostragem dos sensores 2ms antes das transições do sinal PWM. Esta estratégia se mostrou bastante eficaz.

6 CONCLUSÕES

O método proposto permite construir um inversor gerando oscilações estáveis auto-sustentadas sem necessidade de usar um sinal de referência externo. O sistema com o controle se comporta como um oscilador não linear autônomo. Neste caso, utiliza-se uma superfície de comutação P representada por uma elipse. Esse mesmo método permite utilizar diferentes funções P como superfícies de comutação.

A freqüência de oscilação w é dada pela superfície, basicamente pela amplitude do semi-eixo vertical, que corresponde a wCV_c. Dado que a saída sofre ligeiros deslocamentos de fase dados por v_c = V_csin(wt+q), poderia-se pensar em realizar o controle da fase fazendo w = f(q) onde q é o ângulo de defasagem da saída obtida em relação à saída senoidal ideal desejada, de modo a minimizar o valor de q. Entretanto, esse método implica na geração externa ou através de algoritmo próprio no processador digital de um sinal de referência a ser comparado com o sinal gerado para que se possa obter q.

Tal como se apresenta, a não existência da informação da fase no controle limita a aplicação deste tipo de inversor. Os curtos tempos de resposta e grande robustez às perturbações torna este tipo de inversor atrativo para aplicações CC-CA, tais como UPS. Entretanto, em sistemas onde a informação de fase é importante, como em sistemas de co-geração, UPS que possuem chave estática ou conectados em paralelo, a informação de fase é fundamental. Na grande maioria das aplicações a falta desta informação não é crítica.

O uso de modulação PWM permite uma limitação na freqüência de operação do sistema, entretanto, o PWM deve possuir freqüência de operação elevada o suficiente para que se obtenham formas de onda de tensão e corrente satisfatórias na saída do inversor.

Um dos termos da lei de controle (termo contínuo) apresenta dependência do valor da carga. Entretanto, o outro termo (termo descontínuo) pode ter o valor do parâmetro a ajustado apropriadamente para compensar a deficiência do termo contínuo, mesmo operando com uma carga diferente da estipulada.

No projeto de um inversor, busca-se minimizar o efeito da freqüência de corte do filtro assim como a freqüência de comutação dos transistores. Freqüências de corte suficientemente mais altas que a freqüência da forma de onda de saída permitem reduzir os custos e dimensões dos elementos passivos (indutor e capacitor) enquanto que a minimização da freqüência de comutação dos transistores permite minimizar as perdas devido à comutação. A freqüência de corte do filtro de saída é de 164 Hz. Entretanto, esse dado não foi usado no projeto do inversor, que não tinha a pretensão de ser um inversor comercial, apenas de servir como protótipo em escala reduzida para validar a técnica de controle proposta. Para a determinação dos valores de L e C, foram especificadas a variação percentual máxima da corrente (variação da corrente relativa à corrente nominal) igual a 20% e variação percentual máxima da tensão de saída, igual a 5%. A diminuição do valor de L faz aumentar esta variação percentual, para uma mesma freqüência de comutação. Pela característica de baixa potência do protótipo, este valor de L atendeu as especificações. Além do mais, por ser projetado para baixas correntes, usa fios mais finos e acaba não sendo volumoso. Estas escolhas não afetam a técnica de controle, que pode ser utilizada em inversores de diferentes potências. Diversas simulações demonstraram que para se operar com valores de L e C tal que a freqüência de corte seja mais elevada deve-se aumentar a freqüência de comutação. Por exemplo, usando-se L = 1mH e C = 100mF, que resultam em f_corte = 503Hz (aprox. uma década acima de 60Hz), com uma carga R=5W, deve-se aumentar a freqüência de comutação para f_s = 200KHz de modo a atender à especificação de variação percentual aqui adotada. O ganho a também deve ser apropriadamente ajustado (ex. a=13000). Como a freqüência de comutação resulta muito alta, a solução para torná-la mais baixa recai sobre os componentes do filtro de saída. Para utilizar uma freqüência de chaveamento de 30 a 50 KHz deve-se escolher L e C tal que a freqüência de corte se situe entre 100 e 250 Hz.

As normas exigem uma THD inferior a 5% com carga linear ou não linear. Infelizmente, não foi realizada a medição da THD, entretanto, uma inspeção visual nos permite concluir que seu valor deve situar-se acima de 1% e abaixo de 5%, atendendo, portanto, às normas.

A técnica de controle proposta pode ser adaptada ao caso trifásico. Uma das propostas nesse sentido é apresentada em (Gordillo et al., 2004) onde se mostra o controle sendo realizado sobre as variáveis obtidas a partir da transformada de Park.

7 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem as contribuições dos revisores para o aprimoramento deste artigo. Também ao Instituto de Eletrônica de Potência (INEP) da UFSC pelo suporte dado ao projeto e ao prof. Clovis Petry pelo auxílio na construção do protótipo. Finalmente, ao CNPq pelo apoio financeiro (projeto nº 302468/2003-0).

Artigo submetido em 24/01/2005

1a. Revisão em 04/06/2005

2a. Revisão em 02/03/2006

ARTIGO CONVIDADO:

Versão completa e revisada de artigo apresentado no CBA-2004

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. José Antenor Pomílio

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1

Função que apresenta proporcionalidade direta com a energia total do sistema, considerado como o hamiltoniano do mesmo.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  15 Set 2006
• Data do Fascículo
  Mar 2006

Histórico

• Aceito
  02 Mar 2006
• Revisado
  04 Jun 2005
• Recebido
  24 Jan 2005