Flexão composta oblíqua em pilares curtos de concreto armado em situação de incêndio: curvas do estado - limite último pelo método da isoterma de 500 °C

Resumo

Curvas envoltórias correspondentes ao estado - limite último de pilares curtos de concreto armado em situação de incêndio serão apresentadas neste artigo. Os autores criaram um código desenvolvido no programa Matlab. Esse código realiza uma discretização da seção transversal dos pilares e o cálculo numérico das integrais de equilíbrio. As curvas foram representadas graficamente com o código considerando o método da isoterma de 500 °C.

Palavras-chave:
pilares; concreto armado; incêndio; flexão composta; isoterma de 500 ºC

Abstract

Ultimate limit state curves of short reinforced concrete columns in fire situation are going to be presented in this paper. The authors created a code developed in Matlab. It makes a discretization of the cross sections of the columns and calculates the equilibrium integrals of them. The curves were plotted with the code considering the 500 °C isotherm method.

Keywords:
reinforced concrete columns; fire situacion

1. Introdução

A flexão composta oblíqua de pilares curtos de concreto armado em situação de incêndio é um tema de estudo muito novo internacionalmente [¹] e [²]. Para determinar a segurança desses elementos estruturais devem considerados vários aspectos, entre outros, o campo de temperaturas na seção transversal e a não linearidade dos materiais. A consideração desses aspectos aumenta o nível de dificuldade. Como opção, uma estratégia é definir valores limites para as deformações especificas lineares, ou seja, domínios de deformação (Figura 1), e aplicar esses domínios à geração de curvas envoltórias de ruptura, também chamadas curvas de interação de esforços, que permitem verificar a segurança dos pilares. Essa interação de esforços (N - M_x - M_y) é função entre outros, das leis constitutivas do concreto e do aço, da geometria da seção transversal do pilar e do critério de ruptura escolhido (Estado - Limite Último). Existe bastante material disponível, como ábacos e métodos simplificados [³] [⁴], e métodos numéricos mais avançados, para seções transversais de pilares à temperatura ambiente [⁵], porém em menor quantidade para a situação de incêndio, entre eles os programas comerciais de computador DIANA, ABAQUS e ANSYS e o programa específico SAFIR.

Figura 1
Domínios de deformação à temperatura ambiente

Na Figura 1:

ε_cu: Deformação específica linear convencionalmente correspondente ao estado limite ultimo de ruptura da fibra mais comprimida de concreto, de uma seção transversal totalmente comprimida.

ε_c2: Deformação específica linear convencionalmente correspondente ao estado limite ultimo de ruptura da fibra menos comprimida de concreto, de uma seção transversal totalmente comprimida.

ε_su: Deformação específica linear convencionalmente correspondente ao estado limite ultimo de ruptura da armadura tracionada.

ε_yd: Deformação específica linear correspondente ao início do escoamento da armadura tracionada.

h: Altura da seção transversal.

Em situação de incêndio, essas curvas de interação são função (além das variáveis mencionadas anteriormente), do tempo. Para gerar essas curvas de interação em situação de incêndio, podem ser consideradas duas estratégias [¹] as quais se distinguem entre as que consideram a relação momento-curvatura e as que consideram as deformações-limite de acordo com domínios diferentes dos usados à temperatura ambiente, que devem variar de acordo com a temperatura. Esses domínios de deformação têm sido estudados em [⁶], são apresentados na Figura 2 e formam parte de pesquisas mais avançadas do mesmo grupo de pesquisa dos autores. Porém, usar esses domínios implica maior esforço computacional e permite estudar os pilares submetidos à flexão composta reta, mas não obliqua [⁷].

Figura 2
Domínios de deformação em situação de incêndio

Na Figura 2:

ε_cu,Ɵ: Deformação específica linear convencionalmente correspondente ao estado limite ultimo de ruptura do concreto à temperatura Ɵ.

ε_su,Ɵ: Deformação específica linear convencionalmente correspondente ao estado limite ultimo de ruptura da armadura tracionada à temperatura Ɵ.

ε_tot,i: Deformação específica linear total em um ponto i na seção de concreto totalmente comprimida.

O objetivo deste artigo é apresentar um código computacional desenvolvido em MATLAB [⁸] que, por meio de métodos numéricos calcula de maneira precisa esforços, deformações lineares específicas e diagramas de interação, para pilares curtos de concreto armado em situação de incêndio, considerando as hipóteses do método da isoterma de 500 °C para gerar as curvas de interação.

2. Método da isoterma de 500 °C

O método da isoterma de 500 °C é um método simplificado criado pelo pesquisador sueco Dr. Yngve Anderberg. Em 1978, Anderberg propôs o método da isoterma de 550 °C, mais tarde o método foi modificado considerando-se como limite a isoterma de 500 °C.

Considerando uma seção transversal em situação de incêndio, com o campo de temperaturas conhecido, o método da isoterma de 500 °C consiste em assumir que o concreto com temperaturas maiores do que 500 °C é desconsiderado. Dessa maneira, considera-se unicamente o concreto com temperaturas menores do que 500 °C, ou seja, a região da seção transversal interior à isoterma de 500 °C. De maneira simplificada, o concreto dessa região interior é considerado com as propriedades originais à temperatura ambiente, inclusive os limites de deformação específica, no entanto, com os coeficientes de ponderação de ação excepcional. As armaduras são consideradas com as propriedades do aço à temperatura atual (em situação de incêndio).

Na Figura 3, é apresentado um exemplo de seção transversal com a isoterma de 500 °C marcada no campo de temperaturas e desconsiderando o concreto com temperatura maior do que 500 °C.

Figura 3
Seção transversal discretizada com o campo de temperaturas mostrando a isoterma de 500 °C

Apesar de ser considerado um método simplificado pelo EN 1992-1-2:2004 [⁹], para se aplicar este método é necessário o uso de um programa de análise térmica, que não é comum na engenharia civil, para calcular o campo de temperaturas na seção transversal.

3. Equilíbrio na seção transversal

Para desenvolvimento do código computacional foram adotadas as seguintes hipóteses:

• a) Na seção transversal, são apenas consideradas as tensões normais, sendo desconsideradas as tensões tangenciais e as deformações decorrentes delas.

• b) A seção permanece plana após a deformação térmica mais a mecânica.

• c) Existe aderência entre as armaduras e o concreto adjacente a elas.

• d) Não é considerado qualquer efeito de não linearidade geométrica relacionada à esbeltez do pilar, a análise é feita unicamente na seção transversal.

• e) Não é considerado o efeito das restrições às deformações térmicas.

Sob as hipóteses anteriores e para a região da seção de concreto interna à isoterma de 500 ºC, considera-se que a seção transversal da Figura 4 está em equilíbrio, se é satisfeito o Sistema de Equações 1.

Figura 4
Seção transversal de pilar de concreto armado

Na Figura 4:

CG: Centro geométrico da seção transversal.

$S=\underset{}{\overset{}{{\displaystyle \iint }}}\sigma \left(\epsilon \right)Zdxdy$ (1)

No sistema de Equações 1 têm-se:

$S=\left[\begin{array}{c}N\\ M_x\\ M_y\end{array}\right]Z=\left[\begin{array}{c}1\\ y\\ x\end{array}\right]$

Em que:

N: Força normal solicitante.

_^Mx : Momento solicitante em torno do eixo x.

_^My : Momento solicitante em torno do eixo y.

No sistema de Equações 1, a parcela da esquerda representa as solicitações em situação de incêndio e a da direita representa as tensões e forças resistentes (Figura 5).

Figura 5
Equilíbrio na seção transversal para flexão composta reta, à temperatura ambiente

Todos os esforços solicitantes e tensões atuantes citados neste artigo são para a situação de incêndio. Por simplicidade, resolveu-se aliviar a notação, não incluindo o subíndice “θ”. Os valores dessas solicitações devem ser as determinadas, conforme ABNT NBR 15200:2012 [¹⁰].

Resalta-se que neste artigo são calculadas as curvas de estado limite-ultimo para pilares curtos de concreto armado em situação de incêndio, usando o método da isoterma de 500 °C, segundo o qual, como foi explicado anteriormente, as tensões e forças resistentes do concreto são as correspondentes à temperatura ambiente, com os coeficientes de ponderação unitários, e as do aço são as correspondentes à temperatura atual (em situação de incêndio).

Na Figura 5:

ε_c: Deformação específica linear do concreto.

ε_s: Deformação específica linear do aço.

f_c: Tensão do concreto.

f_s: Tensão do aço.

N : Força normal solicitante.

M : Momento fletor solicitante.

Para resolver o sistema de Equações 1, é realizada uma discretização da seção transversal. Dessa maneira é possível resolver as integrais de maneira bastante precisa inclusive quando se tem seções transversais com geometria pouco comum.

3.1 Equilíbrio na seção discretizada

O código desenvolvido pelos autores permite realizar uma discretização da seção transversal, em elementos quadrados ou retangulares. A deformação linear específica do concreto e a tensão são consideradas constantes em cada elemento e iguais à do respectivo centro geométrico. Para as armaduras, que sempre têm seções circulares e diâmetro pequeno em relação às dimensões da seção transversal de concreto, a deformação linear específica e a tensão são consideradas constantes e iguais à do respectivo centro geométrico de cada barra de armadura. Nas áreas onde há superposição entre as áreas do concreto e as áreas das armaduras é subtraída a tensão do concreto correspondente àquela área da armadura.

A seguir é a presentada a formulação de equilíbrio para a seção discretizada, que é análoga à formulação já apresentada. Nessa formulação o subíndice “e” indica que está se referindo a um elemento genérico “e”.

Realizada a discretização, um elemento da seção discretizada pode ser considerado em equilíbrio se é satisfeito o sistema de Equações 2.

$S_e=\underset{}{\overset{}{{\displaystyle \iint }}}{\sigma }_e\left({\epsilon }_e\right)Z_{e}dxdy$ (2)

No sistema de Equações 2, têm-se:

$S_e=\left[\begin{array}{c}{N}_e\\ M_{xe}\\ M_{ye}\end{array}\right]Z_e=\left[\begin{array}{c}1\\ y_e\\ x_e\end{array}\right]$

De maneira análoga ao sistema de Equações 1, no sistema de Equações 2 a parcela da esquerda representa as solicitações relacionadas ao elemento e a da direita representa as tensões e forças resistentes relacionadas ao elemento.

Para a seção transversal completa, já discretizada, o sistema de Equações 1 pode ser expresso segundo o sistema de Equações 3.

$\begin{array}{l}N={\displaystyle \sum }_{i=1}^{nec}{\sigma }_{ci}\left({\epsilon }_{ci}\right)A_{ci}+{\displaystyle \sum }_{i=1}^{nes}{\sigma }_{si}\left({\epsilon }_{si}\right)A_{si}\\ M_x={\displaystyle \sum }_{i=1}^{nec}{\sigma }_{ci}\left({\epsilon }_{ci}\right)y_{ci}{A}_{ci}+{\displaystyle \sum }_{i=1}^{nes}{\sigma }_{si}\left({\epsilon }_{si}\right)y_{si}{A}_{si}\\ M_y={\displaystyle \sum }_{i=1}^{nec}{\sigma }_{ci}\left({\epsilon }_{ci}\right)x_{ci}{A}_{ci}+{\displaystyle \sum }_{i=1}^{nes}{\sigma }_{si}\left({\epsilon }_{si}\right)x_{si}{A}_{si}\end{array}$ (3)

No sistema de Equações 3:

N: Força normal solicitante.

_^Mx : Momento solicitante em torno do eixo x.

_^My : Momento solicitante em torno do eixo y.

σ_ci : Tensão no elemento de concreto i.

σ_si : Tensão no elemento de aço i.

ε_ci : Deformação linear especifica no elemento de concreto i.

ε_si : Deformação linear especifica no elemento de aço i.

_^Aci : Área do elemento de concreto i.

_^Asi : Área do elemento de aço i.

_^xci : Coordenada x do centro geométrico do elemento de concreto i.

_^yci : Coordenada y do centro geométrico do elemento de concreto i.

_^xsi : Coordenada x do centro geométrico do elemento de aço i.

_^ysi : Coordenada y do centro geométrico do elemento de aço i.

Note-se que a distribuição de tensões é considerada constante na seção transversal de cada elemento, portanto, é necessária uma discretização adequada para obter uma boa distribuição de tensões na seção transversal do pilar.

4. Geração das curvas do estado limite - último

Sob as hipóteses indicadas anteriormente, para um conjunto de esforços solicitantes em situação de incêndio fornecidos ao código, ele aplica campos de deformações à seção transversal e avalia o sistema de Equações 3. Realiza esse processo de maneira iterativa até ser satisfeito o equilíbrio. Porém, é mais simples aplicar as deformações convencionais do estado limite - ultimo e calcular os esforços relacionados a essas deformações.

Para gerar as curvas envoltórias de ruptura ou curvas de interação de esforços, basta definir as deformações de ruptura convencionais à temperatura ambiente (lembrando que está sendo aplicado o método da isoterma de 500 °C) e calcular os esforços solicitantes associados a essas deformações. Percorrendo o campo de deformações de ruptura, se obtêm as curvas de interação de esforços.

Vale a pena salientar que se for necessário obter apenas a curva de interação N - M_x, correspondentes à flexão composta reta, todos os campos de deformação têm em comum, rotações em torno do eixo x, pois o momento M_y é nulo.

Para a curva de interação de momentos M_x - M_y o código aplica rotações à seção transversal em torno do eixo longitudinal do pilar (Figura 7) e, posteriormente, aplica os campos de deformação com as rotações em torno do eixo x. Vale a pena lembrar que para essas curvas de interação de momentos, a força normal é constante.

Figura 6
Seção transversal discretizada

Figura 7
Seção transversal discretizada, sob rotação em torno do eixo longitudinal do pilar

5. Materiais

No código desenvolvido foram empregadas as recomendações do EN 1992-1-1:2004 [⁴] e a ABNT NBR 6118:2014 [¹¹] para os diagramas tensão-deformação do concreto e aço à temperatura ambiente e as recomendações do EN 1992-1-2:2004 [⁹] e a ABNT NBR 15200:2012 [¹⁰] para os diagramas tensão-deformação do concreto e aço em situação de incêndio.

A seguir serão apresentados os diagramas tensão-deformação para concreto e aço tanto à temperatura ambiente convencional, quanto em situação de incêndio.

5.1 Materiais à temperatura ambiente

Para os materiais à temperatura ambiente, o EN 1992-1-1:2004 [⁴] e a ABNT NBR 6118:2014 [¹¹] permitem o uso das relações tensão-deformação da Figura 8 e Figura 9 dadas pelas Equações 4 e Equações 5 para o concreto comprimido e o aço respectivamente.

Figura 8
Diagrama tensão-deformação do concreto comprimido à temperatura ambiente

Figura 9
Diagrama tensão-deformação do aço à temperatura ambiente

$\begin{array}{l}{\sigma }_c={\alpha }_{cc}{f}_{cd}\left[1-{\left(1-\frac{{\epsilon }_c}{{\epsilon }_{c2}}\right)}^n\right]\\ 0\le {\epsilon }_c\le {\epsilon }_{c2}\\ {\sigma }_c={\alpha }_{cc}{f}_{cd}\\ {\epsilon }_{c2}\le {\epsilon }_c\le {\epsilon }_{cu}\end{array}$ (4)

Em que:

fcd: Resistencia de cálculo do concreto.

αcc: Coeficiente de diminuição da resistência do concreto sob carregamento de longa duração.

$\begin{array}{l}Para\left|{\epsilon }_s\right|\le {\epsilon }_{yd}\\ f_s=E_s{\epsilon }_s\\ Para{\epsilon }_s>{\epsilon }_{yd}\\ f_s=f_{yd}\\ Para{\epsilon }_s<{\epsilon }_{yd}\\ f_s=-f_{yd}\end{array}$ (5)

Em que:

Es: Módulo de elasticidade do aço.

Fyd: Resistencia de cálculo do aço.

5.2 Materiais em situação de incêndio

Para os materiais em situação de incêndio o EN 1992-1-2:2004 [⁹] e a ABNT NBR 15200:2012 [¹⁰] permitem o uso das relações tensão-deformação da Figura 10 e Figura 1 dadas pela Equação 5 e Equações 6 para o concreto comprimido e o aço respectivamente.

Figura 10
Diagrama tensão-deformação do concreto comprimido em situação de incêndio

Figura 11
Diagrama tensão-deformação do aço em situação de incêndio

$\frac{{\sigma }_{c,\theta }}{f_{c,\theta }}=\frac{3\left(\frac{{\epsilon }_{c,\theta }}{{\epsilon }_{c\mathrm{1,}\theta }}\right)}{2+{\left(\frac{{\epsilon }_{c,\theta }}{{\epsilon }_{c\mathrm{1,}\theta }}\right)}^3}$ (6)

$\begin{array}{l}{\sigma }_{s,\theta }={\epsilon }_{s,\theta }·E_{s,\theta }\\ 0\le {\epsilon }_{s,\theta }\le {\epsilon }_{p,\theta }\\ {\sigma }_{s,\theta }=f_{p,\theta }-c+\frac{b}{a}·\sqrt{a^2-\left({\epsilon }_{y,\theta }-{\epsilon }_{p,\theta }+\frac{c}{E_{s,\theta }}\right)}\\ {\epsilon }_{p,\theta }\le {\epsilon }_{s,\theta }\le {\epsilon }_{y,\theta }\\ {\sigma }_{s,\theta }=f_{yk,\theta }\\ {\epsilon }_{y,\theta }\le {\epsilon }_{s,\theta }\le {\epsilon }_{t,\theta }\\ {\sigma }_{s,\theta }=f_{yk,\theta }·\left[1-\frac{\left({\epsilon }_{s,\theta }-{\epsilon }_{t,\theta }\right)}{\left({\epsilon }_{u,\theta }-{\epsilon }_{t,\theta }\right)}\right]\\ {\epsilon }_{t,\theta }\le {\epsilon }_{s,\theta }<{\epsilon }_{u,\theta }\\ {\sigma }_{s,\theta }=0\\ {\epsilon }_{s,\theta }\ge {\epsilon }_{u,\theta }\end{array}$ (7)

Em que:

σc,θ: Tensão do concreto à temperatura θ.

εc,θ: Deformação linear específica do concreto à temperatura θ.

σs,θ: Tensão do aço à temperatura θ.

εs,θ: Deformação linear específica do aço à temperatura θ.

Como exemplo, a seguir são apresentados os diagramas tensão-deformação de um concreto fc=30 MPa para vários valores de temperatura (Figura 2) e os diagramas tensão-deformação do aço CA50, fy = 500 MPa, para vários valores de temperatura (Figura 3).

Figura 12
Diagrama tensão-deformação do concreto variando com a temperatura

Figura 13
Diagrama tensão-deformação do aço variando com a temperatura

6. Resultados e discussões

Foram realizadas algumas modelagens no código desenvolvido em MATLAB [⁸] para análises mecânicas de estruturas de concreto armado em situação de incêndio considerando o método da isoterma de 500 °C. Para isso foram realizadas as análises térmicas com o programa DIANA cujos resultados foram usados nas análises mecânicas no código em MATLAB.

Para as modelagens deste artigo foi usado concreto com f_ck = 30 Mpa, aço com f_y = 500 Mpa e E = 210 GPa.

Foram estudadas duas seções transversais de 30 cm x 30 cm com 4 ϕ 16 mm (Figura 14.a) e 8 ϕ 16 mm (Figura 14.b) com discretização em elementos quadrados de 1 cm x 1 cm.

Figura 14a
Seção transversal com 4 ϕ 16 mm

Figura 14b
Seção transversal com 8 ϕ 16 mm

Posteriormente foram realizadas as análises térmicas para 30 min, 60 min, 90 min e 120 min de exposição à curva-padrão ISO 834 (1999) [¹²]. Os correspondentes campos de temperatura são apresentados nas Figuras 15.a, 15.b, 15.c e 15.d respectivamente.

Figura 15a
Campo de temperaturas para 30 min

Figura 15b
Campo de temperaturas para 60 min

Figura 15c
Campo de temperaturas para 90 min

Figura 15d
Campo de temperaturas para 120 min

Conhecidos os campos de temperatura, o código desconsidera o concreto com temperaturas maiores do que 500 °C, considerando apenas o concreto interior à isoterma de 500 °C com as propriedades à temperatura ambiente. Já as armaduras, independentemente da posição, foram consideradas à sua temperatura atual (em situação de incêndio).

Finalmente, foi realizada a análise mecânica verificando o equilíbrio com o cálculo do sistema de Equações 3. Lembra-se que foram consideradas as deformações-limite do concreto à temperatura ambiente.

Obtiveram-se como resultado as curvas de interação de esforços para Flexão Composta Reta (N - M) e Flexão Composta Obliqua (N - M_x - M_y). Observa-se que N, M_x e M_y são os esforços de cálculo correspondentes à situação de incêndio.

A seguir, nas Figuras 16.a e 16.b, são apresentadas as curvas de interação N - M das duas seções transversais em estudo (Figuras 14.a e 14.b) para os campos de temperatura mencionados (Figuras 15.a, 15.b, 15.c e 15.d) considerando o método da isoterma de 500 °C.

Figura 16a
Curvas de interação N x M_x da seção 30 cm x 30 cm com 4 ϕ 16 mm

Figura 16b
Curvas de interação N x M_x da seção 30 cm x 30 cm com 8 ϕ 16 mm

Observa-se que quanto maior o tempo de exposição ao fogo, menor é a capacidade resistente do pilar, observando-se uma diminuição de mais de 50% da capacidade resistente à compressão centrada (em relação à sua capacidade à temperatura ambiente) quando o pilar é exposto 120 minutos.

A seguir, nas Figuras 17.a, 17.b, 17.c e 17.d são apresentadas as curvas de interação de momentos M_x - M_y das duas seções transversais em estudo para os campos de temperatura de 30, 60, 90 e 120 min de exposição ao fogo ISO 834 (1999) [¹²], considerando o método da isoterma de 500 °C, para 3 carregamentos normais constantes. Essas combinações de esforços são próprias da flexão composta oblíqua.

Figura 17a
Curvas de interação de momentos da seção 30 cm x 30 cm com 4 ϕ 16 mm para ^Ns ⁄_Ncm-ax20 = 0.20

Figure 17b
M_x - M_y curves of the cross-section with 4 ϕ 16 mm for ^N⁄_Ncmax20 = 0.40

Figure 17c
M_x - M_y curves of the cross-section with 8 ϕ 16 mm for ^N⁄_Ncmax20 = 0.20

Figura 17d
Curvas de interação de momentos da seção 30 cm x 30 cm com 8 ϕ 16 mm para ^Ns ⁄_Ncm-ax20 = 0.40

Nas figuras anteriores N_cmax20 é a força normal máxima resistente de compressão centrada à temperatura ambiente.

Observa-se a diminuição da capacidade resistente do pilar com o aumento da temperatura e com o carregamento axial.

Salienta-se que cada ponto marcado nas curvas de interação corresponde a uma solução calculada do sistema de Equações 3.

Lembra-se, também, que neste artigo não foram consideradas as restrições às deformações térmicas.

Não foi considerada a variação do diagrama tensão - deformação do concreto em função da temperatura, por se tratar do emprego do método da isoterma de 500 ºC.

A seguir apresenta-se uma tabela com a diminuição da força normal máxima de compressão centrada das seções apresentadas nas Figuras 14.a e 14.b para os tempos de exposição ao incêndio-padrão apresentados nas Figuras 15.a, 15.b, 15.c e 15.d.

Tabela 1
Diminuição da força normal resistente em função do tempo de exposição ao fogo

30 cm x 30 cm	Nmáx20	Nmáx θ / Nmáx20
		0 min	30 min	60 min	90 min	120 min
4 φ 16 mm	3.102,12 kN	1	0,84	0,68	0,55	0,45
8 φ 16 mm	3.504,25 kN	1	0,80	0,65	0,53	0,43

Neste artigo consideraram-se todos os coeficientes de ponderação das resistências unitários e desconsideram-se os efeitos da diminuição da resistência do concreto com o tempo (efeito de Rüsch, etc.) por se tratar de problemas associados a situações excepcionais de curta duração desde o ponto de vista da segurança.

O código desenvolvido pelos autores deste artigo está em desenvolvimento para além do método da isoterma de 500 ºC, a fim de realizar análises mecânicas considerando a variação dos diagramas tensão - deformação em função da temperatura e a variação das tensões na seção transversal (Figura 18).

Figura 18
Campo de tensões da seção 30 cm x 30 cm com 4 ϕ 16 mm submetida à compressão centrada

7. Conclusões

Para realizar modelagens numéricas de pilares curtos de concreto armado em situação de incêndio, o uso do método da isoterma de 500 °C mostrou-se uma estratégia adequada.

O código computacional desenvolvido para este artigo foi capaz de gerar curvas de interação usando o método da isoterma de 500 °C, combinado com um método que resolve as integrais e sistemas de equações por meio da discretização da seção transversal.

Como esperado, os resultados comprovaram que quanto maior o tempo de exposição ao fogo maior é a temperatura na seção transversal, portanto menor a capacidade resistente do pilar e que quanto maior a força de compressão no pilar, menor é o tempo em que atinge o estado-limite último.

Finalmente, salienta-se que a matemática usada para estudar os fenômenos estudados envolve sistemas de equações com integrais de equações não lineares. A resolução desses sistemas de equações foi possível usando métodos aproximados com discretização da seção transversal, considerados no meio acadêmico como métodos avançados.

8. Agradecimentos

Os autores agradecem à CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, ao CNPq - Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e à FAPESP Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  Fev 2018

Histórico

• Recebido
  24 Jan 2016
• Aceito
  20 Jun 2017