Inclusões dinâmicas em escalas temporais: existência de soluções sob a hipótese de semicontinuidade inferior

Inclusões dinâmicas em escalas temporais: existência de soluções sob a hipótese de semicontinuidade inferior

I.L.D. SantosI, ¹; G.N. SilvaI, ²; L. Barbanti^{II, 3}

^IDepartamento de Matemática Aplicada, IBILCE, UNESP - Univ Estadual Paulista, 15054-000 São José do Rio Preto, SP, Brasil

^IIDepartamento de Matemática, FEIS, UNESP - Univ Estadual Paulista, 15385-000 Ilha Solteira, SP, Brasil

RESUMO

Neste trabalho consideramos o problema de inclusão diferencial em escalas temporais cujo campo vetorial é uma multifunção, ou seja, uma função que mapea pontos a conjuntos. O trabalho fornece condições de existência sem exigir compacidade do campo vetorial; exige apenas que ele seja convexo, fechado e semicontínuo inferior. Em trabalhos anteriores na literatura, ou o campo é escalar ou exige-se que este, além de convexo, seja compacto e tenha o gráfico fechado.

Palavras-chave: inclusões dinâmicas, escalas temporais, existência de soluções.

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of differential inclusion in time scales whose vector field is a multifunction, that is, a function that maps points to sets. It is provided conditions of existence without requiring compactness of the vector field; it is required that the vector field is closed, convex, and lower semicontinuous. In previous work in literature, it is required that the field is either scalar or compact, convex, and has closed graph.

Keywords: Dynamic inclusions, time scales, existence of solutions.

1. Introdução

Inclusões dinâmicas com campos vetoriais em escalas temporais tem sido pouco exploradas na literatura. Entretanto, quando o campo é escalar tem recebido bastante atençãoVer por exemplo os trabalhos [3], [4], [7], [10] e [12]. No trabalho [21] é tratado o caso vetorial, mas sob as hipóteses de que o campo é convexo, compacto e com gráfico fechado.

Utilizando o método de soluções superiores e inferiores, em [4] é provado a existência de soluções para inclusões dinâmicas de primeira ordem em escalas temporais com condições de fronteira gerais. Já em [12] prova-se a existência de soluções para inclusões dinâmicas de primeira ordem em escalas temporais com condições iniciais não-locais.

Resultados de existência de soluções para inclusões dinâmicas de segunda ordem em escalas temporais com condições de fronteira usando o método de soluções superiores e inferiores podem ser encontrados em [3] e [10].

Neste trabalho provamos a existência de soluções para o problema de inclusão dinâmica vetorial de primeira ordem sob as hipóteses de o campo vetorial associado com a inclusão ser convexo, fechado e semicontínuo inferior. O resultado generaliza resultados de existência para o caso contínuo (ver por exemplo, [5]) e, de certa forma, resultados em escalas temporais em que o campo é escalar. O trabalho também generaliza, para inclusões dinâmicas, o resultado de existência (Teorema 4.3, [14]), provado para equações dinâmicas em escalas temporais.

Este trabalho é organizado da seguinte formaNa seção 2 revisamos resultados e conceitos básicos sobre cálculo diferenical, medida e integral em escalas de tempo. Na seção 3 enunciamos e provamos o novo resultado de existência de soluções para o problema de inclusões dinâmicas em escalas de tempo. Na seção 4 fazemos comentários finais em relação a contribuição deste trabalho.

2. Cálculo, Medida e Integração em Escala Temporal

Nesta seção revisamos os resultados e conceitos básicos sobre a análise em escalas de tempo. Relebramos os conceitos de derivadas de funções escalares e vetoriais em escalas de tempo. A seguir introduzimos a medida Δ e a integral Delta de Lebesgue em escalas de tempo, bem como algumas propriedades necessárias ao desenvolvimento da existência de soluções quando o campo é semicontínuo inferior.

O cálculo em escalas temporais foi introduzido por Hilger [16] como uma forma de unificar o cálculo diferencial e de diferenças. Entretanto, o estudo sobre escalas ramificou-se e hoje existe uma vasta literatura sobre o assunto, das quais citamos [1], [2], [3], [13], [18].

2.1. Cálculo em escala temporal

Neste trabalho é uma escala temporal, isto é, um subconjunto fechado do ⁿ. Definimos a função σ :→ por σ(t) = inf{s ∈ : s > t} e a função ρ:→ como sendo ρ(t) = sup{s ∈ : s < t}. Estamos supondo que infØ = sup e supØ = inf. Definimos a função µ:→ [0, +∞) da seguinte forma µ(t) = σ(t) - t

Lema 2.1 ([11]). Se é uma escala temporal então existem I ⊂ e {t_i}_{i∈ I}⊂ tal que

Se A ⊂ , definimos o conjunto como = A ∩Se sup < +∞ definimos

e se sup = +∞ definimos ^K =

Considere uma função f: e t ∈ ^KSe ξ ∈ é tal que, para todo ε > 0 existe δ > 0 de modo que

para todo s ∈ , dizemos que ξ é a delta derivada de f em t e denotamos ξ = f ^Δ(t).

Considere uma escala temporal , uma função f:ⁿ e t ∈ ^K. Dizemos que f é Δ-diferenciável em t se cada função coordenada f_i: for Δ-diferenciável em t. Neste caso

Teorema 2.1 ([9]). Considere uma escala temporal , uma função f:→ⁿe t ∈ ^K. Valem as seguintes propriedades:

(i) Se f é Δ-diferenciável em t então f é contínua em t.

(ii) Se f é contínua em t e σ(t) > t, então f é Δ-diferenciável em t. Além disso,

(iii) Seσ(t) = t, então f é Δ-diferenciável em t se, e somente se, o limite

existe como um elemento deⁿ. Neste caso

(iv) Se f é Δ-diferenciável em t, então f(σ(t)) = f(t) + µ(t) f ^Δ(t).

Teorema 2.2 ([9]). Seja uma escala temporal. Suponha que as funções f, g:são Δ-diferenciáveis em t ∈ ^K. Então:

(i) A soma f + g:é Δ-diferenciável em t e vale a relação

(ii) O produto f.g:

é Δ-diferenciável em t. Além disso,

Corolário 2.2.1 ([9]). Seja uma escala temporal. Suponha que as funções f, g:ⁿsão Δ-diferenciáveis em t ∈ ^K. Então a soma f+g:ⁿ é Δ-diferenciável em t. Além disso,

Definição 2.1 ([17]). Considere um conjunto E ⊂ C[], em que C[] é o conjunto f:^m. Dizemos que E é equicontínuo em t ∈ se para todo ε > 0, existe δ > 0, tal que

║ f(s) - f(t) ║ < ε

quando s ∈ (t - δ, t + δ) ∩e f ∈ E

Um conjunto E ⊂ C[] é equicontínuo se for equicontínuo em cada t ∈

Lema 2.2 ([17]). Considere uma escala temporal compacta e um conjunto E ⊂ C[] limitado na norma do máximo. Se E é equicontínuo então toda sequência de E possui subsequência que converge uniformemente em .

2.2. Medida exterior

Denote por a coleção de subintervalos de da forma = {t ∈ : < t < }, sendo , ∈ O intervalo é entendido como o conjunto vazio. Seja E ⊂ um subconjunto qualquer. Se existe pelo menos uma sequência de intervalos ∈ tal que E ⊂ ∪_j , definimos a medida exterior de E como

Se não existir uma tal cobertura de E definimos m^*(E) = +∞

Convencionamos que m^*(Ø) = 0 e denotamos a medida exterior em por λ^*.

Lema 2.3 ([15]). Se c, d ∈ e c < d, então m^*()= d - c.

Lema 2.4 ([11]). Se E ⊂ , então

É consequência imediata deste Lema o seguinte corolário.

Corolário 2.2.2. Seja E ⊂ Se m^*(E) = λ^*(E) então E ∩ RS = Ø. Reciprocamente, se E ∩ RS = Ø, isto é, E ⊂ {t ∈ :σ(t) = t}, então m^*(E) = λ^*(E).

2.3. Conjuntos mensuráveis

Um conjunto E ⊂ é chamado de Δ-mensurável (Lebesgue Δ-mensurável) se

m^*(A) = m^*(A ∩ E) + m^*(A ∩( \ E))

para cada conjunto A ⊂

Proposição 2.1 ([11]). Seja E ⊂ . Então E é Δ-mensurável se, e somente se, E é Lebesgue mensurável.

Teorema 2.3 ([8].[19]). A família Δ de conjuntos Δ-mensuráveis é uma σ-álgebra.

O Teorema 2.3 permite-nos definir a medida m^*: Δ→ [0, +∞] que chamamos de Δ-medida de Lebesgue e denotamos por m^*≡ µ_Δ.

Dizemos que uma proposição P vale Δ-quase sempre (Δ-a.e) em \{b}, se o conjunto N dado por N = {t ∈ \{b}: P nao vale em t } é tal que µ_Δ(N) = 0.

Se M = {t ∈ \{b}: P vale em t} segue que N = \ M. Como M = \ N e N ∈ D concluímos que M ∈ Δ.

Lema 2.5. Se duas proposições P e Q valem Δ-quase sempre em \{b}, então P ∩ Q vale Δ-quase sempre em \{b}

Demonstração. Temos que

N = {t ∈ \{b}: P ∩ Q nao vale em t} ⊂

N₁ = {t ∈ \{b}: P nao vale em t} ∪ N₂ = {t ∈ \{b}: Q nao vale em t}

µ_ΔN<µ_ΔN₁N₂<µ_Δ1µ_ΔN₂

2.4. Δ-Integral de Lebesgue

Os livros clássicos [6] e [20] contêm as propriedades básicas de funções mensuráveis e funções integráveis no caso em que as medidas são abstratas ou de Lebesgue. Aqui especializamos os conceitos e resultados para a σ-álgebra Δ e a integral correspondente, sem repetir as demonstrações que podem ser facilmente obtidas nos livros citados. Assim, quando um resultado estiver sem demonstração e sem citação é porque ele pode ser enconctrado em [6] ou [20].

Definição 2.2. Dizemos que uma função f: → [-∞, +∞] é Δ-mensurável se para cada α ∈ o conjunto {t ∈ : f(t) < α} é Δ-mensurável.

Definição 2.3.Dizemos que uma função f:ⁿé Δ-mensurável se cada função coordenada f_i:é Δ-mensurável.

Definição 2.4.Se E ∈ Δ, denotamos por L₁(E) o conjunto das funções f : Δ-mensuráveis e integráveis em E.

Definição 2.5. Seja f:ⁿuma função Δ-mensurável e E ∈ Δ. Dizemos que f é integrável em E se cada função coordenada f_i:é integrável em E.

Definição 2.6. Se E ∈ Δ, denotamos por L₁(E, ⁿ) o conjunto das funções f:ⁿΔ-mensuráveis e integráveis em E.

Como consequência do Teorema da convergência dominada de Lebesgue ([6] ou [20]) temos o seguinte corolário.

Corolário 2.3.3.Considere uma sequência f_n:de funções Δ-mensuráveis. Seja f: →[0, +∞) uma função em L₁() tal que para cada n temos | f_n(t) | < ϕ(t) para todo t ∈ .

Se A ⊂ é Δ-mensurável então

Demonstração.

Lema 2.6. Se E ∈ Δ e f ∈ L₁(E, ⁿ) então ║f║ ∈ L₁(E).

Demonstração. Para cada t ∈ temos que

║f(t)║ = ║(f₁(t), , f_n(t))║ < | f₁(t) | + + | f_n(t)|

f₁f_n L₁EfL₁E

Definição 2.7. Dada uma função f:ⁿdefinimos

como

sendo

tal que

Proposição 2.2 ([11]). Considere uma função f:. Então f é Δ-mensurável se, e somente se, é -mensurável.

Corolário 2.3.4.Seja f:ⁿuma função dada. Então f é Δ-mensurável se, e somente se, é -mensurável.

Definição 2.8.Se E ⊂ defina

Teorema 2.4 ([11]). Seja um conjunto Δ-mensurável E ⊂ tal que b ∈ E. Seja f:uma função Δ-mensurável e :[a, b] → a extensão de f dada pela Definição 2.7.

Então, f ∈ L₁(E) se, e somente se, . Neste caso,

Corolário 2.4.5. Seja E ⊂ um conjunto Δ-mensurável tal que b ∈ E. Seja f:ⁿuma função Δ-mensurável e :[a, b] → ⁿa extensão de f dada pela Definição 2.7

Então, f ∈ L₁(E, ⁿ) se, e somente se, ∈ L₁(,

ⁿ). Neste caso,

Proposição 2.3.Considere uma função g ∈ L₁(). Suponha que

para cada c, d ∈ tal que c < d. Então g(t) = 0 Δ-a.et ∈

Demonstração. Observe inicialmente que ∈ L₁([a, b)), já que g ∈ L₁()

Seja t ∈ fixado arbitrariamente. Se σ(t) > t, segue que

e então g(t) = 0

Se σ(t) = t e t é um ponto de Lebesgue de , seja {δ_i} uma sequência tal que δ_i↓ 0 e t + δ_i ∈ para cada i. Do Teorema 0.4 e de [20] temos

já que t ∈

Assim, se D = {s ∈ :g(s) ≠ 0} segue que D ⊂ A ∩ B, onde

A = {s ∈ : σ(s) = s}

e B o conjunto dos pontos s ∈ tal que s não é ponto de Lebesgue de . Do Lema 2.2.2 e de [20] segue que

m^*(D) <m^*(A ∩ B) = λ^*(A ∩ B) < λ^*(B) = 0

gtt

Proposição 2.4. Seja g ∈ L₁() e suponha que

para cada c, d ∈ tal que c < d. Então g(t) > 0 Δ-a.et ∈ .

Demonstração. Considere t ∈ fixado arbitrariamente. Se σ(t) > t, segue que

e então g(t) > 0.

Se σ(t) = t e t é um ponto de Lebesgue de , considere uma sequência {δ_i} tal que δ_i↓ 0 e t + δ_i ∈ para cada i. Do Teorema 2.4 e de [20] temos que

já que t ∈ .

Assim, se D = {s ∈ :g(s) < 0} temos que D ⊂ A ∩ B, sendo

A = {s ∈ : σ(s) = s}

e B o conjunto dos pontos s ∈ tal que s não é ponto de Lebesgue de . Do Lema 2.2.2 e de [20] segue que

m^*(D) <m^*(A ∩ B) = λ^*(A ∩ B) < λ^*(B) = 0

gt>a.et

Proposição 2.5. Considere uma função . Suponha que

para cada c, d ∈ tal que c < dEntão g(t) = 0 Δ-a.et ∈

Demonstração. Temos que g = (g₁, , g_n), sendo cada função coordenada g_i∈ L₁(). Da Proposição 2.3 temos g_i(t) = 0 Δ - a.et ∈ para cada i ∈ {1, , n}Assim,

onde N_i = {s ∈ : g_i(s) ≠ 0}. Logo

gta.et

3. Existência de Soluções para o Problema de Inclusão Dinâmica

Na Subseção 3.1 recordamos alguns conceitos e propriedades de multifunções, os quais são utilizados na demonstração do resultado da Subseção 3.2. Introduzimos o problema de inclusão dinâmica em escalas de tempo, enunciamos e provamos o resultado principal sobre a existência de soluções na Subseção 3.2.

3.1. Multifunções

Definição 3.1. Sejam M e N espaços métricos e considere uma multifunção F : M N, isto é, uma função que leva pontos de M a subconjuntos do espaço N. Diz-se que F é semicontínua inferior em x₀∈ M se para cada y₀∈ F(x₀) e para toda vizinhança V(y₀) de y₀ existe uma vizinhança V(x₀) de x₀ tal que

F(x) ∩ V(y₀) ≠ Ø

para todo x ∈ V(x₀).

Definição 3.2. Dada uma multifunção F: M N, dizemos que uma função f: M → N é uma seleção de F quando f(x) ∈ F(x) para todo x ∈ M.

Teorema 3.1 ([5]). Considere um espaço métrico M, um espaço de Banach N e uma multifunção F: M N semicontínua inferior. Se F é não-vazia, convexa e fechada então F admite uma seleção contínua.

3.2. Resultado principal

Teorema 3.2. Seja uma multifunção não-vazia, convexa e fechada. Se F é semicontínua inferior, então existe b₁∈ \{a} tal que o problema de valor inicial

possui solução.

Demonstração. Do Teorema 3.1 existe uma seleção contínua de F.

Se σ(a) > a tome b₁ = σ(a)Defina o arco x:→ ⁿ como x(a) = x₀ e x(b₁) = µ(a) f (a, x(a)) + x(a). Logo

e então

x^Δ(t) = f(t, x(t)) ∈ F(t, x(t))

quando t ∈ = a.

Suponha que σ(a) = a. Fixado um número L > 0, como f é contínua existe M > 1 tal que

quando u ∈ e ║w - x₀║ < LSeja b₁∈ tal que b₁ > a e (b₁- a)M < L

Considere o seguinte conjunto convexo

, x de Lipschitz com constante M}.

Se x ∈ K, para cada t ∈ temos

║x(t)║ < M| t - a| + ║x₀║ < M (b₁- a) +║x₀║

Como K é equicontínuo segue do Lema 2.2 que o conjunto K é compacto

Defina a aplicação como

para cada .

Se x ∈ K para todo temos

e então Assim, se s, t ∈e s > t segue que

A desigualdade (3.2) é uma consequência de (3.1).

De modo análogo, se s, t ∈ e s < t temos que

║(T(x))(s) – (T(x))(t)║ < M(t – s)

e portanto T(x) ∈ K

Se D : = {w ∈ ⁿ: ║w -x₀║ < L} segue que f é uniformemente contínua em ×D. Assim, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

quando u, v ∈ ×D e ║u – v║ < δ.

Tome ∈ K arbitrariamente. Se x ∈ K satisfaz

para cada s ∈ temos

Então e portanto T é contínua em .

Do Teorema do Ponto Fixo de Schauder [5] existe x_*∈ K tal que T(x_*) = x_*.

Se x ∈ K defina o arco z :→ ⁿ por

para cada s ∈.

Para todo t ∈ temos

Como z(a) = x₀, para cada t ∈ segue que

Assim, se para cada s ∈ a função g ∈ L₁(, ⁿ) é definida como

temos que

para todo t ∈ .

Seja c, d ∈ tal que c < d. Logo

e da Proposição 2.5 concluímos que

isto é,

Portanto

4. Considerações Finais

No Teorema 3.2 provamos a existência de solução para uma inclusão dinâmica usando uma seleção contínua do campo vetorial desta inclusão dinâmica. A solução obtida é uma solução usual da equação dinâmica, cujo campo vetorial é uma seleção contínua.

Por outro lado, quando o campo vetorial da inclusão dinâmica é uma multifunção semicontínua superior, [21] prova a existência de solução usando uma seleção arbitrária de seu campo vetorial. Para isso supõe-se que o campo vetorial seja uma multifunção não-vazia, convexa, compacta e satisfaça uma condição de crescimento linear. Nesse caso, a solução será uma solução de Euler da equação dinâmica, cujo campo vetorial é uma tal seleção.

Finalmente, gostariamos de agradecer aos revisores anônimos que muito contribuiram para a melhoria técnica e redação final deste trabalho.

Recebido em 30 Junho 2011; Aceito em 01 Abril 2012.

• [1] M. Adivar, Y.N. Raffoul, Existence of resolvent for Volterra integral equations on time scales, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 82, No.1 (2010), 139-155.
• [2] E. Akin-Bohner, Y.N. Raffoul, C.C. Tisdell, Exponenctial stability in functional dynamic equations on time scales, Communications in Mathematical Analysis, 9, No.1 (2010), 93-108.
• [3] E. Akin-Bohner, S. Sun, Existence of solutions for second-order dynamic inclusions, IntJDynamical Systems and Differential Equations, 3, No.1-2 (2011), 24-37.
• [4] F.M. Atici, D.C. Biles, First order dynamic inclusions on time scales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 292, No.1 (2004), 222-237.
• [5] J.P. Aubin, A. Cellina, Differential Inclusions, Springer-Verlag, Berlin, 1984.
• [6] R.G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley and Sons, New York, 1995.
• [7] A. Belarbi, M. Benchohra, A. Ouahab, Existence results for impulsive dynamic inclusions on time scales, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No12 (2005), 22.
• [8] M. Bohner, A. Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser, Boston, 2003.
• [9] M. Bohner, A. Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser, Boston, 2001.
• [10] M. Bohner, C.C. Tisdell, Second order dynamic inclusions, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 12, No.2 (2005), 36-45.
• [11] A. Cabada, D.R. Vivero, Expression of the Lebesgue Δ-integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the calculus of Δ-antiderivatives, Mathematical and Computer Modelling, 43, No.1-2 (2006), 194-207.
• [12] Y.K. Chang, W.T. Li, Existence results for dynamic inclusions on time scales with nonlocal initial conditions, Computers and Mathematics with Applications, 53, No1 (2007), 12-20.
• [13] L. Erbe, T.S. Hassan, A. Peterson, Oscillation of third order nonlinear functional dynamic equations on time scales, Differential Equations and Dynamical Systems, 18, No.1-2 (2010), 199-227.
• [14] H. Gilbert, Existence theorems for first-order equations on time scales with Δ-Caratheódory functions, Advances in Difference Equations, 2010, (2010), 1-20.
• [15] G.S. Guseinov, Integration on time scales, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 285, No.1 (2003), 107-127.
• [16] S. Hilger, Analysis on measure chains- a unified approach to continuous and discrete calculus, Results in Mathematics, 18, No.1-2 (1990), 18-56.
• [17] E.L. Lima, Espaços Métricos, Coleção Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 2003.
• [18] A. Liu, M. Bohner, Gronwall-OuIang-type integral inequalities on time scales, Journal of Inequalities and Applications, 10, (2010), 15.
• [19] H.L. Royden, Real Analysis, Collier-Macmillan Limited, London, 1968.
• [20] W. Rudin, Real and Complex Analysis, third edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1987.
• [21] I.L.D. Santos e G.N. Silva, Absolute continuity and existence of solutions to vector dynamic inclusions in time scales, Technical Report, Department of Computing and Statistics, IBILCE, UNESP - Univ Estadual Paulista, São José do Rio Preto, SP, 2011.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  15 Out 2012
• Data do Fascículo
  2012

Histórico

• Recebido
  30 Jun 2011
• Aceito
  01 Abr 2012