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Anais da Academia Brasileira de Ciências

Print version ISSN 0001-3765

Abstract

OSTWALD, RENATA N.. On the existence of Levi Foliations. An. Acad. Bras. Ciênc. [online]. 2001, vol.73, n.1, pp. 07-13. ISSN 0001-3765.  http://dx.doi.org/10.1590/S0001-37652001000100002.

Seja L Ì uma variedade real de dimensão 3. Para todo ponto regular p Î L existe uma única reta complexa lp no espaço tangente à L em p. Quando o campo de linhas complexas p $\displaystyle \mapsto$ lp é completamente integrável, dizemos que L é uma variedade de Levi. Mais geralmente, seja L Ì M uma subvariedade real em uma variedade analítica complexa. Se existe uma distribuição real integrável de dimensão 2 em L que é invariante pela estrutura holomorfa J induzida pela variedade complexa M, dizemos que L é uma variedade de Levi. Vamos provar: Teorema. Seja $ \cal {L}$ uma folheação de Levi e seja $ \cal {F}$ a folheação holomorfa induzida. Então $ \cal {F}$ tem integral primeira Liouvilliana. Em outras palavras, se $ \cal {L}$ é uma folheação real de dimensão 3 tal que a folheação holomorfa induzida define uma folheação holomorfa $ \cal {F}$; isto é, se $ \cal {L}$ é uma folheação de Levi; então $ \cal {F}$ admite uma integral primeira Liouvilliana - uma função que pode ser construida por composição de funções rationais, exponenciações, integrações e funções racionais (Singer 1992). Por exemplo, se f é uma função holomorfa e se q é uma 1-forma real em $ \mathbb {R}$2; então o pull-back de q por f define uma folheação de Levi: $ \cal {L}$ : f*q = 0 a qual é tangente a folheação holomorfa $ \cal {F}$ : df = 0. Este problema foi proposto por D. Cerveau em uma reunião (Fernandez 1997).

Keywords : folheações de Levi; folheações holomorfas; singularidades; variedades de Levi.

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