Síntese das Leis de Kepler

Garms, Marco Antonio; Caldas, Iberê Luiz

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2017-0253

Marco Antonio Garms ^**Endereço de correspondência: magarms@terra.com.br.

Universidade Paulista, São Paulo, SP, Brasil

Iberê Luiz Caldas

Universidade de São Paulo, Instituto de Física, São Paulo, SP, Brasil

*Endereço de correspondência: magarms@terra.com.br.

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Figura 1
Modelo de Ptolomeu para as trajetórias de um planeta, como Marte, em torno da Terra.

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Figura 2
Modelo de órbita circular de Marte ou da Terra (P), em torno do Sol (S), adotado inicialmente por Kepler.

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Figura 3
Longitudes eclípticas geocêntricas de um ponto P na esfera celeste (

λ

P) e do Sol (

λ

S). Se P representar Marte, então

λ

P

= λ

M. Neste caso

β

M

\approx

0

^{o}

, pois o plano da órbita de Marte encontra-se muito próximo do plano eclíptico.

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Figura 4
Obtenção da longitude eclíptica heliocêntrica da Terra (

λ

T) a partir da longitude eclíptica geocêntrica do Sol (

λ

S).

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Figura 5
Ângulo

Δ

de 3 em 3horas ao longo de 28/08/2003.

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Figura 6
Figura com a posição de Marte fixa e duas posições da Terra, T

_{0}

e T, respectivamente, na oposição considerada na e após um ano marciano. Triângulo MTS, determinado pelas posições do Sol, de Marte e da Terra (T), e seus ângulos internos

α

,

β

e

γ

. Os ângulos

λ

T0 e

λ

T indicados são os da . O ângulo

λ

M é a coordenada geocêntrica de Marte obtida pelo Stellarium.

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Figura 7
Círculo determinado pelos pontos A, C, E com centro em O: ajuste circular da órbita terrestre por meio de mediatrizes. Também é estimada a excentricidade

ε

desta órbita.

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Figura 8
Cálculo do erro de ajuste da órbita de um planeta definido pelo ângulo P'SP sendo P' e P respectivamente a posição prevista e a medida deste planeta e S a posição do Sol.

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Figura 9
Círculo por ACE com centro em O: erro deste ajuste circular para a órbita terrestre.

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Figura 10
Círculo por ACE com centro em O: coordenadas polares (centro no Sol). da órbita terrestre sendo r

_{T} =

ST.

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Figura 11
Função polinomial r

_{T} =

f(

λ

T).

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Figura 12
Círculo por FGH com centro em O: ajuste circular para a órbita de Marte.

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Figura 13
Círculo por FGH com centro em O: erro deste ajuste circular para a órbita de Marte.

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Figura 14
Procedimento geométrico-numérico para definir o centro da elipse, ajustada aos pontos de A a H (veja ), a partir das mediatrizes f, …, m.

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Figura 15
Ampliação da em torno do ponto O

\to

centroide de IJKLMNPQ.

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Figura 16
Obtenção de uma elipse definida pelos focos (F1 e F2) e por um ponto (Y0) a ela pertencente.

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Figura 17
Elipse de focos F' e S passando por H: ajuste elíptico da órbita de Marte.

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Figura 18
Elipse de focos F' () e S passando por H: erro deste ajuste elíptico da órbita de Marte.

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Figura 19
Posições e áreas varridas pela Terra e por Marte relacionadas à .

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Tabela 1
Oito oposições de Marte.

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Tabela 2
Ângulo

Δ

de 3 em 3 horas ao longo de 28/08/2003.

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Tabela 3
Datas e instantes de ocorrência no dia para oito oposições.

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Tabela 4
Ângulos

λ

M,

λ

S (obtidos do aplicativo Stellarium) e

λ

T (calculado pela ) de dados em instantes separados por um ano marciano, durante, após e antes da primeira oposição. Deslocamentos positivos e negativos fazem com que atrasos e avanços em torno desta oposição se compensem diminuindo o erro devido ao arredondamento (de 686,98 para 687 dias) do ano marciano.

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Tabela 5
Coordenadas das posições da Terra em A, B, C, D e E (veja ).

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Tabela 6
Círculo por ACE com centro em O: erro deste ajuste circular para a órbita terrestre.

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Tabela 7
Coordenadas polares (centro no Sol) em oito pontos.

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Tabela 8
Medidas (Stellarium) dos ângulos

λ

M e

λ

S nas oposições da Tabela 1 e um ano marciano após cada uma delas. O ângulo

λ

T é igual a

λ

S

+

180° caso

λ

S <180° e igual a

λ

S - 180° caso

λ

S

\geq

180° (ver ).

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Tabela 9
Coordenadas das posições de Marte em A, B, C, D, E, F, G e H veja .

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Tabela 10
Círculo por FGH com centro em O: erro deste ajuste circular para a órbita de Marte.

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Tabela 11
Elipse de focos F' e S passando por H: erro deste ajuste elíptico da órbita de Marte.

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Tabela 12
Observações em três oposições de Marte e em três momentos deslocados de 96 horas (quatro dias) de cada uma delas. O deslocamento é escolhido para que a área varrida possa ser aproximada por um triângulo (exemplo MSM

_{0})

e, também, visualizada na .

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Tabela 13
Distâncias médias ao Sol, períodos orbitais e relação “distância média ao Sol (d

_{m})

ao cubo sobre período (T) orbital ao quadrado (d

_{m}^{3}

/ T

^{2})

” para os planetas Marte e Terra.

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	0h	3h	6h	9h	12h	15h	18h	21h
$λ$ M ( $^{o})$	335,19	335,15	335,12	335,09	335,06	335,03	334,99	334,95
$λ$ S ( $^{o})$	154,43	154,55	154,67	154,79	154,91	155,03	155,15	155,27
$δ$ ( $^{o})$	180,76	180,60	180,45	180,30	180,15	180,00	179,84	179,68
$Δ$ ( $^{o})$	0,758	0,602	0,451	0,300	0,150	-0,003	-0,159	-0,318

Oposição	Data	Hora do dia
1a	28/08/2003	14	51	52
2a	07/11/2005	5	47	52
3a	24/12/2007	17	43	8
4a	29/01/2010	17	40	14
5a	03/03/2012	17	7	41
6a	08/04/2014	18	1	29
7a	22/05/2016	8	10	46
8a	27/07/2018	2	1	31

	(às 14:51:52)	Deslocamento [ano M]	$λ$ M( $^{o})$	$λ$ S( $^{o})$	$λ$ T $= λ$ S±180 $^{o}$
1ª opos.	28/08/2003	0	335,03	155,02	335,02
A	15/07/2005	1	22,43	113,33	293,33
B	02/06/2007	2	13,68	71,83	251,83
C	19/04/2009	3	357,81	29,80	209,80
D	10/10/2001	-1	288,72	197,50	17,50
E	23/11/1999	-2	298,04	240,95	60,95

	$λ$ T ( $^{o})$	$α$ ( $^{o})$	$β$ ( $^{o})$	$γ$ ( $^{o})$	r' $_{T}$	r $_{T}$ (UA)	x	y
A	293,334	41,693	90,900	47,406	0,736	1,011	0,400	-0,928
B	251,827	83,200	58,144	38,656	0,735	1,009	-0,315	-0,959
C	209,801	125,226	31,990	22,784	0,731	1,003	-0,871	-0,499
D	17,498	42,470	91,219	46,311	0,723	0,993	0,947	0,298
E	60,953	85,926	57,082	36,992	0,717	0,984	0,478	0,860
				Média	0,729	1,000

	A	B	C	D	E
erro	0'	0,043534'	0'	0,00918'	0'

			t			$λ$ M ( $^{o})$	$λ$ S( $^{o})$	$λ$ T( $^{o})$
A	1a.	28/08/2003	14	51	52	335,0272	155,0233	335,0233
	$+ 1$ ano M	15/07/2005	14	51	52	22,4336	113,3339	293,3339
B	2a.	07/11/2005	5	47	52	45,0094	225,0119	45,0119
	$+ 1$ ano M	25/09/2007	5	47	52	88,3033	181,9192	1,9192
C	3a.	24/12/2007	17	43	8	92,6156	272,6144	92,6144
	$+ 1$ ano M	10/11/2009	17	43	8	131,2158	228,5478	48,5478
D	4a.	29/01/2010	17	40	14	129,7939	309,7928	129,7928
	$+ 1$ ano M	17/12/2011	17	40	14	165,9153	265,5089	85,5089
E	5a.	03/03/2012	17	7	41	163,6544	343,6533	163,6533
	$+ 1$ ano M	19/01/2014	17	7	41	199,2358	299,6300	119,6300
F	6a.	08/04/2014	18	1	29	198,9472	18,9467	198,9467
	$+ 1$ ano M	24/02/2016	18	1	29	235,9686	335,6881	155,6881
G	7a.	22/05/2016	8	10	46	241,7917	61,7917	241,7917
	$+ 1$ ano M	09/04/2018	8	10	46	282,6364	19,5561	199,5561
H	8a.	27/07/2018	2	1	31	304,1467	124,1489	304,1489
	$+ 1$ ano M	13/06/2020	2	1	31	350,6958	82,6614	262,6614

	$λ$ T ( $^{o})$	$λ$ T0 ( $^{o})$	$α$ ( $^{o})$	$β$ ( $^{o})$	$γ$ ( $^{o})$	ST	rM	x	y
A	293,334	335,027	41,693	90,900	47,406	1,011	1,373	1,244	-0,579
B	1,920	45,009	43,093	93,616	43,291	0,995	1,448	1,023	1,024
C	48,548	92,616	44,067	97,332	38,601	0,986	1,568	-0,072	1,566
D	85,509	129,794	44,284	99,594	36,123	0,981	1,641	-1,051	1,261
E	119,630	163,654	44,023	100,394	35,583	0,983	1,662	-1,595	0,468
F	155,688	198,947	43,259	99,720	37,022	0,990	1,621	-1,533	-0,526
G	199,556	241,792	42,236	96,920	40,845	1,001	1,519	-0,718	-1,339
H	262,661	304,147	41,488	91,966	46,547	1,010	1,391	0,781	-1,151

	A	B	C	D	E	F	G	H
erro	0,0034'	7,246'	6,351'	0,188'	1,987'	0'	0'	0'

	A	B	C	D	E	F	G	H
erro	0,03'	0,73'	0,21'	0,41'	0,039'	0,066'	0,51'	0'

		t			$λ$ M ( $^{o})$	$λ$ S ( $^{o})$	$λ$ T ( $^{o})$	Área T $_{i}$ ST $_{f}$	Área M $_{i}$ SM $_{f}$
(i) 1 $^{a}$ opos.	28/08/2003	14	51	52	335,03	155,02	335,02	0,034	0,042
(f) $+$ 96h	01/09/2003	14	51	52	333,97	158,89	338,89
(i) 2 $^{a}$ opos.	07/11/2005	5	47	52	45,01	225,01	45,01	0,034	0,042
(f) $+$ 96h	11/11/2005	5	47	52	43,63	229,03	49,03
(i) 5 $^{a}$ opos.	03/03/2012	17	7	41	163,65	343,65	163,65	0,034	0,042
(f) $+$ 96h	07/03/2012	17	7	41	162,08	347,67	167,67

	Marte	Terra
	d (UA)	d (UA)
	1,37	1,01
	1,45	1,01
	1,57	1,00
	1,64	0,99
	1,66	0,98
	1,62
	1,52
	1,39
d $_{m}$	1,53	1,00
T(anos T)	1,88	1,00
d $_{m}^{3}$ / T $^{2}$	1,01	1,00

\overline{r_{T}} = \frac{∑_{i = 1}^{5} \frac{r_{T i}^{'}}{\overline{r_{T}^{'}}}}{5} = \frac{\frac{∑_{i = 1}^{5} r_{T i}^{'}}{5}}{\overline{r_{T}^{'}}} = 1 U A

[1] *Endereço de correspondência: magarms@terra.com.br.

$λ$ T( $^{o})$	293,333	251,829	209,799	17,4976
r $_{T}$ (UA)	1,01066	1,00944	1,00349	0,99266
$λ$ T( $^{o})$	60,9532	158,358	112,22	358,226
r $_{T}$ (UA)	0,98374	0,99043	0,98247	0,99758

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Síntese das Leis de Kepler

Kepler's laws synthesis