Função Penalidade Baseada na Função Onda Triangular para Tratar Variáveis Discretas do Problema de FPOR

RESUMO

O problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO) é um importante problema da área de engenharia elétrica investigado desde a década de 1960. O objetivo do problema de FPO é determinar um ponto de operação de um sistema de transmissão de energia elétrica que otimize um dado desempenho deste sistema e satisfaça suas restrições físicas e operacionais. O problema de Fluxo de Potência Ótimo Reativo (FPOR) é um caso particular do problema de FPO. O problema de FPOR pode ser modelado matematicamente como um problema de programação não-linear, não-convexo, com variáveis discretas e contínuas. Neste trabalho, propõe-se uma nova abordagem de resolução para o problema de FPOR. O método proposto consiste em tratar as variáveis discretas do problema por uma função penalidade diferenciável obtida pela decomposição da função onda triangular por série de Fourier. O método de pontos interiores implementado no solver IPOPT é utilizado para resolver a sequência de problemas contínuos e penalizados gerada. As soluções dos problemas contínuos e penalizados convergem para a solução do problema original.Testes numéricos com os sistema elétricos IEEE 14 e 30 barras são apresentados e demonstram o potencial do método.

Palavras-chave:
fluxo de potência ótimo; variáveis discretas; função penalidade

ABSTRACT

The Optimal Power Flow problem (OPF) is an important problem of electrical engineering investigated since the 60s. The aim of the OPF problem is to determine theoperation point of a electricity transmission system that optimizes a given performance of such system and that satisfies its physical and operating constraints. The Reactive Optimal Power Flow problem (ROPF) is a particular case of the OPF problem. The ROPF problem can be mathematically modeled as a nonconvex nonlinear programming problem with discrete and continuous variables. In this paper, a new approach is proposed for solving theROPF problem. The proposed method comprises treating the discrete variables of the problem by a differentiable penalty function obtained by the decomposition of the triangular wave function through its Fourier series. The interior point methods implemented in the solver IPOPT is used to solve a generated sequence of continuous and penalized problems. The solution of the continuous and penalized problems converge to a solution of the original problem. Numerical tests with the IEEE 14 and 30 bus electrical systems are presented demonstrated the potential of the method.

Keywords:
optimal power flow; discrete variables; penalty function

1 INTRODUÇÃO

A energia elétrica é indispensável no dia-a-dia das pessoas. Atividades rotineiras dependemcompletamente da energia elétrica. Os sistemas de energia devem fornecer energia elétrica de qualidade adequada e no momento solicitado pelos consumidores, com o mínimo de interrupções e com custo mínimo.

Devido ao crescimento destes sistemas, e o número de interligações entre estes, operá-los de modo eficiente é uma tarefa complexa. Uma forma eficiente de determinar o estado ótimo de um sistema elétrico é através da resolução do problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO). O problema de FPO determina um ponto de operação de um sistema elétrico através do ajuste dos controles de modo que otimize uma função objetivo e respeite um conjunto de restrições físicas e operacionais. Os estudos relacionados a problemas de FPO se iniciaram na década de 1960¹, e desde então novas formulações e abordagens de resolução para estes problemas têm sido propostas na literatura.

Neste trabalho trata-se do problema de Fluxo de Potência Ótimo Reativo (FPOR), um caso particular do problema de FPO, em que os controles associados à potência ativa são fixados e os controles relacionadas à potência reativa devem ser ajustados. Na formulação adotada o problema de FPOR é modelado matematicamente como um problema de programação não-linear, não-convexo, restrito, com variáveis discretas e contínuas.

O tratamento eficiente das variáveis discretas em problemas de FPO tem sido reconhecido como um problema desafiador e tem recebido significativa atenção desde o final da década de 1980^{2), (4}. Devido à dificuldade imposta pelas variáveis discretas em problemas de FPO, alguns trabalhos têm apresentado abordagens para tratar estas variáveis, dentre os quais destacamos os trabalhos que utilizam funções penalidade^{5), (7}.

Devido à importância do problema de FPOR, propomos neste trabalho uma nova função penalidade diferenciável obtida pela decomposição da função onda triangular por série de Fourier. Para resolver a sequência de problemas contínuos e penalizados gerada utiliza-se o método de pontos interiores implementado no solver gratuito IPOPT. As soluções dos problemas contínuos e penalizados convergem para a solução do problema original, com variáveis discretas e contínuas. Os testes numéricos com os sistema elétricos IEEE 14 e 30 barras demonstram o potencial do método proposto para a resolução do problema de FPOR.

Este trabalho está organizado como segue: na seção 2 é apresentada a formulação matemática do problema de FPOR. Na seção 3 é apresentada a função penalidade obtida baseada na função onda triangular. Na seção 4 estão os resultados numéricos obtidos e finalmente na seção 5 estão as conclusões.

2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO REATIVO

O problema de FPOR é modelado matematicamente como um problema de programação não-linear, não-convexo, restrito, com variáveis discretas e contínuas. A seguir é apresentada a formulação matemática para este problema adotada neste trabalho, que objetiva minimizar as perdas de potência ativa nas linhas de transmissão de energia elétrica. Considere:

• • Conjuntos:

BS Barras do sistema.

BCCR Barras de carga e de controle de reativo.

BC Barras de carga.

BCR Barras de controle de reativo.

T Transformadores com tap variável.

Ω Linhas de transmissão.

Ω_k Linhas de transmissão conectadas a uma barra k.

BSS Barras com susceptâncias shunt variável. Tem-se BSS⊂BS.

D_tl Valores discretos que o tap do transformador da linha l pode assumir.

D_b ^sh _k Valores discretos que a susceptância shunt k pode assumir.

• • Constantes:

k, respectivamente, com k∈BS (pu). Limites mínimo e máximo da geração de potência reativa na barra

k, respectivamente, com k∈BS(pu). Limites mínimo e máximo da magnitude da tensão na barra

g(k,m),b(k,m) Condutância e susceptância da linha (k,m), respectivamente, com (k,m) ∈Ω(pu).

b^sh _(k,m) Susceptância shunt da linha (k,m), com (k,m) ∈Ω (pu).

P^G _k , P^C _k Potência ativa gerada e consumida, respectivamente, na barra k, com k∈BS (pu).

Q^G _k , Q^C _k Potência reativa gerada e consumida, respectivamente, na barra k, com k∈BS (pu).

• • Variáveis:

θ_k Ângulo da tensão na barra k, com k∈BS (rad).

V_k Magnitude da tensão na barra k, com k∈BS (pu).

T(k,m) Tap do transformador da linha (k,m), com (k,m) ∈T (pu).

b^sh _k Susceptância shunt da barra k, com k ∈ BSS (pu).

Assim, tem-se as seguintes funções na formulação matemática do problema de FPOR:

• • Função objetivo a ser minimizada:

A função objetivo é uma função escalar f(V, θ), dada por (2.1), que representa as perdas de potência ativa nas linhas de transmissão de energia elétrica.

(2.1)

em que

θ_{( k , m )} = θ_k - θ_m , ∀k ∈ BS, ∀m: (k, m) ∈ Ω_k .

• • Balanços de potência ativa e reativa (Restrições de Igualdade):

As equações de fluxo de potência do sistema, baseadas nas leis de Kirchhoff, são apresentadas em (2.2) e (2.3), respectivamente:

(2.2)

(2.3)

em que

P_km = t _{( k , m )} V ² _kg _{( k , m )} - t _{( k , m )} V_kV_m {g _{( k , m )}cos[θ_{( k , m )} + b_im sen[θ_{( k , m )}]}, ∀(k, m) ∈ BCCR, ∀m: (k, m) ∈ Ω_k ,

Q_km = -[t _{( k , m )} V_k ]²[b _{( k , m )} + b^sh _{( k , m )}] + t _{( k , m )} V_kV_m [b _{( k , m )}cos(θ_{( k , m )}) - g_{( k , m )}sen(θ_{( k , m )})], ∀k ∈ BC, ∀m: (k, m) ∈ Ω_k .

• • Limites da potência reativa injetada nas barras, e limites das magnitudes de tensão (Restrições de desigualdade):

(2.4)

(2.5)

em que

• • As restrições (2.6) e (2.7) indicam que as variáveis tap dos transformadores e susceptância shunt devem pertencer aos conjuntos discretos.

(2.6)

(2.7)

Na próxima seção apresenta-se o método de solução proposto neste trabalho para resolver o problema de FPOR dado pela equações (2.1)-(2.7).

3 MÉTODO PROPOSTO

Conforme apresentado na seção anterior, o problema de FPOR apresenta como variáveis discretas os taps dos transformadores e a susceptâncias shunt. Devido à grande complexidade de solução de problemas de programação não-linear com variáveis discretas e contínuas, propõe-se um método baseado em uma função penalidade para o tratamento das variáveis discretas.

De modo geral, o problema de FPOR com variáveis discretas e contínuas dado por (2.1)-(2.7) pode ser representado por (3.1).

(3.1)

em que x é o vetor das variáveis contínuas, y é o vetor das variáveis discretas e D_yk é o conjunto de valores discretos que a variável y_k pode assumir.

Propõe-se uma função penalidade baseada na decomposição em série de Fourier da função triangular para o tratamento das variáveis discretas do problema de FPOR. Considere a função triangular de período 1, sua decomposição em série de Fourier e esta transladada de modo que a nova função seja nula em seu ponto de mínimo. Estas funções são mostrados na Figura 1. A função triangular de período 1 escrita através de sua decomposição em série de Fourier e transladada é dada por (3.2):

(3.2)

Figure 1:
Função triangular genérica (curva contínua), sua decomposição em série de Fourier (curva tracejada) e a função penalidade de referência (curva pontilhada).

A partir da equação (3.2), generalizamos esta função para que esta se anule em um conjunto de valores discretos com passo de tamanho p. Assim, obtemos a função (3.3):

(3.3)

em que p é o passo discreto e α é um ajuste no eixo das abcissas para que os valores discretos sejam correspondentes aos mínimos da função.

A função (3.3) tem a seguinte característica:

Desta forma, obtêm-se o problema penalizado (3.4), com somente variáveis contínuas, cujas soluções convergem para a solução do problema original (3.1).

(3.4)

em que ω_k > 0 são os parâmetros de penalidade. e ,

Em (3.4) as funções penalidade têm sua amplitude modulada por parâmetros de penalidade ω_k > 0 = 1,2,...,n_y . Caso o valor de ω_k seja muito alto, a função penalidade terá peso significativo em relação à função objetivo, fazendo com que o algoritmo de solução priorize a sua minimização ao invés de priorizar a minimização da função objetivo original. Por outro lado, caso o valor de ω_k seja muito baixo, a função penalidade será insignificante em relação à função objetivo, fazendo com que as variáveis originalmente discretas não convirjam para seus valores discretos permitidos. Assim, propõe-se iniciar o processo iterativo, com ω_k suficientemente pequenos, aumentando-os gradativamente:

(3.5)

em que 1 < c_k < 2,k = 1,2,...,n_y e l denota a iteração atual.

O processo iterativo é finalizado quando cada variável originalmente discreta assume um valor suficientemente próximo de um valor pertencente ao seu conjunto de valores discretos permitidos, considerando uma tolerância ε:

|y^* _k - y^d _k | ≤ ε ,k = 1, 2,...n_y ,

em que y^d _k é o valor discreto mais próximo de y^* _k .

Desta forma, uma sequência finita de problemas contínuos e penalizados (3.4) é resolvida e as soluções obtidas convergem para a solução do problema original (3.1). A sequência de problemas contínuos e penalizados (3.4) é resolvida pelo método de pontos interiores⁸ implementado no solver gratuito IPOPT (https://projects.coin-or.org/Ipopt). Optou-se por utilizar método de pontos interiores para resolução dos problemas contínuos e penalizados, pois estes tem apresentado eficiência e rápida convergência na resolução de problemas de FPO com variáveis contínuas^{9), (10), (11}.

A seguir é descrito o algoritmo de solução proposto para resolver os problemas da forma de (3.1).

Início:

1. Faça l=1;

2. Leia ω ⁽¹⁾ _k , ∈ em que ω ⁽¹⁾ _k e 1< c_k < 2;

3. Resolver o problema contínuo e penalizado (3.4) pelo solver IPOPT;

4. Se |y^* _k - y^d _k | < ε, k = 1,2,...,n_y então, a solução atual é uma solução para o problema, caso contrário, seguir para o passo 5;

5. Faça l l + 1, ω^{l +1} _k = c_kω^l _k e volte ao passo 3.

Fim

4 RESULTADOS NUMÉRICOS

Os testes numéricos foram realizados com os sistemas elétricos IEEE 14 e 30 barras, referência na área, para avaliar o potencial do método proposto quando aplicado ao problema de FPORcom variáveis discretas e contínuas. Os dados destes sistemas elétricos foram coletados de www.ee.washington.edu/research/pstca.

O computador utilizado para a realização dos testes numéricos possui processador Intel Core i5-4200U de 1.6 GHz e 8 GB de memória RAM.

Para a resolução dos problemas de FPOR contínuos e penalizados, foi utilizado o solver IPOPT em interface com o software GAMS.

4.1 Sistema Elétrico IEEE 14 Barras

O sistema elétrico IEEE 14 barras tem como variáveis discretas 3 taps de transformadores variáveis nas linhas (4,7), (4,9) e (5,6) e uma susceptância shunt na barra 9.

Os limites mínimos e máximos das magnitudes das tensões adotados foram, respectivamente, 0.95 e 1.1 pu.

Foi considerado que as variáveis de controle discretas taps dos transformadores devem pertencer ao conjunto discreto {0.96;0.98;1;1.02;1.04} pu e a susceptância shunt deve pertencer ao conjunto discreto {0;0.2;0.4} pu. Pode-se notar que:

Além disso, para que os valores discretos, tanto dos taps dos transformadores quanto da susceptância shunt sejam os mínimos da função penalidade, temos que

Os parâmetros de penalidade iniciais adotados neste teste foram e foram multiplicados a cada iteração pelo fator , ∀(k, m) ∈ T, os quais foram determinados por meio de testes computacionais. A tolerância utilizada foi de ε =0.0005.

A solução discreta foi obtida na 6a iteração. O tempo computacional foi de 2.092 segundos. A Tabela 1 apresenta os valores assumidos pelas variáveis discretas, taps dos transformadores e pelas susceptâncias shunt, na solução obtida. Na Figura 2 são plotados os valores assumidos pelas variáveis contínuas, magnitude e ângulo de tensão nas barras, na solução obtida. Observa-se que as tensões estão dentro de seus limites estabelecidos.

Figure 2:
Solução obtida para as variáveis contínuas - Sistema elétrico IEEE 14 barras.

Table 1:
Solução obtida para as variáveis discretas - Sistema elétrico IEEE 14 barras.

Variável de controle discreta	Valor (pu)
t(4, 7)	1.02
t(4, 9)	1.02
t(5, 6)	0.98
bsh9	0.4

As perdas de potência ativa nas linhas de transmissão de energia elétrica do sistema na solução obtida foi de 12.27 MW.

4.2 Sistema Elétrico IEEE 30 Barras

O sistema elétrico IEEE 30 barras tem como variáveis discretas 4 taps de transformadores variáveis nas linhas (6,9), (6,10), (4,12) e (28,27) e 2 susceptâncias shunt, nas barras 10 e 24.

Os limites mínimos e máximos das magnitudes das tensões foram os mesmos adotados no sistema elétrico de 14 barras.

Os taps dos transformadores deste sistema devem pertencer mesmo conjunto discreto que os taps dos transformadores do sistema elétrico de 14 barras. As susceptâncias shunt das barras 10 e 24 devem pertencer, respectivamente, aos conjuntos discretos {0.14;0.16;0.18;0.20;0.22} e {0;0.05;0.10;0.15} pu. Pode-se notar que: taps dos transformadores quanto das susceptâncias shunt sejam os mínimos da função penalidade, temos que. Além disso, para que os valores discretos, tanto dos , ∀(k, m) ∈ T, e

Os parâmetros de penalidade iniciais adotados neste teste foram

e foram multiplicados a cada iteração pelo fator de penalidade k, m) ∈ T, os quais foram determinados por meio de testes computacionais. A tolerância utilizada foi de ε = 0.0005., ∀(

A solução discreta foi obtida na 10^a iteração. O tempo computacional foi de 2.254 segundos. A Tabela 2 apresenta os valores assumidos pelas variáveis discretas, taps dos transformadorese pelas susceptâncias shunt, na solução obtida. Na Figura 3 são plotados os valores assumidospelas variáveis contínuas, magnitude e ângulo de tensão nas barras, na solução obtida. Observa-se que as tensões estão dentro de seus limites estabelecidos.

Figure 3:
Solução obtida para as variáveis contínuas - Sistema elétrico IEEE 30 barras.

Table 2:
Solução obtida para as variáveis discretas - Sistema elétrico IEEE 30 barras.

Variável de controle discreta	Valor (pu)
t (6, 9)	1.00
t (6, 10)	1.00
t (4, 12)	1.02
t (28, 27)	1.02
bsh 10	0.20
bsh 9	0.10

As perdas de potência ativa nas linhas de transmissão de energia elétrica do sistema na solução obtida foi de 16.10 MW.

5 CONCLUSÕES

O problema de FPOR é modelado como um problema de programação não-linear, não-convexo, estático, restrito, com variáveis discretas e contínuas. Além disso, a função objetivo adotada neste trabalho é não-separável e não permite simplificações. Notoriamente, o problema FPOR é um problema de difícil resolução. Neste trabalho, apresentou-se uma abordagem de solução para o problema de FPOR via função penalidade e método de pontos interiores.

Na abordagem proposta, uma função penalidade baseada na decomposição em série de Fourier da função triangular é apresentada para ajustar as variáveis de controle, taps dos transformadores e susceptâncias shunt, considerando a sua natureza discreta. Uma sequência de problemas contínuos e penalizados, é gerada e resolvida pelo método de pontos interiores implementado no solver gratuito IPOPT. As funções penalidade propostas são vantajosas, pois são funções contínuas e diferenciáveis.

Os testes numéricos com os sistemas elétricos IEEE 14 e 30 barras demonstram o potencial do método em obter soluções discretas para o problema de FPOR em tempo computacional aceitável.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  May-Aug 2016

Histórico

• Recebido
  20 Dez 2015
• Aceito
  22 Fev 2016