Resumos
Este trabalho objetivou identificar os principais modelos multiobjetivos da Programação por Metas, ou Goal Programming (GP), analisando as suas vantagens e desvantagens quando utilizados para tratar situações reais, envolvendo problemas complexos de grande porte. Foram tratados tanto modelos da GP determinística, como da GP sob incerteza.
Tomada de decisão; Programação por metas; Modelos determinísticos; Modelos sob incerteza
The goal of this study was to identify the principal goal programming (GP) models in existence, analyzing the advantages and disadvantages of each model when used to treat real situations involving large, complex problems. Both deterministic GP models and those subjected to uncertainty were investigated.
Decision making; Goal programming; Deterministic models; Models subjected to uncertainty
1. Introdução
Os modelos matemáticos podem ser caracterizados pelas seguintes dicotomias, conforme Goldbarg & Luna (2005)Goldbarg, M. C., & Luna, H. P. L. (2005). Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos (2. ed.). São Paulo: Campus.: determinístico ou probabilístico, restrito ou irrestrito, monocritério ou multicritério, contínuo ou discreto, unidecisor ou multidecisor, univariável ou multivariável, linear ou não linear e monobjetivo ou multiobjetivo.
Os problemas multicritério podem ser divididos em duas classes: Multiobjetivos e
Multiatributos. Nos problemas Multiobjetivos, que podem ser classificados como uma
subárea da Programação Matemática, há dois tipos de abordagem, por aglutinação ou
por priorização, sendo que ambas utilizam funções escalares por meio das quais as
múltiplas funções objetivo são transformadas em uma única função (aglutinada) global
(Zeleny, 1973Zeleny, M. (1973). Compromise programming. In J. Cochrane & M.
Zeleny (Ed.), Multiple Criteria Decision Making. Columbia:
University of South Carolina Press.). Nesses problemas, as
alternativas para a tomada de decisão são geradas pelo método de solução aplicada
(Deb, 2001aDeb, K. (2001a). Multi-Objective Optimization using
Evolutionary Algorithms. John Wiley & Sons.; Silva et al., 2013aSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a).
Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol
milling company. Applied Mathematical Modelling,
37(1), 6146-6261.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12....
). Incluem-se nessa categoria os modelos de
Programação por Metas (Goal Programming – GP), que serão o foco deste trabalho e que
podem adotar ambas as abordagens (Charnes &
Cooper, 1961Charnes, A., & Cooper, W. W. (1961). Management Model
and Industrial Application of Linear Programming,
1. New York: Wiley.).
Já os problemas Multiatributos podem ser tratados pela Teoria da Utilidade (Utility
Theory) e pelos Métodos de Tomada de Decisão por Múltiplos Critérios, como o
Analytic Hierarchy Process – AHP, o Analytic Network Process – ANP, o Elimination et
Choix Traduisant la Realité – Electre e o Measuring Attractiveness by a Categorical
Based Evaluation Technique – Macbeth, dentre outros (Shimizu, 2010Shimizu, T. (2010). Decisão nas Organizações. São
Paulo: Atlas.; Saaty,
1977Saaty, T. L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical
structures. Journal of Mathematical Psychology,
15, 234-281.
http://dx.doi.org/10.1016/0022-2496(77)90033-5
http://dx.doi.org/10.1016/0022-2496(77)9...
, 2006Saaty, T. L. (2006). Decision Making with the Analytic Network
Process. International Series in Operations Research & Management
Science, 95, 1-26.
http://dx.doi.org/10.1007/0-387-33987-6_1
http://dx.doi.org/10.1007/0-387-33987-6_...
). De forma geral,
nesses problemas as alternativas para a tomada decisão são previamente estabelecidas
(Shimizu, 2010Shimizu, T. (2010). Decisão nas Organizações. São
Paulo: Atlas.).
Tradicionalmente, os analistas utilizam modelos lineares, restritos, monocritérios,
contínuos e determinísticos para tratar problemas de decisão. Uma alternativa,
bastante comum, é fazer uso de modelos de simulação com eventos discretos e, por
meio da análise de cenários, buscar-se encontrar soluções que melhor atendam aos
requisitos envolvidos no problema de interesse (Piewthongngam et al., 2009Piewthongngam, K., Pathumnakul., S., & Setthanan, K. (2009).
Application of crop growth simulation and mathematical modeling to supply chain
management in the Thai sugar industry. Agricultural System,
102, 58-66.
http://dx.doi.org/10.1016/j.agsy.2009.07.002
http://dx.doi.org/10.1016/j.agsy.2009.07...
).
Porém, num contexto real, os problemas podem incluir vários objetivos – representando
o desempenho de várias áreas/setores/aspectos da empresa objeto do estudo –, quando
o interesse dos decisores envolvidos é obter melhorias/ganhos globais para a empresa
como um todo, sendo que, muitas vezes, esses objetivos podem ser conflitantes com a
existência de trade-offs (Deb,
2001bDeb, K. (2001b). Nonlinear goal programming using multiobjective
genetic algorithms. Journal of the Operational Research
Society, 52(3), 291-302.
http://dx.doi.org/10.1057/palgrave.jors.2601089
http://dx.doi.org/10.1057/palgrave.jors....
).
Outras dificuldades inerentes à adequada modelagem matemática de problemas reais se
referem à: (i) determinação dos coeficientes das variáveis de decisão nas
funções-objetivo – conhecidos como coeficientes de custos; (ii) a determinação dos
coeficientes das variáveis de decisão nas restrições do modelo – conhecidos como
coeficientes do lado esquerdo (LHS – Left hand side coefficients); (iii) a
determinação dos valores das constantes do lado direito das restrições – conhecidos
como coeficientes do lado direito (RHS – Right hand side coefficients).
Evidentemente, a correta determinação dessas funções e parâmetros é de grande
importância para que o modelo tenha uma boa aderência ao problema analisado (Gembicki & Haimes, 1975Gembicki, F. W., & Haimes, Y. Y. (1975). Approach to performance
and sensitivity multiobjective optimization: Goal attainment method.
IEEE Transactions on Automatic Control,
20, 769-771.
http://dx.doi.org/10.1109/TAC.1975.1101105
http://dx.doi.org/10.1109/TAC.1975.11011...
).
Outra questão é que os modelos matemáticos em geral consideram somente a existência de restrições que sejam rígidas, ou seja, se há restrições no problema que possam ser consideradas flexíveis, no sentido de que aceitam valores próximos aos estabelecidos previamente (conhecidos como Metas) para os seus RHS (Ignizio, 1985Ignizio, J. P. (1985). Introduction to linear goal programming. Sage: Beverly Hills.), esses modelos precisam de um tratamento diferenciado.
Para permitir a resolução de modelos matemáticos com restrições flexíveis foi proposta por Charnes & Cooper (1961)Charnes, A., & Cooper, W. W. (1961). Management Model and Industrial Application of Linear Programming, 1. New York: Wiley. a Programação por Metas (Goal Programming – GP), que é uma área da Programação Multiobjetivos. Nesse sentido, a GP procura uma melhor solução de compromisso para modelos multiobjetivos frente às metas estabelecidas para os objetivos.
A GP faz isso por intermédio da inclusão de novas restrições do tipo flexível,
associadas aos objetivos de interesse, e de variáveis auxiliares, conhecidas como
variáveis desvios, relacionadas à obtenção de valores acima ou abaixo das metas e
que comporão uma nova função objetivo para modelos de GP (Charnes & Cooper, 1961Charnes, A., & Cooper, W. W. (1961). Management Model
and Industrial Application of Linear Programming,
1. New York: Wiley.; Ignizio, 1985Ignizio, J. P. (1985). Introduction to linear goal
programming. Sage: Beverly Hills.; Tamiz et al.,
1995Tamiz, M., Jones, D. F., & El-Darzi, E. (1995). A review of Goal
Programming and its applications. Annals of Operations
Research, 58, 39-53.
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309...
, 1998Tamiz, M., Jones, D., & Romero, C. (1998). Goal programming for
decision making: an overview of the current state-of-the-art. European
Journal of Operational Research, 111, 569-581.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)00317-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)...
; Romero, 2004Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
; Yaghoobi &
Tamiz, 2007Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
; Chang, 2007Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396.).
Assim, a GP permite que nem todas as restrições sejam consideradas rígidas ou fixas,
o que a faz diferente dos procedimentos da otimização clássica. Essa característica
permite que situações frequentemente verificadas na prática, em que os valores dos
recursos (RHS) utilizados com a adoção de uma solução são distintos daqueles fixados
inicialmente, sejam tratadas por intermédio das variáveis desvio incorporadas à
modelagem de GP. Além disso, a GP, em conjunto com a teoria Fuzzy, permite o
tratamento de ocorrência de incerteza nos parâmetros de entrada dos modelos (Aouni et al., 2009Aouni, B., Martel, J. M., & Hassaine, A. (2009). Fuzzy goal
Programming model: Na overview of the current state-of-the Art.
Microelectronics and Reliability, 33,
63-80.; Yaghin et al., 2012Yaghin, R. G., Torabi, S. A., & Ghomi, S. M. T. F. (2012).
Integrated markdown pricing and aggregate production planning in a two echelon
supply chain: A hybrid fuzzy multiple objective approach. Applied
Mathematical Modelling, 36, 6011-6030.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.01.029
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.01....
).
Destaca-se que a GP gerou grande interesse dos pesquisadores, sendo que o primeiro
artigo a apresentar uma perspectiva ampla do seu uso (aspectos teóricos e práticos)
foi desenvolvido por Kornbluth (1973)Kornbluth, J. S. H. (1973). A survey goal programming. The
International Journal of Management Science, 1,
193-205. e,
conforme Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
, dentre uma
série de publicações relacionadas à GP, os livros de Ijiri (1965)Ijiri, Y. (1965). Management Goals and Accounting for
Control. North-Holland Publishing Company:
Amsterdam., Lee (1972)Lee, S. M. (1972). Goal Programming for Decision
Analysis. Auerbach: Philadelphia. 387 p. e Ignizio (1976)Ignizio, J. P. (1976). Goal Programming and
Extensions. Lexington Books: Lexington. podem ser considerados textos
clássicos.
De fato, um grande número de trabalhos sobre GP tem surgido na literatura científica,
podendo ser citados: Ignizio (1978)Ignizio, J. P. (1978). Review of goal programming: a tool for
multiobjective analysis. Journal of the Operational Research
Society, 29, 1109-1119., Zanakis & Gupta (1985)Zanakis, S. M., & Gupta, S. K. (1985). A categorized
bibliographic survey of goal programming. Omega,
13, 211-222.
http://dx.doi.org/10.1016/0305-0483(85)90059-3
http://dx.doi.org/10.1016/0305-0483(85)9...
, Romero (1986)Romero, C. (1986). A survey of generalized goal programming
(1970-1982). European Journal of Operational Research,
25, 183-191.
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(86)90084-6
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(86)9...
, Saber & Ravindran (1993)Saber, H. M., & Ravindran, A. (1993). Nonlinear goal programming
theory and practice: a survey. Computers and Operations
Research, 20, 275-291.
http://dx.doi.org/10.1016/0305-0548(93)90004-3
http://dx.doi.org/10.1016/0305-0548(93)9...
– para o caso não linear, Schniederjans (1995)Schniederjans, M. J. (1995). Goal Programming:
Methodology and Applications. Kluwer Academic Publishers: Norwell.
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4615-2229-4
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4615-222...
, Tamiz et al. (1995Tamiz, M., Jones, D. F., & El-Darzi, E. (1995). A review of Goal
Programming and its applications. Annals of Operations
Research, 58, 39-53.
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309...
, 1998Tamiz, M., Jones, D., & Romero, C. (1998). Goal programming for
decision making: an overview of the current state-of-the-art. European
Journal of Operational Research, 111, 569-581.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)00317-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)...
), Lee & Olson (1999)Lee, S. M., & Olson, D. L. (1999). Goal programming. In T. Gal,
T. Hanne & T. Stewart, Advances in Multicriteria Decision
Making. Boston: Kluwer Academic Publishers.
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4615-5025-9_8
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4615-502...
,
Aouni & Kettani (2001)Aouni, B., & Kettani, O. (2001). Goal programming model: A
glorious history and a promising future. European Journal of Operational
Research, 133, 225-231.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)00294-0
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)...
, Jones & Tamiz (2002)Jones, D., Mirrazavi, S. K., & Tamiz, M. (2002). Multiobjective
meta-heuristics: an overview of the current state-of-the-art. European
Journal of Operational Research, 137, 1-9.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(01)00123-0
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(01)...
, Uría et al. (2002)Uría, M. V. R., Caballero, R., Ruiz, F., & Romero, C. (2002).
Meta-goal programming. European Journal of Operational
Research, 136(2), 422-429., Caballero
et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
, Silva (2009Silva, A. F. (2009). Modelagem do Planejamento Agregado da
Produção de uma Usina Sucroalcooleira (Dissertação de mestrado).
Escola Federal de Engenharia de Itajubá, Universidade Federal de Itajubá,
Itajubá., 2013Silva, A. F. (2013). Otimização multiobjetivo no
planejamento agregado da produção e na cogeração de energia elétrica de
usina do setor sucroenergético (Tese de doutorado). Faculdade de
Engenharia de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista,
Guaratinguetá.), Silva
et al. (2010aSilva, A. F., Marins, F. A. S., Salomon, V. A. P., & Silva, G.
(2010a). Otimização multiobjetivo fuzzy no planejamento agregado da produção e
distribuição em usinas de açúcar e álcool. In Simpósio Brasileiro de
Pesquisa Operacional, Bento Gonçalves., bSilva, A. F., Marins, F. A. S., Silva, G., & Lopes, P. R. M.
(2010b). Um modelo multiescolhas de programação de metas inteira mista para o
planejamento agregado da produção em uma usina brasileira de açúcar e etanol. In
Encontro Regional de Pesquisa Operacional da Região Sudeste –
ERPO, Rio de Janeiro., 2011aSilva, A. F., Lopes, P. R. M., & Marins, F. A. S. (2011a).
Método de seleção de variedades de cana para plantio utilizando a programação de
metas & Análise por Envoltória de Dados. In Encontro Nacional de
Engenharia de Produção – ENEGEP, Belo Horizonte., bSilva, A. F., Ribeiro, I. M., Lopes, P. R. M. A., & Marins, F.
A. S. (2011b). Uma Investigação Sobre os Modelos da Programação De Metas Sob
Certeza e Sob Incerteza: Aplicação a Problemas de Planejamento Agregado em
Usinas Sucroalcooleiras. In Encontro Nacional de Engenharia de Produção
– ENEGEP, Belo Horizonte., 2012bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Santos, M. V. B. (2012b).
Programação por metas e análise envoltória de dados na avaliação da eficiência
de plantas mundiais de manufatura. In Encontro Nacional de Engenharia de
Produção, Bento Gonçalves., cSilva, A. F., Marins, F. A. S., Ribeiro, I. M., Lopes, P. R., &
Montevechi, J. A. B. (2011c). Planejamento Otimizado para Colheita de Cana de
Açúcar de Uma Usina Sucroalcooleira. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa
Operacional – SBPO, Ubatuba., 2013aSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a).
Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol
milling company. Applied Mathematical Modelling,
37(1), 6146-6261.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12....
, bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013b).
Aplicação de programação por metas binária: mista em uma empresa do setor
sucroenergético. Gestão & Produção, 20(2),
321-336.), Ustun
(2012)Ustun, O. (2012). Multi-choice goal programming formulation based on
the conic scalarizing function. Applied Mathematical Modelling,
36(3), 974-988. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2011.07.065.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2011.07....
e Bankain-Tabrizi et al.,
(2012)Bankain-Tabrizi, B., Shahanaghi, K., & Jabalameli, M. S. (2012).
Fuzzy multi-choice goal programming. Applied Mathematical
Modelling, 35(4), 1415-1420..
Um artigo recentemente publicado que atualiza a pesquisa de Kornbluth (1973)Kornbluth, J. S. H. (1973). A survey goal programming. The
International Journal of Management Science, 1,
193-205. até 2009, e o de Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
. Esses autores consultaram importantes
periódicos internacionais, a saber: European Journal of Operational
Research; Journal of the Operational Research Society; Computers and Operations
Research; Computers and Industrial Engineering; Omega; Fuzzy Sets and Systems;
Socio–Economic Planning Sciences; International Journal of Production Research;
International Journal of Production Economics; Applied Mathematics and
Computation; Journal of Multicriteria Decision Analysis; Annals of Operations
Research; INFOR; Agricultural Systems; Management Science; International Journal
of Systems Science; Applied Mathematics and Computation; IIE Transactions
Institute of Industrial Engineers; International Journal of Advanced
Manufacturing Technology e Mathematical and Computer Modelling.
No referido artigo, os autores apresentam resultados de uma survey sobre a GP, investigando os problemas e os tipos de variáveis aos quais ela se aplica, mostrando que os modelos de GP são utilizados com maior frequência em problemas industriais, seguidos por aplicações nas áreas de recursos naturais e de negócios.
Outra informação da pesquisa desses autores foi a identificação de quais modelos os pesquisadores utilizam com maior frequência: Weighted Goal Programming – WGP; Lexicographic Goal Programming – LGP e Minmax Goal Programming – MA. Tal cenário ainda permanece, principalmente nos modelos que incorporam as incertezas, que serão descritos nas próximas seções.
Também foram investigadas as características de problemas aos quais se aplicam
modelos de GP, concluindo-se que há maior ocorrência de problemas lineares com
variáveis binárias, inteiras e em conjunto com a teoria Fuzzy. Cabe acrescentar que
Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
não fazem menção
aos novos modelos de GP sob incerteza, apenas à GP com a teoria Fuzzy.
Dada a importância da GP, neste trabalho o objetivo geral foi identificar os
principais modelos determinísticos e sob incerteza da GP, procurando apontar
vantagens e desvantagens de sua aplicação a problemas complexos (de grande porte) de
decisão. Como objetivo específico, este artigo pretendeu complementar o trabalho de
Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
, investigando nas
principais bases de dados nacionais e internacionais as publicações que tenham se
traduzido em avanços teóricos e práticos da GP.
Para atingir tais objetivos, foram realizadas consultas no Portal de Periódicos da Capes, bem como nos anais dos principais congressos nacionais da área de ENG III, utilizando as palavras-chave: Goal Programming; Programação por metas; Programação de metas; e Otimização multiobjetivos. Os resultados relativos às publicações em GP nos periódicos nacionais estão no Tabela 1.
Constatou-se, conforme Tabela 1, que apenas a
revista Gestão & Produção possui publicações de GP, sendo cinco as publicações
no período de 2002 a 2012. Incluiu-se nesse levantamento o trabalho de Paiva & Morabito (2011)Paiva, R. P. O., & Morabito, R. (2011). Programação estocástica
robusta aplicada ao planejamento agregado da safra em usinas cooperadas do setor
sucroenergético. Gestão & Produção, 18(4), 719-738.
http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011000400004
http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011...
, que aplicaram um
modelo de otimização Estocástica Robusta, com conceitos de GP em sua estrutura
algébrica.
Segundo Kouvelis & Yu (1997)Kouvelis, P., & Yu, G. (1997). Robust Discret
Optimization and its Application. London: Kluwer Academic
Publisher. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-2620-6
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-262...
, a
Programação Robusta trata os parâmetros incertos por meio de cenários discretos,
tendo por objetivo encontrar uma solução que ofereça uma proteção na ocorrência do
pior cenário possível. Mais precisamente, busca-se uma solução que minimize o desvio
máximo com relação à solução ótima que seria obtida considerando-se todas as
possibilidades de valores dos dados aleatórios. Vários critérios podem ser adotados
para escolher entre soluções (decisões) robustas, que dependem da especificidade da
situação, como exemplo, Kouvelis & Yu
(1997)Kouvelis, P., & Yu, G. (1997). Robust Discret
Optimization and its Application. London: Kluwer Academic
Publisher. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-2620-6
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-262...
estudaram três tipos de critérios de robustez: robustez absoluta
(absolute robustness), desvio robusto (robust
deviation) e a robustez relativa (relative
robustness).
Nesse contexto, Mulvey et al. (1995)Mulvey, J. M., Vanderbei, R. J., & Zenios, S. A. (1995). Robust
optimization of large-scale systems. Operations Research,
43, 264-281.
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264...
incorporam o conceito de solução robusta – que permanece próxima às soluções ótimas
para todos os cenários considerados – e o conceito de modelagem robusta – que gera
soluções factíveis ou quase factíveis em todos os cenários analisados. Para Paiva (2009)Paiva, R. P. O. (2009). Modelagem do planejamento agregado
da produção em usinas cooperadas do setor sucroenergético utilizando
programação matemática e otimização robusta (Tese de doutorado).
Universidade Federal de São Carlos, São Carlos., a principal contribuição da
Programação Robusta é a inclusão de penalidades para prevenir a violação das
restrições nos diferentes cenários, bem como permitir a flexibilização da função
objetivo, de forma a contemplar diferentes critérios de otimização.
Modelos de recurso (resource models) – essa abordagem foi desenvolvida por Dantzig (1955)Dantzig, G. B. (1955). Linear programming under uncertainty. Management Science, 1(3), 197-206. e Beale (1955)Beale, E. M. L. (1955). On minimizing convex function subject to linear inequalities. Journal of the Royal Statistical Society. Series B, 17(2), 173-184. para problemas de otimização estocástica de dois estágios, conforme abordado nos trabalhos de Paiva (2009)Paiva, R. P. O. (2009). Modelagem do planejamento agregado da produção em usinas cooperadas do setor sucroenergético utilizando programação matemática e otimização robusta (Tese de doutorado). Universidade Federal de São Carlos, São Carlos. e Paiva & Morabito (2011)Paiva, R. P. O., & Morabito, R. (2011). Programação estocástica robusta aplicada ao planejamento agregado da safra em usinas cooperadas do setor sucroenergético. Gestão & Produção, 18(4), 719-738. http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011000400004
http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011... .Modelos probabilísticos (chance-constrained programming) – desenvolvidos por Charnes & Cooper (1959)Charnes, A., & Cooper, W. W. (1959). Chance-constrained programming. Management Science, 6(1), 73-79. http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.6.1.73
http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.6.1.73... , permitem que algumas restrições do segundo estágio sejam expressas em termos de declarações probabilísticas sobre as decisões de primeiro estágio.
Para detalhes recomenda-se a leitura dos trabalhos de Sahinidis (2004)Sahinidis, N. V. (2004). Optimization under uncertainty:
State-of-the-art and opportunities. Computers and Chemical
Engineering, 28, 971-983.
http://dx.doi.org/10.1016/j.compchemeng.2003.09.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.compchemeng....
, Paiva
(2009)Paiva, R. P. O. (2009). Modelagem do planejamento agregado
da produção em usinas cooperadas do setor sucroenergético utilizando
programação matemática e otimização robusta (Tese de doutorado).
Universidade Federal de São Carlos, São Carlos., Munhoz & Morabito
(2012)Munhoz, J. R., & Morabito, R. (2012). Uma abordagem de
otimização robusta no planejamento agregado de produção na indústria cítrica.
Produção, 23(2), 422-435.
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012005000054
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012...
, Mulvey et al. (1995)Mulvey, J. M., Vanderbei, R. J., & Zenios, S. A. (1995). Robust
optimization of large-scale systems. Operations Research,
43, 264-281.
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264...
,
Ben-Tal & Nemirovski (1998Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (1998). Robust convex
optimization. Mathematics of Operations Research,
4, 769-805.
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769...
, 2000Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (2000). Robust Solutions of Linear
Programming Problems Contaminated With Uncertain Data. Mathematical
Programming, 88, 411-424.
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380...
), Bertsimas & Sim (2003)Bertsimas, D., & Sim, M. (2003). Robust discrete optimization
and network flows. Mathematical Programming. Series B,
98(1-3), 49-71.
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-0396-4
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-039...
e Bertsimas
& Thiele (2006)Bertsimas, D., & Thiele, A. (2006). A robust optimization
approach to inventory theory. Operations Research,
54(1), 150-168.
http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238
http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238...
.
Nos anais dos ENEGEP, para o período de 1996 a 2012, foram encontrados três artigos: Silva et al. (2011aSilva, A. F., Lopes, P. R. M., & Marins, F. A. S. (2011a). Método de seleção de variedades de cana para plantio utilizando a programação de metas & Análise por Envoltória de Dados. In Encontro Nacional de Engenharia de Produção – ENEGEP, Belo Horizonte., bSilva, A. F., Ribeiro, I. M., Lopes, P. R. M. A., & Marins, F. A. S. (2011b). Uma Investigação Sobre os Modelos da Programação De Metas Sob Certeza e Sob Incerteza: Aplicação a Problemas de Planejamento Agregado em Usinas Sucroalcooleiras. In Encontro Nacional de Engenharia de Produção – ENEGEP, Belo Horizonte., 2012bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Santos, M. V. B. (2012b). Programação por metas e análise envoltória de dados na avaliação da eficiência de plantas mundiais de manufatura. In Encontro Nacional de Engenharia de Produção, Bento Gonçalves.);
Nas edições dos SBPO da última década foram encontrados três artigos: Marins et al. (2010)Marins, F. A. S., Silva, A. F; Solomon, V. A. P., & Silva, G. M. (2010). Otimização multiobjetivo fuzzy no planejamento agregado da produção e distribuição em usinas de açúcar e álcool. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Bento Gonçalves., Silva et al. (2011cSilva, A. F., Marins, F. A. S., Ribeiro, I. M., Lopes, P. R., & Montevechi, J. A. B. (2011c). Planejamento Otimizado para Colheita de Cana de Açúcar de Uma Usina Sucroalcooleira. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional – SBPO, Ubatuba., 2012aSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2012a). Tratamento da incerteza no planejamento da colheita de cana de açúcar utilizando um modelo de Programação por Metas Multi-escolha Revisado. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional – SBPO, Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación Operativa, Rio de Janeiro.);
Nos anais dos SIMPEP, para o período de 1999 a 2012, foram encontrados dois artigos: Silva et al. (2009Silva, A. F. (2009). Modelagem do Planejamento Agregado da Produção de uma Usina Sucroalcooleira (Dissertação de mestrado). Escola Federal de Engenharia de Itajubá, Universidade Federal de Itajubá, Itajubá., 2012cSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Simões, M. V. B. (2012c). Programação por metas e análise envoltória de dados nos processos licitatórios de contratações de embarcações da Petrobrás. In Simpósio de Engenharia de Produção – SIMPEP, Bauru.);
Nos anais do ERPO – Encontro Regional de Pesquisa Operacional, encontrou-se o artigo de Silva et al. (2010b)Silva, A. F., Marins, F. A. S., Silva, G., & Lopes, P. R. M. (2010b). Um modelo multiescolhas de programação de metas inteira mista para o planejamento agregado da produção em uma usina brasileira de açúcar e etanol. In Encontro Regional de Pesquisa Operacional da Região Sudeste – ERPO, Rio de Janeiro., que trabalharam com um modelo de GP multiescolhas revisado.
Pode-se concluir, a partir do Tabela 1 e dos resultados das consultas aos anais de eventos nacionais, que os modelos de GP são pouco aplicados no contexto brasileiro.
Cabe desenvolver uma nova pesquisa para investigar as razões para tal, pois a GP se reveste de importância ao permitir a modelagem de situações de muito interesse e de dificuldade de tratamento analítico, considerando modelos multiobjetivos que, segundo Deb (2001a)Deb, K. (2001a). Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms. John Wiley & Sons., são os mais comuns em problemas reais de decisão.
Com respeito aos artigos internacionais enfocando a GP, constatou-se, com base em
consultas nas principais bases de dados da CAPES, que o cenário atual é diferente
daquele retratado por Caballero et al.
(2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
. De fato, há uma maior tendência de aplicações dos modelos de GP sob
incerteza (Multi-Choice, Multi-Segment, Multi-Choice Revised e Revised
Multi-Segment, Multi-Coefficientes GP) combinados com a teoria Fuzzy, com variáveis
inteiras e binárias, e com aplicações em Logística e Planejamento da Produção,
conforme pode ser verificado em Chen & Xu
(2012)Chang, C.-T., Chen, H-M., & Zhuang, Z.-Y. (2012a). Revised
multi-segment goal programming: Percentage goal programming. Computers
& Industrial Enginnering, 63, 1235-1242.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08.005
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08....
, Chang (2007Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396., 2008Chang, C.-T. (2008). Revised Multi-Choice Goal Programming.
Applied Mathematical Modelling, 32,
2587-2595. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09.008
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09....
, 2010Chang, C.-T. (2010). Revised multi-choice goal programming for
multi-period, multi-stage inventory controlled supply chain model with popup
stores in Guerrilla marketing. Applied Mathematical Modelling,
58, 3586-3598.), Liao (2009)Liao, C. N. (2009). Formulating the multi-segment goal programming.
Computers and Industrial Engineering, 56,
138-141. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04.007
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04....
e Silva, Silva et al. (2013a)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a).
Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol
milling company. Applied Mathematical Modelling,
37(1), 6146-6261.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12....
, dentre
outros.
Sobre os aspectos metodológicos deste trabalho, pode-se classificá-lo, quanto à natureza, como pesquisa básica (Appolinário, 2006Appolinário, F. (2006). Metodologia da ciência: filosofia e prática da pesquisa. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning.). Quanto aos objetivos, a pesquisa é exploratória, pois propicia maior familiaridade com o problema, para torná-lo mais explícito (Gil, 2009Gil, A. C. (2009). Como elaborar projetos de pesquisa (4. ed.). São Paulo: Atlas.). Com respeito à abordagem, pode-se classificá-la como qualitativa, sendo o método de pesquisa o teórico-conceitual, utilizando-se a pesquisa bibliográfica como instrumento principal (Gil, 2009Gil, A. C. (2009). Como elaborar projetos de pesquisa (4. ed.). São Paulo: Atlas.).
O artigo está assim organizado: a seção 1 contemplou uma breve introdução sobre a importância da GP, bem como possíveis lacunas nas pesquisas; já na seção 2 estão descritos e comentados os principais modelos determinísticos da GP; na seção 3 são abordados os modelos de GP que permitem a ocorrência de incertezas nos seus parâmetros de entrada e nas metas estabelecidas para os múltiplos objetivos envolvidos; finalizando, na seção 4, com as conclusões, seguidas das referências consultadas.
2. Programação por Metas (Goal Programming) determinística
Em geral, nos modelos determinísticos da Pesquisa Operacional (PO) assume-se que os dados coletados sejam confiáveis, mesmo que se tratem de informações que possam apresentar incertezas inerentes à sua natureza, como, por exemplo: custos de matéria-prima e previsões de demanda ou de vendas.
Nesses modelos, como uma simplificação, considera-se que a informação necessária para
análise mantenha-se próxima aos valores obtidos na coleta de dados, no período em
que será tomada a decisão, a partir dos resultados do modelo (Sen & Higle, 1999Sen, S., & Higle, J. L. (1999). An introductory tutorial on
stochastic linear programming models. Interfaces,
29, 33-61.
http://dx.doi.org/10.1287/inte.29.2.33
http://dx.doi.org/10.1287/inte.29.2.33...
).
Como um recurso para discutir as implicações de possíveis alterações nesses dados na solução obtida, é comum utilizar as técnicas da Análise Sensibilidade e da Análise Paramétrica (Pizzolato & Gandolpho, 2012Pizzolato, N. D., & Gandolpho, A. A. (2012). Técnicas de Otimização. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora.).
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309... , 1998Tamiz, M., Jones, D., & Romero, C. (1998). Goal programming for decision making: an overview of the current state-of-the-art. European Journal of Operational Research, 111, 569-581. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)00317-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)... ), Yaghoobi & Tamiz (2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced triangular membership function. European Journal of Operational Research, 176, 636-640. http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06... , Chang (2007Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The International Journal of Management Science, 35, 389-396., 2008Chang, C.-T., & Lin, T. C. (2009). Interval goal programming for S-Shaped penalty function. European Journal of Operational Research, 199, 9-20. http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.10.009
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.10... ), Liao (2009)Liao, C. N. (2009). Formulating the multi-segment goal programming. Computers and Industrial Engineering, 56, 138-141. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04.007
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04.... , Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming: Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 16, 79-110. http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442... , e Jamalnia & Soukhakian (2009)Jamalnia, A., & Soukhakian, M. A. (2009). A hybrid fuzzy goal programming approach with different goal priorities to aggregate production planning. Computers & Industrial Engineering, 56, 1474-1486. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.010
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.... , os principais enfoques determinísticos da Programação por Metas (Goal Programming) são:
Programação por Metas ponderada (Weighted Goal Programming – WGP): foi a primeira proposta desenvolvida, em que se atribuem pesos para as variáveis desvios (para mais ou para menos) com relação às metas estabelecidas para os objetivos;
Programação por Metas com priorização (Lexicographic Goal Programming – LGP): também conhecida por Preemptive Goal Programming, nela os objetivos são ordenados de acordo com sua importância, a partir de uma priorização (hierarquização) feita pelos decisores a priori;
Programação por Metas Minmax (Minmax Goal Programming – Minmax GP): aqui se trabalha com as funções de realização que consideram a soma das variáveis desvio;
Programação por Metas estendida (Extended Goal Programming – EGP): é uma combinação convexa da WGP, da LGP e da Minmax GP;
Programação por Metas inteira (Integer Goal Programming – IGP): há a atribuição de funções de penalidade;
Programação por Metas binária (Binary Goal Programming – BGP): há variáveis inteiras binárias associadas à realização ou não das metas estabelecidas para os objetivos;
Programação por Metas e Análise por Envoltória de dados (Goal Programming and Data Envelopment Analysis – GPDEA): desenvolvida para, nas aplicações da DEA, melhorar a discriminação de Unidades Tomadoras de Decisão (Decision Making Units – DMUs), quando o número de DMUs é inferior ao número total de variáveis de entrada e saída do modelo.
Destaca-se que, conforme Yaghoobi & Tamiz
(2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
, Romero (2004)Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
, Jamalnia & Soukhakian (2009)Jamalnia, A., & Soukhakian, M. A. (2009). A hybrid fuzzy goal
programming approach with different goal priorities to aggregate production
planning. Computers & Industrial Engineering,
56, 1474-1486.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.010
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09....
, e Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
, os três tipos de
modelos de GP determinística mais utilizados por pesquisadores (desenvolvimentos
teóricos) e tomadores de decisão (aplicações reais) são: Modelos WGP, LGP e Minmax
GP. Exemplos de uso desses modelos podem ser encontrados em várias publicações como:
Tamiz et al., (1995Tamiz, M., Jones, D. F., & El-Darzi, E. (1995). A review of Goal
Programming and its applications. Annals of Operations
Research, 58, 39-53.
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309...
, 1998Tamiz, M., Jones, D., & Romero, C. (1998). Goal programming for
decision making: an overview of the current state-of-the-art. European
Journal of Operational Research, 111, 569-581.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)00317-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)...
), Jones
& Tamiz (2002)Jones, D., Mirrazavi, S. K., & Tamiz, M. (2002). Multiobjective
meta-heuristics: an overview of the current state-of-the-art. European
Journal of Operational Research, 137, 1-9.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(01)00123-0
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(01)...
, Jones & Barnes
(2000)Jones, D., & Barnes, E. M. (2000). Fuzzy composite programming
to combine remote sensing and crop models for decision support in precision crop
management. Agricultural System, 65, 137-158.
http://dx.doi.org/10.1016/S0308-521X(00)00026-3
http://dx.doi.org/10.1016/S0308-521X(00)...
, Romero (2001Romero, C. (2001). Extended lexicographic goal programming: a
unifying approach. Omega, 29, 63-71.
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)00026-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)...
, 2004Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
), Chang
(2004)Chang, C.-T. (2004). On The Mixed Binary Goal Programming Problems.
Applied Mathematics and Computation, 159,
759-768. http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2003.11.001
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2003.11....
, Aouni, Aouni et al.
(2009)Aouni, B., Martel, J. M., & Hassaine, A. (2009). Fuzzy goal
Programming model: Na overview of the current state-of-the Art.
Microelectronics and Reliability, 33,
63-80., Chang (2007Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396., 2008Chang, C.-T. (2008). Revised Multi-Choice Goal Programming.
Applied Mathematical Modelling, 32,
2587-2595. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09.008
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09....
, 2010Chang, C.-T. (2010). Revised multi-choice goal programming for
multi-period, multi-stage inventory controlled supply chain model with popup
stores in Guerrilla marketing. Applied Mathematical Modelling,
58, 3586-3598.) e Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
,
Chang et al. (2012aChang, C.-T., Chen, H-M., & Zhuang, Z.-Y. (2012a). Revised
multi-segment goal programming: Percentage goal programming. Computers
& Industrial Enginnering, 63, 1235-1242.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08.005
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08....
, bChang, C.-T., Chen, H-M., & Zhuang, Z.-Y. (2012b).
Multicoefficients goal programming. Computers & Industrial
Enginnering, 62, 616-623.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2011.11.027
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2011.11....
) e Chang
& Lin (2009)Chang, C.-T., & Lin, T. C. (2009). Interval goal programming for
S-Shaped penalty function. European Journal of Operational
Research, 199, 9-20.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.10.009
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.10...
.
Passa-se, na sequência, a apresentar e comentar cada um desses modelos da GP determinística.
2.1. Programação por Metas ponderada – WGP
Nos modelos WGP, as variáveis de desvio apresentam hierarquias equivalentes, sendo a atribuição de pesos a esses desvios o que distinguirá os objetivos (que podem ser conflitantes) mais importantes.
Os decisores têm papel importante, pois precisam estimar os pesos de forma que
grande parte dos objetivos seja satisfeita. Como na WGP pode ocorrer certo
subjetivismo na estimação, um método que tem sido adotado em várias
oportunidades para a priorização de objetivos é o Analytic Hierarchy Process –
AHP, proposto por Saaty (1977)Saaty, T. L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical
structures. Journal of Mathematical Psychology,
15, 234-281.
http://dx.doi.org/10.1016/0022-2496(77)90033-5
http://dx.doi.org/10.1016/0022-2496(77)9...
.
Segundo Martel & Aouni (1998)Martel, J. M., & Aouni, B. (1998). Diverse Imprecise Goal
Programming Model Formulations. Journal of Global Optimization,
12, 127-138.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1008206226608
http://dx.doi.org/10.1023/A:100820622660...
, o
modelo original WGP, criado por Charnes &
Cooper (1961)Charnes, A., & Cooper, W. W. (1961). Management Model
and Industrial Application of Linear Programming,
1. New York: Wiley., pode ser descrito pelas expressões de (1) a (4):
s.a:
sendo fi (x) as múltiplas funções objetivo e x o vetor das variáveis de decisão do modelo xi ; d i + e d i −, as variáveis auxiliares de desvio para mais e para menos, vinculadas a cada meta gi estabelecida para cada objetivo i; Wi + e Wi −, os pesos atribuídos, respectivamente, às variáveis de desvio di + e di −; A e c, respectivamente, a matriz dos coeficientes do lado esquerdo (LHR) das variáveis e o vetor de constantes do lado direito (RHS), nas restrições rígidas do modelo original.
Observa-se que, pela restrição (4), o produto das variáveis de desvio deve ser zero, ou seja, apenas uma delas pode ter valor diferente de zero.
O modelo WGP também é utilizado na GP sob incerteza e na GPDEA, como será comentado adiante.
Outro fato que merece destaque é a possibilidade de existir incomensurabilidade
(diferentes unidades de medida) entre os objetivos. Tal situação pode ser
contornada, conforme citado por Tamiz et al.
(1995)Tamiz, M., Jones, D. F., & El-Darzi, E. (1995). A review of Goal
Programming and its applications. Annals of Operations
Research, 58, 39-53.
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309
http://dx.doi.org/10.1007/BF02032309...
, com o uso de métodos de normalização, como, por exemplo, a
normalização euclidiana e a percentagem normalizada, descrita no trabalho de
Ahern & Anandarajah (2007)Ahern, R., & Anandarajah, G. (2007). Railway projects
prioritisation for investiment: Application of goal programming.
Transport Policy, 14, 70-80.
http://dx.doi.org/10.1016/j.tranpol.2006.10.003
http://dx.doi.org/10.1016/j.tranpol.2006...
,
dentre outros.
2.2. Programação por Metas com priorização – LGP
Na LGP, a cada objetivo é atribuído a priori pelo decisor um nível de prioridade. Nesse caso, considerando-se as prioridades (ou níveis) P1, P2, P3, ..., Pn, com P1 > P2 > P3 > Pn, e se cada objetivo i será otimizado (individualmente) seguindo a ordenação natural, ao se otimizar o objetivo associado à prioridade Pi+1, incorpora-se uma nova restrição no modelo, no qual o objetivo associado à prioridade Pi é mantido no seu valor ótimo (obtido na etapa anterior de otimização). De acordo com Chang (2007)Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The International Journal of Management Science, 35, 389-396., o modelo matemático da LGP pode ser expresso por:
sendo f i e g i, respectivamente, a i-ésima função objetivo e a i-ésima meta do modelo original; hr, a hierarquia estabelecida para as funções objetivo, alocadas ao r-ésimo nível de prioridade; d i += Max (0, f i(X) - g i) e di −= Max (0, g i - f i (X)), os desvios para mais e para menos no alcance da meta do i-ésimo objetivo; αie βi, os pesos associados aos desvios (variáveis auxiliares), respectivamente para mais ou para menos dos valores das metas; e demais variáveis sendo análogas às do modelo WGP.
2.3. Programação por Metas Minmax – Minmax GP
Em muitos problemas de decisão há uma série de objetivos para os quais é difícil o estabelecimento de metas, como o crescimento da empresa e o lucro no longo prazo, dentre outros, sendo possível, nesse contexto, adotar-se o Minmax GP.
No Minmax GP os gestores, frente à dificuldade de se estabelecer um valor de meta para cada objetivo, preferem identificar intervalos onde esses objetivos possam variar entre valores mínimos e valores máximos.
O método procura, dependendo do tipo de objetivo envolvido, minimizar o limitante superior (ou o valor máximo, como no caso de um objetivo envolvendo custos) ou maximizar o limitante inferior (ou o valor mínimo, como no caso de um objetivo envolvendo lucros) do intervalo identificado pelo gestor.
A formulação geral do modelo, segundo Romero
(2004)Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
, pode ser expressa por (9) a (12),
nas quais algumas variáveis e parâmetros são semelhantes aos dos modelos
anteriores:
s.a:
Quanto mais próximo de zero estiver o valor de D melhor, pois significa que a maioria dos objetivos estabelecidos foi atendida plenamente.
Conforme as expressões (9) a
(12), o modelo Minmax GP
fornece uma solução que dá a máxima importância para o objetivo mais deslocado
em relação à sua meta, gerando uma solução mais equilibrada na satisfação dos
diferentes objetivos (Romero, 2001Romero, C. (2001). Extended lexicographic goal programming: a
unifying approach. Omega, 29, 63-71.
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)00026-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)...
).
Há outras modelagens que podem ser classificadas como GP Minmax na literatura,
devendo ser citada a importante contribuição, para aplicações em Engenharia, do
trabalho de Gembicki & Haimes (1975)Gembicki, F. W., & Haimes, Y. Y. (1975). Approach to performance
and sensitivity multiobjective optimization: Goal attainment method.
IEEE Transactions on Automatic Control,
20, 769-771.
http://dx.doi.org/10.1109/TAC.1975.1101105
http://dx.doi.org/10.1109/TAC.1975.11011...
,
que desenvolveram o Método para Atingimento de Metas (Goal Attainment
Method).
Existem outras formas possíveis de função objetivo (também denominada função de
realização) para esse modelo, mas que, segundo a literatura consultada, têm sido
pouco adotadas. Esse ponto é importante, pois os resultados obtidos são,
geralmente, muito sensíveis ao tipo de função objetivo escolhida. Por
conseguinte, uma função de realização errada, ou mal estruturada, pode não
refletir as preferências do decisor (Ogryczak,
2001Ogryczak, W. (2001). Comments on properties of the Minmax solutions
in goal programming. European Journal of Operational Research,
132, 17-21.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)00089-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)...
).
Ogryczak (2001)Ogryczak, W. (2001). Comments on properties of the Minmax solutions
in goal programming. European Journal of Operational Research,
132, 17-21.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)00089-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(00)...
propôs a integração de
modelos Minmax GP e LGP, tendo sugerido a formulação dada por (13) a (16):
s.a:
A função de realização (13) também reflete a minimização do desvio máximo, de modo que a maior parte dos objetivos é plenamente satisfeita quanto menor for o valor de D. A diferença do modelo (13) a (16) em relação ao modelo expresso por (9) a (12) está no fato de que se pode realizar a otimização de forma sequencial, isto é, hierarquizando-se os objetivos em função de sua importância. Contudo, tal processo faz com que o custo computacional aumente e esse modelo seja pouco recomendado para aplicações reais de GP.
2.4. Programação por Metas estendida – EGP
O modelo de EGP foi proposto por Romero
(2001)Romero, C. (2001). Extended lexicographic goal programming: a
unifying approach. Omega, 29, 63-71.
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)00026-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)...
e a ideia dos autores foi obter um modelo que fosse uma
combinação convexa do WGP, do LGP e do Minmax GP, a fim de melhor equilibrar a
solução fornecida (Romero, 2004Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
). Dessa
forma, o modelo de EGP pode ser expresso por (17) a (20):
s.a:
O parâmetro λ possibilita obter combinações convexas entre os modelos WGP, LGP e Minmax GP. Observe-se que para λ = 0 tem-se a função de realização do Minmax GP e para λ = 1 tem-se a função de realização do WGP ou do LGP.
Para outros valores de λ no intervalo [0, 1] tem-se soluções
intermediárias, fornecidas pela combinação de WGP e Minmax GP (Extended Weighted
Goal Programming – EGP) ou, no caso da combinação de LGP e Minmax GP (Extended
Lexicographic Goal Programming – ELGP) (Romero,
2004Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
).
O modelo ELGP pode ser formulado por (21) a (24), conforme
Romero (2001)Romero, C. (2001). Extended lexicographic goal programming: a
unifying approach. Omega, 29, 63-71.
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)00026-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)...
:
De acordo com Romero (2004)Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
, é possível
demonstrar, por meio de especificações de diferentes valores para λ, que a
formulação ELGP pode levar a diferentes soluções ótimas. Esse autor propôs a
agregação de intervalos para as metas e a inclusão de funções de penalidade,
visando incorporar maior sensibilidade ao modelo (Chang & Lin, 2009Chang, C.-T., & Lin, T. C. (2009). Interval goal programming for
S-Shaped penalty function. European Journal of Operational
Research, 199, 9-20.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.10.009
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.10...
). Essas formulações não serão
detalhadas aqui, entretanto as características desses modelos podem ser
encontradas em Romero (2004)Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
.
Uma aplicação real do modelo ELGP, que permite uma combinação convexa entre os três principais modelos de GP determinística, foi realizada em problemas sucroalcooleiros de grande porte, visando minimizar o custo total agroindustrial e maximizar a produção de açúcar e álcool (Marins et al., 2011Marins, F. A. S., Silva, A. F; Ribeiro, I., & Montevechi, J. A. B. (2011). Solving Real Problems in Sugar and Ethanol Milling Companies with an Extended Goal Programming Model. In Triennial Conference of the International Federation of Operational Research Societies - IFORS, Melbourne.). Naquele trabalho, em especial, percebeu-se que ao variar o parâmetro λ obtinham-se diferentes soluções e, com isso, foi possível realizar uma análise mais acurada sobre o problema estudado, identificando-se quais objetivos eram mais conflitantes.
2.5. Programação por Metas inteira – IGP
O modelo IGP é utilizado em situações onde há variáveis que devem assumir valores
discretos, como, por exemplo, no planejamento da produção e em alguns problemas
de distribuição, dentre outros. Na proposta de Jones et al. (2002)Jones, D., Mirrazavi, S. K., & Tamiz, M. (2002). Multiobjective
meta-heuristics: an overview of the current state-of-the-art. European
Journal of Operational Research, 137, 1-9.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(01)00123-0
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(01)...
, essa situação se reflete no modelo dado por
(25) a (29):
s.a:
sendo u i e v i os pesos escolhidos para os desvios; Cs , o conjunto de restrições rígidas (não podem ser violadas); L e U, respectivamente, os vetores com os limitantes inferiores e superiores das variáveis de decisão, que devem ser estipulados pelos gestores visando à estimação de faixas aceitáveis para a variação discreta das variáveis de decisão.
Esse modelo parece similar ao descrito na seção 2.1, porém os artigos consultados
tratam os modelos de forma distinta, conforme Chang (2007Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396., 2008Chang, C.-T. (2008). Revised Multi-Choice Goal Programming.
Applied Mathematical Modelling, 32,
2587-2595. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09.008
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09....
) e Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming:
Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 16, 79-110.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442...
, Chang et al. (2012aChang, C.-T., Chen, H-M., & Zhuang, Z.-Y. (2012a). Revised
multi-segment goal programming: Percentage goal programming. Computers
& Industrial Enginnering, 63, 1235-1242.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08.005
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08....
, bChang, C.-T., Chen, H-M., & Zhuang, Z.-Y. (2012b).
Multicoefficients goal programming. Computers & Industrial
Enginnering, 62, 616-623.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2011.11.027
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2011.11....
) e Silva et al.
(2013aSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a).
Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol
milling company. Applied Mathematical Modelling,
37(1), 6146-6261.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12....
, bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013b).
Aplicação de programação por metas binária: mista em uma empresa do setor
sucroenergético. Gestão & Produção, 20(2),
321-336.).
2.6. Programação por Metas binária – BGP
Chang (2004Chang, C.-T. (2004). On The Mixed Binary Goal Programming Problems.
Applied Mathematics and Computation, 159,
759-768. http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2003.11.001
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2003.11....
, 2007Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396.) apresentou o modelo BGP com o intuito de resolver
problemas de decisões em que alguns dos objetivos podem ser cumpridos e outros,
eventualmente, não. Nesse caso há necessidade de serem incorporadas ao modelo
variáveis binárias que representem essa possibilidade de cumprir ou não um dado
objetivo. O modelo BGP (não linear) é expresso por (30) a (34):
s.a:
sendo y i a variável de controle binário para i-ésimo objetivo; e R i o seu domínio associado à quantidade de metas que os gestores desejam satisfazer plenamente, e F é o conjunto de soluções viáveis.
Dada a dificuldade inerente de se tratar modelos não lineares [ver equações (30 e
31)] e com variáveis binárias, Chang
(2000)Chang, C.-T. (2000). An efficient linearization approach for mixed
integer problems. European Journal of Operational Research,
123, 652-659.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(99)00106-X
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(99)...
propôs um modelo linear, dado por (35) a (46), como alternativa:
s.a:
sendo M um valor suficientemente grande; zi +, zi −, variáveis auxiliares; e h i(X) = f i(X)y i. Apesar de linear, esse modelo não se mostrou interessante para aplicações em problemas de grande porte, pois impõe que o decisor deva, a priori, escolher quais objetivos dentre os envolvidos no modelo se buscará satisfazer.
Isso dificulta a otimização, pois pode haver muitas possibilidades de combinações de objetivos prioritários e, quanto mais próximo o valor de R i estiver da quantidade total de objetivos existentes, maior será o custo computacional.
O modelo LGP, em que o decisor pode otimizar de forma sequencial seus objetivos;
O modelo WGP, com a atribuição de pesos;
O modelo Minmax GP;
Os modelos estendidos.
Dessas opções, para problemas de grande porte, recomenda-se o Minmax GP, pois não há a necessidade da escolha da importância relativa dos objetivos, o que facilita bastante a otimização e reduz consideravelmente o custo computacional.
2.7. Programação por Metas e Análise por Envoltória de Dados – GPDEA
Conforme apontado por Athanassopoulos
(1995)Athanassopoulos, A. D. (1995). Goal Programming & Data
envelopment analysis (GoDEA) for target-based multilevel planning: Allocating
central grants to the Greek local authorities. European Journal of
Operational Research, 87, 535-550.
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(95)00228-6
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(95)0...
, a Análise por Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis
– DEA) tem sido tradicionalmente utilizada em problemas de decisão
multicriterial envolvendo entidades – conhecidas como Unidades Tomadoras de
Decisão (Decision Making Units – DMUs) – similares, com os mesmos tipos de
entradas/insumos (inputs) e saídas/produtos
(outputs) e onde se deseja obter informações acerca do
desempenho (eficiência) relativa das DMUs.
Modelo com Retorno Constante de Escala (Constant Scale Return) ou Modelo CCR, em homenagem aos seus idealizadores, já que foi proposto por Charnes et al. (1978)Charnes, A., Cooper, W. W., Rhodes E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research, 2, 429-444. http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(78)90138-8
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(78)9... .Modelo com Retorno Variável de Escala (Variable Scale Return) ou Modelo BCC, em homenagem aos seus idealizadores, já que foi proposto por Banker et al. (1984)Banker, R. D., Charnes, A., & Cooper, W. W. (1984). Some models for estimating technical and scale inefficiencies in Data Envelopment Analysis. Management Science, 30, 1078-1092. http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.30.9.1078
http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.30.9.1078... .
Um aspecto de interesse é que esses modelos CCR e BCC não conseguem oferecer uma
boa discriminação quando o número de DMUs não é pelo menos três vezes maior que
a soma do número de variáveis inputs e outputs
(Peterson, 1993Peterson, A. P. (1993). A procedure for ranking efficient units in
data envelopment analysis. Management Science,
39, 1261-1264.
http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.39.10.1261
http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.39.10.126...
; Cooper et al., 2006Cooper, W. W., Seiford, L. M., & Tone, K. (2006).
Introduction to Data Envelopment Analysis and its uses:
with DEA-Solver software and references. New York: Springer., 2007Cooper, W. W., Sieford, L. M., & Tone, K. (2007). Data
envelopment analysis: A comprehensive text with models,
application, references and DEA-Solver Software (2nd ed.). New York: Springer
Science; Business Media.).
Para tentar utilizar a GP para atenuar tal dificuldade dos modelos DEA, Athanassopoulos (1995)Athanassopoulos, A. D. (1995). Goal Programming & Data
envelopment analysis (GoDEA) for target-based multilevel planning: Allocating
central grants to the Greek local authorities. European Journal of
Operational Research, 87, 535-550.
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(95)00228-6
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(95)0...
propôs um modelo
conhecido por Goal Programming &Analysis Envelopment Analysis (GODEA), no
qual se inseriram valores de metas para as DMUs. Esse modelo mostrou-se muito
complexo e de difícil compreensão, o que dificulta sua implementação e, na
prática, limita sua utilização.
Nessa mesma linha, Bal et al. (2010)Bal, H., Örkcü, H. H., & Çelebioğlu, S. (2010). Improving the
discrimination power and weights dispersion in the data envelopment analysis.
Computers and Operations Research, 37,
99-107. http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2009.03.028
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2009.03....
,
baseados no modelo de Li & Reeves
(1999)Li, X. B., & Reeves, G. R. (1999). A multiple criteria approach
to data envelopment analysis. European Journal of Operational
Research, 115, 507-517.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)00130-1
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)...
apresentado adiante, propuseram modelos de GPDEA para avaliar
a eficiência de DMUs.
As expressões (47) a (53) descrevem o modelo
multiobjetivo para a DEA, proposto por Li & Reeves (1999)Li, X. B., & Reeves, G. R. (1999). A multiple criteria approach
to data envelopment analysis. European Journal of Operational
Research, 115, 507-517.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)00130-1
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)...
:
s.a:
sendo j o índice das DMUs; i, o índice das variáveis de entrada; r, o índice das variáveis de saída; v i, o peso associado à i-ésima entrada; u r, o peso associado à r-ésima saída; y r0 e x i0, os coeficientes das matrizes de dados de entradas e saídas para a DMU0 (em análise); d o, a variável de desvio para a DMU0; y rj e x ij, os coeficientes das matrizes de dados de entradas e saídas para a DMUj; d j, a variável de desvio para a DMUj; e M, o valor máximo admitido para as variáveis de desvio (M = max {dj }).
Bal et al. (2010)Bal, H., Örkcü, H. H., & Çelebioğlu, S. (2010). Improving the
discrimination power and weights dispersion in the data envelopment analysis.
Computers and Operations Research, 37,
99-107. http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2009.03.028
http://dx.doi.org/10.1016/j.cor.2009.03....
associaram metas às
três funções objetivo do modelo de Li &
Reeves (1999)Li, X. B., & Reeves, G. R. (1999). A multiple criteria approach
to data envelopment analysis. European Journal of Operational
Research, 115, 507-517.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)00130-1
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)...
e propuseram os modelos GPDEA-CCR, conforme (54) a (62) e GPDEA-BCC, conforme (63) a (72), respectivamente: sendo
di
-, di
+ as variáveis de desvio indesejáveis para a meta que restringe
a soma ponderada das entradas ao valor de 1 (100%); d
2
+, a variável de desvio indesejável para a meta que restringe a
soma ponderada das saídas a ser menor ou igual a 1 (100%); d
2
-, a variável de desvio desejável para a meta que restringe a soma
ponderada das saídas a ser menor ou igual a 1 (100%); M, o
desvio máximo; d
3j
-, a variável de desvio indesejável da DMUj para a meta que tem M como o desvio máximo;
d
3
j
+, a variável de desvio desejável da DMUj para a meta que tem M como o desvio máximo.
GPDEA-CCR
s.a:
GPDEA-BCC
s.a:
Mais detalhes sobre os modelos CCR, BCC e GPDEA-CCR e GPDEA-BCC podem ser
encontrados em: Charnes et al. (1978Charnes, A., Cooper, W. W., Rhodes E. (1978). Measuring the
efficiency of decision making units. European Journal of Operational
Research, 2, 429-444.
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(78)90138-8
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(78)9...
,
1990Charnes, A., Cooper, W. W., Huang, Z. M., & Sun, D. B. (1990).
Polyhedral cone-ratiomodels with an illustrative application to large commercial
banks. Journal of Econometrics, 46, 73-91.
http://dx.doi.org/10.1016/0304-4076(90)90048-X
http://dx.doi.org/10.1016/0304-4076(90)9...
), Wong & Beasley (1990)Wong, Y. H. B., & Beasley, J. E. (1990). Restricting weight
flexibility in Data Envelopment Analysis. Journal of the Operational
Research Society, 41, 829-835., Baker & Talluri (1997)Baker, R. C., & Talluri, S. (1997). A closer look at the use of
data envelopment analysis for technology selection. Computers and
Industrial Engineering, 32, 101-108.
http://dx.doi.org/10.1016/S0360-8352(96)00199-4
http://dx.doi.org/10.1016/S0360-8352(96)...
, Sueyoshi (1999)Sueyoshi, T. (1999). DEA-discriminate analysis in the view of goal
programming. European Journal of Operational Research,
115, 564-582.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)00014-9
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(98)...
, Adler et al.
(2002)Adler, N., Friedman, L., & Sinuany-Stern, Z. (2002). Review of
ranking methods in the data envelopment analysis context. European
Journal of Operational Research, 140, 249-265.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00068-1
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
, Cooper (2005)Cooper, W. W. (2005). Origins, Uses of, and Relations Between Goal
Programming and Data Envelopment Analysis. Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis, 13, 3-11.
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.370
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.370...
, Wang &Luo (2009)Wang, Y. M., & Luo, Y. (2009). A note on a new method based on
the dispersion of weights in Data Envelopment Analysis. Computes &
Industrial Engineering, 56, 1703-1707.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.08.014
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.08....
e Bal et al. (2008)Bal, H., Örkcü, H. H., & Çelebioğlu, S. (2008). A new method
based on the dispersion of weights in data envelopment analysis.
Computers and Industrial Engineering, 54,
502-512. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2007.09.001
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2007.09....
.
Um relato de experiência prática de GPDEA está em Silva et al. (2011a)Silva, A. F., Lopes, P. R. M., & Marins, F. A. S. (2011a). Método de seleção de variedades de cana para plantio utilizando a programação de metas & Análise por Envoltória de Dados. In Encontro Nacional de Engenharia de Produção – ENEGEP, Belo Horizonte., que aplicaram o modelo para a seleção eficiente de variedades de cana para plantio para uma usina de açúcar e álcool brasileira. Nesse trabalho, os autores analisaram, a partir das variedades de cana de que a usina dispunha para o plantio, quais variedades deveriam ser plantadas, considerando como variáveis de entrada: a resistência a pragas, as exigências de solo e o tempo de corte; e como variáveis de saída: a taxa de produtividade de cana por hectare e a taxa de pol (quantidade de sacarose) da cana por hectare.
Outra utilização de GPDEA está relatada em Silva
et al. (2012bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Santos, M. V. B. (2012b).
Programação por metas e análise envoltória de dados na avaliação da eficiência
de plantas mundiais de manufatura. In Encontro Nacional de Engenharia de
Produção, Bento Gonçalves., 2013aSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a).
Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol
milling company. Applied Mathematical Modelling,
37(1), 6146-6261.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12....
), que
aplicaram esse modelo para avaliar a eficiência de múltiplas plantas mundiais de
manufatura de uma empresa multinacional do segmento de autopeças. Tal aplicação
demonstrou a superioridade do modelo GPDEA em relação aos modelos clássicos da
DEA na discriminação das plantas realmente eficientes da empresa.
Já Silva et al. (2012c)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Simões, M. V. B. (2012c). Programação por metas e análise envoltória de dados nos processos licitatórios de contratações de embarcações da Petrobrás. In Simpósio de Engenharia de Produção – SIMPEP, Bauru. utilizaram a GPDEA para avaliar a eficiência da contratação de processos licitatórios de embarcações da Petrobras, sendo que os resultados obtidos mostraram-se aderentes aos resultados obtidos pela empresa e permitiram uma discriminação mais confiável entre as DMUs.
Não foram encontradas outras aplicações da GPDEA no contexto internacional, tendo sido consultadas nessa pesquisa as bases de dados do Science Direct, da Elsevier, da Scopus e da Web of Knowledge, dentre outras.
http://dx.doi.org/10.1016/S0165-0114(02)... ). Já Hatami-Marbini et al. (2011)Hatami-Marbini, A., Emrouznejad, A., & Tavana, M. A. (2011). Taxonomy and review of the fuzzy data Envelopment Analysis literature: Two decades in the Making. European Journal of Operational Research, 214, 457-472. http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2011.02.001
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2011.02... elencaram as principais abordagens que tratam da modelagem Fuzzy DEA:
Abordagem pela tolerância (The tolerance approach);
Abordagem baseada no nível α(The α-level based approach);
Abordagem por ranqueamento Fuzzy (The Fuzzy ranking approach);
Abordagem baseada em possibilidades (The possibility approach).
Esses autores identificaram que a abordagem baseada no nível α é o modelo mais popular de Fuzzy DEA, fato confirmado pelo grande número de publicações. Dessa forma, uma lacuna que pode ser explorada é a incorporação da lógica Fuzzy nos modelos GPDEA, por meio dessa abordagem baseada no nível α.
Para mais detalhes sobre a abordagem α-level recomenda-se
a leitura de Kao &Liu (2000)Kao, C., & Liu, S. T. (2000). Fuzzy efficiency measures in data
envelopments analysis. Fuzzy sets and systems,
133, 427-437.
http://dx.doi.org/10.1016/S0165-0114(98)00137-7
http://dx.doi.org/10.1016/S0165-0114(98)...
.
2.8. Programação por Metas não linear – NLGP
Para Zheng et al. (1996)Zheng, D. W., Gen, M., & Ida, K. (1996). Evolution Program for
Nonlinear Goal Programming. Computers and Industrial
Engineering, 31(4), 907-911.
http://dx.doi.org/10.1016/S0360-8352(96)00262-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0360-8352(96)...
, o modelo NLGP é
útil para resolver problemas multicritérios, envolvendo objetivos e restrições
não lineares. De acordo com Abdelaziz et al.
(2007)Abdelaziz, F. B., Aouni, B., & Fayedh, R. E. (2007).
Multiobjective stochastic programming for portfolio selection. European
Journal of Operational Research, 177, 1811-1823.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10.021
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10...
e Bravo & Gonzalez
(2009)Bravo, M., & Gonzalez, I. (2009). Applying stochastic goal
programming: a case study on water use planning. European Journal of
Operational Research, 196, 1123-1129.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.04.034
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.04...
, trata-se de uma poderosa técnica para resolver problemas não
lineares de otimização multiobjetivo e com aplicação em vários problemas reais.
A seguir apresenta-se a formulação matemática do modelo NLGP proposta por Zheng et al. (1996)Zheng, D. W., Gen, M., & Ida, K. (1996). Evolution Program for
Nonlinear Goal Programming. Computers and Industrial
Engineering, 31(4), 907-911.
http://dx.doi.org/10.1016/S0360-8352(96)00262-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0360-8352(96)...
e Powell e Premachandra (1998)Powell, J. G., & Premachandra, I. M. (1998). Accommodating
diverse institutional investment objectives and constraints using non-linear
goal programming. European Journal of Operational Research,
105, 447-456.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)00061-1
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(97)...
:
s.a:
A função objetivo (73) visa minimizar os desvios indesejáveis para a realização das metas, sendo facultativa a atribuição de pesos, em (74) estão as restrições rígidas e (75) diz respeito às restrições flexíveis.
Saber &Ravindran (1993)Saber, H. M., & Ravindran, A. (1993). Nonlinear goal programming
theory and practice: a survey. Computers and Operations
Research, 20, 275-291.
http://dx.doi.org/10.1016/0305-0548(93)90004-3
http://dx.doi.org/10.1016/0305-0548(93)9...
revisaram e
discutiram quatro grandes abordagens da NLGP, baseadas no Método Simplex, no
Método da Busca Direta, no Método do Gradiente e em Abordagens Iterativas. Esses
autores, ainda, classificaram as aplicações por áreas, como design,
marketing e energia, dentre outras.
Deb (2001aDeb, K. (2001a). Multi-Objective Optimization using
Evolutionary Algorithms. John Wiley & Sons., bDeb, K. (2001b). Nonlinear goal programming using multiobjective
genetic algorithms. Journal of the Operational Research
Society, 52(3), 291-302.
http://dx.doi.org/10.1057/palgrave.jors.2601089
http://dx.doi.org/10.1057/palgrave.jors....
) e Ustun &Demirtas
(2008)Ustun, O., & Demirtas, E. A. (2008). An integrated
multiobjective decision-making process for multi-period lot-sizing with supplier
selection. The international Journal of management science,
36(4), 509-521. utilizaram o Método Multiobjetivo Integrado (Integrated
Multi-objective) para incorporar critérios intangíveis ao modelo matemático para
problemas de seleção de fornecedores e combinaram a aplicação do Analytic
Hierarchy Process (AHP) e do Analytic Network Process (ANP) (Saaty, 2006Saaty, T. L. (2006). Decision Making with the Analytic Network
Process. International Series in Operations Research & Management
Science, 95, 1-26.
http://dx.doi.org/10.1007/0-387-33987-6_1
http://dx.doi.org/10.1007/0-387-33987-6_...
) com a otimização
multiobjetivo.
Miettinen et al. (2003)Miettinen, K., Lotov, A. V., Kamenev, G. K., & Berezkin, V. E.
(2003). Integration of two multiobjective optimization methods for nonlinear
problems. Optimization Methods and Software, 18(1), 63-80.
http://dx.doi.org/10.1080/1055678031000116538
http://dx.doi.org/10.1080/10556780310001...
desenvolveram a
metaheurística híbrida NINBUS para problemas multiobjetivo não lineares,
descontínuos e não convexos. Essa metaheurística permite uma interação do
analista na calibragem das soluções geradas pelo método.
Deb (2001b)Deb, K. (2001b). Nonlinear goal programming using multiobjective
genetic algorithms. Journal of the Operational Research
Society, 52(3), 291-302.
http://dx.doi.org/10.1057/palgrave.jors.2601089
http://dx.doi.org/10.1057/palgrave.jors....
utilizou Algoritmos Genéticos
Multiobjetivos (Multiobjective Genetic Algorithms – MOGA) para resolver
problemas de programação não linear em geral. Também Taguchi et al. (2003)Taguchi, T., Yokota, T., & Gen, M. (2003). Method for solving
nonlinear goal programming tasks with interval coefficients using GA.
Electronics and Communications in Japan, Part 3, 86(4),
809-817. http://dx.doi.org/10.1002/ecjc.1145
http://dx.doi.org/10.1002/ecjc.1145...
propuseram a utilização de
algoritmos genéticos na solução de problemas de NLGP envolvendo coeficientes (da
função objetivo, do vetor de RHS ou da matriz de LHS) que não são constantes e
que podem variar dentro de intervalos predeterminados.
Gordon et al. (2005)Gordon, H., Dash, J. R., & Kajiji, N. A. (2005). Nonlinear goal programming model for efficient asset-liability management of property liability insurers. INFOR, 43(2), p. 135-156. desenvolveram um modelo NLGP de gestão de ativos e passivos para seguradoras de propriedades. Kuriger &Ravindran (2005)Kuriger, G., & Ravindran, A. R. (2005). Intelligent search methods for nonlinear goal programming problems. INFOR, 43(2), 79-92. desenvolveram três métodos para resolver problemas da NLGP a partir da GP, utilizando a ordenação lexicográfica das funções objetivo e conceitos de particionamento de matrizes.
Panda (2005)Panda, S. (2005). Determination of EOQ of multiitem inventory
problems through nonlinear goal programming with penalty function.
Asia-Pacific Journal of Operational Research, 22(4),
539-553. http://dx.doi.org/10.1142/S0217595905000728
http://dx.doi.org/10.1142/S0217595905000...
propôs uma técnica de NLGP
na obtenção de um lote econômico de compras em problemas com estoques de vários
itens. Mais recentemente, Dhahri & Chabchoub
(2007)Dhahri, I., & Chabchoub, H. (2007). Nonlinear goal programming
models quantifying the bullwhip effect in supply chain based on ARIMA
parameters. European Journal of Operational Research, 177(3),
1800-1810. http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10.065
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10...
utilizaram modelos da NLGP para a quantificação do Efeito
Chicote (Bullwhip Effect) em Cadeias de Suprimentos (Supply Chain), com base em
Modelos Autorregressivos Integrados de Média Móvel (Auto Regressive Integrated
Moving Average – ARIMA).
3. Goal Programming sob incerteza
Problemas reais de decisão, como os relacionados ao planejamento agregado de
produção, são tipicamente incertos (Wang &
Liang, 2004Wang, R. C., & Liang, T. F. (2004). Projects management
decisions with multiple fuzzy goals. Construction Management and
Economics, 22, 1047-1056.
http://dx.doi.org/10.1080/0144619042000241453
http://dx.doi.org/10.1080/01446190420002...
). Dessa forma, os modelos de otimização sob incerteza são
utilizados para que o impacto das variáveis aleatórias (com distribuições de
probabilidades conhecidas) vinculadas à avaliação de riscos seja considerado de
forma direta na modelagem (Joshi, 1995Joshi, R. R. (1995). A new approach to stochastic programming
problems: Discrete model. European Journal of Operational
Research, 83, 514-529.
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(93)E0218-M
http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(93)E...
; Diwekar, 2002Diwekar, U. (2002). Optimization under uncertainty. SIAG/OPT
Views-and-News, 13(1), 1-8.; Sahinidis, 2004Sahinidis, N. V. (2004). Optimization under uncertainty:
State-of-the-art and opportunities. Computers and Chemical
Engineering, 28, 971-983.
http://dx.doi.org/10.1016/j.compchemeng.2003.09.017
http://dx.doi.org/10.1016/j.compchemeng....
).
Uma forma de avaliar as incertezas dos parâmetros de entrada de um modelo é utilizar técnicas da Análise de Sensibilidade (AS), que consistem na análise da perturbação dos parâmetros de entrada, avaliando a estabilidade da solução com relação à factibilidade e à otimalidade (Paiva, 2009Paiva, R. P. O. (2009). Modelagem do planejamento agregado da produção em usinas cooperadas do setor sucroenergético utilizando programação matemática e otimização robusta (Tese de doutorado). Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.).
Além dos modelos a seguir descritos, há outros modelos disponíveis para tratar a
incerteza, como, por exemplo, os Modelos de Otimização Estocástica Robusta e
Otimização Robusta (Mulvey et al., 1995Mulvey, J. M., Vanderbei, R. J., & Zenios, S. A. (1995). Robust
optimization of large-scale systems. Operations Research,
43, 264-281.
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264...
;
Ben-Tal & Nemirovski, 1998Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (1998). Robust convex
optimization. Mathematics of Operations Research,
4, 769-805.
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769...
, 2000Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (2000). Robust Solutions of Linear
Programming Problems Contaminated With Uncertain Data. Mathematical
Programming, 88, 411-424.
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380...
; Bertsimas
& Sim, 2003Bertsimas, D., & Sim, M. (2003). Robust discrete optimization
and network flows. Mathematical Programming. Series B,
98(1-3), 49-71.
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-0396-4
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-039...
; Bertsimas &Thiele,
2006Bertsimas, D., & Thiele, A. (2006). A robust optimization
approach to inventory theory. Operations Research,
54(1), 150-168.
http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238
http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238...
). Tais modelos têm sido adotados com excelentes resultados, como
pode ser constatado nos trabalhos de Paiva
(2009)Paiva, R. P. O. (2009). Modelagem do planejamento agregado
da produção em usinas cooperadas do setor sucroenergético utilizando
programação matemática e otimização robusta (Tese de doutorado).
Universidade Federal de São Carlos, São Carlos., Paiva & Morabito
(2011)Paiva, R. P. O., & Morabito, R. (2011). Programação estocástica
robusta aplicada ao planejamento agregado da safra em usinas cooperadas do setor
sucroenergético. Gestão & Produção, 18(4), 719-738.
http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011000400004
http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011...
e Munhoz & Morabito
(2012)Munhoz, J. R., & Morabito, R. (2012). Uma abordagem de
otimização robusta no planejamento agregado de produção na indústria cítrica.
Produção, 23(2), 422-435.
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012005000054
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012...
.
3.1. Stochastic Goal Programming
Geralmente, admite-se que os gestores podem e sabem escolher os valores das metas
associadas aos objetivos de um problema de tomada de decisão, no entanto, muitas
vezes, esses objetivos podem incorporar aspectos estocásticos, tornando o
problema mais complexo, conforme apontado por Aouni et al. (2005)Aouni, B., Abdelaziz, F. B., & Martel, J. M. (2005).
Decisionmaker's preferences modeling in the stochastic goal programming.
European Journal of Operational Research,
162, 610-618.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2003.10.035
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2003.10...
. Para essas situações, esses autores propuseram
modelos de Programação por Metas estocástica (Stochastic Goal Programming –
SGP):
sendo que denota o vetor m-dimensional estocástico dos RHS com distribuição de probabilidade normal.
Uma formulação alternativa descrita por Abdelaziz
et al. (2007)Abdelaziz, F. B., Aouni, B., & Fayedh, R. E. (2007).
Multiobjective stochastic programming for portfolio selection. European
Journal of Operational Research, 177, 1811-1823.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10.021
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10...
, Bravo & Gonzalez
(2009)Bravo, M., & Gonzalez, I. (2009). Applying stochastic goal
programming: a case study on water use planning. European Journal of
Operational Research, 196, 1123-1129.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.04.034
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.04...
e Aouni & Torre
(2010)Aouni, B., & Torre, L. T. (2010). A generalized stochastic goal
programming model. Applied Mathematics and Computation,
215, 4347-4357.
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2009.12.065
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2009.12....
é:
sendo que as metas dos RHS têm distribuição de probabilidades normal N(μi; Σ2), com μi e Σ2 conhecidos.
Para detalhes de aplicações dos modelos SGP, consultar Martel & Aouni (1998)Martel, J. M., & Aouni, B. (1998). Diverse Imprecise Goal
Programming Model Formulations. Journal of Global Optimization,
12, 127-138.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1008206226608
http://dx.doi.org/10.1023/A:100820622660...
, Abdelaziz et al. (2007)Abdelaziz, F. B., Aouni, B., & Fayedh, R. E. (2007).
Multiobjective stochastic programming for portfolio selection. European
Journal of Operational Research, 177, 1811-1823.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10.021
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.10...
, Bravo &
Gonzalez (2009)Bravo, M., & Gonzalez, I. (2009). Applying stochastic goal
programming: a case study on water use planning. European Journal of
Operational Research, 196, 1123-1129.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.04.034
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2008.04...
, Aouni & Torre
(2010)Aouni, B., & Torre, L. T. (2010). A generalized stochastic goal
programming model. Applied Mathematics and Computation,
215, 4347-4357.
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2009.12.065
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2009.12....
. Uma opção (linear) aos modelos SGP seria utilizar os modelos
de FGP (Yaghoobi & Tamiz, 2007Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
;
Jamalnia & Soukhakian, 2009Jamalnia, A., & Soukhakian, M. A. (2009). A hybrid fuzzy goal
programming approach with different goal priorities to aggregate production
planning. Computers & Industrial Engineering,
56, 1474-1486.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.010
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09....
),
pois esses modelos são de fácil implementação computacional quando comparados
aos modelos SGP e podem ser resolvidos por softwares de
programação matemática de uso bem disseminado.
Em contrapartida, os modelos SGP exigem algoritmos específicos de otimização, sobretudo o desenvolvimento de heurísticas para tratar as complexas relações probabilísticas envolvidas. Esses modelos SGP têm sido empregados com maior frequência na área financeira.
Alternativamente poderia ser feita a substituição de modelos SGP por modelos de
otimização estocástica robusta ou modelos de otimização robusta (Mulvey et al., 1995Mulvey, J. M., Vanderbei, R. J., & Zenios, S. A. (1995). Robust
optimization of large-scale systems. Operations Research,
43, 264-281.
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264
http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264...
; Ben-Tal & Nemirovski, 1998Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (1998). Robust convex
optimization. Mathematics of Operations Research,
4, 769-805.
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769...
, 2000Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (2000). Robust Solutions of Linear
Programming Problems Contaminated With Uncertain Data. Mathematical
Programming, 88, 411-424.
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380...
; Bertsimas & Sim,
2003Bertsimas, D., & Sim, M. (2003). Robust discrete optimization
and network flows. Mathematical Programming. Series B,
98(1-3), 49-71.
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-0396-4
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-039...
; Bertsimas & Thiele,
2006Bertsimas, D., & Thiele, A. (2006). A robust optimization
approach to inventory theory. Operations Research,
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http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238
http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238...
; Paiva & Morabito
2011Paiva, R. P. O., & Morabito, R. (2011). Programação estocástica
robusta aplicada ao planejamento agregado da safra em usinas cooperadas do setor
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http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011...
; Munhoz & Morabito
2012Munhoz, J. R., & Morabito, R. (2012). Uma abordagem de
otimização robusta no planejamento agregado de produção na indústria cítrica.
Produção, 23(2), 422-435.
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012005000054
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012...
), nos quais trabalha-se com modelos lineares.
3.2. Fuzzy Goal Programming
Chang (2007)Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396. comenta que em problemas
reais podem existir níveis imprecisos de metas para os objetivos. Para fazer
frente a tais imprecisões ou subjetividades, Martel & Aouni (1998)Martel, J. M., & Aouni, B. (1998). Diverse Imprecise Goal
Programming Model Formulations. Journal of Global Optimization,
12, 127-138.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1008206226608
http://dx.doi.org/10.1023/A:100820622660...
propuseram o modelo Fuzzy Goal Programming
– FGP.
Conforme Zadeh (1965)Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Information and
Control, 8, 338-353.
http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X
http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(65)...
, a teoria dos
conjuntos Fuzzy é baseada na extensão da definição clássica de um conjunto, onde
cada elemento de um universo X pertence ou não a um conjunto A, com certo grau
de adesão ou pertinência.
Aouni et al. (2009)Aouni, B., Martel, J. M., & Hassaine, A. (2009). Fuzzy goal
Programming model: Na overview of the current state-of-the Art.
Microelectronics and Reliability, 33,
63-80. investigaram a
aplicação específica de modelos GP com os conjuntos Fuzzy. A formulação
matemática fica mais simples e eficiente, necessitando de menos restrições
adicionais e da solução de subproblemas, conforme modelo proposto por Martel & Aouni (1998)Martel, J. M., & Aouni, B. (1998). Diverse Imprecise Goal
Programming Model Formulations. Journal of Global Optimization,
12, 127-138.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1008206226608
http://dx.doi.org/10.1023/A:100820622660...
:
s.a:
sendo ∆i o desvio em relação à meta g i, cujo valor é subjetivamente escolhido pelos gestores.
Esse modelo incorpora formulação linear equivalente à Função de Pertinência
(Membership) adotada por Hannan (1981a)Hannan, E. L. (1981a). On Fuzzy Goal Programming. Decision
Sciences, 12, 522-531.
http://dx.doi.org/10.1111/j.1540-5915.1981.tb00102.x
http://dx.doi.org/10.1111/j.1540-5915.19...
e
que está representada nas Figuras 1-3 e pelas expressões (88) a (91):
Zimmermann (1988)Zimmermann, H. J. (1988). Fuzzy set theory and its application. Boston: Kluwer-Nijhoff Publishing. usou números Fuzzy triangulares para caracterizar valores linguísticos e Liang & Wang (1993)Liang, T. F., & Wang, M-J. (1993). Evaluating human reliability using fuzzy relation. Microelectron, 33, 63-80. justificam o uso de funções triangulares Fuzzy, pois elas refletem bem a imprecisão dos dados avaliados, especialmente em situações em que uma avaliação quantitativa não é possível.
Aouni et al. (2009)Aouni, B., Martel, J. M., & Hassaine, A. (2009). Fuzzy goal
Programming model: Na overview of the current state-of-the Art.
Microelectronics and Reliability, 33,
63-80. mostraram aplicações
de números triangulares Fuzzy que validam e justificam a adoção de tal método em
conjunto com os modelos de GP. Embora existam críticas como, por exemplo, as de
Ignizio (1982)Ignizio, J. P. (1982). Linear programming in Single &
Multiple-objective Systems. Prentice-Hall: Englewood
Cliffs. e Martel & Aouni (1998)Martel, J. M., & Aouni, B. (1998). Diverse Imprecise Goal
Programming Model Formulations. Journal of Global Optimization,
12, 127-138.
http://dx.doi.org/10.1023/A:1008206226608
http://dx.doi.org/10.1023/A:100820622660...
, o uso da função
de pertinência triangular ou também da trapezoidal é comum em modelos FGP (Jamalnia & Soukhakian, 2009Jamalnia, A., & Soukhakian, M. A. (2009). A hybrid fuzzy goal
programming approach with different goal priorities to aggregate production
planning. Computers & Industrial Engineering,
56, 1474-1486.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.010
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09....
).
Segundo Yaghoobi & Tamiz (2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
e
Jamalnia & Soukhakian (2009)Jamalnia, A., & Soukhakian, M. A. (2009). A hybrid fuzzy goal
programming approach with different goal priorities to aggregate production
planning. Computers & Industrial Engineering,
56, 1474-1486.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.010
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09....
, há
três tipos mais comuns de funções de pertinência: quando se trabalha com números
triangulares Fuzzy (Figuras 1 a 3), com as metas (goals) representadas por
(92) a (94) e com as expressões (95) a (97), mostrando as respectivas
formulações Fuzzy:
Adotando-se a abordagem de Yaghoobi & Tamiz
(2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
, tem-se uma nova formulação FGP com base no modelo Minmax
GP:
s.a:
Segundo Yaghoobi & Tamiz (2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
, na
solução ótima de cada modelo de GP, apenas um dos di
-, di
+ é maior que zero. Nos modelos propostos por Romero (2001Romero, C. (2001). Extended lexicographic goal programming: a
unifying approach. Omega, 29, 63-71.
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)00026-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0305-0483(00)...
, 2004Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
) acrescenta-se D ≤ 1, com
e , assegurando-se que na solução ótima tenha-se
di
- ≤ ∆iLe di
+ ≤ ∆iR. O trabalho de Yaghoobi & Tamiz
(2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
é uma extensão do modelo de Romero (2004)Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a
goal programming model. European Journal of Operational
Research, 153, 675-686.
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...
para resolver problemas FGP, utilizando como base o
modelo Minmax GP.
Os objetivos Fuzzy A (Figura 1) e B (Figura 2) podem ser tratados sem muitas
dificuldades, sendo o objetivo Fuzzy B um caso especial da meta Fuzzy C (Figura 3), no qual ∆iR = ∞. Dessa
forma, as restrições (99) e
(100) para o objetivo Fuzzy
B se alteram (Yaghoobi & Tamiz,
2007Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
), como em (104) a
(107):
No modelo proposto por Yaghoobi & Tamiz
(2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A
tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced
triangular membership function. European Journal of Operational
Research, 176, 636-640.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
, D ≤ 1 é um limitante para D e uma
alternativa é substituir D por λ = 1 − D e como D
≤ 1 e 1 − D ≥ 0, λ ≥ 0 deve ser adicionado ao modelo.
Além disso, Min (1 − λ) pode ser substituído por Maxλ.
Consequentemente, pode-se resolver o modelo FGP tomando-se como base o modelo da abordagem Minmax GP, conforme expresso em (108) a (116):
Outras abordagens para a FGP foram propostas por: Narasimhan (1980Narasimhan, R. (1980). Goal programming in a fuzzy environment.
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http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06...
, para
resolver um problema de grande porte em uma usina sucroalcooleira com bons
resultados práticos, isto é, a determinação de planos de produção e colheita de
cana viáveis e eficientes a um custo computacional aceitável. O trabalho teve o
objetivo de incorporar as incertezas presentes nos processos sucroenergéticos
como, por exemplo, o preço dos produtos, as condições de produção e a cogeração
de energia elétrica. Os autores comentaram que o modelo FGP permitiu incorporar
as incertezas em um problema real e de grande porte.
A abordagem por FGP mostrou-se mais simples de ser implementada
computacionalmente do que o modelo de Otimização Estocástica Robusta (OER)
proposto por Mulvey et al. (1995)Mulvey, J. M., Vanderbei, R. J., & Zenios, S. A. (1995). Robust
optimization of large-scale systems. Operations Research,
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http://dx.doi.org/10.1287/opre.43.2.264...
e
adotado por Paiva (2009)Paiva, R. P. O. (2009). Modelagem do planejamento agregado
da produção em usinas cooperadas do setor sucroenergético utilizando
programação matemática e otimização robusta (Tese de doutorado).
Universidade Federal de São Carlos, São Carlos. e Paiva & Morabito (2011)Paiva, R. P. O., & Morabito, R. (2011). Programação estocástica
robusta aplicada ao planejamento agregado da safra em usinas cooperadas do setor
sucroenergético. Gestão & Produção, 18(4), 719-738.
http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011000400004
http://dx.doi.org/10.1590/S0104-530X2011...
, pois não há a
necessidade de se incorporar cenários, o que aumenta consideravelmente o porte
do modelo. Adicionalmente, outra vantagem do modelo FGP é que nele não há a
necessidade de se calibrar parâmetros, como ocorre no uso da OER – no qual o
analista deve determinar o vetor de probabilidades de ocorrência de cada
cenário, o fator de penalização dos desvios da função objetivo para cada cenário
e o fator de ajuste da otimalidade para cada cenário.
Destaque-se, ainda, que os modelos de OER requerem, além da calibragem de alguns
parâmetros, um bom conhecimento de técnicas estatísticas (Ben-Tal & Nemirovski, 1998Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (1998). Robust convex
optimization. Mathematics of Operations Research,
4, 769-805.
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769
http://dx.doi.org/10.1287/moor.23.4.769...
, 2000Ben-Tal, A., & Nemirovski, A. (2000). Robust Solutions of Linear
Programming Problems Contaminated With Uncertain Data. Mathematical
Programming, 88, 411-424.
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380
http://dx.doi.org/10.1007/PL00011380...
; Bertsimas & Sim,
2003Bertsimas, D., & Sim, M. (2003). Robust discrete optimization
and network flows. Mathematical Programming. Series B,
98(1-3), 49-71.
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-0396-4
http://dx.doi.org/10.1007/s10107-003-039...
; Bertsimas & Thiele,
2006Bertsimas, D., & Thiele, A. (2006). A robust optimization
approach to inventory theory. Operations Research,
54(1), 150-168.
http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238
http://dx.doi.org/10.1287/opre.1050.0238...
; Munhoz & Morabito,
2012Munhoz, J. R., & Morabito, R. (2012). Uma abordagem de
otimização robusta no planejamento agregado de produção na indústria cítrica.
Produção, 23(2), 422-435.
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012005000054
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132012...
).
Já Silva et al. (2010aSilva, A. F., Marins, F. A. S., Salomon, V. A. P., & Silva, G. (2010a). Otimização multiobjetivo fuzzy no planejamento agregado da produção e distribuição em usinas de açúcar e álcool. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Bento Gonçalves., 2012dSilva, A. F., Marins, F. A. S., Ferreira, U. R., & Montevechi, J. A. B. (2012d). A Fuzzy Goal Programming Model for Solving Aggregate Production-Planning Problems under uncertainty: A Case Study in a Brazilian Sugar Mill. In Informs Conference, Beijing.), que aplicaram o modelo FGP em problemas reais de planejamento agregado em usinas sucroalcooleiras, comentaram que esse modelo proporcionou uma maior interação dos gestores da usina com os analistas, notadamente na estimação dos níveis (imprecisos) das metas a serem incorporadas na modelagem.
3.3. Multi-Choice Goal Programming
O modelo de Programação por Metas com Múltiplas Escolhas (Multi-Choice Goal Programming – MC-GP) foi desenvolvido por Chang (2007)Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The International Journal of Management Science, 35, 389-396. para tratar situações em que há vários valores possíveis de metas (conhecidos como níveis de aspiração) para os objetivos. O modelo MC-GP avalia as incertezas nas constantes associadas às limitações de recursos (RHS) nas restrições, sendo expresso por (117) a (118):
s.a:
Uma formulação alternativa está em (119) a (125), conforme proposto também por Chang (2007)Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The International Journal of Management Science, 35, 389-396.:
sendo Sij (A) uma série binária vinculada à meta g i; R i (X), as restrições associadas às limitações dos recursos; e di +, di −, ni +, ni − as variáveis de desvio para mais e para menos vinculadas às metas ϕ i e g i, respectivamente.
Uma observação importante com relação à restrição (122) – que envolve a escolha entre as variáveis gimax ou gimin para ser o seu RHS – é que essa decisão depende do que se deseja para a meta analisada: se a meta é do tipo "quanto mais melhor", como é o caso de lucros, usa-se o gimax e, caso contrário, usa-se o gimin.
Chang (2008)Chang, C.-T. (2008). Revised Multi-Choice Goal Programming.
Applied Mathematical Modelling, 32,
2587-2595. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09.008
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09....
propôs, também, um modelo de
Programação por Metas com Múltiplas Escolhas Revisada (Revised Multi-Choice GP –
RMC-GP) que substitui a necessidade de variáveis binárias requeridas pelo modelo
MC-GP incorporando variáveis contínuas, conforme (126) a (131):
s.a:
sendo que a variável y i define o espaço contínuo para a meta g i.
A principal diferença desse modelo em relação ao modelo MC-GP está no fato de que os níveis de aspirações das limitações estão definidos em espaços contínuos, conforme restrição (129).
Chang (2010)Chang, C.-T. (2010). Revised multi-choice goal programming for
multi-period, multi-stage inventory controlled supply chain model with popup
stores in Guerrilla marketing. Applied Mathematical Modelling,
58, 3586-3598. ilustra, para problemas
simples de pequeno porte, como resolver problemas multiestágios, multiprodutos e
multiperíodos utilizando o modelo RMC-GP. Tanto o modelo MC-GP quanto o modelo
RMC-GP são métodos novos de GP e, portanto, não há muita literatura disponível.
Para mais detalhes, consultar Silva et al.
(2010bSilva, A. F., Marins, F. A. S., Silva, G., & Lopes, P. R. M.
(2010b). Um modelo multiescolhas de programação de metas inteira mista para o
planejamento agregado da produção em uma usina brasileira de açúcar e etanol. In
Encontro Regional de Pesquisa Operacional da Região Sudeste –
ERPO, Rio de Janeiro., 2013aSilva, A. F., Marins, F. A. S., Ribeiro, I. M., Lopes, P. R., &
Montevechi, J. A. B. (2011c). Planejamento Otimizado para Colheita de Cana de
Açúcar de Uma Usina Sucroalcooleira. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa
Operacional – SBPO, Ubatuba., bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013b).
Aplicação de programação por metas binária: mista em uma empresa do setor
sucroenergético. Gestão & Produção, 20(2),
321-336.), Chang
(2007Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396., 2008Chang, C.-T. (2008). Revised Multi-Choice Goal Programming.
Applied Mathematical Modelling, 32,
2587-2595. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09.008
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09....
, 2010Chang, C.-T. (2010). Revised multi-choice goal programming for
multi-period, multi-stage inventory controlled supply chain model with popup
stores in Guerrilla marketing. Applied Mathematical Modelling,
58, 3586-3598.) e Liao & Kao (2010Liao, C. N., & Kao, H. P. (2010). Supplier selection model using
Taguchi loss function, analytical hierarchy process and multi-choice goal
programming. Computers and Industrial Engineering,
58, 571-577.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2009.12.004
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2009.12....
.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2011.07.... propõe agregar uma função cônica escalonada (Scalarizing Function) ao modelo MC-GP e destaca três contribuições do seu trabalho:
A formulação alternativa permite que o tomador de decisão defina os níveis de multiescolha de aspiração para cada meta;
A formulação proposta reduz restrições auxiliares e variáveis adicionais em relação ao modelo MC-GP; e
O modelo proposto garante a obtenção de uma solução eficiente.
Já Bankain-Tabrizi et al. (2012)Bankain-Tabrizi, B., Shahanaghi, K., & Jabalameli, M. S. (2012). Fuzzy multi-choice goal programming. Applied Mathematical Modelling, 35(4), 1415-1420. combinaram a lógica Fuzzy com a MC-GP, criando o modelo Fuzzy Multi-Choice Goal Programming (FMC-GP), validado com exemplos numéricos simples.
Silva et al. (2013a)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a).
Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol
milling company. Applied Mathematical Modelling,
37(1), 6146-6261.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12....
desenvolveram uma
nova aplicação para o modelo Multi-Choice com a incorporação de variáveis
inteiras e mistas, numa aplicação real no setor sucroenergético brasileiro.
3.4. Multi-Segment Goal Programming
O modelo de Programação por Metas com Múltiplos Segmentos (Multi-Segment Goal
Programming – MS-GP) foi desenvolvido por Liao
(2009)Liao, C. N. (2009). Formulating the multi-segment goal programming.
Computers and Industrial Engineering, 56,
138-141. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04.007
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04....
e é derivado do modelo MC-GP proposto por Chang (2007)Chang, C.-T. (2007). Multi-Choice Goal Programming. The
International Journal of Management Science, 35,
389-396.. A principal diferença entre
esses modelos está no contexto em que se considera a incerteza: o MC-GP
considera incertezas nos RHS e o MS-GP considera incertezas nos LHS. O modelo
MS-GP pode ser expresso por (132) a (134):
s.a:
sendo Sij os coeficientes das variáveis de decisão correspondentes ao nível (valor) estabelecido para o j-ésimo segmento da i-ésima meta g i. As demais variáveis são as mesmas já definidas nos modelos anteriores.
Devido ao fato de o modelo MS-GP ter sido criado recentemente, há pouca
literatura a respeito, recomendando-se consultar a obra de Liao (2009)Liao, C. N. (2009). Formulating the multi-segment goal programming.
Computers and Industrial Engineering, 56,
138-141. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04.007
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04....
para detalhes.
De toda forma, como o modelo MS-GP avalia as incertezas nos LHS, não se recomenda a sua adoção para problemas de grande porte, pois a implementação é muito complexa do ponto de vista computacional. A dificuldade decorre do fato de que a inclusão da incerteza em cada LHS torna o modelo não linear misto, isto é, há um produto entre as variáveis auxiliares binárias com as variáveis de decisão originais. Ilustrando esse problema, suponha-se um modelo com 10 mil coeficientes na matriz tecnológica, não sendo difícil imaginar a dificuldade de tratar as 10 mil variáveis auxiliares binárias adicionais num ambiente de otimização não linear misto.
Recentemente Chang et al. (2012a)Chang, C.-T., Chen, H-M., & Zhuang, Z.-Y. (2012a). Revised
multi-segment goal programming: Percentage goal programming. Computers
& Industrial Enginnering, 63, 1235-1242.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08.005
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2012.08....
desenvolveram o Modelo de Programação por Metas com Múltiplos Segmentos Revisada
(Revised Multi-Segment Goal Programming – RMSGP) que evita a necessidade de
variáveis de controle binárias. A ideia básica desse modelo é restringir a
variação dos LHS num intervalo contínuo, enquanto o modelo MS-GP restringe a
variação dos LHS num intervalo discreto.
Também há pouco tempo, Chang et al.
(2012b)Chang, C.-T., Chen, H-M., & Zhuang, Z.-Y. (2012b).
Multicoefficients goal programming. Computers & Industrial
Enginnering, 62, 616-623.
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2011.11.027
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2011.11....
propuseram o Modelo de Programação por Metas com Múltiplos
Coeficientes (Multi-Coefficients GP – MCGP) com o mesmo propósito do RMSGP, mas
utilizando variáveis auxiliares discretas vinculadas a cada LHS, incorporando as
incertezas.
Visando ilustrar a complexidade destes modelos, foi incorporado ao texto o
exemplo de Liao (2009)Liao, C. N. (2009). Formulating the multi-segment goal programming.
Computers and Industrial Engineering, 56,
138-141. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04.007
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.04....
, com três funções
objetivo conforme (135) –
(137) e três restrições
conforme (138) – (140):
Nessas funções, alguns coeficientes estão condicionados a níveis de aspiração, ou seja, o coeficiente x 1 da função g 1 pode ter um valor de 3 ou 6, e assim sucessivamente para as demais funções.
O modelo MSGP teria a seguinte estrutura algébrica, conforme as expressões (141) a (148).
Pode-se verificar que há um aumento considerável na complexidade desse último modelo, mesmo tratando-se de um modelo de pequeno porte. Como em problemas reais pode haver milhares ou milhões de variáveis, a necessidade de se associar a cada uma delas uma variável auxiliar binária tornaria o processo de modelagem exaustivo e com um custo computacional que limitaria consideravelmente sua adoção, pois os gestores usualmente precisam de informações disponíveis em um tempo aceitável para a tomada de decisão. Nesses casos, os Modelos de Otimização Estocástica Robusta e Otimização Robusta são mais indicados, pois permitem incorporar a incerteza na matriz tecnológica sem aumentar a complexidade original do modelo.
Nesse contexto, Silva et al. (2012a)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2012a). Tratamento da incerteza no planejamento da colheita de cana de açúcar utilizando um modelo de Programação por Metas Multi-escolha Revisado. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional – SBPO, Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación Operativa, Rio de Janeiro. estenderam a estrutura algébrica do modelo MSGP para incorporar a incerteza em toda a matriz tecnológica (parâmetros do modelo), obtendo bons resultados num tempo computacional aceitável.
4. Considerações finais
Este trabalho procurou identificar os principais modelos determinísticos e sob incerteza da GP, procurando apontar suas vantagens e desvantagens com vistas à sua aplicação a problemas complexos (de grande porte) de decisão.
Com relação à escolha do modelo de GP determinística, este trabalho constatou, por meio de uma ampla pesquisa bibliográfica, e com apoio, principalmente, dos trabalhos de Caballero et al. (2009)Caballero, R., Gómez, T., & Ruiz, F. (2009). Goal Programming: Realistic Targets for the near future. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 16, 79-110. http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442
http://dx.doi.org/10.1002/mcda.442... , Romero (2004)Romero, C. (2004). A general structure of achievement function for a goal programming model. European Journal of Operational Research, 153, 675-686. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00793-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)... , Yaghoobi & Tamiz (2007)Yaghoobi, M. A., & Tamiz, M. (2007). A note on article A tolerance approach to the fuzzy goal programming problems with unbalanced triangular membership function. European Journal of Operational Research, 176, 636-640. http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06.045
http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2005.06... , Jamalnia & Soukhakian (2009)Jamalnia, A., & Soukhakian, M. A. (2009). A hybrid fuzzy goal programming approach with different goal priorities to aggregate production planning. Computers & Industrial Engineering, 56, 1474-1486. http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.010
http://dx.doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.... , Silva et al. (2013aSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a). Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol milling company. Applied Mathematical Modelling, 37(1), 6146-6261. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.... , bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013b). Aplicação de programação por metas binária: mista em uma empresa do setor sucroenergético. Gestão & Produção, 20(2), 321-336.), que os modelos mais utilizados são o WGP, o LGP e o Minmax GP, desta forma, caso o gestor deseje aplicar um modelo de GP determinística, o indicado seriam os modelos estendidos, EGP e ELGP, pois agregam todas as potencialidades dos modelos GP determinísticos em um único modelo;Ainda com respeito aos modelos determinísticos, os modelos GPDEA-CCR e GPDEA-BCC proporcionaram uma melhor discriminação entre as DMUs que os modelos tradicionais CCR e BCC, notadamente quando o número de DMUs é inferior a três vezes a soma do número de inputs e outputs (Cooper et al., 2006Cooper, W. W., Seiford, L. M., & Tone, K. (2006). Introduction to Data Envelopment Analysis and its uses: with DEA-Solver software and references. New York: Springer., 2007Cooper, W. W., Sieford, L. M., & Tone, K. (2007). Data envelopment analysis: A comprehensive text with models, application, references and DEA-Solver Software (2nd ed.). New York: Springer Science; Business Media.). Destaque-se que esses modelos da GPDEA foram recentemente aplicados no Brasil em áreas variadas, com bom desempenho (Silva et al., 2011aSilva, A. F., Lopes, P. R. M., & Marins, F. A. S. (2011a). Método de seleção de variedades de cana para plantio utilizando a programação de metas & Análise por Envoltória de Dados. In Encontro Nacional de Engenharia de Produção – ENEGEP, Belo Horizonte., 2012bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Santos, M. V. B. (2012b). Programação por metas e análise envoltória de dados na avaliação da eficiência de plantas mundiais de manufatura. In Encontro Nacional de Engenharia de Produção, Bento Gonçalves., cSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Simões, M. V. B. (2012c). Programação por metas e análise envoltória de dados nos processos licitatórios de contratações de embarcações da Petrobrás. In Simpósio de Engenharia de Produção – SIMPEP, Bauru., 2013cSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Santos, M. V. B. (2013c). Programação por Metas e Análise Envoltória de Dados na Avaliação da Eficiência de Plantas Mundiais de Manufatura. Revista Eletrônica Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento, 5(2), 172-184.). Como exemplo desses últimos modelos, Silva et al. (2013c)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Santos, M. V. B. (2013c). Programação por Metas e Análise Envoltória de Dados na Avaliação da Eficiência de Plantas Mundiais de Manufatura. Revista Eletrônica Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento, 5(2), 172-184. utilizaram a lógica Fuzzy nos modelos GPDEA visando tratar a incerteza na análise de eficiência de DMUs;
Quanto aos modelos sob incerteza, o modelo MS-GP incorpora as incertezas nos RHS, ou seja, em cada coeficiente tecnológico, o que, conforme já mencionado, pode inviabilizar seu uso em problemas reais de grande porte. Entretanto, uma generalização dessa formulação que incorpora a incerteza em toda a matriz tecnológica, isto é, nos parâmetros do modelo, como proposto por Silva et al. (2012a)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2012a). Tratamento da incerteza no planejamento da colheita de cana de açúcar utilizando um modelo de Programação por Metas Multi-escolha Revisado. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional – SBPO, Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación Operativa, Rio de Janeiro., mostrou-se viável computacionalmente, mesmo em problemas complexos;
O modelo MC-GP original, que engloba conceitos da lógica Fuzzy sem muitas aplicações, motivou outros autores a proporem modelagens alternativas (revisadas) (Chang, 2008Chang, C.-T. (2008). Revised Multi-Choice Goal Programming. Applied Mathematical Modelling, 32, 2587-2595. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09.008
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2007.09.... ; Ustun, 2012Ustun, O. (2012). Multi-choice goal programming formulation based on the conic scalarizing function. Applied Mathematical Modelling, 36(3), 974-988. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2011.07.065.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2011.07.... ; Bankain-Tabrizi et al., 2012Bankain-Tabrizi, B., Shahanaghi, K., & Jabalameli, M. S. (2012). Fuzzy multi-choice goal programming. Applied Mathematical Modelling, 35(4), 1415-1420.), mas que ainda carecem de testes mais adequados;Como alternativa ao modelo MC-GP, Silva et al. (2013a)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a). Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol milling company. Applied Mathematical Modelling, 37(1), 6146-6261. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.... realizaram uma mudança na sua estrutura algébrica para tratar problemas inteiros e mistos. O novo modelo, denominado MCMI-GP, foi aplicado num problema real em uma usina do setor sucroenergético que levou à obtenção de resultados aderentes e interessantes com respeito aos cenários analisados;Para as situações em que a incerteza tem papel importante, recomenda-se o modelo FGP para avaliar a incerteza da estimação das limitações (RHS). Já os modelos MC-GP revisados foram investigados e testados em problemas reais de grande porte, inclusive com a incorporação da teoria Fuzzy (Silva, 2013Silva, A. F. (2013). Otimização multiobjetivo no planejamento agregado da produção e na cogeração de energia elétrica de usina do setor sucroenergético (Tese de doutorado). Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá.; Silva et al., 2010aSilva, A. F., Marins, F. A. S., Salomon, V. A. P., & Silva, G. (2010a). Otimização multiobjetivo fuzzy no planejamento agregado da produção e distribuição em usinas de açúcar e álcool. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Bento Gonçalves., 2012dSilva, A. F., Marins, F. A. S., Ferreira, U. R., & Montevechi, J. A. B. (2012d). A Fuzzy Goal Programming Model for Solving Aggregate Production-Planning Problems under uncertainty: A Case Study in a Brazilian Sugar Mill. In Informs Conference, Beijing., 2013aSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013a). Multi-choice mixed integer goal programming optimization in a sugar and ethanol milling company. Applied Mathematical Modelling, 37(1), 6146-6261. http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.022
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2012.12.... , bSilva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2013b). Aplicação de programação por metas binária: mista em uma empresa do setor sucroenergético. Gestão & Produção, 20(2), 321-336.), com resultados que satisfizeram os gestores da usina sucroalcooleira onde se deu a aplicação;Para tratar as incertezas na matriz tecnológica (parâmetros do modelo), recomenda-se adotar o modelo GP com Múltiplos Segmentos, com base em Silva et al. (2012a)Silva, A. F., Marins, F. A. S., & Montevechi, J. A. B. (2012a). Tratamento da incerteza no planejamento da colheita de cana de açúcar utilizando um modelo de Programação por Metas Multi-escolha Revisado. In Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional – SBPO, Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación Operativa, Rio de Janeiro., que incorporaram a incerteza relacionada às decisões de planejamento na colheita de cana-de-açúcar.
Agradecimentos
À CAPES, ao CNPq e à FAPESP.
Referências
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Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
11 Mar 2014 -
Data do Fascículo
Jan-Mar 2015
Histórico
-
Recebido
25 Fev 2013 -
Aceito
14 Set 2013