Delineamentos (1/5)(5³)

Desings (1/5)(5³)

Resumos

É descrita a análise estatística de um grupo especial de fatoriais fracionados (1/5) (5³), utilizando os modelos quadráticos e com raiz quadrada; tal estudo foi desenvolvido pelos autores visando principalmente sua aplicação em experimentos agronômicos com fertilizantes. Estes delineamentos fatoriais se originaram da superposição de três dos quatro quadrados latinos ortogonais 5x5, sendo obtidos três conjuntos básicos, designados por Tipo I, II, III, Tipo I, II, IV e Tipo I, III, IV; o último deles é apresentado: 111 245 324 453 532 222 351 435 514 143 333 412 541 125 254 444 523 152 231 315 555 134 213 342 42 O modelo quadrático com dez parâmetros é dado por: Yijk = b0x0 +b li x li + b lj x lj + b lk x lk + b2i x2i + b2j x2j + b2k x2k + + b lilj x lilj + b lilk x lilk + b ljlk x ljlk + x ijk em que x lm = a1 + Xm, x2m = a2 + g2Xm + X²m , com m= i,j,k; os níveis em cada fator variam de 1 a 5; com as condições de ortogonalidade Sx lm=0, Sx2m=0, Sx lm x2m=0, resulta Sxlm=-3+Xm e Sx2m= 7-6Xm+X²m, de onde se tem: x l1=-2; x l2=-1; x l3=0; x l4=1; x l5=2; x21=2; x22=-1; x23=-2; x24=-1; x25=2, para cada índice i,j,k. O coeficiente linear para cada fator pode ser estimado independentemente; os coeficientes quadráticos e das interações linear x linear são estimados a partir de uma matriz simétrica completa 6x6. Consequentemente, na análise da variância as somas de quadrados dos componentes lineares são independentes, mas as somas de quadrados dos componentes quadráticos e das interações são confundidas e, por isso, testadas conjuntamente. Se a contribuição de um fator e sua interação com os outros são negligíveis, podem ser calculadas estimativas independentes dos coeficientes linear e quadrático dos outros dois fatores e sua interação correspondente. Por outro lado, se todos os fatores são importantes mas suas interações são negligíveis, os coeficientes lineares e quadráticos de cada fator são estimados independentemente. O modelo polinomial com raiz quadrada pode ser representado na mesma forma (A), com os valores: x lm= a1+ (Xm)½ e x2m= a2+ g2(Xm)½ +Xm, onde m= i,j,k; Sx lm=0, Sx2m=0, Sx lm x2m=0, dando: x lm= -1,67646 + (Xm)½, x2m= 2,41157-3,22798 (Xm)½ +Xm o que resulta x l1=-0,67646; x l2=-0,26226; x l3=0,05554; x l4=0,32354; x l5=0,55964; x21=0,18359; x22=-0,15342; x23=-0,17928; x24=-0,04438; x25=0,19349, para cada fator i,j,k. Neste modelo, com exclusão de b0, os coeficientes para cada fator e para as respectivas interações são estimados a partir de uma matriz simétrica completa 9x9; assim, com exceção da soma de quadrados correspondente a b0, que pode ser calculada isoladamente, teremos uma única soma de quadrados representando todos os outros coeficientes, que serão, por isso, testados englobadamente. Quando as três interações, ou quando um fator principal e suas interações são negligíveis, o modelo com raiz quadrada apresenta as mesmas propriedades que o modelo quadrático. Assumindo a não existência de interações, pode-se utilizar o modelo de Mitscherlich Y= A [1-10-c(x+h) ] para avaliação da resposta de cada fator, a partir dos totais marginais correspondentes. Pode-se ainda obter uma avaliação extra a partir da diagonal principal do delineamento, que representa a resposta a quantidades crescentes, em níveis iguais, para os três fatores. Com vistas à avaliação do incremento devido ao uso da adubação e ainda uma visualização extra do efeito de calcário e calcário mais micronutrientes, podem ser adicionados ao delineamento (1/5) (5x5x5) alguns tratamentos extras para melhor atingir esse objetivo: o tratamento 000, o tratamento 333+(Ca+Mg) e o tratamento 333+(Ca+Mg)+ micronutrientes, possivelmente com duas repetições para cada um deles. Se se desejar avaliar a adequação do modelo utilizado, podem ser colocados mais quatro ou cinco pontos no nível 333. Usando uma amplitude apropriada das dosagens (evitando platô nas respostas), este grupo de delineamentos possibilita uma análise mais eficiente da curvatura da superfície de resposta na área da decisão econômica. Se os modelos são usados sem as interações, a estimação dos parâmetros, de forma independente, para os modelos quadrático, com raiz quadrada e Mitscherlich, pode ser facilmente conseguida. Estas propriedades são de grande interesse nos estudos econômicos de programas de fertilizantes para países em desenvolvimento. Com a ajuda de uma rede de experimentos deste tipo, podem ser obtidos estudos econômicos com macronutrientes como nitrogênio, fósforo e potássio, por exemplo, com cinco níveis de cada fator, com experimentos de tamanho médio.

The statistical solutions for quadratic and square root polynomials for a group of special 1/5 (53) fractional factorial, aiming, primarily, its application to fertilizer experiments are reported. These factorial designs were originated by the superposition of three of the four existing orthogonal 5x5 latin squares. Three basic designs are obtained: I-II-III, I-II-IV, and I-III-IV; the last one is presented below. 111 245 324 453 532 222 351 435 514 143 333 412 541 125 254 444 523 152 231 315 555 134 213 342 421 The quadratic model of second order with ten parameters is: Yijk = b0x0 +b li x li + b lj x lj + b lk x lk + b2i x2i + b2j x2j + b2k x2k + + b lilj x lilj + b lilk x lilk + b ljlk x ljlk + x ijk where x lm = a1 + Xm, x2m = a2 + g2Xm + X²m , m= i,j,k; each factor varying from 1 to 5, with the orthogonality conditions: Sx lm=0, Sx2m=0, Sx lm x2m=0, giving Sxlm=-3+Xm e Sx2m= 7-6Xm+X²m, so: x l1=-2; x l2=-1; x l3=0; x l4=1; x l5=2; x21=2; x22=-1; x23=-2; x24=-1; x25=2 The linear regression coefficient for each factor can be estimated independently; the quadratic and the linear x linear interaction coefficients are estimated from a 6x6 full matrix. Consequently in the analysis of variance the linear sums of squares for each factor are independent but the quadratic and interactions sums of squares for all factors are entangled and should be jointly tested. If the contribution of a factor and its respective interaction with the others are negligible, independent estimators of the linear and quadratic regression of the other two factors and the correspondent interaction can be calculated, with correspondent parallelism in the analysis of variance. On the other hand, if the factors are important but its interactions are negligible, the linear and quadratic coefficients for each factor are estimated independently. The square root polynomial model may be represented as in (1) with the values: x lm= a1+ (Xm)½ and x2m= a2+ g2(Xm)½ +Xm, where m= i,j,k; Sx lm=0, Sx2m=0, Sx lm x2m=0, giving: x lm= -1,67646 + (Xm)½, x2m= 2,41157-3,22798 (Xm)½ +Xm; x l1=-0,67646; x l2=-0,26226; x l3=0,05554; x l4=0,32354; x l5=0,55964; x21=0,18359; x22=-0,15342; x23=-0,17928; x24=-0,04438 and x25=0,19349, for each factor i,j,k. Regarding this model, with the exclusion of b0, the coefficients for each factor and the square-root interactions are estimated from a full 9x9 symetric matrix. In consequence; with the exception of b0; the sums of squares correspondent to the other coefficients are tested together. Equivalent properties to the quadratic model hold true for the square root model, when the interactions or when one main factor and its interactions are negligible. Assuming no interaction, the Mitscherlich model Y=A [l _ 10 _ c(x+b) ], can be used for evaluation of each factor response from the corresponding marginal totals. An extra evaluation from the main diagonal of the design can be obtained, representing the response to increasing amounts of the three factors at equal levels. In case of fertilizer experiments, treatments like 000 should be added as extra points to the 25 used in this design, in order to allow the determination of the increment due to the use of macronutrient combinations and their costs. Using proper range of dosages (avoiding plateau responses), as it should be in npk fertilizer experiments, this group of designs allows a more efficient analysis of the curvature of the surface functions on the area of economical decision. If the models are used without interactions, the independent estimation of the parameters for the quadratic, square-root and Mitscherlich models can be very easily achieved. These properties are of great interest in the economical studies of fertilization programs for developing countries. With the help of a net of experiments of this type, economical studies of fertility nature with macronutrients as nitrogen, phosphorus, and potassium, for example, can be obtained with five different levels of each factor, with experiments of medium size.

Delineamentos (1/5)(5³)¹

Desings (1/5)(5³)

Armando Conagin; Joassy de Paula Neves Jorge^II

Divisão de Plantas Alimentícias Básicas, Instituto Agronômico

SINOPSE

É descrita a análise estatística de um grupo especial de fatoriais fracionados (1/5) (5³), utilizando os modelos quadráticos e com raiz quadrada; tal estudo foi desenvolvido pelos autores visando principalmente sua aplicação em experimentos agronômicos com fertilizantes. Estes delineamentos fatoriais se originaram da superposição de três dos quatro quadrados latinos ortogonais 5x5, sendo obtidos três conjuntos básicos, designados por Tipo I, II, III, Tipo I, II, IV e Tipo I, III, IV; o último deles é apresentado: 111 245 324 453 532 222 351 435 514 143 333 412 541 125 254 444 523 152 231 315 555 134 213 342 42 O modelo quadrático com dez parâmetros é dado por: Y_ijk = b₀x₀ +b_lix_li + b_ljx_lj + b_lkx_lk + b_2ix_2i + b_2jx_2j + b_2kx_2k + + b_liljx_lilj + b_lilkx_lilk + b_ljlkx_ljlk + x_ijk em que x_lm = a₁ + X_m, x_2m = a₂ + g₂X_m + X²_m , com m= i,j,k; os níveis em cada fator variam de 1 a 5; com as condições de ortogonalidade

Sx_lm=0, Sx_2m=0, Sx_lmx_2m=0, resulta S_xlm=-3+X_m e Sx_2m= 7-6X_m+X²_m, de onde se tem: x_l1=-2; x_l2=-1; x_l3=0; x_l4=1; x_l5=2; x₂₁=2; x₂₂=-1; x₂₃=-2; x₂₄=-1; x₂₅=2, para cada índice i,j,k. O coeficiente linear para cada fator pode ser estimado independentemente; os coeficientes quadráticos e das interações linear x linear são estimados a partir de uma matriz simétrica completa 6x6. Consequentemente, na análise da variância as somas de quadrados dos componentes lineares são independentes, mas as somas de quadrados dos componentes quadráticos e das interações são confundidas e, por isso, testadas conjuntamente. Se a contribuição de um fator e sua interação com os outros são negligíveis, podem ser calculadas estimativas independentes dos coeficientes linear e quadrático dos outros dois fatores e sua interação correspondente. Por outro lado, se todos os fatores são importantes mas suas interações são negligíveis, os coeficientes lineares e quadráticos de cada fator são estimados independentemente. O modelo polinomial com raiz quadrada pode ser representado na mesma forma (A), com os valores: x_lm= a₁+ (X_m)^1/2 e x_2m= a₂+ g₂(X_m)^1/2 +X_m, onde m= i,j,k; Sx_lm=0, Sx_2m=0, Sx_lmx_2m=0, dando: x_lm= -1,67646 + (X_m)^1/2, x_2m= 2,41157-3,22798 (X_m)^1/2 +X_m o que resulta x_l1=-0,67646; x_l2=-0,26226; x_l3=0,05554; x_l4=0,32354; x_l5=0,55964; x₂₁=0,18359; x₂₂=-0,15342; x₂₃=-0,17928; x₂₄=-0,04438; x₂₅=0,19349, para cada fator i,j,k.

Neste modelo, com exclusão de b₀, os coeficientes para cada fator e para as respectivas interações são estimados a partir de uma matriz simétrica completa 9x9; assim, com exceção da soma de quadrados correspondente a b₀, que pode ser calculada isoladamente, teremos uma única soma de quadrados representando todos os outros coeficientes, que serão, por isso, testados englobadamente. Quando as três interações, ou quando um fator principal e suas interações são negligíveis, o modelo com raiz quadrada apresenta as mesmas propriedades que o modelo quadrático. Assumindo a não existência de interações, pode-se utilizar o modelo de Mitscherlich Y= A [1-10-^c(x+h) ] para avaliação da resposta de cada fator, a partir dos totais marginais correspondentes. Pode-se ainda obter uma avaliação extra a partir da diagonal principal do delineamento, que representa a resposta a quantidades crescentes, em níveis iguais, para os três fatores. Com vistas à avaliação do incremento devido ao uso da adubação e ainda uma visualização extra do efeito de calcário e calcário mais micronutrientes, podem ser adicionados ao delineamento (1/5) (5x5x5) alguns tratamentos extras para melhor atingir esse objetivo: o tratamento 000, o tratamento 333+(Ca+Mg) e o tratamento 333+(Ca+Mg)+ micronutrientes, possivelmente com duas repetições para cada um deles. Se se desejar avaliar a adequação do modelo utilizado, podem ser colocados mais quatro ou cinco pontos no nível 333. Usando uma amplitude apropriada das dosagens (evitando platô nas respostas), este grupo de delineamentos possibilita uma análise mais eficiente da curvatura da superfície de resposta na área da decisão econômica. Se os modelos são usados sem as interações, a estimação dos parâmetros, de forma independente, para os modelos quadrático, com raiz quadrada e Mitscherlich, pode ser facilmente conseguida. Estas propriedades são de grande interesse nos estudos econômicos de programas de fertilizantes para países em desenvolvimento. Com a ajuda de uma rede de experimentos deste tipo, podem ser obtidos estudos econômicos com macronutrientes como nitrogênio, fósforo e potássio, por exemplo, com cinco níveis de cada fator, com experimentos de tamanho médio.

SUMMARY

The statistical solutions for quadratic and square root polynomials for a group of special 1/5 (53) fractional factorial, aiming, primarily, its application to fertilizer experiments are reported. These factorial designs were originated by the superposition of three of the four existing orthogonal 5x5 latin squares. Three basic designs are obtained: I-II-III, I-II-IV, and I-III-IV; the last one is presented below. 111 245 324 453 532 222 351 435 514 143 333 412 541 125 254 444 523 152 231 315 555 134 213 342 421 The quadratic model of second order with ten parameters is:

Y_ijk = b₀x₀ +b_lix_li + b_ljx_lj + b_lkx_lk + b_2ix_2i + b_2jx_2j + b_2kx_2k + + b_liljx_lilj + b_lilkx_lilk + b_ljlkx_ljlk + x_ijk where x_lm = a₁ + X_m, x_2m = a₂ + g₂X_m + X²_m , m= i,j,k; each factor varying from 1 to 5, with the orthogonality conditions:

Sx_lm=0, Sx_2m=0, Sx_lmx_2m=0, giving S_xlm=-3+X_m e Sx_2m= 7-6X_m+X²_m, so: x_l1=-2; x_l2=-1; x_l3=0; x_l4=1; x_l5=2; x₂₁=2; x₂₂=-1; x₂₃=-2; x₂₄=-1; x₂₅=2

The linear regression coefficient for each factor can be estimated independently; the quadratic and the linear x linear interaction coefficients are estimated from a 6x6 full matrix. Consequently in the analysis of variance the linear sums of squares for each factor are independent but the quadratic and interactions sums of squares for all factors are entangled and should be jointly tested. If the contribution of a factor and its respective interaction with the others are negligible, independent estimators of the linear and quadratic regression of the other two factors and the correspondent interaction can be calculated, with correspondent parallelism in the analysis of variance. On the other hand, if the factors are important but its interactions are negligible, the linear and quadratic coefficients for each factor are estimated independently. The square root polynomial model may be represented as in (1) with the values: x_lm= a₁+ (X_m)^1/2 and x_2m= a₂+ g₂(X_m)^1/2 +X_m, where m= i,j,k; Sx_lm=0, Sx_2m=0, Sx_lmx_2m=0, giving: x_lm= -1,67646 + (X_m)^1/2, x_2m= 2,41157-3,22798 (X_m)^1/2 +X_m; x_l1=-0,67646; x_l2=-0,26226; x_l3=0,05554; x_l4=0,32354; x_l5=0,55964; x₂₁=0,18359; x₂₂=-0,15342; x₂₃=-0,17928; x₂₄=-0,04438 and x₂₅=0,19349, for each factor i,j,k.

Regarding this model, with the exclusion of b₀, the coefficients for each factor and the square-root interactions are estimated from a full 9x9 symetric matrix. In consequence; with the exception of b₀; the sums of squares correspondent to the other coefficients are tested together. Equivalent properties to the quadratic model hold true for the square root model, when the interactions or when one main factor and its interactions are negligible. Assuming no interaction, the Mitscherlich model Y=A [l _ 10 _ ^c(x+b) ], can be used for evaluation of each factor response from the corresponding marginal totals. An extra evaluation from the main diagonal of the design can be obtained, representing the response to increasing amounts of the three factors at equal levels. In case of fertilizer experiments, treatments like 000 should be added as extra points to the 25 used in this design, in order to allow the determination of the increment due to the use of macronutrient combinations and their costs. Using proper range of dosages (avoiding plateau responses), as it should be in npk fertilizer experiments, this group of designs allows a more efficient analysis of the curvature of the surface functions on the area of economical decision. If the models are used without interactions, the independent estimation of the parameters for the quadratic, square-root and Mitscherlich models can be very easily achieved. These properties are of great interest in the economical studies of fertilization programs for developing countries. With the help of a net of experiments of this type, economical studies of fertility nature with macronutrients as nitrogen, phosphorus, and potassium, for example, can be obtained with five different levels of each factor, with experiments of medium size.

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LITERATURA CITADA

Recebido para publicação em 20 de julho de 1976.

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1

Trabalho apresentado na IX Conf. int. de Biometría. Boston, Ma., USA em agosto de 1976.

2 Com bolsas de suplementação do CNPq

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Dez 2007
• Data do Fascículo
  1977

Histórico

• Recebido
  20 Jul 1976