Fiscalização com e sem radares móveis à luz da teoria dos jogos^*

Resumo

Com o objetivo de analisar os efeitos previstos pela Teoria Econômica para a proibição de fiscalização com radares móveis experimentada em 2019 no Brasil, este trabalho utiliza o ferramental usual de Teoria dos Jogos para modelar de forma parcimoniosa a interação estratégica entre a fiscalização de excesso de velocidade e os condutores de veículos. Em grandes linhas, o modelo prevê para as áreas até então fiscalizadas com radares móveis uma intensificação da fiscalização, com uso de radares fixos, nas localidades mais perigosas e uma descontinuidade de fiscalização naquelas mais seguras.

Palavras-chave
radar móvel; fiscalização de trânsito; jogo de fiscalização; escolha de velocidade

1. Introdução

A interrupção de fiscalização de excesso de velocidade por meio de radares móveis é um tema que com frequência é defendido no Brasil por representantes legislativos e por autoridades do Poder Executivo (ver, por exemplo, Lobel & Santos, 2018 e Bem Paraná, 2019). Uma das características desta modalidade de fiscalização mais criticadas pelos agentes políticos é a ausência de aviso prévio sobre a presença do radar móvel em determinada localidade (Estadão Conteúdo, 2019). Considerando que tais declarações refletem uma resistência de parte do eleitorado à “fiscalização de trânsito sem prévia notificação” e que os limites de velocidade existem para reduzir o risco de acidentes causados por excesso de velocidade, a resistência dos eleitores à fiscalização por radar móvel é no mínimo intrigante.

Possivelmente motivado em atender o interesse dessa parte do eleitorado, o Governo Federal do Brasil suspendeu em agosto de 2019 a utilização de radares móveis na fiscalização de excesso de velocidade em todas as rodovias federais, mantendo-se permitida a fiscalização por meio de radares somente com aparelhos fixos (montados sobre pórticos ou postes).¹ Como justificativa para tal suspensão, o despacho da Presidência da República estabelece que “a suspensão é para evitar o desvirtuamento do caráter pedagógico e a utilização meramente arrecadatória dos instrumentos e equipamentos medidores de velocidade.”

Com o objetivo de analisar os efeitos previstos pela Teoria Econômica para a proibição de fiscalização com radares móveis, este trabalho utiliza o ferramental usual de Teoria dos Jogos para modelar de forma parcimoniosa a interação estratégica entre a fiscalização de excesso de velocidade e os condutores de veículos.² O modelo assim construído é utilizado para avaliar o efeito de proibir fiscalizações por meio de radares móveis, mantendo-se a opção de fiscalização por radares fixos.

O modelo proposto é uma extensão natural do modelo de Bjørnskau e Elvik (1992) para o caso em que a fiscalização pode ser executada também por meio de radares fixos e no qual há mais de uma localidade na rodovia para ser fiscalizada. A existência de mais de uma localidade permite estudar a situação em que a fiscalização pode ser organizada em três formatos: ela pode ser estruturada somente com radares fixos, ou somente com radares móveis ou usar uma combinação de radares fixos com radares móveis.

A diferença estratégica essencial entre os dois tipos de fiscalização considerados (por meio de radares móveis e por meio radares fixos) reside no fato de o posicionamento dos radares fixos na rodovia ser previamente conhecido pelos condutores. A autoridade de trânsito é obrigada a sinalizar a presença do radar pouco antes da localidade na qual ele foi instalado e, após descobrir o posicionamento do radar em período anterior, os condutores sabem que sua posição não mudou desde então. Na fiscalização por radar móvel, por outro lado, não há obrigatoriedade de sinalização prévia e o posicionamento do radar pode ser mais facilmente mudado de um período para outro. Dessa forma, o jogo estático proposto por Bjørnskau e Elvik (1992) para modelar a interação entre a fiscalização e os condutores é adequado para estudar a situação em que a fiscalização é possível somente com radares móveis. A adaptação deste modelo para a possibilidade de fiscalização com radares fixos requer uma dimensão dinâmica que reflita a informação possuída pelos condutores no momento de sua decisão. O modelo resultante é o jogo dinâmico com informação completa e imperfeita apresentado na Figura 4 em sua forma extensiva.

A relevância para o contexto brasileiro do assunto aqui tratado justifica uma análise cuidadosa sobre potenciais efeitos das políticas públicas. Conforme destacado por Bacchieri e Barros (2011), o trânsito no Brasil é considerado um dos mais violentos do mundo.³ Citando estimativas do IPEA, os autores chamam a atenção para o fato de que o custo dos Acidentes de Transporte Terrestres (ATT's) são significativos: os custos totais em 2005 são estimados em torno de R$28 bilhões, sendo R$ 6,5 bilhões estimados para os ATTs ocorridos em rodovias federais, R$ 14,1 bilhões nas rodovias estaduais e de R$ 1,4 bilhão nas rodovias municipais.

A relação da velocidade dos veículos com a probabilidade e severidade dos ATT's é bastante bem documentada por vários trabalhos empíricos.⁴ Alguns estudos identificam uma correlação positiva e significativa entre o nível de velocidade e a probabilidade e severidade de ATT's, enquanto outros encontram maior relevância da variabilidade de velocidade entre veículos na explicação dos acidentes. Neste sentido, as regras de limite de velocidade são importantes instrumentos para combater a insegurança no trânsito. Elas cumprem o papel de desincentivar níveis de velocidade muito elevados e podem agir como um mecanismo de coordenação que induz a uniformização da velocidade entre condutores.⁵

Os radares utilizados para aferição de velocidade de veículos são instrumentos úteis para promover o cumprimento das regras de limite de velocidade. Em uma revisão de 35 estudos para países desenvolvidos,⁶ Wilson et al. (2010) encontram que todos eles indicam redução da velocidade nas áreas próximas do radar: queda entre 8% e 70% no número de condutores acima do limite de velocidade, sendo que a maior parte dos estudos mostrou uma queda entre 10% e 35%. Dentre tais estudos, 28 analisaram o efeito da introdução dos radares sobre os acidentes e identificaram queda entre 8% e 49%, com a maior parte deles mostrando redução entre 14% e 25%. Nesta mesma linha, Teed, Lund, e Knoblauch (1993) apontam que o uso de radares móveis pela polícia reduz de forma considerável a velocidade dos condutores, embora tal efeito seja relevante somente nas proximidades da localização do radar (distance-halo effect).⁷ Estes dois efeitos são identificados no contexto brasileiro por Yamada (2005), o qual conclui que o efeito na redução da velocidade é localizado em um pequeno segmento imediatamente anterior a posição do radar. Vaa (1997), por sua vez, identifica em rodovias da Noruega uma redução na velocidade dos condutores causada pela fiscalização via radares, mas destaca que tal efeito se dissipou após o período de maior fiscalização (time-halo effect).

Em resumo, os ATT's envolvem custos sociais significativos e a fiscalização de velocidade por meio de radares é um instrumento bastante relevante para reduzir tais custos (uma vez que promove regras de limite de velocidade), embora seu efeito se concentre nas proximidades geográfica e temporal de sua atuação.

Tendo em vista a relativa complexidade do modelo aqui desenvolvido (ver Figura 4) e com o objetivo de manter o artigo acessível para um público mais abrangente, a apresentação dos conceitos, objetos e linguagem utilizados na análise é dividida em quatro passos, correspondentes às seções 2, 3, 4 e 5. O modelo de Bjørnskau e Elvik (1992) é apresentado na seção 2 como forma de familiarizar o leitor com o modelo existente na literatura. Em seguida, este modelo é generalizado na seção 3 para o caso em que há duas localidades nas quais existe limite de velocidade a ser verificado com o uso de radares. A seção 4 apresenta uma adaptação do modelo da seção 3 para o caso em que a fiscalização é executada somente com radares fixos. Finalmente, a seção 5 se beneficia da exposição das seções 2, 3 e 4 para apresentar a versão completa do modelo, na qual existe as três opções de organização da fiscalização: somente com radares fixos, somente com radares móveis ou combinar o uso de radares fixos com radares móveis.

2. A interação estratégica essencial

Considere um jogo entre dois jogadores: jogador 0 e jogador 1. O jogador 1 é denominado Condutor e precisa decidir se excede ou não a máxima velocidade permitida em uma determinada rodovia. O jogador 0 é denominado Fiscal e é responsável por fiscalizar o cumprimento da regra que estabelece o limite máximo de velocidade nesta rodovia.

Suponha, por simplicidade, que o veículo utilizado pelo condutor é capaz de desenvolver somente dois níveis de velocidade: um nível baixo, denotado por υ_b, e um nível alto, denotado por υ_a e tal que υ_a > υ_b. Suponha, ainda por simplicidade, que há somente um local na rodovia em que existe um limite máximo para a velocidade dos veículos: denominado local 1 e denotado por l₁. O limite máximo de velocidade nesta localidade é dado por ῡ tal que υ_b < ῡ < υ_a.

A verificação do cumprimento da regra (manter velocidade abaixo de ῡ na localização l₁) é efetuada por meio de um aparelho de aferição de velocidade, doravante denominado radar. Para aferição da velocidade, o radar precisa ser posicionado na localidade l₁ e precisa ser operado presencialmente por uma pessoa.

O Condutor do veículo precisa decidir sob qual velocidade transitará com seu veículo pela localidade l₁. A atratividade da velocidade alta (υ_a) reside no fato de que ela permite chegar mais cedo ao destino. A atratividade da velocidade baixa (υ_b) decorre do fato de esta respeitar o limite máximo ῡ e, portanto, evitar uma eventual multa.

O Fiscal, por outro lado, precisa decidir onde estará localizado no momento de passagem do condutor. A atratividade de se posicionar em l₁ para operar o radar reside no fato de que o fiscal possui autorização para cobrar uma multa (confiscar um montante de recursos) do condutor quando este é identificado violando o limite v. Alternativamente, o Fiscal tem a opção de se posicionar em outra localidade, denominada l₀, desempenhando uma atividade (produtiva ou de lazer) distinta da verificação de cumprimento da regra. O benefício desta atividade alternativa (produção ou lazer) é o custo de oportunidade incorrido pelo fiscal ao se posicionar em l₁.

Exemplo 1. A matriz a seguir ilustra de maneira bastante conveniente (na forma normal) a situação estratégica na qual estão envolvidos o Condutor e o Fiscal. Cada linha da matriz corresponde a uma ação do Fiscal e cada coluna corresponde a uma ação do Condutor. Dessa forma, por exemplo, a célula definida pela segunda linha da primeira coluna representa a situação em que o Condutor decidiu passar pela localidade l₁ sob uma velocidade baixa (υ_b) e o Fiscal decidiu se posicionar na localidade de operação do radar (l₁).

Condutor (jogador 1)

(1) $\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ \\ \begin{array}{cc}Fiscal\left(jogador0\right)& l_0\end{array}\\ \begin{array}{cc}& l_1\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}Condutor\left(jogador1\right)\\ \begin{array}{cc}{v}_b& v_a\end{array}\\ \overline{\begin{array}{cc}0,0& -1,1\end{array}}\\ \overline{\underset{¯}{\begin{array}{cc}-1,0& 0,-1\end{array}}}\end{array}\end{array}$

Cada célula da matriz apresenta um par ordenado (x,y) de números x e y que denotam o nível de satisfação do Fiscal e do Condutor, respectivamente, na combinação de ações correspondente a referida célula. Assim, o par ordenado (−1,0) apresentado na segunda linha da primeira coluna da matriz revela que o nível de satisfação (payoff) do Condutor é igual a 0 quando ele passa pela localidade l₁ em velocidade baixa e o Fiscal está presente para aferir sua velocidade. Revela ainda que o payoff do Fiscal nesta situação é −1, consequência do custo de oportunidade da fiscalização.

Note que o exemplo apresentado é um caso particular da situação descrita acima, embora já seja rico o suficiente para captar a essência da interação estratégica entre o Fiscal e o Condutor. O Condutor prefere exceder o limite ῡ, a fim de chegar ao seu destino em menos tempo, quando o Fiscal não está presente em l₁ para verificar sua velocidade: seu payoff aumenta em uma unidade ao trocar υ_b por υ_a neste caso. Por outro lado, o Condutor prefere não exceder ῡ quando o Fiscal está presente em l₁. Ao trocar υ_b por υ_a neste caso, seu payoff é reduzido em uma unidade: o condutor chegaria mais cedo ao destino (o que gera um ganho unitário de payoff), mas teria que arcar com o custo monetário da multa por excesso de velocidade (o que reduz seu payoff em 2 unidades, no exemplo apresentado). Similarmente, o Fiscal prefere não se posicionar em l₁ quando o Condutor está respeitando o limite ῡ: seu payoff aumenta em uma unidade quando ele troca a localidade l₁ pela localidade l₀, uma vez que isto evita o custo de oportunidade de se posicionar em l₁. Quando o Condutor excede o limite de velocidade, no entanto, o Fiscal prefere se posicionar em l₁: o Fiscal recebe uma unidade adicional de payoff ao trocar l₀ por l₁ nesta situação.

2.1 Previsões de comportamento

Como cada um dos jogadores (Fiscal e Condutor) possui duas ações possíveis, então há 4 possibilidades de resultado no jogo descrito acima: (l₀, υ_b), (l₀, υ_a), (l₁, υ_b) e (l₁, υ_a). Um dado resultado é considerado uma boo previsão sobre o comportamento dos jogadores se nenhum dos jogadores possui interesse em se comportar de maneira distinta daquela prevista no referido resultado. Por exemplo, o resultado (l₀, υ_b) não pode ser considerado uma boa previsão para o comportamento dos jogadores, pois o Condutor possui interesse em exceder o limite de velocidade quando Fiscal está em l₀. Usando tal definição de boa previsão, nenhum dos quatro resultados do jogo acima pode ser considerado uma boa previsão para o comportamento dos jogadores, conforme estabelecido pelo Lema 1 a seguir.

Lema 1. Cada um dos possíveis resultados do jogo (1) não pode ser considerado uma boa previsão para o comportamento dos jogadores.

Demonstração. A razão de (l₀, υ_b) não poder ser considerado uma boa previsão já foi exposta no texto. O Condutor possui interesse em respeitar ῡ quando Fiscal está em l₁ e, portanto, (l₁, υ_a) não é uma boa previsão. O Fiscal possui interesse em se posicionar em l₁ quando o Condutor excede v. Logo, (l₀, υ_a) não é uma boa previsão. O Fiscal possui interesse em se posicionar em l₀ quando o Condutor respeita v. Com isso, (l₁, υ_b) não é uma boa previsão.

Em situações nas quais nenhum resultado do jogo é uma boa previsão sobre o comportamento dos jogadores (como é o caso aqui considerado de interação estratégica entre o Condutor e o Fiscal), a previsão de comportamento é feita em termos probabilísticos. Um exemplo de comportamento probabilístico⁸ para o Condutor seria respeitar ῡ com probabilidade 3/4 e excedê-lo com probabilidade 1/4. Tal comportamento é usualmente denotado pela distribuição de probabilidade (3/4, 1/4), em que a ordem de apresentação das probabilidades é consistente com a ordem na qual as ações foram apresentadas na matriz (1): a primeira entrada do vetor (3/4, 1/4) denota a probabilidade de υ_b e a segunda entrada a probabilidade de υ_a. Como exemplo de comportamento probabilístico para o Fiscal, este poderia se localizar em l₀ com probabilidade 1/3 e em l₁ com probabilidade 2/3, comportamento este que recebe a representação vetorial (1/3, 2/3). Em conjunto, estas duas previsões sobre comportamentos individuais geram a seguinte previsão probabilística sobre o que acontecerá no jogo

(2) $\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)=\left[\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.,\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\right),\left(\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.,\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\right)\right].$

Nesta previsão, o resultado (l₀, υ_b) ocorre com probabilidade (l/3)(3/4) = 1/4 e (l₁, υ_b) ocorre com probabilidade (2/3)(3/4) = 1/2. Já (l₀, υ_a) ocorre com probabilidade (l/3)(l/4) = 1/12 e (l₁, υ_a) com probabilidade (2/3)(l/4) = 2/12.

A medida usual para descrever o nível de satisfação dos jogadores quando algum deles adota o comportamento probabilístico é dada pelo payoff esperado, o qual é calculado segundo as distribuições de probabilidade que descrevem os comportamentos. Como ilustração desta medida, o payoff esperado do Condutor sob a previsão (2) é dado por

${\sigma }_0\left(l_0\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right){\pi }_1\left(l_0,{\upsilon }_b\right)+{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right){\pi }_1\left(l_0,{\upsilon }_a\right)\right]+{\sigma }_0\left(l_1\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right){\pi }_1\left(l_1,{\upsilon }_b\right)+{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right){\pi }_1\left(l_1,{\upsilon }_a\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}\left(0\right)+\frac{1}{4}\left(1\right)\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{3}{4}\left(0\right)+\frac{1}{4}\left(-1\right)\right)=\frac{1}{12}-\frac{2}{12}=-\frac{1}{12},$

em que π_k(l_i, υ_j) denota o payoff obtido pelo jogador k ∈ {0,1} sob o resultado (l_i, υ_j), conforme apresentado na matriz (1). Para i ∈ {0,1}, a probabilidade de o jogador 0 escolher l_i é denotada por σ₀(l_i). Para j ∈ {a, b}, a probabilidade de o jogador 1 escolher υ_j é denotada por Σ₁(υ_j). De forma mais geral, o payoff esperado do jogador k ∈ {0,1} sob a previsão σ = (σ₀, σ₁) é dado por U_k(σ₀, σ₁) tal que

(3) $U_k\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^1{\sigma }_0\left(l_i\right)}\left[{\displaystyle \sum _{j=a}^b{\sigma }_1\left({\upsilon }_j\right){\pi }_k\left(l_i,{\upsilon }_j\right)}\right],$

em que o operador ∑ é usado para denotar o somatório

$x_0+x_1={\displaystyle \sum _{j=0}^1{x}_j}$

para uma dada sequência de números x₀ e x₁. Analogamente,

$y_a+y_b={\displaystyle \sum _{j=a}^b{y}_j}$

para uma dada sequência de números y_a e y_b.

Uma previsão probabilística σ = (σ₀,σ₁) é denominada uma boa previsão sobre o comportamento dos jogadores se nenhum dos jogadores possui interesse em se comportar (probabilisticamente) de maneira distinta daquela prevista por σ. Especificamente, σ = (σ₀,σ₁) é uma boa previsão se cada jogador i e {0,1} não é capaz de elevar seu nível esperado de satisfação U_i(σ₀,σ₁), conforme definido em (3), modificando seu comportamento probabilístico σ_i. Como ilustração deste conceito, a previsão $\sigma =\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)=\left[\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.,\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\right),\left(\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.,\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\right)\right]$ não pode ser considerada uma boa previsão, pois o Condutor é capaz de elevar seu nível de satisfação U₁(σ) de −1/12 para zero trocando seu comportamento ${\sigma }_1=\left(\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.,\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\right)$ por σ₀,σ₁′ = (1,0).

Como todo jogador é capaz de modificar seu comportamento unilateralmente — ou seja, sem que os demais jogadores modifiquem seu comportamento —, então o = (σ₀,σ₁) é uma boa previsão somente se cada jogador não é capaz de melhorar sua situação modificando unilateralmente seu comportamento. Tendo em vista que previsões que não possuem desvios unilaterais atrativos são usualmente denominadas como Equilíbrio de Nash,⁹ esta propriedade estabelece que toda boa previsão é necessariamente um Equilíbrio de Nash.

A fim de tornar precisa a definição de Equilíbrio de Nash, alguma notação matemática adicional é necessária. Defina A₁ = {υ_b, u_a} como o conjunto de ações possíveis para o jogador 1 (Condutor) e A₀ = {l₀, l₁} como o conjunto de ações possíveis do jogador 0 (Fiscal). Para cada i ∈ {0,1}, seja

$\Delta \left(A_i\right)=\left\{\left(x,y\right):x\ge 0,y\ge 0\text{e }x+y=1\right\}$

o conjunto de distribuições de probabilidade sobre A_i. Por exemplo, (x,y) ∈ Δ(A₀) significa que o jogador 0 escolhe l₀ com probabilidade x ≥ 0 e escolhe l₁ com probabilidade y = 1 − x ≥ 0.

Seja σ* = (σ₀*, σ₁*) tal que σ_i* ∈ Δ(A_i) e descreve o comportamento probabilístico previsto por σ* para o jogador ∈ {0,1}. O jogador 0 não possui desvio unilateral atrativo a partir de σ* se, e somente se, σ₀* é melhor resposta do jogador 0 ao comportamento previsto por σ* para os demais jogadores: neste caso, σ₁*. Ou seja,

(4) $\begin{array}{c}{\sigma }_0^{*}\in \text{arg }\max U_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1^{*}\right),\\ {\sigma }_0\in \Delta \left(A_0\right)\end{array}$

em que o V = max _x∈X f(x) denota o valor máximo que uma dada função f(·) atinge no conjunto X e B = arg max_x∈X f(x) denota o conjunto de pontos de X nos quais f(·) atinge o valor V.O conjunto apresentado em (4) é o conjunto de melhores respostas do jogador 0 ao comportamento σ₁* do jogador 1. De forma análoga, o jogador 1 não possui desvio unilateral atrativo a partir de σ* = (Σ₀*, Σ₁*) se, e somente se,

(5) $\begin{array}{c}{\sigma }_1^{*}\in \text{arg }\max U_1\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1\right).\\ {\sigma }_1\in \Delta \left(A_1\right)\end{array}$

Conclui-se disto que σ* = (σ₀*, σ₁*) é Equilíbrio de Nash se, e somente se, σ* satisfaz (4) e (5). Esta caracterização do Equilíbrio de Nash permite obter a única boa previsão para o comportamento dos jogadores no jogo (1), conforme estabelecido pelo Lema 2 a seguir.

Lema 2.A única boa previsão (o único Equilíbrio de Nash) σ* = (σ₀*, σ₁*) para o jogo entre o Fiscal e o Condutor apresentado em(1)é dado por${\sigma }^{*}=\left[\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.,\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right),\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.,\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)\right]$

Demonstração. Por conveniência, denote $B_0\left({\sigma }_1\right)=\arg {\max }_{{\sigma }_0\in \Delta \left(A_0\right)}{U}_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)$ e $B_1\left({\sigma }_0\right)=\arg {\max }_{{\sigma }_1\in \Delta \left(A_1\right)}{U}_1\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)$

Usando (3), observe que

$U_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\sigma }_0\left(l_0\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)0+{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left(-1\right)\right]+{\sigma }_0\left(l_1\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)\left(-1\right)+{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)0\right]=-{\sigma }_0\left(l_0\right){\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)-{\sigma }_0\left(l_1\right){\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)=-{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)+{\sigma }_0\left(l_1\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)-{\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)\right]={\sigma }_0\left(l_1\right)\left[2{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)-1\right]-{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)$

$U_1\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)\left[{\sigma }_0\left(l_0\right)0+{\sigma }_0\left(l_1\right)0\right]+{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[{\sigma }_0\left(l_0\right)1+{\sigma }_0\left(l_1\right)\left(-1\right)\right]={\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[{\sigma }_0\left(l_0\right)-{\sigma }_0\left(l_1\right)\right]={\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[1-2{\sigma }_0\left(l_1\right)\right],$

em que se usou os fatos σ₀(l₀) + σ₀(l₁) = 1 e σ₁(υ_b) + σ₁(υ_a) = 1, decorrentes de σ₀ ∈ Δ(A₀) e σ₁ ∈ Δ(A₁). Assim, U₀(σ₀,σ₁) pode ser escrita como uma função linear em σ₀(l₁) quando σ₁ é mantida fixa. A monotonicidade desta função linear depende da magnitude de σ₁(υ_a): ela é estritamente decrescente quando σ₁(υ_a) < 1/2; estritamente crescente se σ₁(υ_a) > 1/2; e constante se σ₁(υ_a) = 1/2. Com isso, U₀(σ₀,σ₁) atinge valor máximo quando σ₁(υ_a) < 1/2 somente se σ₀(l₁) = 0. Similarmente, U₀(σ₀,σ₁) atinge valor máximo quando σ₁(υ_a) > 1/2 somente se σ₀(l₁) = 1. Quando σ₁(υ_a) = 1/2, todo valor σ₀(l₁) ∈ [0, 1] maximiza U₀(σ₀, σ₁). Tal argumento justifica o resultado (6) a seguir:

(6) $B_0\left({\sigma }_1\right)=\underset{{\sigma }_0\in \Delta \left(A_0\right)}{\arg \max }\left({\sigma }_0\left(l_1\right)\left[2{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)-1\right]-{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\right)=\{\begin{array}{c}\left\{\left(1,0\right)\right\},\text{se}{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)<\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.,\\ \Delta \left(A_0\right),\text{se}{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\\ \left\{\left(0,1\right)\right\},\text{se}{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)>\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.;\end{array}$

(7) $B_1\left({\sigma }_0\right)=\underset{{\sigma }_1\in \Delta \left(A_1\right)}{\arg \max }\left({\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[1-2{\sigma }_0\left(l_1\right)\right]\right)=\{\begin{array}{c}\left\{\left(0,1\right)\right\},\text{se}{\sigma }_0\left(l_1\right)<\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.,\\ \Delta \left(A_1\right),\text{se}{\sigma }_0\left(l_1\right)=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.,\\ \left\{\left(1,0\right)\right\},\text{se}{\sigma }_0\left(l_1\right)>\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right..\end{array}$

Analogamente ao argumento acima, U₁(σ₀, σ₁) pode ser escrita como uma função linear em σ₁(υ_a) quando σ₀ é mantida fixa e sua maximização para cada valor de σ₀ resulta em (7).

Note que B₀(σ₁*) = Δ(A₀) e B₁(σ₀*) = Δ(A₁) quando σ₀*(l₁) = σ₁*(υ_a) = 1/2. Assim (4) e (5) são trivialmente satisfeitas por cr* = [(1/2, 1/2), (1/2, 1/2)]. Para ver que somente [(1/2, 1/2), (1/2, 1/2)] é Equilíbrio de Nash, suponha que σ* = (σ₀* , σ₁*) ∈ Δ(A₀) × Δ(A₁) é uma previsão probabilística para o jogo (1) que satisfaz (4) e (5) simultaneamente.

Observe que σ₀*(l₁) < 1/2 gera uma impossibilidade e, portanto, não pode ser verdadeira. De fato, σ₀*(l₁) < 1/2, (5) e (7) implicam que σ₁* = (0, 1) e, portanto, que σ₁(υ_a) = 1 > 1/2. Usando (4), (6) e tal resultado, obtém-se σ₀* = (0, 1) e, portanto, a impossibilidade σ₀*(l₁) = 1 > V2 > σ₀*(l₁). Conclui-se desta contradição que σ₀*(l₁) ≥ 1/2. De maneira análoga, σ₀*(l₁) > V2 gera uma impossibilidade e, portanto, também não pode ser verdadeira. De fato, σ₀*(l₁) > 1/2, (5) e (7) implicam que σ₁* = (1, 0) e, portanto, que σ₁*(υ_a) = 0 < 1/2. Usando (4), (6) e tal resultado, obtémse σ₀* = (1, 0) e, portanto, a impossibilidade σ₀*(l₁) = 0 < 1/2 < σ₀*(l₁). Conclui-se desta contradição que σ₀*(l₁) ≤ 1/2. Como σ₀*(l₁) ≥ 1/2 e σ₀*(l₁) ≤ V2, então σ₀*(l₁) = 1/2 e σ₀* = (1/2, 1/2).

Tendo em vista que σ₀* = (1/2, 1/2), o único caso em (6) consistente com σ₀* = (1/2, 1/2) ∈ B₀(σ₀*) é o caso em que B₀(σ₁*) = Δ(A₀). Logo, σ₀*(υ_a) = 1/2 e σ₁* = (1/2,1/2).

O resultado de unicidade apresentado no Lema 2 não depende dos valores particulares atribuídos aos payoffs dos jogadores em (1). Basta que tais valores reflitam o padrão de atratividade (de cada resultado possível para cada jogador) descrito no início desta seção. A fim de verificar tal afirmação, considere a seguinte generalização do nível de satisfação dos jogadores.

Suponha que o Fiscal se posicionou em n ∈ {0,1} localidades para verificar a velocidade do Condutor e que tal posicionamento resultou em m ∈ {0,1} autuações (multas) ao Condutor. Se o Condutor excedeu a velocidade em e ∈ {0,1} localidades, então a satisfação do Fiscal e do Condutor são definidas, respectivamente, por

(8) $u_0\left(n,m,e\right)=\left(\alpha +\beta \right)m-\alpha n-\gamma e$

(9) $u_1\left(m,e\right)=\mu e-\left(\mu +\eta \right)m$

em que β > 0, α > 0, η > 0, μ > 0 e γ > 0. A condição γ > 0 estabelece que o Fiscal fica menos satisfeito quando o Condutor excede o limite de velocidade. A condição α > 0 reflete o fato de a fiscalização possuir um custo: cada fiscalização diminui a satisfação do Fiscal em α unidades. Ou seja, α é o custo de oportunidade de cada fiscalização. A hipótese β > 0 estabelece que a satisfação do Fiscal em autuar o Condutor quando este excede ῡ é estritamente maior do que o custo de oportunidade da fiscalização requerida para tal autuação (ou seja, α + β > α). A condição μ > 0 reflete o fato de que exceder ῡ aumenta a satisfação do Condutor, uma vez que permite chegar ao seu destino em menos tempo. A hipótese η > 0 estabelece que a satisfação do Condutor em exceder ῡ para chegar ao destino mais cedo é estritamente menor do que a punição associada a autuação por limite de velocidade (ou seja, μ < μ + η). A ausência de n em (9) estabelece que o Condutor não se importa com o posicionamento do Fiscal quando sua velocidade não excede ῡ. O padrão de atratividade formalizado por (8) e (9) resulta na generalização do jogo entre o Fiscal e o Condutor apresentada em (10):

Condutor (jogador 1)

(10) $\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ \\ \begin{array}{cc}\text{Fiscal}\left(\text{jogador0}\right)& l_0\end{array}\\ \begin{array}{cc}& l_1\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Condutor}\left(\text{jogador1}\right)\\ \begin{array}{cc}{v}_b& v_a\end{array}\\ \overline{\begin{array}{cc}{u}_0\left(0,0,0\right),u_1\left(0,0\right)& u_0\left(0,0,1\right),u_1\left(0,1\right)\end{array}}\\ \overline{\underset{¯}{\begin{array}{cc}{u}_0\left(1,0,0\right),u_1\left(0,0\right)& u_0\left(1,1,1\right),u_1\left(1,1\right)\end{array}}}\end{array}\end{array}$

Note que o Condutor obtém nenhum excesso de velocidade (e = 0) e, portanto, nenhuma multa (m = 0) ao escolher υ_b. Logo, sua satisfação será u₁(0,0) para cada posicionamento do Fiscal. Ao escolher υ_a, por outro lado, ele obtém um excesso de velocidade (e = 1) e fica exposto a multa por excesso de velocidade. Recebe nenhuma multa (m = 0) se o Fiscal se posiciona em l₀, o que resulta em satisfação u₁(0,1), e recebe uma multa (m = 1) se o Fiscal se posiciona em l₁, o que lhe confere satisfação u₁(1,1). Finalmente, ao escolher l₀, o Fiscal se posiciona em nenhuma localidade para verificar velocidade (n = 0) e, portanto, não autua o Condutor (m = 0). Obtém com isso satisfação u₀(0,0,0) se o Condutor escolhe υ_b e u₀(0,0,1) se o Condutor escolhe υ_a. Ao escolher l₁, no entanto, ele se posiciona em uma localidade para verificar velocidade (n = 1) e autua o Condutor se, e somente se, este escolhe υ_a.

Como consequência de (8) e (9), a matriz de payoffs em (10) é dada por (11). Esta representação permite visualizar que o jogo (1) é o caso particular de (11) quando α = β = γ = η = μ = l:

Condutor (jogador 1)

(11) $\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ \\ \begin{array}{cc}\text{Fiscal}\left(\text{jogador0}\right)& l_0\end{array}\\ \begin{array}{cc}& l_1\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Condutor}\left(\text{jogador1}\right)\\ \begin{array}{cc}{v}_b& v_a\end{array}\\ \overline{\begin{array}{cc}0,0& -\gamma ,\mu \end{array}}\\ \overline{\underset{¯}{\begin{array}{cc}-\alpha ,0& \beta -\gamma ,-\eta \end{array}}}\end{array}\end{array}$

A Proposição 1 a seguir confirma a generalidade do resultado de unicidade do Lema 2 e estabelece ainda que, em todas as situações estratégicas entre o Condutor e o Fiscal que podem ser descritas por (11), o comportamento previsto é o Fiscal se posicionar em l₁ para verificar a velocidade do Condutor segundo a probabilidade δ ∈ (0,1) e o Condutor exceder o limite ῡ segundo a probabilidade θ ∈ (0,1).

Proposição 1. A única boa previsão (o único Equilíbrio de Nash) para o jogo (11) é dada por

${\sigma }^{*}=\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=\left[\left(1-\delta ,\delta \right),\left(1-\theta ,\theta \right)\right],emque\theta \equiv \alpha /\left(\alpha +\beta \right)\in \left(0,1\right)e\delta \equiv \mu /\left(\eta +\mu \right)\in \left(0,1\right).$

em que θ ≡ α/(α + β) ∈ (0,1) e δ ≡ μ/(η + μ) ∈ (0,1).

Demonstração. A demonstração é uma extensão direta do argumento utilizado para provar o Lema 2. Ela é apresentada em detalhes no Apêndice.

Utilizando a Proposição 1 e a definição (3), cabe registrar que o payoff esperado dos jogadores no único equilíbrio de Nash de (11) é dado por

(12) $U_0\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=\left(1-\delta \right)\left[0\left(1-\theta \right)-\gamma \theta \right]+\delta \left[-\alpha \left(1-\theta \right)+\left(\beta -\gamma \right)\theta \right]=-\gamma \theta +\delta \left[\left(\alpha +\beta \right)\theta -\alpha \right]=-\gamma \theta ,$

(13) $U_1\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=\left(1-\theta \right)\left[0\left(1-\delta \right)+0\delta \right]+\theta \left[\mu \left(1-\delta \right)-\eta \delta \right]=\theta \left[\mu -\left(\mu +\eta \right)\delta \right]=0,$

em que a terceira igualdade utiliza a definição de θ = α/(α + β) e a sexta igualdade utiliza a definição de δ = μ/(η + μ).

3. O modelo para radares móveis

No modelo estudado na seção 2, há somente um local na rodovia em que existe limite máximo para a velocidade dos veículos, denotado por l₁. A fim de estudar a decisão de posicionamento do radar entre mais de uma localidade, suponha agora a existência de uma segunda localidade na qual existe limite máximo para a velocidade dos veículos: denominada localidade 2 e denotada por l₂. O limite máximo de velocidade na localidade l₂ também é dado por ῡ.

Por simplicidade, o veículo utilizado pelo condutor continua capaz de desenvolver somente dois níveis de velocidade: υ_b e υ_a tais que υ_b < ῡ < υ_a. No entanto, agora o condutor precisa decidir qual velocidade vai desenvolver em cada localidade: v₁ denota a velocidade do veículo em l₁ e v₂ a velocidade em l₂.

Assim como na seção 2, há uma localidade na qual o Fiscal pode desempenhar uma atividade (produtiva ou de lazer) alternativa à fiscalização: l₀. Mas agora, diferentemente do suposto na seção 2, suponha que o Fiscal possui dois aparelhos para aferição de velocidade (radares) e precisa decidir onde posicioná-los. A fim de preservar a hipótese de que cada radar precisa ser operado pessoalmente, suponha agora que o jogador 0 (Fiscal) é a representação de um time de dois fiscais. Neste caso, a satisfação do Fiscal definida em (8) pode ser interpretada como o interesse da sociedade no cumprimento dos limites de velocidade.

O Fiscal possui quatro possíveis posicionamentos dos dois radares: fiscalizar nenhuma localidade, p₀ = (l₀, l₀), fiscalizar somente a localidade 1, denotado por p₁ = (l₀, l₁), fiscalizar somente l₂, denotado por p₂ = (l₀,l₂) e fiscalizar todas as localidades, p₃ = (l₁,l₂). Logo, seu conjunto de escolhas (não probabilísticas) possíveis é agora dado por A₀ = {p₀,p₁,p₂,p₃}. O Condutor possui quatro possibilidades para a agenda de velocidade: exceder o limite ῡ em nenhuma localidade, a₀ = (υ_b, υ_b), exceder o limite apenas na localidade 1, denotada por a₁ = (υ_a, υ_b), exceder o limite somente em l₂, denotada por a₂ = (υ_b, υ_a) e exceder o limite em todas as localidades, a₃ ≡ (υ_a, υ_a). Logo, seu conjunto de escolhas (não probabilísticas) possíveis é A₁ = {a₀, a₁, a₂, a₃}. Portanto, o conjunto de resultados possíveis para o novo jogo possui 16 elementos e é dado por

$A_0\times A_1=\left\{\left(p_i,a_j\right):i\in \left\{0,1,2,3\right\}\text{e}j\in \left\{0,1,2,3\right\}\right\}.$

O nível de satisfação (payoff) de cada jogador em cada resultado possível é definido por (8), (9) e pela combinação (p_i, a_j), conforme apresentado na tabela a seguir:

a 0 a 1 a 2 a 3 p 0 u0(0,0,0), u1(0,0) u0(0,0,1), u1(0,1) u0(0,0,1), u1(0,1) u0(0,0,2), u1(0,2) p 1 u0(1,0,0), u1(0,0) u0(1,1,1), u1(1,1) u0(1,0,1), u1(0,1) u0(1,1,2), u1(1,2) p 2 u0(1,0,0), u1(0,0) u0(1,0,1), u1(0,1) u0(1,1,1), u1(1,1) u0(1,1,2), u1(1,2) p 3 u0(2,0,0), u1(0,0) u0(2,1,1), u1(1,1) u0(2,1,1), u1(1,1) u0(2,2,2), u1(2,2)

	a 0	a 1	a 2	a 3
p 0	u0(0,0,0), u1(0,0)	u0(0,0,1), u1(0,1)	u0(0,0,1), u1(0,1)	u0(0,0,2), u1(0,2)
p 1	u0(1,0,0), u1(0,0)	u0(1,1,1), u1(1,1)	u0(1,0,1), u1(0,1)	u0(1,1,2), u1(1,2)
p 2	u0(1,0,0), u1(0,0)	u0(1,0,1), u1(0,1)	u0(1,1,1), u1(1,1)	u0(1,1,2), u1(1,2)
p 3	u0(2,0,0), u1(0,0)	u0(2,1,1), u1(1,1)	u0(2,1,1), u1(1,1)	u0(2,2,2), u1(2,2)

Os valores atribuídos a (n, m, e) para cada resultado [(l_i, l_j), (υ_k, υ_s)] segue lógica similar àquela utilizada para descrever a matriz (10). Por exemplo, somente um radar é posicionado para aferição de velocidade quando o resultado do jogo é (p₂, a₁) = [(l₀,l₂), (υ_a, υ_b)]. Logo, o custo de oportunidade da fiscalização é incorrido somente uma vez (n = 1). Como o único radar em operação foi posicionado em l₂ e o Condutor não excedeu ῡ em l₂, então ocorre nenhuma autuação por excesso de velocidade (m = 0). Tendo em vista que o Condutor excedeu ῡ em l₁, e somente em l₁, tem-se e = 1. Usando (n,m,e) = (1,0,1) e (8), tem-se que o payoff do Fiscal sob o resultado (p₂, a₁) é dado por π₀(p₂, a₁) = u₀(1, 0, 1). Similarmente, o payoff do Condutor sob o resultado (p₂, a₁) implicado por (9) é π₁(p₂, a₁) = u₁(0,1). A justificativa para cada uma das demais células da tabela acima é análoga. Portanto, a matriz de payoffs implicada por (8) e (9) é

Condutor

(14) $\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ \left(l_0,l_0\right)\\ \begin{array}{cc}\text{Fiscal}& \left(l_0,l_1\right)\end{array}\\ \begin{array}{c}\left(l_0,l_2\right)\\ \left(l_1,l_2\right)\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Condutor}\\ \underset{¯}{\begin{array}{cc}\left(v_b,v_b\right)& \begin{array}{cc}\left(v_b,v_b\right)& \begin{array}{cc}\left(v_b,v_b\right)& \left(v_b,v_b\right)\end{array}\end{array}\end{array}}\\ \underset{¯}{\begin{array}{cccc}0,0& -\gamma ,\mu & -\gamma ,\mu & -2\gamma ,2\mu \end{array}}\\ \begin{array}{l}\underset{¯}{\begin{array}{cccc}-\alpha ,0& \beta -\gamma ,-\eta & -\alpha -\gamma ,\mu & \beta -2\gamma ,\mu -\eta \end{array}}\\ \underset{¯}{\begin{array}{cccc}-\alpha ,0& -\alpha -\gamma ,\mu & \beta -\gamma ,-\eta & \beta -2\gamma ,\mu -\eta \end{array}}\\ \underset{¯}{\begin{array}{cccc}-2\alpha ,0& \beta -\alpha -\gamma ,-\eta & \beta -\alpha -\gamma ,-\eta & 2\left(\beta -\gamma \right),-2\eta \end{array}}\end{array}\end{array}\end{array}$

O padrão de atratividade neste novo jogo é consistente com o padrão estudado na seção 2. A atratividade de υ_a para o Condutor decorre do fato desta velocidade permitir chegar ao destino em menos tempo. O nível υ_b, por sua vez, é atrativo ao evitar exposição a multa por excesso de velocidade. A atividade de fiscalização é mais satisfatória para o Fiscal quando ela é efetiva: quando o Condutor excede o limite de velocidade na localidade em que o Fiscal está posicionado.

O payoff esperado do jogador k sob uma determinada previsão σ = (σ₀, σ₁) ∈ Δ(A₀) × Δ(A₁) passa a ser dado por

(15) $U_k\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^3{\sigma }_0\left(p_i\right)\left[{\displaystyle \sum _{j=0}^3{\sigma }_1\left(a_j\right){\pi }_k\left(p_i,a_j\right)}\right]},$

em que o payoff obtido pelo jogador k sob o resultado (p_i, a_j) é denotado por π_k(p_i, a_j) e foi apresentado em (14). A previsão σ* = (σ₀*, σ₁*) para o jogo (14) é um Equilíbrio de Nash (e, portanto, é uma boa previsão de comportamento) se safistaz (4) e (5) quando a função U_k(·) é definida por (15).

3.1 Previsões de comportamento

O conjunto de comportamentos probabilísticos possíveis neste novo jogo para o Fiscal e para o Condutor precisam ser reformados para acomodar a maior quantidade de alternativas disponíveis em A₀ e em A₁. Eles passam a ser dados por

$\Delta \left(A_0\right)=\Delta \left(A_1\right)=\left\{\left(x_0,x_1,x_2,x_3\right):x_i\ge 0\text{para cade }i\text{e}{\displaystyle {\sum }_{i=0}^3{x}_i=1}\right\},$

mas o significado de cada conjunto é distinto. Se x = (x₀, x₁, x₂, x₃), a expressão x ∈ Δ(A₀) significa que x representa o comportamento do Fiscal no qual p₀ é escolhido com probabilidade x₀ ≥ 0, p₁ é escolhido com probabilidade x₁ ≥ 0, p₂ é escolhido com probabilidade x₂ ≥ 0 e p₃ com probabilidade x₃ = 1 − x₀ − x₁ − x₂ ≥ 0. A expressão y = (y₀,y₁,y₂,y₃) ∈ Δ(A₁) significa que o comportamento do Condutor é escolher a₀ com probabilidade y₀ ≥ 0, escolher a₁ com probabilidade y₁ ≥ 0, escolher a₂ com probabilidade y₂ ≥ 0 e escolher a₃ com probabilidade y₃ = 1 − y₀ − y₁ − y₂ ≥ 0.

A notação definida a seguir, embora sofisticada, facilita a caracterização de Equilíbrios de Nash com comportamentos probabilísticos.

Notação 1. Para cada jogador i e {0,1} e cada X ⊆ A_i, denote por

$\Delta \left(x\right)=\left\{{\sigma }_i\in \Delta \left(A_i\right):{\sigma }_i\left(x\right)=0\text{se}x\notin X\right\}$

o conjunto de medidas de probabilidade sobre A_t que atribuem probabilidade nula para elementos de A_t que não estão presentes em X.

Por exemplo, Δ(X) = Δ({a₀}) = {(1, 0, 0, 0)} quando X = {a₀} ⊆ A₁, pois neste caso a₁ ∉ X, a₂ ∉ X e a₃ ∉ X. Se, por outro lado, X = {p₁, p₂} ⊆ A₀, tem-se

$\Delta \left(X\right)=\Delta \left(\left\{p_1,p_2\right\}\right)=\left\{\left(x_0,x_1,x_2,x_3\right)\in \Delta \left(A_0\right):x_0=x_3=0\right\}=\left\{\left(0,x_1,1-x_1,0\right):0\le x_1\le 1\right\}.$

O Lema 3 apresentado no Apêndice mostra que o payoff esperado dos jogadores satisfaz as equações (16) e (17) a seguir. A variável qi(σ₀) = σ₀(p_i) + σ₀(p₃) denota a probabilidade com que a localidade i ∈ {1, 2} é fiscalizada quando os jogadores se comportam de acordo com σ = (σ₀, σ₁). A variável q_i(σ₁) = σ₁(σ_i) + σ₁(σ₃) denota a probabilidade com que o limite ῡ é excedido na localidade i ∈ {1,2} quando os jogadores se comportam de acordo com σ = (σ₀, σ₁).

(16) $U_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)=\frac{\alpha }{\theta }\left(q_1\left({\sigma }_0\right)\left[q_1\left({\sigma }_1\right)-\theta \right]+q_2\left({\sigma }_0\right)\left[q_2\left({\sigma }_1\right)-\theta \right]\right)+U_0\left[\left(1,0,0,0\right),{\sigma }_1\right],$

(17) $U_1\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)=\frac{\mu }{\delta }\left(q_1\left({\sigma }_1\right)\left[\delta -q_1\left({\sigma }_0\right)\right]+q_2\left({\sigma }_1\right)\left[\delta -q_2\left({\sigma }_0\right)\right]\right).$

A equação (16) mostra que o payoff esperado do Fiscal é determinado por σ₀ somente via q(σ₀) = (q₁(σ₀), q₂(σ₀)) e Por σ₁ somente via q(σ₁) = (q₁(σ₁), q₂(σ₁)). Ainda, U₀(σ₀, σ₁) é uma função linear de σ₀, quando σ₁ é mantido fixo. Similarmente, a equação (17) mostra que o payoff esperado do Condutor é determinado por σ₀ somente via q(σ₀) = (q₁(σ₀), q₂(σ₀)) e por σ₁ somente via q(σ₁) = (q₁(σ₁), q₂(σ₁)). Adicionalmente, U₁(σ₀, σ₁) é uma função linear de σ₁, para σ₀ fixo.

Da equação (16), a decisão ótima do Fiscal depende das magnitudes de q₁(σ₁) e q₂(σ₁) em relação a θ. Assim como no argumento da demonstração do Lema 2, a linearidade e o padrão de monotonicidade de U₀(·) podem ser usados para descrever a escolha ótima do Fiscal. Por exemplo, o Fiscal possui somente uma melhor resposta para o comportamento σ₁ do Condutor se q₁(σ₁) < θ e q₂(σ₁) < θ. A única melhor resposta neste caso é escolher q₁(σ₀) = q₂(σ₀) = 0 e, portanto, p₀ com probabilidade 1. Ou seja, σ₀ = (1, 0, 0, 0). Para facilitar a visualização de todos os casos relevantes para o Fiscal, a Figura 1(a) apresenta o conjunto de possíveis valores para q(σ₁), o quadrante [0, 1]², como a união de quatro conjuntos: [0, 1]² =F₀ ∪ F₁ ∪ F₂ ∪ F₃, em que

$F_0\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\le \theta \text{e}y\le \theta \right\},F_1\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\ge \theta \text{e}y\le \theta \right\},F_2\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\le \theta \text{e}y\ge \theta \right\},F_3\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\ge \theta \text{e}y\ge \theta \right\}.$

Figura 1
Casos relevantes para o Fiscal e para o Condutor

Nesta linguagem, o caso exemplificado acima, com q₁(σ₁) < θ e q₂(σ₁) <θ,é descrito de forma compacta como $q\left({\sigma }_1\right)\in F_0\backslash \left(F_1\cup F_2\right)=\left\{\left(x,y\right):\left(x,y\right)\in F_0\text{e}\left(x,y\right)\notin F_1\cup F_2\right\}$

De forma similar, a decisão ótima do Condutor depende das magnitudes de q₁(σ₀) e q₂(σ₀) relação a δ. Como exemplo, segue de (17) que a₃ é a única melhor resposta do Condutor para um comportamento σ₀ do Fiscal tal que q1(σ₁) < δ e q₂(σ₁) < δ, pois neste caso o ótimo é escolher q₁(σ₁) = q₂(σ₁) = 1. Ou seja, a única melhor resposta neste caso é σ₁ = (0,0,0,1). Para facilitar a visualização de todos casos relevantes para o Condutor, a Figura 1(b) apresenta o conjunto de possíveis valores para q(σ₀), o quadrante [0, l]², como a união de quatro conjuntos: [0, l]² = C₀ ∪ C₁ ∪ C₂ ∪ C₃, em que

$C_0\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\ge \delta \text{e}y\ge \delta \right\},C_1\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\le \delta \text{e}y\ge \delta \right\},C_2\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\ge \delta \text{e}y\le \delta \right\},C_3\equiv \left\{\left(x,y\right)\in {\left[0,1\right]}^2:x\le \delta \text{e}y\le \delta \right\}.$

Nesta linguagem, o caso exemplificado, com q₁(σ₀) < δ e q₂(σ₀) < δ, é descrito de forma compacta como $q\left({\sigma }_0\right)\in C_3\backslash \left(C_1\cup C_2\right)=\left\{\left(x,y\right):\left(x,y\right)\in C_3\text{e}\left(x,y\right)\notin C_1\cup C_2\right\}$

A descrição de [0, l]² como a união de F_i's e de C_j's facilita a caracterização dos conjuntos de melhor resposta do Fiscal e do Condutor: B₀(σ₁) e B₁(σ₀), respectivamente. A Tabela 1 apresenta todos os casos relevantes para o Fiscal na segunda coluna e o correspondente valor de B₀(σ₁) na primeira coluna. Especificamente, a segunda coluna indica o conjunto Q₁ para o qual a condição q(σ₁) ∈ Q₁ implica o (e é implicada pelo) valor correspondente de B₀(σ₁) na primeira coluna. O exemplo q(σ₁) ∈ F₀\(F₁ ∪ F₂) discutido acima, no qual B₀(σ₁) = Δ({p₀}) e Q₁ = F₀\(F₁ ∪ F₂), é apresentado na primeira linha das duas primeiras colunas. As colunas três e quatro da Tabela 1 apresentam todos os nove casos relevantes para a decisão do Condutor no mesmo formato. O exemplo q(σ₀) ∈ C₃\ (C₂ ∪ C₁) discutido acima, no qual B₁(σ₀) ⁼ Δ({a₃}) e Q₀ = C₃ \ (C₂ ∪ C₁), é apresentado na quarta linha das duas últimas colunas.

Tabela 1
Caracterização de B₀(σ₁) e de B₁(σ₁) para o jogo (14)

B0(σ1)	Q 1	B1(σ0)	Q 0
Δ({p0})	F0 \ (F1 ∪ F2)	Δ({α0})	C0 \ (C1 ∪ C2)
Δ({p1})	F1 \ (F0 ∪ F3)	Δ({α1})	C1 \ (C0 ∪ C3)
Δ({p2})	F02\ (F0 ∪ F3)	Δ({α2})	C2 \ (C0 ∪ C3)
Δ({p3})	F3 \ (F1 ∪ F2)	Δ({α3})	C3 \ (C1 ∪ C2)
Δ({p0, p1})	(F0 ∩ F1) \ (θ,θ)	Δ({α0, α1})	(C0 ∩ C1) \ (δ,δ)
Δ({p0, p2})	(F0 ∩ F2) \ (θ,θ)	Δ({α0, α2})	(C0 ∩ C2) \ (δ,δ)
Δ({p1, p3})	(F1 ∩ F3) \ (θ,θ)	Δ({α1, α3})	(C1 ∩ C3) \ (δ,δ)
Δ({p2, p3})	(F2 ∩ F3) \ (θ,θ)	Δ({α1, α3})	(C2 ∩ C3) \ (δ,δ)
Δ({p0, p1, p2, p3})	(F0 ∩ F1 ∩ F2 ∩ F3)	Δ({α0, α1, α2, α3})	(C0 ∩ C1 ∩ C2 ∩ C3)

A caracterização de B₀(σ₁) e B₁(σ₀) apresentada na Tabela 1 e a visualização dos respectivos conjuntos na Figura 1 são instrumentos bastante úteis para o entendimento da demonstração da Proposição 2 a seguir. Tal proposição revela que cada Equilíbrio de Nash é descrito completamente por um par (x,y) tal que 0 ≤ x ≤ min {1 − δ,δ}e 0 ≤ y ≤ min {1 − θ,θ}.

Proposição 2.A previsão σ* = (σ₀*, σ₁*) é uma boa previsão (Equilíbrio de Nash) para o jogo (14) se, e somente se,

(18) $q\left({\sigma }_0^{*}\right)=\left(\delta ,\delta \right)\text{e}q\left({\sigma }_1^{*}\right)=\left(\theta ,\theta \right)$

Assim, σ* é um Equilíbrio de Nash se, e somente se,

(19) ${\sigma }_0^{*}=\left(1-x-\delta ,x,x,\delta -x\right)\text{e}{\sigma }_1^{*}=\left(1-\theta -y,y,y,\theta -y\right)$

para algum (x,y) tal que 0 ≤ x ≤ min {δ, 1 − δ} e 0 ≤ y ≤ min {1 − θ,θ}.

Demonstração. (⇐) Suponha que (18) é satisfeita por σ* = (σ₀*, σ₁*). Quer-se demonstrar que σ* é Equilíbrio de Nash. Como q(σ₁*) = (θ,θ) ∈ (F₀ ∩ F₁ ∩ F₂ ∩ F₃), então B₀(σ₁*) = Δ({p₀, p₁, p₂, p₃}). Como q(σ₁*) = (θ,θ) ∈ (C₀ ∩ C₁ ∩ C₂ ∩ C₃), então B₁(σ₀*) = Δ({α₀, α₁, α₂, α₃}). Conclui-se disto que σ₀* ∈ B₀*(σ₁*) e σ₁* ∈ B₀*(σ₀*) são trivialmente satisfeitas. Ou seja, σ* é Equilíbrio de Nash.

(⇒) Suponha que σ* é Equilíbrio de Nash, de forma que σ₀* ∈ B₀(σ₀*) e σ₁* ∈ B₁(σ₀*). Vejamos que isto requer q(σ₀*) = (θ,θ). Considere inicialmente o caso em que q₁(σ₀*) < q₂(σ₀*), de forma que σ₀* (p₁) < σ₀*(p₂). Então a Figura 1 revela que q(σ₀*) ∉ C₂. Usando a Tabela 1, tem-se B₁(σ₀*) ⊆ Δ({a₀, a₁, a₃}) e, portanto, σ₁*(a₂) = 0. Logo, σ₁*(a₂) = 0 ≤ σ₁*(a₁) e, com isso, q₁(σ₀*) ≥ q₂(σ₀*). Como σ₀*(p₂) > σ₀*(p₁) ≥ 0 exige que Δ({p₂}) ⊆ B₀(σ₁*), então a Tabela 1 implica que q(σ₁*) ∈ F₂. Em conjunto, q(σ₁*) ∈ F₂ e q₁(σ₁*) ≥ q₂(σ₁*) implicam que q(σ₁*) = (θ,θ) ∈ F₀ ∩ F₁ ∩ F₂ ∩ F₃, conforme evidenciado pela Figura 1.

Para o caso em que q₁(σ₁*) > q₂(σ₀*), tem-se σ₀*(p₁) > σ₀*(p₂) e a Figura 1 revela que q(σ₀*) ∉ C₁. Usando a Tabela 1, tem-se B₁(σ₀*) ⊆ Δ({a₀, a₂, a₃}) e, portanto, σ₁*(a₁) = 0. Logo, σ₁*(a₂) ≥ 0 = σ₁*(a₁) e, com isso, q₁(σ₁*) ≤ q₂(σ₁*). Como σ₀* (p₁) > σ₀*(p₂) ≥ 0 exige que Δ({p₁}) ⊆ B₀(σ₁*), então a Tabela 1 implica que q(σ₁*) ∈ F₁. Em conjunto, q(σ₁*) ∈ F₁ e q₁(σ₁*) ≤ q₂(σ₁*) implicam que q(σ₁*) = (θ,θ) ∈ F₀∩F₁∩F₂∩F₃, conforme evidenciado pela Figura 1.

Por fim, considere o caso em que q₁(σ₀*) = q₂(σ₀*), de forma que σ₀*(p₁) = σ₀*(p₂). Se σ₀*(p₂) = σ₀*(p₁) > 0, então Δ({p₁,p₂}) ⊆ B₀(σ₁*). Logo, a Tabela 1 exige para este caso que B₀(σ₀*) = Δ(A₀), o que é possível somente se q(σ₁*) = (θ,θ). Suponha alternativamente que σ₀*(p₂) = σ₀*(p₁) = 0. Se σ₀*(p₀) > 0 e σ₀*(p₃) > 0, então Δ({p₀, p₃}) ⊆ B₀(σ₁*). A Tabela 1 exige para este caso que B₀(σ₁*) = Δ(A₀), o que é possível somente se q(σ₁*) = (θ,θ).

O caso com σ₁* = (1, 0, 0, 0) não constitui Equilíbrio de Nash, pois isto implica q(σ₀*) = (0,0) ∈ C₃ \ (C₁ ∪ C₂) e, portanto, B₁(σ₀*) = Δ({a₃}). Assim, σ₁* ∈ B₁(σ₀*) exige que σ₁* = (0, 0, 0, 1) e, com isto, q(σ₁*) = (1, 1) ∈ F₃ \ (F₁ ∪ F₂). Então, B₀(σ₁*) = Δ({p₃}) e σ₀* = (1, 0, 0, 0) ∉ B₀(σ₁*). O caso com σ₀* = (0, 0, 0, 1) também não constitui Equilíbrio de Nash, pois isto implica q(σ₀*) = (1, 1) ∈ C₀ \ (C₁ u C₂) e, portanto, B₁(σ₀*) = Δ({a₀}). Assim, σ₁* ∈ B₁(σ₀*) exige que σ₁* = (l, 0, 0, 0)e, com isto, q(σ₁*) = (0, 0) ∈ F₀ \ (F₁ ∪ F₂). Então, B₀(σ₁*) = Δ({p₀}) e σ₀* = (0, 0, 0, 1) ∉ B₀(σ₁*).

Conclui-se do exposto acima que para σ* ser Equilíbrio de Nash é necessário que q(σ₁*) = (θ,θ). Segue de q(σ₁*) = (θ,θ) que somente σ₁*(a₁) = σ₁*(a₂) é consistente com σ* ser Equilíbrio de Nash. Se σ₁*(a₁) = σ₁*(a₂) > 0, então Δ({a₁, a₂}) ⊆ B₁(σ₀*). Logo, a Tabela 1 exige para este caso que B₁(σ₀*) = Δ(A₁), o que é possível somente se q(σ₀*) = (δ,δ). Suponha alternativamente que σ₀*(a₁) = σ₁*(a₂) = 0, de forma que σ₁*(a₃) = q₁(σ₁*) = θ > 0 e σ₁*(a₀) = 1 − σ₁*(a₃) = 1 − θ > 0. Como σ₁*(a₀) > 0 e σ₁*(a₃) > 0, então Δ({a₀, a₃}) ⊆ B₁(σ₀*). A Tabela 1 exige para este caso que B₁(σ₀*) = Δ(A₁), o que é possível somente se q(σ₀*) = (δ,δ).

A fim de subsidiar a análise sobre os efeitos da proibição de radares móveis, o Corolário a seguir registra importantes características da situação prevista para a relação entre condutores e a fiscalização quando podem ser usados somente radares móveis.

Corolário 1.Em cada Equilíbrio de Nash do jogo(14), os payoffs esperados do Condutor e do Fiscal são, respectivamente,

$U_1\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=0\text{e}{U}_0\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=-2\gamma \theta =-2\gamma \frac{\alpha }{\alpha +\beta }.$

Em cada Equilíbrio de Nash (σ₀*, σ₁*), o número esperado de fiscalizações é dado por E(n) = σ₀* · [0, 1, 1, 2] = q₁(σ₀*) + q₂(σ₀*) = 2δ, o número esperado de excessos de velocidade é $E\left(e\right)={\sigma }_1^{*}\cdot \left[0,1,1,2\right]=q_1\left({\sigma }_1^{*}\right)+q_2\left({\sigma }_1^{*}\right)=2\theta$

$E\left(m\right)={\sigma }_0^{*}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right){\left({\sigma }_1^{*}\right)}^T={\sigma }_0^{*}\left(\begin{array}{c}0\\ q_1\left({\sigma }_1^{*}\right)\\ q_2\left({\sigma }_1^{*}\right)\\ q_1\left({\sigma }_1^{*}\right)+q_2\left({\sigma }_1^{*}\right)\end{array}\right)=q_1\left({\sigma }_0^{*}\right)q_1\left({\sigma }_1^{*}\right)+q_2\left({\sigma }_0^{*}\right)q_2\left({\sigma }_1^{*}\right),$

em que (σ₀*)^T denota o vetor coluna obtido ao transpor o vetor linha of.

Demonstração. De acordo com a Proposição 2, em todo equilíbrio de Nash σ* temse q(σ₁*) = (θ, θ) e q(σ₀*) = (δ,δ). Segue de (16) e (17) que o payoff do Condutor em cada equilíbrio é U₁(σ₀*, σ₁*) = 0eo payoff esperado do Fiscal em cada equilíbrio é $U_0\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=U_0\left[\left(1,0,0,0\right),{\sigma }_1^{*}\right]=U_0\left[\left(1,0,0,0\right),\left(1-\theta -y,y,y,\theta -y\right)\right]$

Ou seja, $U_0\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=0\left(1-\theta -y\right)-\gamma y-\gamma y-2\gamma \left(\theta -y\right)=-2\gamma \frac{\alpha }{\alpha +\beta }$

Note que o payoff de equilíbrio esperado pelo Condutor é igual ao payoff que seria obtido ao não exceder o limite ῡ em todas as localidades. Como γ > 0 e θ ∈ (0,1), o payoff de equilíbrio esperado pelo Fiscal é estritamente negativo e estritamente maior do que −2γ. Portanto, ele é estritamente menor do que o payoff que seria obtido ao não fiscalizar o Condutor quando este não excede ῡ (ou seja, no resultado [(l₀,l₀),(υ_b,υ_b)]) e estritamente maior do que o payoff obtido ao não fiscalizar o Condutor quando ele sempre excede ῡ (ou seja, no resultado [(l₀, l₀), (υ_a, υ_a)]). Conclui-se disto que a possibilidade de violação de ῡ piora (em equilíbrio) a situação do Fiscal, sem benefício de satisfação para o Condutor quando somente radares móveis podem ser usados na fiscalização. A possibilidade deste tipo de fiscalização, no entanto, evita (em equilíbrio) que a satisfação do Fiscal seja reduzida até −2γ.

4. O modelo para radares fixos

Considere novamente o modelo estudado na seção 3, mas agora suponha que o Fiscal é obrigado a informar antecipadamente ao Condutor a localização dos dois radares. Tal situação pode ser vista como um modelo para a relação estratégica implicada pela proibição de utilização de radares móveis. Somente radares fixos são usados nesta situação e o posicionamento deles é previamente informado ao condutor ou descoberto por este em período anterior. A árvore de decisão na Figura 2 ilustra de maneira bastante conveniente (na forma extensiva) a nova situação estratégica na qual estão envolvidos o Fiscal (jogador 0) e o Condutor (jogador 1).

A Figura 2 indica que o Fiscal é o primeiro jogador a se mover no jogo. As mesmas quatro opções de posicionamento continuam disponíveis: p₀, p₁, p₂ e p₃.

Figura 2
Fiscalização via radares fixos

Não há novas opções de posicionamento e, portanto, o conjunto de ações possíveis é ainda dado por A₀ = {p₀, p₁, p₂, p₃}. O Condutor joga em seguida, logo após observar a escolha de posicionamento do Fiscal. As mesmas quatro opções de agenda de velocidade continuam disponíveis: a₀, a₁ a₂ e a₃. Não há novas opções de agenda e, portanto, o conjunto de ações possíveis é ainda dado por A₁ = {a₀, a₁, a₂, a₃}. Mas agora é necessário escolher uma agenda para cada uma das quatro situações nas quais o Condutor pode ser convocado a jogar: (i) após a escolha de p₀; (ii) após a escolha de p₁; (iii) após a escolha de p₂; e (iv) após a escolha de p₃.

Em situações nas quais o jogador é convocado a jogar em mais de uma contingência, como a situação do Condutor aqui considerada, o conceito de ação é insuficiente para descrever seu comportamento. Nestes casos, o comportamento é descrito por uma função, a qual é frequentemente denominada estratégia. Por exemplo, uma possível estratégia para o Condutor no jogo apresentado na Figura 2 é a função s tal que s(p₀) = a₀, s(p₁) = a₃ e s(p₂) = s(p₃) = a₂. Esta estratégia (função) é mais compactamente representada por s = (a₀, a₃, a₂, a₂) e descreve a escolha da ação a₀ após o Condutor observar o Fiscal escolher p₀, ação a₃ após observar escolha p₁ e ação a₂ após observar p₂ ou p₃. Como o Fiscal é convocado a jogar somente uma vez, seu comportamento (sua estratégia) pode ser descrito com ações. Ou seja, no caso do Fiscal (assim como de ambos os jogadores nos jogos das seções 2 e 3), estratégia e ação são conceitos equivalentes.

A necessidade de o Condutor escolher uma dentre quatro agendas (a₀, a₁, a₂ e a₃) para cada um dos quatro possíveis posicionamentos do Fiscal (p₀, p₁, p₂ e p₃) faz com que o número de comportamentos não probabilísticos (denominados estratégias puras) do Condutor seja dado por 4⁴ = 256. Ou seja, o conjunto de estratégias puras disponíveis para o Condutor,

$S_1\equiv \left\{\left(s_0,s_1,s_2,s_3\right):s_i\in \left\{a_0,a_1,a_2,a_3\right\}\text{para cada }i\in \left\{0,1,2,3\right\}\right\},$

possui 256 elementos. Como o Fiscal ainda possui quatro possíveis comportamentos não probabilísticos (4 estratégias puras: S₀ ≡ A₀ = {p₀, p₁, p₂, p₃, }), então há 1.024 possíveis previsões de comportamento não probabilístico. Tal nível de complexidade diminui a utilidade da representação do jogo na Forma Normal, a qual foi utilizada nas seções 2 e 3.

Tendo em vista que a escolha do Condutor pode não ser independente da escolha do Fiscal na formulação dinâmica do jogo de fiscalização, o payoff esperado neste caso não pode ser calculado segundo (15). A definição de payoff esperado em (15) utiliza a hipótese de independência entre as distribuições de probabilidade Σ₀ e Σ₁, a qual é aceitável quando as escolhas são simultâneas. Quando a hipótese de independência não necessariamente é satisfeita, a definição (15) para cada Σ ∈ Δ(A₀ × A₁) precisa ser generalizada para

(20) $U_k\left(\sigma \right)={\displaystyle \sum _{i=0}^3{\displaystyle \sum _{j=0}^3\sigma }\left(p_i,a_j\right){\pi }_k\left(p_i,a_j\right)}={\displaystyle \sum _{i=0}^3{\displaystyle \sum _{j=0}^3{\sigma }_0}\left(p_i\right){\sigma }_1\left(a_j|p_i\right)}{\pi }_k\left(p_i,a_j\right),$

em que a probabilidade condicional σ₁(σ_j\p_j) denota a probabilidade com que o Condutor escolhe a ação a,-, condicional a ter observado a escolha do Fiscal p_i.

4.1 Previsões de comportamento

O conceito de Equilíbrio de Nash foi utilizado nas seções 2 e 3 como um bom critério para avaliar a razoabilidade de uma dada previsão de comportamento para os jogos estudados nestas seções. Especificamente, a previsão Σ* = (σ₀*, σ₁*) foi considerada boa se, e somente se, σ₀* ∈ B₀(σ₁*) e σ₁* ∈ B₁(σ₀*). Ou seja, se e somente se σ₀* é uma melhor resposta do Fiscal para a conjectura σ₁* que este faz sobre o comportamento do Condutor e σ₁* é uma melhor resposta do Condutor para a conjectura σ₀* que este faz sobre o comportamento do Fiscal.

Em contextos dinâmicos, no entanto, o conceito de Equilíbrio de Nash é frequentemente considerado insuficiente para qualificar uma previsão como boa. Nem toda conjectura utilizada pelos jogadores em um Equilíbrio de Nash de um jogo dinâmico é considerada razoável, no sentido de que não é razoável esperar que os jogadores as considerariam relevantes ao decidir seu comportamento. O jogo dinâmico apresentado a seguir é um exemplo simples que ilustra tal ponto.

Exemplo 2. Considere o jogo descrito na Figura 3. A representação na forma extensiva é apresentada no lado esquerdo e a representação na forma normal está no lado direito.

Conforme indicado na representação extensiva do jogo, o jogador 1 é o primeiro a jogar e escolhe entre as opções L e R. O jogador 2 joga em seguida, após observar a escolha do jogador 1. Se observar a escolha L, o jogador 2 precisa decidir entre as opções L e B. Se observar a escolha R, precisa decidir entre as opções R e B. Assim, o jogador 1 possui duas estratégias possíveis (L e R) e o jogador 2 possui quatro estratégias possíveis: (i) jogar L após observar L e jogar R após observar R, denotada por (L, R); (ii) jogar L após L e jogar B após R, denotada por (L, B); (iii) B após L e R após R, com notação (B, R); e (iv) sempre jogar B, denotada por (B, B).

Figura 3
Ilustração simplificada de Perfeição em Subjogos

Há três equilíbrios de Nash em estratégias puras neste jogo: s* = (s₁*,s₂*) = [L, (L,R)]; s* = [R, (L,B)]; e s* = [R, (B,B)]. No entanto, observe que somente o equilíbrio [R, (L,B)] é construído usando conjecturas razoáveis. A conjectura (L,R) utilizada pelo jogador 1 na construção do equilíbrio [L, (L, R)] não é defensável, pois o jogador 1 antecipa que o jogador 2 sempre escolherá B após observar R: neste caso, ele recebe payoff 1 jogando B e payoff 0 jogando R. Similarmente, a conjectura (B, B) utilizada pelo jogador 1 na construção do equilíbrio [R, (B, B)] não é defensável, pois o jogador 1 antecipa que o jogador 2 sempre escolherá L após observar L: neste caso, ele recebe payoff 1 jogando L e payoff 0 jogando B.

O critério utilizado para descartar os Equilíbrios de Nash [L, (L, R)] e [R, (B, B)] no jogo do Exemplo 2 é usualmente denominado Perfeição em Subjogos. Mais geralmente, uma dada previsão para um jogo dinâmico é considerada uma boa previsão (um Equilíbrio Perfeito em Subjogos) se ela é um Equilíbrio de Nash do jogo e se ela define Equilíbrios de Nash em cada um dos subjogos. Um subjogo é um jogo dentro do jogo principal. No jogo ilustrado no Exemplo 2 há dois subjogos, cada um deles começando quando o jogador 2 é chamado a jogar. Somente o jogador 2 participa destes subjogos e, portanto, os Equilíbrios de Nash do subjogo são dados pelas melhores respostas deste jogador neste subjogo. Como, por definição, todo Equilíbrio Perfeito em Subjogos é um Equilíbrio de Nash, equilíbrios com perfeição em subjogos são usualmente denominados Equilíbrios de Nash Perfeitos em Subjogos.

A definição de boa previsão de comportamento para jogos dinâmicos descrita acima pode ser usada para estudar a situação estratégica apresentada na Figura 2. No subjogo que se inicia após o Fiscal se posicionar em p₀ = (l₀, l₀), o Condutor possui somente uma melhor resposta: a₃ = (υ_a, υ_a). No subjogo que se inicia após o Fiscal se posicionar em p₁ = (l₀, l₁), visto que μ > 0, o Condutor possui somente uma melhor resposta: a₂ = (υ_b, υ_a). No subjogo que se inicia após o Fiscal se posicionar em p₂ = (l₀, l₂), o Condutor possui somente uma melhor resposta: a₁ = (υ_a, υ_b). No subjogo que se inicia após o Fiscal se posicionar em p₃ = (l₁, l₂), o Condutor possui somente uma melhor resposta: a₀ = (υ_b, υ_b). Portanto, a única conjectura relevante para o Fiscal sobre o comportamento do Condutor é s₁* = (a₃, a₂, a₁, a₀). Sob tal conjectura, o conjunto de melhores respostas do Fiscal é dado por

(21) $B_0\left(s_1^{*}\right)=B_0\left[\left(a_3,a_2,a_1,a_0\right)\right]=\{\begin{array}{ccc}\Delta \left(\left\{\left(l_1,l_2\right)\right\}\right),& \text{se}& \alpha <\gamma ;\\ \Delta \left(\left\{\left(l_0,l_0\right)\right\}\right),& \text{se}& \alpha >\gamma ;\\ \Delta \left(\left\{p_0,p_1,p_2,p_3\right\}\right)& \text{se}& \alpha =\gamma .\end{array}$

Segue disto que as boas previsões sobre o comportamento dos jogadores (os Equilíbrios de Nash Perfeitos em Subjogos) do jogo apresentado na Figura 2 dependem da magnitude de α e de γ. Se o custo de oportunidade da fiscalização (α) é menor do que o custo imposto ao Fiscal pelo excesso de velocidade (γ), então s₀* ∈ B₀(s₁*) implica que o Fiscal fiscalizará as duas localidades: s₀* = (l₁,l₂). Por outro lado, se o custo de oportunidade da fiscalização (α) é maior do que o custo imposto ao Fiscal pelo excesso de velocidade (γ), então s₀* ∈ B₀(s₁*) implica que o Fiscal fiscalizará nenhuma das duas localidades: s₀* = (l₀, l₀). Quando o custo de oportunidade α é exatamente igual ao custo γ, o Fiscal está indiferente entre todos os posicionamentos: B₀(s₁*) = Δ(A₀). Neste caso todo posicionamento (seja ele probabilístico ou não) é uma boa previsão para o comportamento do Fiscal. A Proposição 3 a seguir formaliza o resultado assim obtido.

Proposição 3.Suponha que γ < α. Então, s* = (s₀*, s₁*) é uma boa previsão (Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos) para o jogo dinâmico apresentado na Figura 2 se, e somente se,

$\left(s_0^{*},s_1^{*}\right)=\left[\left(l_0,l_0\right),\left[\left({\upsilon }_a,{\upsilon }_a\right),\left({\upsilon }_b,{\upsilon }_a\right),\left({\upsilon }_a,{\upsilon }_b\right),\left({\upsilon }_b,{\upsilon }_b\right)\right]\right].$

Suponha que γ > α. Então, s* é um Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos para o jogo apresentado na Figura 2 se, e somente se,

$\left(s_0^{*},s_1^{*}\right)=\left[\left(l_1,l_2\right),\left[\left({\upsilon }_a,{\upsilon }_a\right),\left({\upsilon }_b,{\upsilon }_a\right),\left({\upsilon }_a,{\upsilon }_b\right),\left({\upsilon }_b,{\upsilon }_b\right)\right]\right].$

Por fim, suponha γ = α. Então, s* é uma boa previsão para o jogo apresentado na Figura 2 se, e somente se,

$\left(s_0^{*},s_1^{*}\right)=\left[\left(x,y,z,1-x-y-z\right),\left[\left({\upsilon }_a,{\upsilon }_a\right),\left({\upsilon }_b,{\upsilon }_a\right),\left({\upsilon }_a,{\upsilon }_b\right),\left({\upsilon }_b,{\upsilon }_b\right)\right]\right],$

para alguma tripla (x,y,z) tal que x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0.

A previsão de resultado para o jogo dinâmico quando α < y é o Fiscal verificar a velocidade nas duas localidades e o Condutor respeitar o limite ῡ nas duas localidades: ou seja, o resultado o = [(l₁, l₂), (υ_b, υ_b)]. Quando α > γ, a previsão de resultado é o Fiscal verificar a velocidade em nenhuma das localidades e o Condutor desrespeitar ῡ em todas as localidades: ou seja, o = [(l₀, l₀), (υ_a, υ_a)]. Se α = γ, o Fiscal se comporta de acordo com Σ₀* = (x, y, z, 1 − x − y − z) e, portanto, a previsão de resultado é [(l₀, l₀), (υ_a, υ_a)] acontecer com probabilidade x, do resultado [(l₀, l₁), (υ_b, υ_a)] acontecer com probabilidade y, [(l₀, l₂), (υ_a, υ_b)] com probabilidade z e [(l₁,l₂), (υ_b, υ_b)] com probabilidade (1 − x − y − z).

O payoff esperado previsto para os jogadores também depende das magnitudes de α e γ. Quando α < γ, é previsto acontecer o resultado o = [(l₁, Z₂), (υ_b, υ_b)] com probabilidade 1 e, portanto, a Figura 2 implica que o payoff previsto é −2α para o Fiscal e 0 para o Condutor. Caso α > γ, é previsto acontecer o resultado o = [(l₀, l₀), (υ_a, υ_a)] com probabilidade 1 e, portanto, o payoff previsto é −2γ para o Fiscal e 2Μ, para o Condutor. No caso de α = γ, em que o Fiscal se comporta de acordo com Σ₀* = (x,y,z, 1 − x − y − z), o payoff previsto para o Fiscal é −2α = −(α + β) = −2γ e o payoff esperado previsto para o Condutor é

$x{\pi }_1\left(p_0,a_3\right)+y{\pi }_1\left(p_1,a_2\right)+z{\pi }_1\left(p_2,a_1\right)+\left(1-x-y-z\right){\pi }_1\left(p_3,a_0\right)=2\mu x+\mu y+\mu z+0\left(1-x-y-z\right)=\mu \left(2x+y+z\right).$

um valor não negativo e não maior do que 2μ.

O número esperado de fiscalizações é igual a2 se α < γ e é dado por zero se α > γ. Tal número é incerto quando α = γ, pois ele se iguala 2(1 − x) − y − z quando o comportamento do Fiscal é σ₁* = (x,y,z, 1 − x − y − z). Pode tanto chegar ao valor de 2, quando x = y = z = 0, quanto se igualar a zero, quando x = 1. Em todos os casos, não há arrecadação de multas, pois os condutores nunca são multados.

5. A escolha entre radares fixos e móveis

Considere agora a situação na qual o Fiscal possui a capacidade de fiscalizar cada uma das duas localidades (l₁ e l₂) tanto com radares móveis quanto com radares fixos. Para cada localidade, a fiscalização por meio de um radar móvel (portátil) é representada por r_p, a fiscalização por radar fixo é representado por r_f e o posicionamento de nenhum radar é denotado por r_n. Como há duas localidades, a escolha do Fiscal pode ser representada por um par r = (r₁, r₂) ∈ R, em que

$R=\left\{r_n,r_p,r_f\right\}\times \left\{r_n,r_p,r_f\right\}=\left\{\left(r_n,r_n\right),\left(r_n,r_p\right),\left(r_n,r_f\right),\left(r_p,r_n\right),\left(r_p,r_p\right),\left(r_p,r_f\right),\left(r_f,r_n\right),\left(r_f,r_p\right),\left(r_f,r_f\right)\right\}.$

é o conjunto de ações possíveis para o Fiscal. Por exemplo, r = (r_p,r_f) denota a situação na qual o Fiscal posicionou um radar portátil em l₁ e um radar fixo em l₂.

Assim como no modelo da seção 4, a utilização ou não de radares fixos e o posicionamento destes na rodovia são informados previamente ao Condutor. No modelo desta seção, no entanto, esta informação prévia não é suficiente para o Condutor concluir que não há fiscalização nas localidades em que não há radar fixo. Formalmente, o Condutor é capaz de observar previamente quatro diferentes tipos de informação: i₀, i₁, i₂, i₃. Ao observar i₀, o Condutor é informado de que o Fiscal escolheu não utilizar radares fixos (ou seja, de que r ∈ {(r_n, r_n), (r_n, r_p), (r_p, r_n), (r_p, r_p)}). Após observar i₁ o Condutor sabe que o Fiscal escolheu usar radar fixo somente em l₁ (ou seja, que r ∈ {(r_f, r_n), (r_nf, r_p)}). A informação i₂ diz que o Fiscal escolheu usar radar fixo somente em l₂ (ou seja, que r e {(r_n, r_f), (r_p, r_f)}). Por fim, ao observar i₃, o Condutor descobre que o Fiscal escolheu usar radar fixo em todas as localidades (ou seja, que r = (r_f, r_f)).

A árvore de decisão apresentada na Figura 4 ilustra de maneira bastante conveniente (na forma extensiva) a nova situação estratégica na qual estão envolvidos o Fiscal (jogador 0) e o Condutor (jogador 1). O jogador 0 (Fiscal) inicia o jogo escolhendo o padrão de fiscalização com radares fixos: usar nenhum radar fixo (i₀), fiscalizar com radar fixo somente em l₁ (padrão denotado por i₁), fiscalizar com radar fixo somente em l₂ (padrão denotado por i₂) e fiscalizar com radar fixo em todas as localidades (i₃). Quando o padrão escolhido para a fiscalização com radares fixos é i₃, o Condutor observa a presença de radares fixos em todas as localidades e, em seguida, escolhe sua agenda de velocidade: a₀, a₁, a₂ ou a₃. Sob os demais padrões de fiscalização com radares fixos (i₀, i₁ e i₂), o Fiscal joga novamente escolhendo o padrão de fiscalização com radares móveis (portáteis) para as localidades sem radar fixo. Como o Condutor não é informado previamente sobre o posicionamento dos eventuais radares portáteis, sua escolha de agenda de velocidade nestes demais casos é feita de maneira simultânea com a escolha de posicionamento dos radares portáteis.

A simultaneidade da escolha de agenda de velocidade com a escolha de posicionamento de radares móveis é representada na Figura 4 pelas linhas pontilhadas conectando nós de decisão da árvore. Por exemplo, para indicar que o Condutor não sabe a escolha que o Fiscal fez entre (r_f, r_n) e (r_f, r_p) após escolher i₁, os dois nós de decisão do Condutor que são consequência de (r_f, r_n) e (r_f, r_p) estão conectados por linhas pontilhadas.

Os conjuntos de nós de decisão conectados por linhas pontilhadas na representação do jogo na Forma Extensiva são usualmente denominados como conjunto de informação. Nesta linguagem, o conjunto de informação do Condutor após i_x indica que, quando o Condutor é convocado a jogar após observar i₁, ele não sabe se ele foi convocado a jogar no nó de decisão consequente a escolha (r_f, r_n) ou no nó de decisão implicado pela escolha (r_f, r_p).

Analogamente, o conjunto de informação do Condutor após i₂ indica que, quando o Condutor é convocado a jogar após observar i₂, ele não sabe se foi convocado a jogar no nó de decisão consequência de (r_n, r_f) ou no nó de decisão implicado por (r_p, r_f). Já o conjunto de informação do Condutor após observar i₀ é mais complexo, pois envolve quatro nós de decisão. Tal conjunto de informação indica que, quando o Condutor é convocado a jogar após observar i₀, ele não sabe em qual nó de decisão foi convocado a jogar: naquele consequente a (r_n, r_n), naquele implicado por (r_p, r_n), naquele após (r_n, r_p) ou no nó de decisão implicado por (r_p, r_p).

Figura 4
Fiscalização via radares fixos e portáteis

O jogo apresentado na Figura 4 é um jogo dinâmico de dois estágios e possui quatro subjogos. Há um subjogo trivial após i₃, no qual somente o Condutor joga. Os demais três subjogos são jogos simultâneos entre o Fiscal e o Condutor. Por conveniência, todos os subjogos são apresentados na Figura 5 representados na Forma Normal.

O Equilíbrio de Nash no subjogo após i₃ é trivialmente dado por [(r_f, r_f), (υ_b, υ_b)] e confere ao Fiscal o nível de payoff −2α e ao Condutor payoff nulo. Os equilíbrios de Nash do subjogo após i₀ podem ser obtidos utilizando a Proposição 2, ao notar que a matriz de payoffs da Figura 5(d) coincide com (14). A Proposição 2 estabelece que em todo equilíbrio de Nash de (14) o Fiscal escolhe fiscalizar cada localidade com probabilidade δ e o Condutor escolhe exceder ῡ em cada localidade com probabilidade θ. Então, a coincidência dos payoffs da Figura 5(d) com aqueles em (14) permite concluir que, em todo equilíbrio de Nash do subjogo após i₀, o Fiscal posiciona um radar portátil em cada localidade com probabilidade δ e o Condutor excede ῡ em cada localidade com probabilidade θ. Como consequência, o subjogo após i₀ possui como equilíbrio de Nash somente as previsões σ⁰ = (σ₀⁰, σ₁⁰) tais que

${\sigma }_0^0=\left[{\sigma }_0^0\left(r_n,r_n\right),{\sigma }_0^0\left(r_p,r_n\right),{\sigma }_0^0\left(r_n,r_p\right),{\sigma }_0^0\left(r_p,r_p\right)\right]=\left(1-x-\delta ,x,x,\delta -x\right)$

${\sigma }_1^0=\left[{\sigma }_1^0\left(a_0\right),{\sigma }_1^0\left(a_1\right),{\sigma }_1^0\left(a_2\right),{\sigma }_1^0\left(a_3\right)\right]=\left(1-\theta -y,y,y,\theta -y\right).$

para algum (x,y) tal que 0 ≤ x ≤ min {δ,1 − δ} e 0 ≤ y ≤ min {1 − θ,θ}. Conforme documentado no Corolário 1, o payoff esperado do Fiscal em cada um destes equilíbrios é dado por −2γθ. Já o payoff esperado do Condutor em todo equilíbrio deste subjogo é nulo.

Para o cálculo do(s) equilíbrio(s) de Nash no subjogo após i₂, observe que o payoff que o Condutor obtém escolhendo a₀ é estritamente maior do que aquele obtido escolhendo a₂, independentemente da escolha do Fiscal. Neste caso, a estratégia “jogar a₂ com probabilidade 1” é dita estratégia estritamente dominada pela estratégia “jogar a₀ com probabilidade 1”. Com base neste fato e na propriedade destacada na Observação 1,¹⁰ a estratégia “jogar a₂ com probabilidade 1” pode ser ignorada no cálculo do(s) equilíbrio(s) de Nash no subjogo após i₂. Na verdade, toda estratégia do Condutor que atribui probabilidade estritamente positiva para a₂ pode ser ignorada neste cálculo, pois cada uma de tais estratégias é estritamente dominada pela estratégia obtida ao transferir para a ação a₀ a probabilidade atribuída a a₂. Na prática, esta última observação estabelece que a terceira coluna da Figura 5(b) pode ser ignorada pelo cálculo do(s) equilíbrio(s) de Nash no subjogo após i₂.

Figura 5
Representação na Forma Normal de cada subjogo da Figura 4

Observação 1. Como toda estratégia componente de Equilíbrio de Nash precisa ser melhor resposta para a estratégia dos demais jogadores e estratégias estritamente dominadas nunca são melhor resposta, então nenhuma estratégia estritamente dominada pode compor equilíbrios de Nash.

Por razão similar, a quarta coluna da Figura 5(b) pode ser ignorada pelo cálculo do(s) equilíbrio(s) de Nash no subjogo após i₂, pois o payoff que o Condutor obtém escolhendo a₁ é estritamente maior do que aquele obtido escolhendo a₃, independentemente da escolha do Fiscal. A matriz de payoffs obtida ao ignorar as colunas três e quatro da Figura 5(b) é apresentada a seguir.

(22) $\begin{array}{c}\text{Condutor}\\ \underset{¯}{\begin{array}{cc}{a}_0& a_1\end{array}}\\ Fiscal\left(r_n,r_f\right)\underset{¯}{\begin{array}{cc}-\alpha ,0& -\alpha -\gamma ,\mu \end{array}}\\ \left(r_n,r_f\right)\underset{¯}{\begin{array}{cc}-2\alpha ,0& \beta -\alpha -\gamma ,-\eta \end{array}}\end{array}$

Agora observe que o custo de oportunidade do radar fixo pode ser ignorado no cálculo de equilíbrios de Nash de (22), uma vez que ele não afeta o diferencial de payoff entre as escolhas (r_n, r_f) e (r_p, r_f). Tal propriedade permite somar a no payoff do Fiscal em cada resultado possível de (22) sem alterar o conjunto de equilíbrios de Nash. Esta modificação da matriz (22), no entanto, resulta nos mesmos pares de payoffs apresentados em (11). Como a Proposição 1 estabelece que no único Equilíbrio de Nash de (11) o Condutor escolhe a segunda coluna com probabilidade θ e o Fiscal escolhe a segunda linha com probabilidade 5, então pode-se concluir que (22) possui um único Equilíbrio de Nash e que neste equilíbrio o Fiscal escolhe (r_p, r_f) com probabilidade δ e o Condutor escolhe a₁ = (υ_a, υ_b) com probabilidade θ. Como consequência, o subjogo após i₂ possui como equilíbrio de Nash somente σ² = (σ₀², σ₁²) tal que σ₀² = [σ₀²(r_n, r_f), σ₀²(r_p, r_f) = (1 – δ, δ) e σ₁² = [σ₁²(a₀), σ₁²(a₁), σ₁²(a₂), σ₁²(a₃)] = 1 – θ, θ, 0, 0). O payoff esperado do Fiscal neste equilíbrio pode ser obtido subtraindo o custo de oportunidade do radar fixo (α) de (12): ele é dado por − γθ − α = −θ(γ + α + β). Já o payoff esperado do Condutor neste equilíbrio é novamente nulo, pois ele coincide com (13).

O cálculo do(s) equilíbrio(s) de Nash no subjogo após i_x utiliza argumentação análoga. As colunas segunda e quarta podem ser ignoradas pelo cálculo, pois a estratégia pura a₁ é estritamente dominada por a₀ e a estratégia pura a₃ é estritamente dominada por a₂. A matriz resultante da Figura 5(c) após ignorar as colunas dois e quatro e somar α no payoff do Fiscal nas colunas um e três coincide com a matriz de payoffs (11). Assim, o subjogo após i₁ possui como equilíbrio de Nash somente σ¹ = (σ₀¹, σ₁¹) tal que σ₀¹ = [σ₀¹(r_f, r_n), σ₀¹(r_f, r_p)] = (1 – δ, δ) e σ₁¹ = [σ₁¹(a₀), σ₁¹(a₁), σ₁¹(a₂), σ₁¹(a₃)] = (1 – θ, 0, θ, θ). Novamente, o payoff esperado do Fiscal neste equilíbrio pode ser obtido subtraindo α de (12) para obter −γθ − α = −θ(γ + α + β) e o payoff esperado do Condutor é nulo, pois coincide com (13).

A discussão acima mostra que em todo equilíbrio de Nash de todos os subjogos, o payoff esperado do Condutor é nulo. O payoff esperado do Fiscal é −2α no equilíbrio de Nash do subjogo após i₃ e se iguala a −θ(γ + α + β) em todos os equilíbrios de Nash dos subjogos implicados por i_x e í₂. Nos equilíbrios de Nash do subjogo após i₀, o payoff esperado do Fiscal é dado por −2θγ. Antecipando tais níveis de satisfação em cada subjogo, o Fiscal escolhe o padrão de fiscalização com radares fixos s₀ ∈ {i₀,i₁,i₂,i₃} para maximizar seu payoff esperado. Por exemplo, ele escolhe i₀ quando γ < α + β, pois neste caso −2θγ > −2α e −2θγ > −θ(γ + α + β). Por outro lado, o Fiscal escolhe i₃ se γ > α + β, pois neste caso −2α > −2θγ e −2α > −θ(γ + a + β). No caso em que γ = a + β, o Fiscal está indiferente entre todos os padrões de fiscalização com radares fixos. A Proposição 4 reúne os resultados obtidos até aqui.

Proposição 4. A previsão $\sigma =\left[\left(s_0,{\sigma }_0^0,{\sigma }_0^1,{\sigma }_0^2\right),\left({\sigma }_1^0,{\sigma }_1^1,{\sigma }_1^2,{\sigma }_1^3\right)\right]$ para o jogo apresentado na Figura 4 é equilíbrio de Nash perfeito em subjogos se, e somente se, s ₀ satisfaz

$s_0\in \{\begin{array}{cc}\left\{i_0\right\},& se\gamma <\alpha +\beta ,\\ \left\{i_0,i_1,i_2,i_3\right\},& se\gamma =\alpha +\beta ,\\ \left\{i_3\right\},& se\gamma >\alpha +\beta ,\end{array}$

ao mesmo tempo em que ${\sigma }_0=\left({\sigma }_0^0,{\sigma }_0^1,{\sigma }_0^2\right)e{\sigma }_1=\left({\sigma }_1^0,{\sigma }_1^1,{\sigma }_1^2,{\sigma }_1^3\right)$ satisfazem

$\begin{array}{c}{\sigma }_1^3=\left[{\sigma }_1^3\left(a_0\right),{\sigma }_1^3\left(a_1\right),{\sigma }_1^3\left(a_2\right),{\sigma }_1^3\left(a_3\right)\right]=\left(1,0,0,0\right);\\ \{\begin{array}{c}{\sigma }_0^2=\left[{\sigma }_0^2\left(r_n,r_f\right),{\sigma }_0^2\left(r_p,r_f\right)\right]=\left(1-\delta ,\delta \right),\\ {\sigma }_1^2=\left[{\sigma }_1^2\left(a_0\right),{\sigma }_1^2\left(a_1\right),{\sigma }_1^2\left(a_2\right),{\sigma }_1^2\left(a_3\right)\right]=\left(1-\theta ,\theta ,0,0\right);\end{array}\\ \{\begin{array}{c}{\sigma }_0^1=\left[{\sigma }_0^1\left(r_f,r_n\right),{\sigma }_0^1\left(r_f,r_p\right)\right]=\left(1-\delta ,\delta \right),\\ {\sigma }_1^1=\left[{\sigma }_1^1\left(a_0\right),{\sigma }_1^1\left(a_1\right),{\sigma }_1^1\left(a_2\right),{\sigma }_1^1\left(a_3\right)\right]=\left(1-\theta ,0,\theta ,0\right);\end{array}\end{array}$

e

$\{\begin{array}{c}{\sigma }_0^0=\left[{\sigma }_0^0\left(r_n,r_n\right),{\sigma }_0^0\left(r_p,r_n\right),{\sigma }_0^0\left(r_n,r_p\right),{\sigma }_0^0\left(r_p,r_p\right)\right]=\left(1-x-\delta ,x,x,\delta -x\right),\\ {\sigma }_1^0=\left[{\sigma }_1^2\left(a_0\right),{\sigma }_1^2\left(a_1\right),{\sigma }_1^2\left(a_2\right),{\sigma }_1^2\left(a_3\right)\right]=\left(1-\theta -y,y,y,\theta -y\right);\end{array}$

para algum (x,y) tal que 0 ≤ x ≤ min {δ, 1 − δ} e 0 ≤ y ≤ min {1 − θ,θ}.

O resultado de equilíbrio com perfeição em subjogos quando γ > α+β é o Fiscal escolher usar radares fixos em todas as localidades (s₀ = i₃) e o Condutor respeitar o limite ῡ em todas as localidades (σ₁³ = (1, 0, 0, 0)). O resultado de equilíbrio com perfeição em subjogos quando γ < α + β é o Fiscal escolher não usar radares fixos (s₀ = i₀) e fiscalizar cada localidade usando radares portáteis com probabilidade δ (pois (pois σ₀⁰ = (1 – x δ, x, x, δ – x) para algum x tal que 0 ≤ x ≤ min {δ, 1 − δ}), enquanto o Condutor excede o limite ῡ em cada a localidade com probabilidade θ (pois, (pois σ₀¹ = (1 – θ, – y, y, y, θ – y) para algum y tal que 0 ≤ y ≤ min {1 − θ,θ}).

O payoff esperado do Fiscal é igual a max {−2α, −2γθ}: ele é dado por −2α quando γ > α + β e por −2γθ = −2γα/(α + β) quando γ ≤ α + β. Já o payoff esperado do Condutor é sempre nulo. O número esperado de fiscalizações é igual a 2 quando γ > α + β, todas elas utilizando radar fixo, e se iguala a 2δ quando γ < α + β, todas elas usando radar móvel. Quando γ = α + β, são indeterminados a quantidade esperada de fiscalizações (podendo assumir qualquer valor entre 2δ e 2) e o formato de fiscalização (qualquer combinação de radares fixos e móveis é possível). O conceito de boa previsão aqui utilizado não é capaz de determinar estas variáveis neste caso. Não há excessos de velocidade quando γ > α + β, mas a quantidade esperada de excessos de velocidade é dada por 2θ quando γ < α + β. Não há autuações (multas) quando γ > α + β, mas a quantidade esperada de multas é dada por 205 quando γ < α + β. Estas informações são apresentadas de forma mais conveniente na Tabela 2 para os três principais casos analisados.

5.1 Os efeitos da proibição

Na linguagem estabelecida pelo modelo aqui desenvolvido, a proibição do uso de radares móveis — com a manutenção da opção de fiscalização com radares fixos — determina que a situação estratégica entre a fiscalização e os condutores é dada pelo jogo dinâmico apresentado na seção 4. A situação estratégica inicial, na qual existe a possibilidade de utilização concomitante de radares fixos e radares móveis, é dada pelo jogo dinâmico da seção 5. Portanto, a comparação entre as previsões de equilíbrio para os modelos destas seções evidencia os efeitos previstos para tal proibição. A Tabela 2 a seguir apresenta uma seleção de variáveis de interesse.

Tabela 2
Efeitos da proibição de radares móveis sobre a previsão σ* = (Σ₀*, Σ₁*)

Conjunto de possíveis valores para γ		(0, α)		(α,α + β)		(α + β,∞)
Permitido radar móvel		sim	não	sim	não	sim	não
Fiscalizações esperadas	E(n)	2δ	0	2δ	2	2	2
Autuações esperadas	E(m)	2θδ	0	2θδ	0	0	0
Excessos esperados	E(e)	2θ	2	2θ	0	0	0
Payoff do Fiscal	U0(Σ0*, Σ1*)	−2γθ	−2γ	−2γθ	−2α	−2α	−2α
Payoff do Condutor	U1(Σ0*, Σ1*)	0	2μ	0	0	0	0

A Tabela 2 apresenta o valor previsto (de equilíbrio) para cinco variáveis: o payoff de cada jogador, a quantidade de fiscalizações esperadas, o número de multas esperado e o número esperado de violações do limite v. Tais valores são apresentados para três casos distintos, definidos de acordo com a relevância relativa dos excessos de velocidade na satisfação da sociedade (γ): o primeiro caso é definido por γ ∈ (0, α), o segundo por γ ∈ (α, α + β) e o terceiro por γ ∈ (α + β, ∞).

Observe que a proibição possui nenhum efeito sobre o equilíbrio no terceiro caso, quando o γ é suficientemente alto. Neste caso, o elevado impacto dos excessos de velocidade na satisfação da sociedade motiva o uso de somente radares fixos como forma de eliminar qualquer violação de D, independentemente da disponibilidade ou não de radares móveis para a fiscalização. Assim, a proibição não afeta os dois jogadores.

Para valores intermediários de γ, a proibição não afeta a satisfação esperada do Condutor, mas reduz o payoff esperado do Fiscal. Antes da proibição, o Fiscal prefere utilizar somente radares móveis e, desta forma, impede o Condutor de auferir satisfação esperada positiva. Em resposta, o melhor que o Condutor pode fazer nesta situação lhe confere payoff esperado nulo.¹¹ Logo, a proibição neste caso impede o Fiscal de adotar sua estratégia preferida. Como segunda melhor opção, o Fiscal opta por intensificar a fiscalização ao instalar radares fixos em todas as localidades: o número esperado de fiscalizações se eleva de 2δ para 2, o que motiva a interrupção de excessos de velocidade e, portanto, de autuações. Observe que a atratividade em manter a fiscalização após a proibição se deve ao ainda relevante custo de satisfação imposto pelos excessos de velocidade — quando comparado ao custo de fiscalização α.

Quando o custo γ é suficientemente baixo, por outro lado, a proibição do uso de radares móveis elimina por completo a fiscalização de velocidade. O número esperado de fiscalizações cai de 2δ para zero, o que motiva a elevação dos excessos de velocidade de 2θ para 2. Como não ocorre fiscalização, este aumento de excessos não se reflete em aumento de autuações: o número esperado de autuações se reduz de 2θδ para zero. Assim como no caso de custo γ intermediário, a satisfação esperada do Fiscal é novamente reduzida pela proibição e pelo mesmo motivo: ela impede o Fiscal de utilizar seu instrumento de fiscalização preferido. A segunda melhor opção para o Fiscal quando γ é baixo, no entanto, é arrefecer a fiscalização. A atratividade em interromper a fiscalização após a proibição se deve a baixa relevância do custo de satisfação imposto pelos excessos de velocidade — quando comparado ao agora relevante custo de fiscalização α.

A interrupção de fiscalização prevista para o caso com γ baixo, e consequentes aumento de excessos e redução de multas, confere ao Condutor um aumento de satisfação esperada de 2Μ unidades. Como esta é a única situação para a qual o modelo prevê elevação na satisfação dos condutores e a proibição foi interpretada neste trabalho como motivada em atender o interesse de uma parte dos condutoreseleitores, as previsões apresentadas pela Tabela 2 para o caso γ ∈ (0, α) podem ser vistas como a previsão do atual modelo para a política pública adotada no Brasil a partir de agosto de 2019.

A previsão de completa eliminação de fiscalização após a proibição é consequência da hipótese simplificadora de que todas as localidades são idênticas. Com isto, não é útil interpretá-la de forma literal. Presumivelmente, uma extensão deste modelo para o caso com heterogeneidade entre as localidades geraria previsões menos extremas. Por exemplo, poder-se-ia reconhecer no modelo que o excesso de velocidade afeta a probabilidade e severidade de acidentes de maneira distinta em localidades distintas. Esta heterogeneidade poderia ser modelada admitindo que o excesso de velocidade afeta a sociedade de maneira distinta a depender da localidade na qual ῡ foi violado. Ou seja, poderia ser modelada atribuindo γ's distintos para localidades distintas. Com base nos dois primeiros casos da Tabela 2, espera-se que a coexistência de localidades pouco perigosas (γ baixo) com localidades muito perigosas (γ alto) motive o Fiscal a responder a proibição intensificando a fiscalização nas localidades mais perigosas e arrefecendo-a nas localidades mais seguras.

Assim, a previsão do modelo desenvolvido neste trabalho para os efeitos da proibição de radares móveis pode ser interpretada como uma previsão de intensificação no uso de radares fixos nas localidades mais perigosas e abandono de fiscalização naquelas mais seguras.

6. Considerações Finais

O ferramental usual de Teoria dos Jogos se mostrou bastante versátil para analisar a proibição de radares móveis que vigorou no Brasil em 2019 entre meados de agosto e meados de dezembro. A consideração nesta análise da dimensão estratégica entre o Fiscal e os condutores se inspira na argumentação de Bjørnskau e Elvik (1992). Uma interessante contribuição seria analisar os efeitos da proibição utilizando um modelo no qual os condutores não reconhecem o efeito de suas decisões sobre as decisões do Fiscal. Somente o Fiscal reconheceria que seu comportamento afetaria o comportamento dos demais agentes. Este exercício seria uma forma transparente de analisar a provocação de Bjørnskau e Elvik (1992) à abordagem de Palmer (1977), sob a qual os potenciais infratores não reconhecem seu efeito sobre o padrão de fiscalização.

Conforme discutido na subseção 5.1, a heterogeneidade entre localidades é um ingrediente interessante a ser incluído no atual modelo por pesquisa futura. A tratabilidade do modelo aqui obtida sugere que tal extensão é direta e que confirmaria em definitivo o cabimento da interpretação dada ao resultado da Tabela 2. Outra extensão natural do modelo seria aumentar o número de localidades nas quais há limite de velocidade. Esta generalização poderia ser usada para analisar a importância do alcance geográfico limitado dos radares, conforme identificado pelos trabalhos empíricos citados na seção 1.

Uma generalização do modelo aparentemente não trivial seria relaxar a hipótese de linearidade das utilidades utilizada em (8) e (9). A princípio, a possibilidade de não linearidade de u₁(·) em e poderia ser explorada para estudar o fenômeno identificado por Yamada (2005), no qual os condutores aceleram após os radares para (supostamente) compensar o tempo perdido ao respeitar o limite no radar.¹² Ainda mais crucial, a possibilidade de não linearidade de u₀(·) em e poderia ser explorada a fim de refletir na satisfação da sociedade a presença de externalidades na decisão de excesso de velocidade. É natural imaginar que os condutores não levam em conta todo o efeito de sua decisão na probabilidade de acidentes dos demais condutores.¹³

Como contribuição central, este trabalho evidencia a principal consequência teórica prevista para a proibição de radares móveis. Além disso, as possibilidades de adaptação do presente modelo para analisar diferentes questões ilustram a importância do avanço teórico obtido com este trabalho para o tema em questão.

De um ponto de vista abstrato, o presente modelo de interação estratégica para a fiscalização de trânsito se insere em uma discussão mais geral sobre a intervenção do Estado na decisão privada de alocação de risco. Proponentes de legislação contra o consumo de drogas ou pela redução do açúcar em refrigerantes, por exemplo, acreditam que é dever do Estado proteger os cidadãos deles mesmos. A visão mais evidente do debate seria o Estado protegendo crianças desinformadas, mas é provável que muitos acreditam que mesmo os adultos precisam de ajuda para não se colocarem em risco. Assim, a alocação de risco, em um contexto de dificuldade de comprometimento para com boas práticas, poderia ser um elemento para pesquisa futura baseando-se no ferramental do modelo atual.

• *
  Uma versão anterior deste artigo circulou sob o título “A proibição de radares móveis: eliminando o efeito surpresa da fiscalização”. Agradecemos as sugestões de melhoria para o manuscrito apresentadas pelo(a) parecerista. Jefferson Bertolai e Igor Soares agradecem o apoio institucional da USP e da FEARP/USP ao Laboratório de Economia, Matemática de Computação (LEMC-FEARP/USP), laboratório no qual grande parte deste trabalho foi desenvolvido.
• JEL Codes C72, D78
• 1
  Ver Sorano e Néri (2019) e despacho da Presidência da República publicado no Diário Oficial da União de 15/08/2019 (DOU, 2019). A medida se aplica somente aos radares usualmente conhecidos como “móveis”: radares instalados em veículo parado ou sobre suporte (tecnicamente denominado radar estático), instalados em veículo em movimento (tecnicamente denominado radar móvel) e direcionados manualmente para os veículos (tecnicamente denominado radar portátil). Segundo DOU (2019), a medida seguirá em vigor até que o Ministério da Infraestrutura conclua a reavaliação da regulamentação dos procedimentos de fiscalização eletrônica de velocidade em vias públicas e não há prazo definido para a volta da fiscalização. Conforme noticiado recentemente por Richter (2019), no entanto, uma decisão judicial de 11 de dezembro de 2019 ordena o reestabelecimento da fiscalização com radares deste tipo.
• 2
  Bjørnskau e Elvik (1992) e Elvik (2014) discutem a atratividade superior da abordagem de Teoria dos Jogos para se estudar o comportamento dos condutores.
• 3
  Moreira, Ribeiro, Motta, e Motta (2018) cita que 733.120 pessoas morreram no Brasil em decorrência de Acidentes de Trânsito Terrestres (ATT) entre 1996 e 2015, cerca de 3,5% do total de mortes do período. Destaca ainda que 2.272.068 pessoas foram internadas por se envolverem ATT's no mesmo período. Dentre estes, os motociclistas são as vítimas com maior tempo de permanência hospitalar, conforme destacado por Andrade e Jorge (2017).
• 4
  Ver Zlatoper (1991), Aarts e Van Schagen (2006), Wilson, Willis, Hendrikz, Le Brocque, e Bellamy (2010), Theofilatos e Yannis (2014), e Fowles e Loeb (1989).
• 5
  Ver Lave (1985), Ryeng (2012), Connolly e Aberg (1993), e Elvik (2014).
• 6
  Com dados de velocidade em rodovias antes e após a introdução de radares e usando como controle medidas de velocidade em rodovias similares no mesmo período.
• 7
  No estudo realizado pelos autores na Interstate 70 (no trecho rural do estado de Maryland, EUA), foi encontrado uma elevação na velocidade média dos motoristas quando não há radar ativo. No entanto, o efeito é apenas local. Nas proximidades da localidade do radar, houve redução de 42% para 28% no número de motoristas com velocidade 10 milhas por hora acima do limite máximo (55 milhas por hora). Após 1 milha, 38% dos motoristas já desenvolviam velocidade acima de 65 milhas por hora, com a porcentagem aumentando para 40% após duas a cinco milhas da posição do radar.
• 8
  Para interpretações alternativas sobre previsão de comportamento em termos probabilísticos, ver o trabalho seminal de Harsanyi (1967, 1968a, 1968b) e o livro-texto Gibbons (1992).
• 9
  Ver o artigo seminal de Nash (1950) e o livro-texto Gibbons (1992).
• 10
  Para mais detalhes sobre tal propriedade, ver Gibbons (1992).
• 11
  Note que o Condutor é sempre capaz de assegurar payoff nulo escolhendo não exceder ῡ nas duas localidades. Ainda, o Fiscal é sempre capaz de impedir satisfação positiva para o Condutor por meio da utilização de radares fixos em todas as localidades.
• 12
  Se o condutor possui uma meta de tempo de viagem que demanda velocidade média acima de ῡ, então a presença de radares em uma parte da rodovia reduz sua velocidade média para abaixo de ῡ e, assim, aumenta a atratividade de excessos de velocidade nos demais trechos da rodovia. A linearidade de u₁(·) em e parece ser inadequada para estudar fenômenos deste tipo.
• 13
  Segundo Bjørnskau e Elvik (1992), se referindo aos resultados de Näätänen e Summala (1976) e de Summala (1988), os condutores sequer levam em conta o efeito de suas ações na probabilidade de se envolverem em acidentes.

Apêndice. Demonstrações

Proposição 1. A única boa previsão (o único Equilíbrio de Nash) para o jogo (11) é dada por

${\sigma }^{*}=\left({\sigma }_0^{*},{\sigma }_1^{*}\right)=\left[\left(1-\delta ,\delta \right),\left(1-\theta ,\theta \right)\right]$

em que θ ≡ α/(α + β) ∈ (0,1) e δ ≡ μ/(η + μ) ∈ (0,1).

Demonstração. Note que 0 < θ < 1 e 0 < δ < 1 são consequência direta de α > 0, β > 0, μ > 0 e η > 0. Por conveniência, denote B₀(σ₁) = arg max_σ0∈Δ(A0) U₀(σ₀, σ₁) e B₁(σ₀) = arg max_σ1∈Δ(A1) U₁(σ₀, σ₁).

Usando (3) e (11), note que

$U_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^1{\sigma }_0\left(l_j\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right){\pi }_0\left(l_j,{\upsilon }_b\right)+{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right){\pi }_0\left(l_j,{\upsilon }_a\right)\right]}={\sigma }_0\left(l_0\right)\left[0{\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)-\gamma {\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\right]+{\sigma }_0\left(l_1\right)\left[-\alpha {\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)+\left(\beta -\gamma \right)\left({\upsilon }_a\right)\right]=-\gamma \left[1-{\sigma }_0\left(l_1\right)\right]{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)+{\sigma }_0\left(l_1\right)\left[-\alpha +\left(\beta -\gamma +\alpha \right){\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\right]=-\gamma {\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)+{\sigma }_0\left(l_1\right)\left[\left(\beta +\alpha \right){\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)-\alpha \right]={\sigma }_0\left(l_1\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)-\theta \right]\left(\beta +\alpha \right)-\gamma {\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)$

$U_1\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\displaystyle \sum _{k=a}^b{\sigma }_1\left({\upsilon }_k\right)\left[{\sigma }_0\left(l_0\right){\pi }_1\left(l_0,{\upsilon }_k\right)+{\sigma }_0\left(l_1\right){\pi }_1\left(l_1,{\upsilon }_k\right)\right]}={\sigma }_1\left({\upsilon }_b\right)\left[0{\sigma }_0\left(l_0\right)+0{\sigma }_0\left(l_1\right)\right]+{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[\mu {\sigma }_0\left(l_0\right)-\eta {\sigma }_0\left(l_1\right)\right]={\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[\mu -\left(\eta +\mu \right){\sigma }_0\left(l_1\right)\right]={\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[\delta -{\sigma }_0\left(l_1\right)\right]\left(\eta +\mu \right),$

em que se usou θ = α/(α+β),δ = μ/(η+μ) e os fatos σ₀(l₀)+σ₀(l₁) = σ₀(l₀)+σ₀(l₁) = 1, os quais decorrem de σ₀ ∈ Δ(A₀) e σ₀ ∈ Δ(A₀). Usando a linearidade de U₀(σ₀,σ₁) e de U₁(σ₀,σ₁), de forma similar ao executado na prova do Lema 2, obtém-se

(A-1) $B_0\left({\sigma }_1\right)=\underset{{\sigma }_0\in \Delta \left(A_0\right)}{\arg \max }\left({\sigma }_0\left(l_1\right)\left[{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)-\theta \right]\left(\beta +\alpha \right)\right)=\{\begin{array}{cc}\left\{\left(1,0\right)\right\},& \text{se}{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)<\theta ,\\ \Delta \left(A_0\right),& \text{se}{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)=\theta ,\\ \left\{\left(0,1\right)\right\},& \text{se}{\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)>\theta ;\end{array}$

(A-2) $B_1\left({\sigma }_0\right)=\underset{{\sigma }_1\in \Delta \left(A_1\right)}{\arg \max }\left({\sigma }_1\left({\upsilon }_a\right)\left[\delta -{\sigma }_0\left(l_1\right)\right]\left(\eta +\mu \right)\right)=\{\begin{array}{cc}\left\{\left(0,1\right)\right\},& \text{se}{\sigma }_0\left(l_1\right)<\delta ,\\ \Delta \left(A_1\right),& \text{se}{\sigma }_0\left(l_1\right)=\delta ,\\ \left\{\left(1,0\right)\right\},& \text{se}{\sigma }_0\left(l_1\right)>\delta .\end{array}$

Suponha que σ* = (σ₀*,σ₁*) ∈ Δ(A₀) × Δ(A₁) é uma previsão probabilística para o jogo (11) que satisfaz (4) e (5) simultaneamente. Ou seja, σ₀* ∈ B₀(σ₁*) e0 σ₁* ∈ B₀(σ₀*). A seguir, será demonstrado que σ₀*(l₁) ≠ δ gera uma contradição (impossibilidade) e, portanto, não pode ser verdadeira.

• (i) Se σ₀*(l₁) < δ então (A-2) implica que B₁(σ₀*) = Δ({υ_a}) = {(0,1)}. Logo, σ₁* = (0, 1) decorre de (5) e, portanto, σ₁*(υ_a) = 1 > θ. Usando (A-1) e tal resultado, obtém-se B₀(σ₁*) = Δ({l₁}) = {(0,1)}. Logo, σ₀* = (0,1) decorre de (4) e, portanto, obtém-se a impossibilidade σ₀*(l₁) = 1 > δ > σ₀*(l₁).

• (ii) Se σ₀*(l₁) > δ, então (A-2) implica que B₁(σ₀*) = Δ({υ_b}). Logo, σ₁* = (1,0) decorre de (5) e, portanto, σ₁*(υ_a) = 0 < θ. Usando tal resultado e (A-1), obtém-se B₀(σ₁*) = Δ({l₀}). Logo, σ₀* ⁼ (1,0) decorre de (4) e, portanto, obtém-se a impossibilidade σ₀* (l₁) = 0 < δ < σ₀* (l₁).

Como os casos (i) e (ii) são exaustivos quando σ₀* (l₁) ≠ δ, então σ₀* (l₁) ≠ δ gera uma impossibilidade em todos os casos possíveis e, portanto, não pode ser verdadeira. Conclui-se então que Σ₀*(l₁) = δ. Tendo em vista que Σ₀* = (δ,δ), o único caso em (A-1) consistente com Σ₀* ∈ B₀(Σ₁*) é o caso em que B₀(Σ₁*) = Δ(A₀). Logo, Σ₁*(υ_a) = θ e Σ₁* = (θ,θ).

Lema 3.Considere uma situação do jogo(14)na qual o Fiscal se comporta de acordo com Σ₀e o Condutor se comporta de acordo com Σ₁. Então,

$U_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)\frac{\theta }{\alpha }=U_0\left[\left(1,0,0,0\right),{\sigma }_1\right]\left(\theta /\alpha \right)+{\sigma }_0\left(p_1\right)\left[q_1\left({\sigma }_1\right)-\theta \right]+{\sigma }_0\left(p_2\right)\left[q_2\left({\sigma }_1\right)-\theta \right]+{\sigma }_0\left(p_3\right)\left[q_1\left({\sigma }_1\right)+q_2\left({\sigma }_1\right)-2\theta \right],$

$U_1\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)\frac{\delta }{\mu }={\sigma }_1\left(a_1\right)\left[\delta -q_1\left({\sigma }_0\right)\right]+{\sigma }_1\left(a_2\right)\left[\delta -q_2\left({\sigma }_0\right)\right]+{\sigma }_1\left(a_3\right)\left[2\delta -q_1\left({\sigma }_0\right)-q_2\left({\sigma }_0\right)\right],$

em que novamente θ = α/(α + β) ∈ (0,1) e δ = μ/(μ + η) ∈ (0, 1).

Demonstração. A partir de (14) e (15) note que,

$U_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^3{\sigma }_0\left(p_i\right)\left[{\displaystyle \sum _{j=0}^3{\sigma }_1\left(a_j\right){\pi }_0\left(p_i,a_j\right)}\right]}={\sigma }_0\left(p_0\right)\left[0{\sigma }_1\left(a_0\right)-\gamma \left[{\sigma }_1\left(a_1\right)+{\sigma }_1\left(a_2\right)\right]-2\gamma {\sigma }_1\left(a_3\right)\right]+{\sigma }_0\left(p_1\right)\left[-\alpha {\sigma }_1\left(a_0\right)\left(\beta -\gamma \right){\sigma }_1\left(a_1\right)-\left(\alpha +\gamma \right){\sigma }_1\left(a_2\right)+\left(\beta -2\gamma \right){\sigma }_1\left(a_3\right)\right]+{\sigma }_0\left(p_2\right)\left[-\alpha {\sigma }_1\left(a_0\right)-\left(\alpha +\gamma \right){\sigma }_1\left(a_1\right)+\left(\beta -\gamma \right){\sigma }_1\left(a_2\right)+\left(\beta -2\gamma \right){\sigma }_1\left(a_3\right)\right]+{\sigma }_0\left(p_3\right)\left[-2\alpha {\sigma }_1\left(a_0\right)+\left(\beta -\alpha -\gamma \right)\left[{\sigma }_1\left(a_1\right)+{\sigma }_1\left(a_2\right)\right]+2\left(\beta -\gamma \right){\sigma }_1\left(a_3\right)\right].$

Usando σ₀(p₀) = l − σ₀(p₁) − σ₀(p₂) − σ₀(p₃) e σ₁(α₀) = 1 − σ₁(α₁) − σ₁(α₂) − σ₁(α₃), tem-se

(A-3) $U_0\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)=-\gamma \left[{\sigma }_1\left(a_1\right)+{\sigma }_1\left(a_2\right)+2{\sigma }_1\left(a_3\right)\right]+{\sigma }_0\left(p_1\right)\left[-\alpha {\sigma }_1\left(a_0\right)+\beta {\sigma }_1\left(a_1\right)-\alpha {\sigma }_1\left(a_2\right)+\beta {\sigma }_1\left(a_3\right)\right]+{\sigma }_0\left(p_2\right)\left[-\alpha {\sigma }_1\left(a_0\right)-\alpha {\sigma }_1\left(a_1\right)+\beta {\sigma }_1\left(a_2\right)+\beta {\sigma }_1\left(a_3\right)\right]+{\sigma }_0\left(p_3\right)\left[-2\alpha {\sigma }_1\left(a_0\right)+\left(\beta -\alpha \right)\left[{\sigma }_1\left(a_1\right)+{\sigma }_1\left(a_2\right)\right]+2\beta {\sigma }_1\left(a_3\right)\right]=-\gamma \left[{\sigma }_1\left(a_1\right)+{\sigma }_1\left(a_2\right)+2{\sigma }_1\left(a_3\right)\right]+{\sigma }_0\left(p_1\right)\left[q_1\left({\sigma }_1\right)-\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\right]\left(\alpha +\beta \right)+{\sigma }_0\left(p_2\right)\left[q_2\left({\sigma }_1\right)-\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\right]\left(\alpha +\beta \right)+{\sigma }_0\left(p_3\right)\left[q_1\left({\sigma }_1\right)+q_2\left({\sigma }_1\right)-2\frac{\alpha }{\beta +\alpha }\right]\left(\alpha +\beta \right).$

O primeiro resultado do Lema é equivalente a (A-3), pois θ = α/(α + β). Agora observe que a partir de (14) e (15) se obtém

(A-4) $\begin{array}{l}{U}_1\left({\sigma }_0,{\sigma }_1\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^3{\sigma }_1\left(a_j\right)}\left[{\displaystyle \sum _{i=0}^3{\sigma }_0\left(p_i\right){\pi }_1\left(p_i,a_j\right)}\right]={\sigma }_1\left(a_0\right)\left[0{\sigma }_0\left(p_0\right)+0{\sigma }_0\left(p_1\right)+0{\sigma }_0\left(p_2\right)+0{\sigma }_0\left(p_3\right)\right]+{\sigma }_1\left(a_1\right)\left[\mu {\sigma }_0\left(p_0\right)-\eta {\sigma }_0\left(p_1\right)+\mu {\sigma }_0\left(p_2\right)-\eta {\sigma }_0\left(p_3\right)\right]+{\sigma }_1\left(a_2\right)\left[\mu {\sigma }_0\left(p_0\right)+\mu {\sigma }_0\left(p_1\right)-\eta {\sigma }_0\left(p_2\right)-\eta {\sigma }_0\left(p_3\right)\right]+{\sigma }_1\left(a_3\right)\left[2\mu {\sigma }_0\left(p_0\right)+\left(\mu -\eta \right)\left[{\sigma }_0\left(p_1\right)+{\sigma }_0\left(p_2\right)\right]-2\eta {\sigma }_0\left(p_3\right)\right]\\ ={\sigma }_1\left(a_2\right)\left[\frac{\mu }{\eta +\mu }-q_2\left({\sigma }_0\right)\right]\left(\eta +\mu \right)+{\sigma }_1\left(a_1\right)\left[\frac{\mu }{\eta +\mu }-q_1\left({\sigma }_0\right)\right]\left(\eta +\mu \right)+{\sigma }_1\left(a_3\right)\left[2\frac{\mu }{\eta +\mu }-q_1\left({\sigma }_0\right)-q_2\left({\sigma }_0\right)\right]\left(\eta +\mu \right),\end{array}$

em que a última igualdade usa σ₀(p₀) = 1 − σ₀(p₁) − σ₀(p₂) − σ₀(p₃). O segundo resultado do Lema é equivalente a (A-4), pois δ = μ/(μ + η).

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  20 Dez 2021
• Data do Fascículo
  Jul-Sep 2021

Histórico

• Recebido
  14 Dez 2019
• Aceito
  17 Fev 2020