Scaling of semivariograms and the kriging estimation of field-measured properties

Vieira, S. R.; Tillotson, P. M.; Biggar, J. W.; Nielsen, D. R.

doi:10.1590/S0100-06831997000400001

Abstracts

Two methods were evaluated for scaling a set of semivariograms into a unified function for kriging estimation of field-measured properties. Scaling is performed using sample variances and sills of individual semivariograms as scale factors. Theoretical developments show that kriging weights are independent of the scaling factor which appears simply as a constant multiplying both sides of the kriging equations. The scaling techniques were applied to four sets of semivariograms representing spatial scales of 30 x 30 m to 600 x 900 km. Experimental semivariograms in each set successfully coalesced into a single curve by variances and sills of individual semivariograms. To evaluate the scaling techniques, kriged estimates derived from scaled semivariogram models were compared with those derived from unscaled models. Differences in kriged estimates of the order of 5% were found for the cases in which the scaling technique was not successful in coalescing the individual semivariograms, which also means that the spatial variability of these properties is different. The proposed scaling techniques enhance interpretation of semivariograms when a variety of measurements are made at the same location. They also reduce computational times for kriging estimations because kriging weights only need to be calculated for one variable. Weights remain unchanged for all other variables in the data set whose semivariograms are scaled.

semivariogram; scaling; kriging; spatial variability

Foram avaliados dois métodos de escalonamento de semivariogramas, para obter uma única função de ajuste e estimar propriedades medidas, no campo, por meio da krigagem. No escalonamento, utilizaram-se, como fatores de escala, a variância das amostras e os patamares dos semivariogramas. Os desenvolvimentos teóricos mostram que os ponderadores da krigagem são independentes dos fatores de escala, os quais aparecem, simplesmente, como uma constante que multiplica os dois lados das equações de krigagem. As técnicas de escalonamento foram aplicadas a quatro conjuntos de semivariogramas, representando escalas de 30 x 30 m até 600 x 900 km. Semivariogramas experimentais de cada conjunto foram coalescidos, com sucesso, em uma curva única, usando, como fatores de escala, tanto as variâncias como os patamares dos semivariogramas. Para avaliar as técnicas de escalonamento, estimativas feitas com semivariogramas escalonados foram comparadas com as efetuadas com modelos não escalonados. Nos casos em que o escalonamento não coalesceu os semivariogramas individuais, foram encontradas diferenças da ordem de 5% entre valores estimados com krigagem sem escalonamento e com escalonamento, o que também significa que essas propriedades variam de maneira diferente no espaço. As técnicas de escalonamento propostas ajudaram a interpretação de semivariogramas, quando várias medições foram feitas para os mesmos locais. Elas também reduziram o tempo de processamento computacional para as estimativas de krigagem, porque os ponderadores da krigagem precisam ser calculados para apenas uma das variáveis. Os ponderadores foram os mesmos para todas as outras variáveis no conjunto de dados cujos semivariogramas foram escalonados.

Semivariogramas; escalonamento; krigagem; variabilidade espacial

SEÇÃO I - FÍSICA DO SOLO

S. R. Vieira^I; P. M. Tillotson^II; J. W. Biggar^III; D. R. Nielsen^III

^IResearcher of Instituto Agronômico de Campinas, Caixa Postal 28, CEP 13001-970, Campinas (SP)

^IIAssistent Professor, Department of Agronomy, University of Georgia, Griffin, GA 30223-1797

^IIIProfessor, Department of Land, Air and Water Resources, University of California, Davis, CA 95616

SUMMARY

Two methods were evaluated for scaling a set of semivariograms into a unified function for kriging estimation of field-measured properties. Scaling is performed using sample variances and sills of individual semivariograms as scale factors. Theoretical developments show that kriging weights are independent of the scaling factor which appears simply as a constant multiplying both sides of the kriging equations. The scaling techniques were applied to four sets of semivariograms representing spatial scales of 30 x 30 m to 600 x 900 km. Experimental semivariograms in each set successfully coalesced into a single curve by variances and sills of individual semivariograms. To evaluate the scaling techniques, kriged estimates derived from scaled semivariogram models were compared with those derived from unscaled models. Differences in kriged estimates of the order of 5% were found for the cases in which the scaling technique was not successful in coalescing the individual semivariograms, which also means that the spatial variability of these properties is different. The proposed scaling techniques enhance interpretation of semivariograms when a variety of measurements are made at the same location. They also reduce computational times for kriging estimations because kriging weights only need to be calculated for one variable. Weights remain unchanged for all other variables in the data set whose semivariograms are scaled.

Index terms: semivariogram, scaling, kriging, spatial variability.

RESUMO

Foram avaliados dois métodos de escalonamento de semivariogramas, para obter uma única função de ajuste e estimar propriedades medidas, no campo, por meio da krigagem. No escalonamento, utilizaram-se, como fatores de escala, a variância das amostras e os patamares dos semivariogramas. Os desenvolvimentos teóricos mostram que os ponderadores da krigagem são independentes dos fatores de escala, os quais aparecem, simplesmente, como uma constante que multiplica os dois lados das equações de krigagem. As técnicas de escalonamento foram aplicadas a quatro conjuntos de semivariogramas, representando escalas de 30 x 30 m até 600 x 900 km. Semivariogramas experimentais de cada conjunto foram coalescidos, com sucesso, em uma curva única, usando, como fatores de escala, tanto as variâncias como os patamares dos semivariogramas. Para avaliar as técnicas de escalonamento, estimativas feitas com semivariogramas escalonados foram comparadas com as efetuadas com modelos não escalonados. Nos casos em que o escalonamento não coalesceu os semivariogramas individuais, foram encontradas diferenças da ordem de 5% entre valores estimados com krigagem sem escalonamento e com escalonamento, o que também significa que essas propriedades variam de maneira diferente no espaço. As técnicas de escalonamento propostas ajudaram a interpretação de semivariogramas, quando várias medições foram feitas para os mesmos locais. Elas também reduziram o tempo de processamento computacional para as estimativas de krigagem, porque os ponderadores da krigagem precisam ser calculados para apenas uma das variáveis. Os ponderadores foram os mesmos para todas as outras variáveis no conjunto de dados cujos semivariogramas foram escalonados.

Termos de indexação: Semivariogramas, escalonamento, krigagem, variabilidade espacial.

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Received for publication in September 1996

Aproved in June 1997

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