## Print version ISSN 0100-204X

### Pesq. agropec. bras. vol.39 no.8 Brasília Aug. 2004

#### http://dx.doi.org/10.1590/S0100-204X2004000800003

IRRIGAÇÃO & DRENAGEM

Proposição de um modelo matemático para a avaliação do desempenho de sistemas de irrigação

A mathematical model for evaluating irrigation systems performance

Euzebio Medrado da Silva; Jorge Enoch Furquim Werneck Lima; Juscelino Antônio de Azevedo; Lineu Neiva Rodrigues

Embrapa Cerrados, BR 020, Km 18, Caixa Postal 08223, CEP 73310-970 Planaltina, DF. E-mail: euzebio@cpac.embrapa.br, jorge@cpac.embrapa.br, juscelin@cpac.embrapa.br, lineu@cpac.embrapa.br

RESUMO

Termos para indexação: uniformidade de aplicação, eficiência de aplicação, perfil de distribuição.

ABSTRACT

Mathematical models have been proposed to represent the applied irrigation water distribution profile, which is fundamental to evaluate the performance of irrigation systems. Even though there have been advances, so far, there is not a universally accepted model as the most adequate to fit water distribution profiles from irrigation systems. The objectives of this work were to propose a model for evaluating the performance of irrigation systems, and to develop an irrigation adjusting factor for calculating the gross water depth that takes into account both water application uniformity and efficiency measures. The fitting parameters of the proposed model were determined by using the routine Solver from the spreadsheet Excel and the water application uniformity and efficiency measures were calculated from mathematical expressions derived for this model. According to data from the evaluation of a center pivot irrigation system, the proposed model is adequate for analyzing irrigation performance and for obtaining the devised irrigation adjusting factor, by gathering the required system performance indicators. It also simplifies the analysis procedures and allows a direct calculation of the water depth demand for irrigation.

Index terms: application uniformity, application efficiency, distribution profile.

Introdução

Por melhor que seja o sistema de irrigação, a distribuição da água aplicada jamais será plenamente uniforme, e a mensuração dessa variabilidade é fundamental na avaliação do desempenho da irrigação. A variabilidade pode ser expressa na forma de um perfil decrescente de distribuição de água em que cada amostra aplicada está associada à determinada fração da área irrigada.

Registros teóricos de freqüência (uniforme, normal, lognormal, potencial, beta e gama) têm sido propostos para descrever a distribuição da água aplicada por diversos sistemas de irrigação (Warrick, 1983). Hart & Reynolds (1965) empregaram a distribuição normal na avaliação de desempenho da irrigação por aspersão, enquanto Karmeli (1978) desenvolveu um modelo potencial para representar a distribuição da água infiltrada na irrigação por superfície. O modelo de distribuição estatística Beta foi reconhecido por Elliot et al. (1980) como sendo bastante flexível para descrever uma grande variedade de perfis de distribuição de água da irrigação por aspersão. Chaudry (1978) utilizou a função Gama na representação de uma variedade de perfis assimétricos de distribuição de água em sistemas de irrigação. Na irrigação por sulcos, Silva & Hart (1992) propuseram um modelo potencial alternativo ao de Karmeli (1978) para ser aplicado nos casos em que parte da área entre sulcos permanece, efetivamente, sem receber água da irrigação. Depreende-se da variedade de propostas a inexistência de um modelo universalmente aceito que represente a distribuição de água aplicada pelos diversos sistemas de irrigação.

Os objetivos deste trabalho foram propor um modelo matemático para a avaliação de desempenho de sistemas de irrigação e desenvolver um fator de adequação para o cálculo da lâmina bruta a ser aplicada que agregue, em um único indicador, as medidas de uniformidade e de eficiência de aplicação de água.

Material e Métodos

Na determinação dos parâmetros de ajuste do modelo matemático, utilizou-se a técnica de otimização da rotina Solver da planilha eletrônica Excel para minimizar a seguinte função-objetivo:

O modelo matemático proposto para o ajuste das quantidades de água medidas e ordenadas de forma decrescente, oriundos da avaliação de sistemas de irrigação, foi o seguinte:

em que é quantidade de água estimada pelo modelo (lâmina ou volume de água aplicada) em função da área relativa acumulada; Xmin e Xmax são parâmetros de ajuste correspondentes à quantidade mínima e máxima da água aplicada, respectivamente; a é a área relativa acumulada, variando no intervalo de 0 a 1; m e n são parâmetros adimensionais de ajuste.

A fim de facilitar o uso do modelo proposto, todas as expressões matemáticas derivadas foram adaptadas de modo que sua solução pudesse ser obtida utilizando funções disponíveis na planilha eletrônica Excel. Existem alternativas computacionais para a implementação das soluções, entretanto, optou-se pela utilização do Excel por ser uma ferramenta amplamente difundida.

Partindo dos dados da Tabela 1 para demonstrar a aplicação do modelo proposto (equação 2) e utilizando os procedimentos da rotina Solver na determinação dos parâmetros de ajuste do modelo, obtiveram-se os seguintes resultados: Xmin = 10,6 mm; Xmax = 16,5 mm; n = 0,7615; m = 1,1283, com uma soma de quadrados de erros SQerro = 2,4285. Nessa otimização, os parâmetros de ajuste foram submetidos às seguintes restrições:Xmax < maior valor de Xi;Xmin>0; m>0,0001 e n>0,0001. Na Figura 1, apresenta-se o gráfico do perfil de distribuição de água ajustada aos valores pontuais observados. Na implementação dessa modelagem, a lâmina média indicada foi considerada, somente para fins de análise, igual ao requerimento de água da cultura.

A fórmula para o cálculo da média geral foi derivada da integração da variável , definida pela equação 2, no intervalo de 0 a 1, resultando em:

Com a resolução da integral da equação 3, aplicando a definição da função Beta (Abramowitz & Stegun, 1972), obteve-se a seguinte equação:

Como o cálculo da função Beta, representada por B(1/n; m+1), não está diretamente disponível na planilha Excel, foi necessário converter a equação 4 de forma que esta fosse expressa em termos da função Gama. Essa substituição foi feita utilizando a relação existente entre as funções Beta e Gama, apresentada em Abramowitz & Stegun (1972). Assim, a equação 4 foi transformada em:

Ao serem considerados os parâmetros de ajuste do modelo obtidos com os dados da Tabela 1, o resultado da integral foi igual a 0,40034.

Inserindo a equação 5 na 3, o valor médio de X pode ser calculado da seguinte forma:

Os valores da função Gama ()podem ser encontrados em tabelas ou expressões algébricas (Abramowitz & Stegun, 1972), bem como por meio de funções disponíveis na planilha eletrônica Excel, em que para o caso do parâmetro m, o valor correspondente à sua função Gama pode ser calculado como:

em que EXP() e LNGAMA() são funções do programa Excel. Os demais parâmetros da equação 6 (Xmin, Xmax, m e n) são determinados diretamente pelo processo iterativo de otimização. Dessa forma, aplicando os valores dos parâmetros de ajuste encontrados, relativos aos dados da Tabela 1, na equação 6, obteve-se a lâmina média  = 12,96 mm, enquanto a média ponderada calculada diretamente com os dados medidos (Tabela 1) foi de 12,92 mm, denotando, nesse caso, elevado grau de concordância entre os valores medidos e calculados.

A transição entre as áreas adequadamente irrigada e deficientemente irrigada foi definida por aL que determina o ponto de interseção entre o descrito pelo modelo e a lâmina média aplicada. Esse valor pode ser obtido por meio da substituição de (equação 1) por , resultando na seguinte relação:

Para o desenvolvimento da fórmula de cálculo do coeficiente de uniformidade de Chistiansen (CUC) a partir do modelo proposto (Equação 2), considerou-se a seguinte definição:

em que é a média dos desvios absolutos dos volumes ou lâminas de água aplicada em relação à média geral .

No cálculo da média absoluta dos desvios, utilizou-se a seguinte definição (Warrick, 1983):

Simplificando a equação 9, tem-se que:

Com a substituição do termo  pela definição dada na equação 2 e realizando-se as simplificações possíveis, deduziu-se a seguinte expressão:

Resolvendo a integral da equação 11 e aplicando-se a definição da função Beta incompleta (Abramowitz & Stegun, 1972), obtém-se a equação 12:

em que o termo representa o limite superior da função Beta incompleta e (1/n) e (m+1), os parâmetros para sua avaliação.

Segundo Abramowitz & Stegun (1972), as funções Beta incompleta e completa se relacionam da seguinte forma:

Considerando as igualdades estabelecidas pelas equações 4 e 5, deduziu-se a seguinte equivalência:

Segundo Abramowitz & Stegun (1972), a função se relaciona com a função de distribuição F que se encontra disponível no Excel. Essa igualdade pode ser expressa da seguinte maneira:

em que a expressão DISTF[] é a função estatística da planilha eletrônica Excel que retorna o valor da distribuição F avaliada em graus de liberdade no numerador e 2(1/n) graus de liberdade no denominador.

Ao serem introduzidas as equações 14 e 15 na equação 13 e esta na equação 12, deduziu-se o seguinte:

Substituindo-se a equação 16 na equação 12, obteve-se a seguinte expressão:

Considerando os parâmetros do modelo proposto, calculados com os dados da Tabela 1, obteve-se, da planilha "Excel", o valor de DISTF[0,4926; 4,2566; 2,6264]=0,7537. Empregando os demais resultados já conhecidos na equação 17, obteve-se = 1,38 mm. Com os valores de e já determinados, utilizando a equação 8, calculou-se o CUC = 89,35%. O valor de CUC, calculado diretamente dos dados medidos (Tabela 1), foi de 89,17%, valor muito próximo do calculado empregando o modelo proposto.

Na derivação da fórmula de cálculo do coeficiente de uniformidade de distribuição (CUD) baseado no modelo proposto (equação 2), utilizou-se a seguinte definição:

em que é a média do quartil inferior dos valores de água aplicada.

No cálculo de , empregou-se a seguinte equação:

Se ao introduzir a definição de (equação 2) na equação 19 e simplificando-a, obteve-se o seguinte:

Substituindo a primeira e a segunda integral por suas respectivas soluções, equações 5 e 16, e considerando

aL= 0,75, obteve-se o seguinte resultado:

Exemplificando o uso da equação 21 com os dados da Tabela 1, utilizando a função DISTF[0,1511; 4,2566; 2,6264] = 0,9461 da planilha Excel e os demais parâmetros já determinados, obteve-se a média do quartil inferior = 11,11 mm. Com este resultado, considerando a média =12,96 mm já conhecida e empregando a definição expressa pela equação 18, obteve-se o valor de CUD = 85,73%. O valor de CUD, calculado diretamente com os dados medidos (Tabela 1), foi de 85,72%, indicando que o modelo reproduziu bem o caso avaliado.

Assumindo que a lâmina média aplicada (Figura 1) é igual à lâmina de água requerida pela cultura, as frações de lâmina que superam a média devem ser consideradas excedentes. A área correspondente à integral do perfil de água aplicada (equação 2) em relação à variável "a" no intervalo de 0 a 1 - cujo resultado numérico é o mesmo que o da lâmina média aplicada () obtida pela equação 6 - representa o volume total de água aplicada, (), expresso em termos de lâmina de água por unidade de área. Assim, para o caso do pivô-central analisado, Va= = 12,96 mm.

Os valores de lâmina excedentes, quando integradas no domínio da variável "a" no intervalo de 0 a aL, geram o volume de água excedente (Ve). A diferença entre o volume de água aplicado (Va) e o excedente (Ve) resulta no volume de água útil (Vu). No cálculo de Vu, foi necessário, primeiramente, determinar Ve e, então, utilizar a definição Vu=Va - Ve. Por sua vez, considerando que o processo de otimização da equação 1 resulta na divisão igualitária das áreas em excesso e em deficiência, deduziu-se que Ve = 0,5, desde que a lâmina média aplicada seja igual à lâmina de água necessária. Assim, no exemplo analisado (Tabela 1 e Figura 1), em que = 1,38 mm, então Ve= 0,69 mm e, por conseguinte, Vu= 12,27 mm.

Com as variáveis Vu e Va definidas, a eficiência de aplicação (Ea) da irrigação pode ser expressa por:

em que Ea é dada em porcentagem. Desse modo, no caso estudado (Figura 1), a eficiência de aplicação resultou em Ea= 94,68%, correspondendo a uma perda por percolação de 5,32%. O cálculo desse valor, utilizando diretamente os dados medidos envolve aproximações gráficas e numéricas do perfil de distribuição, o que introduz imprecisões na análise.

Tomando por base a assertiva de que o formato do perfil de distribuição dos valores de lâmina de água aplicada não se altera com a variação da lâmina média, o ajuste da área adequadamente irrigada pode ser alcançado, simplesmente, pelo deslocamento de toda a distribuição, para baixo ou para cima, conforme o desejado. Esse deslocamento pode ser definido por um fator de proporcionalidade, denominado Fator de Adequação da Irrigação, representado por FAI e expresso, matematicamente, da seguinte forma:

em que é o novo valor de lâmina ou volume de água, correspondente a um dada área relativa acumulada (a), após o deslocamento de toda a distribuição; e representa os valores de lâmina ou volume da distribuição de água antes do ajuste (Figura 2).

Qualquer que seja , ao ser multiplicado pelo Fator de Adequação da Irrigação (FAI), seu valor é transformado no correspondente ao mesmo valor de área relativa acumulada. Seguindo essa lógica, foram estabelecidas as seguintes igualdades:

em que e são, respectivamente, os valores mínimos e máximos das lâminas de água ou vazões da distribuição deslocada; e representa a média das lâminas ou vazões aplicadas com a nova distribuição.

Observando-se a Figura 2, verifica-se que a interseção da linha representativa da quantidade média original de água aplicada com o perfil descrito por ocorre em aR, de modo que, utilizando a definição proposta na equação 2, deduziu-se a seguinte expressão:

Desse modo, introduzindo as relações da equação 24 na equação 25, obteve-se a equação 26:

resultando no fator de adequação proposto:

Com os resultados do exemplo da Tabela 1 e considerando a meta preestabelecida de 90,00% de área adequadamente irrigada, obteve-se o valor de FAI=1,1860. Isso significa que para atingir 90,00% da área com irrigação adequada é necessário majorar o requerimento líquido de água em 18,60% nesse sistema de irrigação.

Quanto ao desempenho da irrigação, o ajuste no perfil de distribuição de água altera somente a eficiência de aplicação de água, mantendo inalterados os indicadores de uniformidade. No cálculo da eficiência de aplicação resultante , foi necessário determinar as quantidades de água ajustadas: volume total aplicado , volume útil e volume excedente . O volume total de água aplicado foi obtido diretamente pela multiplicação de FAI por , que, no caso exemplificado, resultou em = 15,37 mm.

Para o cálculo do volume excedente após o ajuste do perfil de água aplicada, utilizou-se a seguinte definição:

Substituindo por (FAI) (equação 24) e efetuando-se as devidas simplificações, obteve-se o seguinte resultado:

Substituindo aL por aR na equação 16, obteve-se a seguinte solução para (equação 29):

Assim, para os dados do exemplo utilizado na Tabela 1, considerando os seguintes parâmetros: FAI = 1,1860; aR= 0,9; n  = 0,7615; m = 1,1283; Xmax= 16,5 mm; Xmin= 10,6 mm, determinou-se = 2,43 mm, em que DISTF[0,0515; 4,2566; 2,6264] = 0,9913. Neste caso, o excesso de água aplicada foi de 15,81% em relação ao total ( = 15,37 mm). Desse modo, o volume útil ajustado foi igual a = 12,94 mm, resultando em uma eficiência de aplicação = 84,19%. Nessa aplicação (Tabela 1), concluiu-se que com a majoração da lâmina em 18,60%, a área adequadamente irrigada passou de 46,27% para 90,00%, reduzindo a eficiência de aplicação de 94,68% para 84,19% e aumentando o volume excedente de água de 5,32% para 15,81%.

Conclusões

1. O modelo desenvolvido é apropriado para descrever a distribuição dos valores de lâmina de água aplicada e fornece os parâmetros necessários para a avaliação de desempenho de sistemas de irrigação.

2. O fator de adequação da irrigação (FAI) desenvolvido, ao englobar os indicadores de desempenho da irrigação, simplifica os procedimentos de análise e fornece uma ferramenta direta para o cálculo da lâmina de água requerida para irrigação.

Ao CNPq, pela concessão de bolsa PROFIX ao quarto autor; aos colegas da Embrapa Cerrados que contribuíram com sugestões para melhoria deste trabalho.

Referências

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Recebido em 19 de fevereiro de 2004 e aprovado em 4 de maio de 2004