Variação espaço-temporal dos parâmetros para a modelagem estocástica da precipitação pluvial diária no Rio Grande do Sul

Temporal and spatial variation of parameters for the random modeling of daily rainfall in the state of Rio Grande do Sul, Brazil

ARTIGOS CIENTIFÍCOS

ENGENHARIA DE ÁGUA E SOLO

Variação espaço-temporal dos parâmetros para a modelagem estocástica da precipitação pluvial diária no Rio Grande do Sul¹

Temporal and spatial variation of parameters for the random modeling of daily rainfall in the state of Rio Grande do Sul, Brazil

Marcelo Calgaro^I; Adroaldo D. Robaina^II; Marcia X. Peiter^III; Tatiane Bernardon^IV

^IEng^o Agrônomo, Doutor, Embrapa Semiárido, Petrolina - PE, Fone: (0XX87) 3862-1711, [e-mail]

^IIEng^o Agrônomo, Doutor, Professor Titular, Departamento de Engenharia Rural, UFSM, Santa Maria - RS

^IIIEng^a Agrônoma, Doutora, Professora Adjunta, Departamento de Engenharia Rural, UFSM, Santa Maria - RS

^IVBióloga, Mestre, Petrolina - PE

RESUMO

O Rio Grande do Sul é um dos maiores produtores de grãos do Brasil, sendo a maioria das culturas conduzida em sistemas não irrigados, tornando-lhes extremamente dependentes das condições climáticas e do regime pluviométrico. Tal fato inspira diversas pesquisas na tentativa de caracterizar o comportamento espacial e temporal das precipitações. Dessa forma, o objetivo do presente trabalho foi estudar a variação espacial e temporal dos parâmetros alfa e beta da função gama para a geração de dados de precipitação pluvial diária no Estado. Os dados de precipitação pluviométrica foram obtidos junto à ANA - Agência Nacional de Águas. A modelagem da precipitação diária foi dividida em ocorrência e quantidade. Realizou-se a estimativa dos parâmetros alfa e beta da função gama a partir das séries históricas, seguida do ajuste desses parâmetros em função do tempo e do espaço e posterior comparação entre os valores estimados e os observados. De acordo com os resultados obtidos, conclui-se que a metodologia desenvolvida pode ser aplicada para a geração de séries sintéticas de precipitação pluvial diária nas diferentes estações pluviométricas do Rio Grande do Sul.

Palavras-chave: simulação, chuva, séries históricas.

ABSTRACT

Rio Grande do Sul is one of the largest grain producer states in Brazil, since most of the crops grown in non-irrigated systems, thus making them extremely dependent on the climatic conditions and on the pluviometric regime. This fact has inspired several research studies in the attempt of characterizing the spatial and temporal behavior of the rainfall. The objective of this research was to study the spatial and temporal variation of alpha and beta parameters of the gamma function for the generation of daily rainfall data in the state. The pluviometric precipitation data were obtained from the National Water Agency (ANA). The modeling of the daily rainfall was divided into the events of occurrence and quantity. Estimation of alpha and beta parameters of the gamma function was accomplished on the basis of historical series followed by the adjustment of these parameters as a function of time and space, and then the comparison between estimated and observed values. According to the results, one can conclude that the proposed methodology can be applied for the generation of synthetic series of daily rainfall in the different pluviometric stations of Rio Grande do Sul.

Keywords: simulation, rainfall, time series.

INTRODUÇÃO

O conhecimento da distribuição das precipitações pluviais no tempo e no espaço tem grande importância no planejamento das atividades agrícolas, e uma das maneiras de se conhecer essa distribuição é por meio da modelagem dessa variável no tempo e no espaço.

A modelagem da precipitação é de grande utilidade para diversos campos do conhecimento, destacando-se sua aplicação na área da Engenharia Agrícola, em que os modelos que consideram a chuva como um processo aleatório, e que são utilizados para simular sequências de chuvas mantendo as características estatísticas da série histórica, são conhecidos como modelos estocásticos. Um modelo estocástico é aquele que possui parâmetros obtidos a partir dos dados observados e que, apesar de não ser possível prever precisamente os valores que assumirá a precipitação no futuro, existe a possibilidade de fazer avaliações das probabilidades associadas aos valores futuros.

Em planejamento de sistemas irrigados, a modelagem da precipitação pluvial e a geração de séries sintéticas de distintos locais oferecem aos técnicos inúmeras possibilidades de avaliação do sistema. Dentre essas avaliações, pode-se destacar a análise da viabilidade econômica da implementação da irrigação em um dado local.

PEITER & CHAUDHRY (2000), analisando a viabilidade econômica do uso de irrigação para a cultura do milho, propõem o uso de séries sintéticas de chuva como dados de entrada para modelo de simulação do crescimento dessa espécie. Com os resultados de produção a longo prazo, gerados pelo modelo de simulação, com base nas séries sintéticas de chuva, esses autores propõem metodologia que permita a análise técnica e econômica do uso de irrigação nessa cultura. De forma similar, FRIZZONE et al. (2005) realizam vasta revisão sobre trabalhos aplicados ao planejamento de sistemas irrigados que utilizam a modelagem estocástica da precipitação pluvial por meio das cadeias de Markov para a previsão da ocorrência e da distribuição gama para sua magnitude (HOWELL et al., 1975; AZEVEDO & LEITÃO, 1990; ASSIS, 1991; FIETZ et al., 1998; PEITER, 1998).

Muito embora o procedimento para a simulação da precipitação pluvial seja conhecido e citado por diversos autores na literatura técnica, a variabilidade espacial e temporal dos parâmetros relacionados a esse procedimento é pouco analisada. Os procedimentos citados na literatura realizam avaliações locais sem possibilidade de extrapolação desses resultados para áreas maiores, como é o caso do Estado do Rio Grande do Sul. Sendo assim, o presente trabalho teve como objetivo estudar a variação espacial e temporal dos parâmetros para a modelagem da precipitação pluvial diária no Estado do Rio Grande do Sul.

MATERIAL E MÉTODOS

Os dados de precipitação pluvial diária utilizados para a realização deste trabalho foram obtidos junto à ANA - Agência Nacional de Águas. Foram escolhidas quatro estações com o maior número de anos completos para serem representativas dentro de cada região do Estado do Rio Grande do Sul (Tabela 1), com exceção da região da Lagoa dos Patos, totalizando 48 estações (quatro por região).

Os dados foram padronizados por meio da eliminação dos anos que não continham série completa dentro de cada arquivo, e a modelagem da precipitação diária foi dividida em duas etapas, em que, primeiramente, foi realizada a modelagem da ocorrência da precipitação e, posteriormente, da quantidade de precipitação (GENOVEZ, 1987; PEITER, 1998; NISHIJIMA, 2004), sendo a modelagem da ocorrência da precipitação pluvial diária utilizada neste trabalho, baseada em uma cadeia de Markov de primeira ordem.

A metodologia para a modelagem da ocorrência e da quantidade de precipitação e quais parâmetros interferem na sua determinação, segundo PEITER (1998), podem ser vistos na Figura 1.

Para a definição da ocorrência de precipitação, foi determinada a matriz de transição (MT) em função das séries históricas disponíveis em cada local selecionado, a qual, neste trabalho, foi modificada para que seus elementos representassem a posição geográfica da estação, sendo:

em que,

MT - matriz de transição;

P₀₀ - probabilidade de não chover hoje dado que não choveu ontem;

P₀₁ - probabilidade de não chover hoje dado que choveu ontem;

P₁₀ - probabilidade de chover hoje dado que não choveu ontem;

P₁₁ - probabilidade de chover hoje dado que choveu ontem e onde t é a época do ano considerada;

Φ e λ - latitude e longitude do posto pluviométrico, e

t - época do ano considerada.

Foi considerado dia chuvoso, o dia em que a precipitação foi maior ou igual a 0,2 mm.

A variação da probabilidade de ocorrência de precipitação P₁₀ e a variação da probabilidade de ocorrência de precipitação P₁₁, em função do tempo, foi ajustada para cada estação por modelo senoidal, conforme NISHIJIMA (2004):

em que,

a₀, a₁, a₂, a_3,, a_4, b₀, b₁, b₂, b₃ e b₄ - coeficientes determinados pelo método dos mínimos quadrados;

θ = π t / 365, e

t - dia do ano.

Os coeficientes a_i do elemento P₁₀(t) e os coeficientes b_i do elemento P₁₁(t) da matriz de transição foram ajustados em função da posição geográfica (Φ, λ) da estação por:

em que,

c_0i, c_{1i ,} c_2i, c_3i, c_4i e c_5i - coeficientes determinados pela técnica dos mínimos quadrados;

Φ e λ - latitude e longitude da estação, e

i - 0; 1; 2; 3 e 4.

Para a modelagem da quantidade de precipitação pluvial diária, foi adotada, conforme GENOVEZ (1987), PEITER (1998) e NISHIJIMA (2004), a distribuição de probabilidade gama de dois parâmetros cuja função de distribuição acumulada é:

em que,

Γ(α) - função gama, e

α e β - parâmetros da distribuição gama, sendo que a estimativa dos parâmetros α e β foi feita pelo método da verossimilhança (THOM, 1966).

A variação do parâmetro α e a variação do parâmetro β da função gama, em função do tempo (dia do ano), foi ajustada para cada estação por modelo senoidal:

em que,

α(t) - parâmetro alfa e parâmetro beta da função gama em função do tempo;

t - dia do ano, e

c₀ , c₁, c₂, c_3,, c_4, d₀ , d₁, d₂, d₃ e d₄ - coeficientes da função harmônica.

Os coeficientes c₀, c₁, c₂, c₃ e c₄, do parâmetro α(t), e os coeficientes d₀, d₁, d₂, d₃ e d₄, do parâmetro β(t), da função gama, neste trabalho, foram ajustados em função das coordenadas geográficas (Φ, λ) por:

em que,

d_0i, d_1i, d_2i, d_3i, d_4i e d_5i - coeficientes determinados pela técnica dos mínimos quadrados;

Φ e λ - latitude e longitude da estação;

i - 0; 1; 2; 3 e 4.

A validação da modelagem dos elementos da matriz de transição e dos parâmetros da função gama, em função do tempo e do espaço, foi feita por meio da análise de regressão através do modelo linear Y = a + b X, em que Y são os valores observados e X são os valores estimados da variável em estudo (P₁₀, P₁₁, α ou β). Para isso, foram utilizadas cinco estações-controle, representando os quatro pontos cardeais, mais uma representando o centro do Estado (Tabela 2).

O processo de avaliação da modelagem da ocorrência e da quantidade de precipitação foi realizado com valores de séries geradas e de séries históricas e podem ser vistos na Figura 2.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

A cadeia de Markov de primeira ordem foi utilizada em virtude dos resultados obtidos por vários autores, dentre os quais PEITER (1998) e NISHIJIMA (2004), que citam não haver necessidade de utilizar ordens mais elevadas para a modelagem da ocorrência de precipitação. A matriz de transição da ocorrência de precipitação foi modificada para que seus elementos representassem a posição geográfica da estação. Esse procedimento difere do adotado por GENOVEZ (1987), por PEITER (1998) e por NISHIJIMA (2004), em virtude da inclusão das coordenadas geográficas da estação a que os dados se referem.

Ajuste do modelo dos elementos P₁₀ e P₁₁ da matriz de transição para as 12 regiões

Os valores dos coeficientes do modelo da probabilidade de ocorrência P₁₀, em função da média das coordenadas geográficas (Φ, λ) das estações de cada região, podem ser vistos na Tabela 3, assim como os valores dos coeficientes do modelo da probabilidade de ocorrência P₁₁ em função da média das coordenadas geográficas (Φ, λ) das estações de cada região encontram-se na Tabela 4.

A análise dos valores dos coeficientes do modelo de probabilidade P₁₀ e os seus respectivos desvios-padrão mostram a existência da variabilidade desses coeficientes em relação às diversas regiões estudadas, aproximando-se dos encontrados por MITCHELL (2000), que variaram entre 0,0079 e 0,0110.

A comparação dos coeficientes da função harmônica de P₁₀, em função do tempo, obtidos na Tabela 3, com os coeficientes obtidos por NISHIJIMA (2004), não foi possível devido ao fato de o autor ter utilizado os valores de P₁₀ logaritmizados ao invés de utilizá-los diretamente, como foi realizado neste trabalho. Os valores encontrados por NISHIJIMA (2004) para P₁₀ possuem média em torno de 0,22 e desvio-padrão em torno de 0,03, sendo semelhantes aos encontrados neste trabalho.

Pode-se observar que os valores médios dos coeficientes do modelo de probabilidade P₁₁, da Tabela 4, e os seus respectivos desvios-padrão situaram-se dentro da faixa de valores (0,0079 e 0,0110) encontrados por MITCHELL (2000), mostrando a existência de pequena variabilidade entre esses coeficientes em relação às diversas estações.

Os coeficientes da função de probabilidade de ocorrência de precipitação P₁₀ (Φ, λ, t) foram relacionados por a_i = c_0i + c_1iΦ + c_2iλ, e os coeficientes da função de probabilidade de ocorrência de precipitação P₁₁ (Φ, λ, t) foram relacionados por b_i = c_3i + c_4iΦ + c_5iλ, e podem ser observados na Tabela 5.

Conforme pode ser visto na Tabela 5, a soma dos quadrados dos resíduos resultantes da comparação entre os valores de a_i (observados e estimados) variou entre 0,000088 e 0,004830, e a soma dos quadrados dos resíduos resultantes da comparação entre os valores de b_i variou entre 0,001217 e 0,023334, indicando bom ajuste das grandezas envolvidas.

Ajuste do parâmetro α e β da função gama para as 12 regiões

Os parâmetros α e β da função gama são do tipo α = α (Φ, λ, t) e β = β (Φ, λ, t), em que Φ é latitude, λ é a longitude do posto pluviométrico e t é a época do ano considerada.

Na Tabela 6, são apresentados os coeficientes do modelo do parâmetro α da função gama, em função da média das coordenadas geográficas (Φ, λ) das estações de cada região estudada.

Os valores médios dos coeficientes obtidos e seus respectivos desvios-padrão mostram a existência de pequena variação entre os valores dos coeficientes do modelo do parâmetro α da função gama, em função da média das coordenadas geográficas (Φ, λ) das estações de cada região, fato esse que vem sendo observado para os demais fatores já apresentados.

Na Tabela 7, são apresentados os coeficientes do modelo do parâmetro β da função gama, em função da média das coordenadas geográficas (Φ, λ) das estações de cada região.

Da mesma forma que o caso anterior, os valores médios dos coeficientes do modelo do parâmetro β e os seus respectivos desvios-padrão mostram a existência de maior variabilidade desses coeficientes em relação às diversas estações analisadas.

Ajuste dos coeficientes (a₀, a₁, a₂, a₃ e a₄) do parâmetro α e (b₀, b₁, b₂, b₃ e b₄) do parâmetro β, em função da média da posição geográfica (Φ, λ) das estações

Os coeficientes da função do parâmetro α, em função da latitude (Φ) e da longitude (λ) de cada estação, foram relacionados por uma função do tipo Y = c₀ + c₁ X₁ + c₂ X₂ e Y = c₃ + c₄ X₁ + c₅ X₂, em que Y são os valores dos coeficientes de α, X₁ a latitude e X₂ a longitude de cada estação. Os valores de c_0i, c_1i e c_2i; e c_3i, c_4i e c_5i foram determinados pelo método dos mínimos quadrados e podem ser vistos na Tabela 8, na qual se pode observar que a soma dos quadrados dos resíduos resultantes da comparação entre os valores observados e os valores estimados variou entre 0,001454 e 0,071221, indicando bom ajuste das grandezas envolvidas.

Validação do modelo de previsão das probabilidades P₁₀ e P₁₁ da matriz de transição e dos parâmetros α e β da função gama

Na Tabela 9, são apresentados os valores dos coeficientes da regressão de ajuste das probabilidades de ocorrência de chuva P₁₀ e P₁₁ e dos parâmetros α e β. Pode-se observar que os valores estimados de α são estatisticamente iguais aos observados de α e que os valores estimados de P₁₀, P₁₁ e β são estatisticamente diferentes dos observados de P₁₀, P₁₁ e β

Por meio da Tabela 9, percebe-se que os valores de t calculados foram significativos para P₁₀, indicando que os valores estimados não são iguais aos valores observados; porém, se observadas as diferenças entre os coeficientes da regressão (6,5%), nota-se que essas foram pequenas. Devido à diferença ser significativa, os resultados da probabilidade P₁₀ obtidos com modelo proposto devem ser ajustados pela equação de regressão.

De maneira semelhante, pode-se perceber, na Tabela 9, que os valores de t calculados foram significativos para P₁₁, indicando que os valores observados de P₁₁ não são iguais aos valores estimados, inclusive com diferença em torno de 24,4%, que é maior que a encontrada para P₁₀. Da mesma forma, como a diferença foi significativa, os resultados da probabilidade P₁₁ obtidos com modelo proposto devem ser ajustados pela equação de regressão.

Avaliação de P₁₀ e P₁₁, e α e β obtidos com séries pluviométricas diárias geradas

Na Tabela 10, são mostrados os valores dos coeficientes linear, angular e de determinação, bem como dos valores de t calculados e tabelados, e a significância para as distribuições P₁₀ e P₁₁.

Na análise da regressão ajustada entre as séries geradas e as séries históricas apresentadas na Tabela 10, observa-se que os valores de t tabelados são inferiores aos valores de t calculados, indicando, assim, que os valores de P₁₀ e P₁₁ das séries geradas não são estatisticamente iguais aos valores de P₁₀ e P₁₁ das séries históricas. Entretanto, pode-se perceber que os valores do coeficiente b da regressão ajustada são bem próximos a 1, apresentando diferença de apenas 3,7% para P₁₀ e P₁₁, podendo-se, portanto, fazer as correções dos parâmetros por esse valor e, dessa forma, utilizá-los para gerar as séries de dados de precipitação.

Em relação aos valores de α e β das séries geradas comparado com as séries históricas, pode-se observar, pelos valores de t (b), que não houve bom ajuste entre os valores, indicando, assim, que tais valores não são estatisticamente iguais; entretanto, pode-se perceber que os valores do coeficiente b da regressão ajustada são bem próximos a 1, tendo diferença de apenas 1,4%, podendo-se, por meio desse, fazer as correções dos valores e, dessa forma, utilizá-los para gerar as séries de dados de precipitação. Nos dois casos, o que se deseja é que tais valores permaneçam em torno de 1, o que indicaria, conforme citado por COSTA NETO (1977), bom ajuste entre os dados.

CONCLUSÕES

De acordo com a metodologia proposta e os resultados obtidos, pode-se concluir que os elementos da matriz de transição e os parâmetros alfa e beta apresentam variabilidade em relação ao tempo e à posição geográfica da estação. No entanto, considerando-se os ajustes citados, é possível a utilização do modelo proposto para a geração de séries sintéticas em análise de sistemas que requeiram espacialização da precipitação pluvial como componente para o balanço hídrico para a região de estudo.

Pode-se também concluir que o procedimento metodológico proposto, que se caracterizou pela representação e pela obtenção dos parâmetros necessários a partir das coordenadas geográficas das estações de maneira analítica, é viável como modelo estocástico para uso no planejamento de recursos hídricos, considerando-se sistemas que demandem séries de precipitação pluvial.

Recebido pelo Conselho Editorial em: 12-9-2007

Aprovado pelo Conselho Editorial em: 1o-5-2009

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1

Extraído da tese de Doutorado do primeiro autor.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  24 Set 2009
• Data do Fascículo
  Jun 2009

Histórico

• Aceito
  01 Maio 2009
• Recebido
  12 Set 2007